Terminale MS Continuité Equation avec paramètre
Le plan est muni d’un repère orthonormé ( O , I , J ).
La fonction f est définie sur [ 0 ; + ∞ [ par f ( x ) = e – x. C f est la courbe représentative de la fonction f.
n désigne un entier naturel non nul.
D n est la droite d’équation y = n x.
On s’intéresse à l’équation ( E n ) : e – x = n x dans [ 0 ; + ∞ [.
On pose g n ( x ) = n x – e – x pour tout réel x de [ 0 ; + ∞ [.
1. a. Calculer g n ( 0 ). Montrer que g n ( 1 ) > 0.
b. Déterminer la limite de g n en + ∞.
c. Etudier les variations de la fonction g n sur [ 0 ; + ∞ [.
2. a. Démontrer que l’équation g n ( x ) = 0 a une seule solution notée u n dans [ 0 ; + ∞ [.
b. Que peut-on en déduire au sujet de l’équation ( E n ) ? c. Justifier que, pour tout entier n ≥ 1, u n appartient à [ 0 ; 1 ].
3. a. A l’aide du graphique donné en annexe 1, placer u 1 , u 2 , u 3 , u 4 sur l’axe des abscisses.
b. Conjecturer les variations et la limite de la suite ( u n ).
4. a. Sachant que g n + 1 ( u n + 1 ) = 0, montrer que g n ( u n + 1 ) = – u n + 1 . b. En déduire les variations de la suite ( u n ).
c. Expliquer pourquoi la suite ( u n ) est convergente.
5. On considère le script Python donné en annexe 2.
a. Quelles sont les valeurs renvoyées par enc ( 1 ) , enc ( 2 ) , enc ( 3 ) , enc ( 4 ) ? On donnera sans justifier l’arrondi à 10 – 6 des valeurs.
b. Conjecturer un encadrement de u n . 6. On rappelle que u n =
un
e n
pour tout entier n ≥ 1.
a. Montrer que 1
n e ≤ u n ≤ 1
n pour tout entier n ≥ 1.
b. En déduire la limite de la suite ( u n ).
7. On rappelle que n u n = e un pour tout entier n ≥ 1.
Déterminer la limite de la suite ( n u n ).
Terminale MS Continuité Annexe 1
Annexe 2
from math import * def g ( x , n ) :
y = exp ( - x ) - n * x return ( y )
def enc ( n ) : a = g ( 1 / n , n )
b = g ( 1 / ( n * exp ( 1 ) , n ) return ( a , b )
Terminale MS Continuité
1.a. • g n ( 0 ) = n 0 – e – 0 = – 1.
• g n ( 1 ) = n 1 – e – 1 = n – 1 e. 2 < e < 3 donc 1
3 < 1 e < 1
2 donc 1
e ≤ 1 ≤ n donc n – 1
e > 0 donc g n ( 1 ) > 0.
1.b. • n > 0 donc
+
lim
x n x = + ∞.
•
+
lim
x – x = – ∞ et
lim
y e y = 0 donc
+
lim
x e – x = 0 par composée.
•
+
lim
x n x = + ∞ et
+
lim
x e – x = 0 donc
+
lim
x n x – e – x = + ∞ par différence.
On en déduit que
+
lim
x g n ( x ) = + ∞.
1.c. Pour tout réel x de [ 0 ; + ∞ [, g n ( x ) = n x – e – x donc g n ' ( x ) = n + e – x. n > 0 et e – x > 0 donc n + e – x > 0 donc g n ' ( x ) > 0.
g n ' > 0 sur [ 0 ; + ∞ [ donc g n est strictement croissante sur [ 0 ; + ∞ [.
x 0 + ∞ g n ' ( x ) +
g n ( x )
+ ∞
– 1 2.a. • g n est dérivable sur [ 0 ; + ∞ [ donc g n est continue sur [ 0 ; + ∞ [.
• g n est strictement croissante sur [ 0 ; + ∞ [.
• L’image par g n de [ 0 ; + ∞ [ est [ – 1 ; + ∞ [.
• Le réel 0 appartient à [ – 1 ; + ∞ [.
D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation g n ( x ) = 0 a une seule solution dans [ 0 ; + ∞ [.
2.b. g n ( x ) = 0 ssi n x – e – x = 0 ssi e – x = n x.
On en déduit que l’équation ( E n ) possède une seule solution dans [ 0 ; + ∞ [.
2.c. g n ( 0 ) < 0 < g n ( 1 ) donc g n ( 0 ) < g n ( u n ) < g n ( 1 ) et g n est strictement croissante sur [ 0 ; + ∞ [ donc 0 < u n < 1.
On en déduit que, pour tout entier n ≥ 1, u n appartient à [ 0 ; 1 ].
3.a. Voir le graphique donné en annexe 1.
3.b. On conjecture que la suite ( u n ) est décroissante et a pour limite 0.
Terminale MS Continuité 4.a. g n + 1 ( u n + 1 ) = 0
donc ( n + 1 ) u n + 1 – e u + 1n = 0 donc e u + 1n = ( n + 1 ) u n + 1 . g n ( u n + 1 ) = n u n + 1 – e u + 1n
donc g n ( u n + 1 ) = n u n + 1 – ( n + 1 ) u n + 1 donc g n ( u n + 1 ) = – u n + 1
u n + 1 ≥ 0 donc – u n + 1 ≤ 0 donc g n ( u n + 1 ) ≤ 0.
4.b. g n ( u n + 1 ) ≤ 0
donc g n ( u n + 1 ) ≤ g n ( u n ) or g n est croissante sur [ 0 ; + ∞ [ donc u n + 1 ≤ u n .
On en déduit que la suite ( u n ) est décroissante.
4.c. La suite ( u n ) est décroissante et minorée par 0 donc la suite ( u n ) est convergente.
5.a. • enc ( 1 ) renvoie : ( - 0.632121 , 0.324321 )
• enc ( 2 ) renvoie : ( - 0.393469 , 0.464107 ) • enc ( 3 ) renvoie : ( - 0.283469 , 0.516715 ) • enc ( 4 ) renvoie : ( - 0.221199 , 0.544253 ) 5.b. On conjecture que 1
n e ≤ u n ≤ 1 n .
6.a. Pour tout entier n ≥ 1, u n =
un
e n
.
0 ≤ u n ≤ 1 donc – 1 ≤ – u n ≤ 0 donc e – 1 ≤ e un≤ e 0 donc 1
e ≤ e un≤ 1 donc 1
n e ≤
un
e n
≤ 1
n donc 1
n e ≤ u n ≤ 1 n . 6.b. Pour tout entier n ≥ 1, 1
n e ≤ u n ≤ 1 n .
lim + n
1
n e = 0 et lim + n
1 n = 0.
D’après le théorème des gendarmes, lim +
n u n = 0.
7. Pour tout entier n ≥ 1, n u n = e un. lim +
n u n = 0 donc lim +
n – u n = 0 et lim +
x e x = e 0 = 1 donc
+
lim
n un
e = 1 par composée donc
+
lim
n n u n = 1.
Terminale MS Continuité Annexe 1