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Equation avec paramètre

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Terminale MS Continuité Equation avec paramètre

Le plan est muni d’un repère orthonormé ( O , I , J ).

La fonction f est définie sur [ 0 ; + ∞ [ par f ( x ) = e – x. C f est la courbe représentative de la fonction f.

n désigne un entier naturel non nul.

D n est la droite d’équation y = n x.

On s’intéresse à l’équation ( E n ) : e – x = n x dans [ 0 ; + ∞ [.

On pose g n ( x ) = n x – e – x pour tout réel x de [ 0 ; + ∞ [.

1. a. Calculer g n ( 0 ). Montrer que g n ( 1 ) > 0.

b. Déterminer la limite de g n en + ∞.

c. Etudier les variations de la fonction g n sur [ 0 ; + ∞ [.

2. a. Démontrer que l’équation g n ( x ) = 0 a une seule solution notée u n dans [ 0 ; + ∞ [.

b. Que peut-on en déduire au sujet de l’équation ( E n ) ? c. Justifier que, pour tout entier n ≥ 1, u n appartient à [ 0 ; 1 ].

3. a. A l’aide du graphique donné en annexe 1, placer u 1 , u 2 , u 3 , u 4 sur l’axe des abscisses.

b. Conjecturer les variations et la limite de la suite ( u n ).

4. a. Sachant que g n + 1 ( u n + 1 ) = 0, montrer que g n ( u n + 1 ) = – u n + 1 . b. En déduire les variations de la suite ( u n ).

c. Expliquer pourquoi la suite ( u n ) est convergente.

5. On considère le script Python donné en annexe 2.

a. Quelles sont les valeurs renvoyées par enc ( 1 ) , enc ( 2 ) , enc ( 3 ) , enc ( 4 ) ? On donnera sans justifier l’arrondi à 10 – 6 des valeurs.

b. Conjecturer un encadrement de u n . 6. On rappelle que u n =

un

e n

pour tout entier n ≥ 1.

a. Montrer que 1

n e ≤ u n1

n pour tout entier n ≥ 1.

b. En déduire la limite de la suite ( u n ).

7. On rappelle que n u n = e un pour tout entier n ≥ 1.

Déterminer la limite de la suite ( n u n ).

(2)

Terminale MS Continuité Annexe 1

Annexe 2

from math import * def g ( x , n ) :

y = exp ( - x ) - n * x return ( y )

def enc ( n ) : a = g ( 1 / n , n )

b = g ( 1 / ( n * exp ( 1 ) , n ) return ( a , b )

(3)

Terminale MS Continuité

1.a. • g n ( 0 ) = n  0 – e – 0 = – 1.

• g n ( 1 ) = n  1 – e – 1 = n – 1 e. 2 < e < 3 donc 1

3 < 1 e < 1

2 donc 1

e ≤ 1 ≤ n donc n – 1

e > 0 donc g n ( 1 ) > 0.

1.b. • n > 0 donc

+

lim

x n x = + ∞.

+

lim

x – x = – ∞ et

lim

y  e y = 0 donc

+

lim

x e – x = 0 par composée.

+

lim

x n x = + ∞ et

+

lim

x e – x = 0 donc

+

lim

x n x – e – x = + ∞ par différence.

On en déduit que

+

lim

x  g n ( x ) = + ∞.

1.c. Pour tout réel x de [ 0 ; + ∞ [, g n ( x ) = n x – e – x donc g n ' ( x ) = n + e – x. n > 0 et e – x > 0 donc n + e – x > 0 donc g n ' ( x ) > 0.

g n ' > 0 sur [ 0 ; + ∞ [ donc g n est strictement croissante sur [ 0 ; + ∞ [.

x 0 + ∞ g n ' ( x ) +

g n ( x )

+ ∞

– 1 2.a. • g n est dérivable sur [ 0 ; + ∞ [ donc g n est continue sur [ 0 ; + ∞ [.

• g n est strictement croissante sur [ 0 ; + ∞ [.

• L’image par g n de [ 0 ; + ∞ [ est [ – 1 ; + ∞ [.

• Le réel 0 appartient à [ – 1 ; + ∞ [.

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation g n ( x ) = 0 a une seule solution dans [ 0 ; + ∞ [.

2.b. g n ( x ) = 0 ssi n x – e – x = 0 ssi e – x = n x.

On en déduit que l’équation ( E n ) possède une seule solution dans [ 0 ; + ∞ [.

2.c. g n ( 0 ) < 0 < g n ( 1 ) donc g n ( 0 ) < g n ( u n ) < g n ( 1 ) et g n est strictement croissante sur [ 0 ; + ∞ [ donc 0 < u n < 1.

On en déduit que, pour tout entier n ≥ 1, u n appartient à [ 0 ; 1 ].

3.a. Voir le graphique donné en annexe 1.

3.b. On conjecture que la suite ( u n ) est décroissante et a pour limite 0.

(4)

Terminale MS Continuité 4.a. g n + 1 ( u n + 1 ) = 0

donc ( n + 1 ) u n + 1e u + 1n = 0 donc e u + 1n = ( n + 1 ) u n + 1 . g n ( u n + 1 ) = n u n + 1e u + 1n

donc g n ( u n + 1 ) = n u n + 1 – ( n + 1 ) u n + 1 donc g n ( u n + 1 ) = – u n + 1

u n + 1 ≥ 0 donc – u n + 1 ≤ 0 donc g n ( u n + 1 ) ≤ 0.

4.b. g n ( u n + 1 ) ≤ 0

donc g n ( u n + 1 ) ≤ g n ( u n ) or g n est croissante sur [ 0 ; + ∞ [ donc u n + 1 ≤ u n .

On en déduit que la suite ( u n ) est décroissante.

4.c. La suite ( u n ) est décroissante et minorée par 0 donc la suite ( u n ) est convergente.

5.a. • enc ( 1 ) renvoie : ( - 0.632121 , 0.324321 )

• enc ( 2 ) renvoie : ( - 0.393469 , 0.464107 ) • enc ( 3 ) renvoie : ( - 0.283469 , 0.516715 ) • enc ( 4 ) renvoie : ( - 0.221199 , 0.544253 ) 5.b. On conjecture que 1

n e ≤ u n1 n .

6.a. Pour tout entier n ≥ 1, u n =

un

e n

.

0 ≤ u n ≤ 1 donc – 1 ≤ – u n ≤ 0 donc e – 1e un≤ e 0 donc 1

ee un≤ 1 donc 1

n e

un

e n

1

n donc 1

n e ≤ u n1 n . 6.b. Pour tout entier n ≥ 1, 1

n e ≤ u n1 n .

lim + n 

1

n e = 0 et lim + n 

1 n = 0.

D’après le théorème des gendarmes, lim +

n u n = 0.

7. Pour tout entier n ≥ 1, n u n = e un. lim +

n u n = 0 donc lim +

n – u n = 0 et lim +

x e x = e 0 = 1 donc

+

lim

n  un

e = 1 par composée donc

+

lim

n n u n = 1.

(5)

Terminale MS Continuité Annexe 1

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