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Le théorème d André-Chudnovsky-Katz au sens large

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Academic year: 2022

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HAL Id: hal-02024884

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Preprint submitted on 27 May 2021

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Le théorème d’André-Chudnovsky-Katz “ au sens large ”

Gabriel Lepetit

To cite this version:

Gabriel Lepetit. Le théorème d’André-Chudnovsky-Katz “ au sens large ”. 2019. �hal-02024884v4�

(2)

Le théorème d’André-Chudnovsky-Katz « au sens large »

Gabriel Lepetit 27 mai 2021

Résumé

LesE- etG-fonctions de Siegel ont été définies en deux sens, strict et large, conjectu- ralement équivalents. En reprenant et complétant une esquisse d’André [5], nous énon- çons et démontrons l’analogueau sens largedu théorème d’André-Chudnovsky-Katz, qui est un théorème de structure sur lesG-opérateursau sens strict (il s’agit d’opéra- teurs différentiels annulant lesG-fonctionsau sens strict). Nous en déduisons un théo- rème de structure sur lesE-opérateursau sens large, qui sont des opérateurs différen- tiels annulant lesE-fonctionsau sens large. En application de ce dernier théorème, nous donnons une nouvelle preuve d’une généralisation par André [6] du théorème de Siegel- Shidlovskii sur l’indépendance algébrique des valeurs desE-fonctionsau sens large.

1 Introduction

Le but de cet article est d’étudier la structure desG-opérateurs et desE-opérateursau sens large. Nous commençons par donner quelques éléments de contexte. Les notions deE- et deG-fonctions ont été introduites par Siegel dans [31] pour généraliser le théorème de Lindemann-Weierstrass sur l’indépendance algébrique des valeurs de la fonction exponen- tielle.

Définition 1

UneG-fonctionau sens large est une sérief(z)= P

n=0

anzn∈Q‚zƒtelle que

a) f est solution d’une équation différentielle linéaire à coefficients dansQ(z);

b) Pour tout ε>0, il existe n1(ε)∈N tel que ∀n Ê n1(ε), an É(n!)ε, où an est la maisonde an, c’est-à-dire le maximum des modules des conjugués (au sens de Galois) dean;

c) Pour tout ε>0, il existe n2(ε)∈N tel que ∀n Ên2(ε), den(a0, . . . ,an)É(n!)ε, où den(a0, . . . ,an) est le plus petitd ∈N tel qued a0, . . . ,d an sont des entiers algé- briques.

On dispose d’une notion deG-fonctionau sens strict, plus restrictive que la définition 1, qui est en fait celle considérée par Siegel.

Définition 2

UneG-fonctionau sens strict est une sérief(z)= P

n=0

anzn∈Q‚zƒtelle que a) f est solution d’une équation différentielle linéaire à coefficients dansQ(z);

b) Il existeC1>0tel que∀n∈N, an ÉC1n+1;

c) Il existeC2>0tel que∀n∈N, den(a0, . . . ,anC2n+1.

(3)

On définit de la même manière les E-fonctions au sens strict (resp. au sens large) qui sont les séries f(z)= P

n=0

an

n!zn∈Q‚zƒvérifiant la conditiona)de la définition 2 (resp. 1) et telles que lesanvérifient les conditionsb)etc)de la définition 2 (resp. 1). Siegel a étudié les E-fonctionsau sens large.

L’étude desE- etG-fonctions a été développée, entre autres, par Shidlovskii [29], puis poursuivie par Nesterenko et Shidlovskii [23], André [4, 5], Bombieri, Galochkin [16] et Beu- kers [9].

Siegel a étudié lesE-fonctionsau sens large, mais n’a fait qu’évoquer lesG-fonctionsau sens large. Il est conjecturé que les définitions large et stricte sont équivalentes pour lesE- etG-fonctions, mais cela n’a pas été prouvé à ce jour. Précisément, on sait que la condition b)de la définition 1 implique, sous la conditiona), la conditionb)de la définition 2, car on peut appliquer des estimation « Gevrey » dues à Perron (cf [24], voir aussi [26, pp. 85–86]) ; en revanche, on ne sait pas si la conditionc)de la définition 1 implique la conditionc)de la définition 2 (cf [4, p. 715]).

Un théorème fondamental de D. et G. Chudnovsky (voir [12]) affirme que l’équation diffé- rentielle minimale satisfaite par uneG-fonctionau sens strictvérifie une condition de crois- sance modérée appeléecondition de Galochkin. Ceci implique, entre autres, qu’elle est fuch- sienne. Par ailleurs, la condition de Galochkin est équivalente à une condition introduite par Bombieri, qui implique par un théorème de Katz [14, p. 98] que l’équation différentielle mi- nimale en question est à exposants rationnels en tout point de P1(C) (théorème d’André- Chudnovsky-Katz).

Dans [5, pp. 746–747], André esquisse la preuve du fait quela singularité en l’infini d’un opérateurφd’ordre minimal annulant une G-fonction au sens large est régulière.Son argu- ment est le suivant :

« Pour établir le point ci-dessus, le critère p-adique de régularité de Katz montre qu’il suffit d’établir que P

p(v)ÉnlogRv(φ, 1)=o(logn). Avec les notations de [3], on voit facilement que cette condition découle d’une estimation

X

v finie

hv,n(φ)= X

p(v)Én

hv,n(φ)=o(logn);

or les estimations de [3, p. 122] donnent

X

v finie

hv,n(φC11 n

X

v

log max(1,|a0|v, . . . ,|anC2|v)+C3 (pour des constantes Ci indépendantes de n), et la condition(G)équivaut à

1 n

X

v finie

log max(1,|a0|v, . . . ,|an|v)=o(logn). »

La condition (G) correspond aux pointsb)etc)de la définition 1 (cf [4, p. 714]).

Dans cet article, nous commençons par donner les détails de l’esquisse d’André et nous compléterons ensuite ses résultats. Précisément, nous allons donner la démonstration du théorème suivant. Il est implicite dans l’esquisse ci-dessus d’André, même s’il ne l’énonce pas formellement.

Théorème 1

Soit f(z)∈Q‚zƒuneG-fonctionau sens large, etL∈Q(z)

· d dz

¸

un opérateur différentiel non nul d’ordre minimalµpour f tel queL(f(z))=0. Alors

• L’opérateurLest unG-opérateurau sens large.

(4)

• L’opérateurLest globalement nilpotent.

• Tout point deP1(C)est un point singulier régulier deLet les exposants deLen tout point sont dansQ.

La preuve de ce résultat fera l’objet des sections 2 et 3. Dans la partie 4, nous raffinerons le théorème 1 en précisant la forme d’une base de solutions d’unG-opérateurau sens large.

C’est l’objet du théorème suivant, qui constitue un analogue complet du théorème d’André- Chudnovsky-Katz.

Théorème 2

Soitf(z)uneG-fonctionau sens largeetL∈Q(z)[d/dz] \ {0}un opérateur différentiel tel queL(f(z))=0et d’ordre minimalµpourf.

Alors au voisinage de toutα∈P1(Q), il existe une base de solutions deLy(z)=0de la forme

(f1(z−α), . . . ,fµ(z−α))(zα)Cα,

Cα∈Mµ(Q)est triangulaire supérieure à valeurs propres dansQ et les fi(u)∈Q‚uƒ sont desG-fonctionsau sens large.

L’étude de la structure desG-opérateurs permet d’obtenir des informations sur les équa- tions différentielles satisfaites par les E-fonctions. En effet, via la transformée de Fourier- Laplace des opérateurs différentiels, André (cf [4, 5]) en a déduit que touteE-fonctionau sens strict était annulée par unE -opérateurdont les seules singularités sont 0 et∞, la pre- mière étant régulière. André a déduit du théorème d’André-Chudnovsky-Katz un théorème de structure sur lesE-opérateurs. La section 6 sera consacrée à la définition et à l’étude des E-opérateursau sens large, à l’aide du théorème 1, et à ses conséquences diophantiennes sur les valeurs desE-fonctionsau sens large.

2 Un analogue « large » du théorème des Chudnovsky

Soitf=t(f1(z), . . . ,fµ(z))∈Q‚zƒµvérifiantf0=Gf, avecG∈Mµ

³Q(z)´

. SoitGs∈Mµ

³Q(z)´ la matrice telle quef(s)=Gsf. On montre par récurrence que lesGs, s∈N, sont liées par la relation

Gs+1=GsG+G0s, (1)

G0s désigne la matriceGsdérivée coefficient par coefficient. On prendT(z)∈Q[z] le plus petit dénominateur commun de tous les coefficients de la matriceG(z). On montre égale- ment par récurrence sursque

∀s∈N, TsGs∈Mµ³ Q[z]´

. (2)

2.1 Condition de Galochkin au sens large

Rappelons tout d’abord la définition de la condition de Galochkinau sens strict, intro- duite dans [16].

Définition 3 (Galochkin)

On note, pour s ∈N, qs le plus petit dénominateur supérieur ou égal à 1 de tous les coefficients des coefficients des matricesT(z)mGm(z)

m! , quandm∈{1, . . . ,s}. On dit que le systèmey0=G y vérifie la condition de Galochkin au sens strictsi

C>0 : ∀s∈N, qsÉCs+1.

(5)

On a alors le théorème fondamental suivant (cf [12, p. 17]).

Théorème 3 (Chudnovsky)

Sous les mêmes hypothèses que ci-dessus, si pour tout i ∈{1, . . . ,µ}, fi(z) est uneG- fonction au sens strictet(f1(z), . . . ,fµ(z))est une famille libre surQ(z), alorsGvérifie la condition de Galochkinau sens strict.

Dans [5, p. 747], André a introduit, en la formulant différemment, la condition suivante, qui est adaptée au contexte desG-fonctionsau sens large.

Définition 4 (André)

Avec les notations de la définition précédente, on dit que le systèmey0=G y vérifie la condition de Galochkinau sens largesi

∀ε>0,∃s0(ε)∈N: ∀sÊs0(ε), qsÉ(s!)ε.

Rappelons que siL= µ d

dz

µ

+a1(z) µ d

dz

µ−1

+ · · · +an(z)6≡0 est un opérateur différentiel d’ordreµà coefficients dansQ(z), la matrice compagnon deLest

AL=

0 1 (0)

. .. ...

(0) 0 1

aµ . . . −a1

 .

On sait que les solutions du système différentiely0=G ysont les vecteursf=t(f,f0, . . . ,f(µ−1)) quandL(f(z))=0.

Suivant la définition desG-opérateurs au sens strict (cf [4, p. 718]), on peut considérer une notion analogueau sens large.

Définition 5

SoitL∈Q(z) [d/dz]. On dit queLest unG-opérateurau sens large(resp.au sens strict) si la matrice compagnon deLvérifie la condition de Galochkinau sens large(resp.au sens strict).

La dénomination de «G-opérateur » est justifiée par la proposition suivante.

Proposition 1

SoitL∈Q(z) [d/dz]unG-opérateur au sens largenon nul d’ordreµ. Soitα∈Qun point ordinaire deL, alors il existe une base de solutions de l’équationL(y(z))=0au voisinage deαde la forme(f1(z−α), . . . ,fµ(z−α)), où lesfi(u)sont desG-fonctionsau sens large.

Il est bien connu que cette proposition est également vraie pour lesG-opérateursau sens strict, la preuve ci-dessous s’adaptantmutatis mutandis.

Le théorème d’André-Chudnovsky-Katz affirme entre autres qu’unG-opérateurau sens stricta au voisinage de toute singularitéαune base de solutions de la forme (f1(z−α), . . . ,fµ(z−

α))(z−α)Cα, oùCα∈Mµ(Q) a ses valeurs propres rationnelles et lesfi(u) sont desG-fonctions au sens strict. On verra dans la section 4 que ceci est également vraiau sens large.

Démonstration de la proposition 1. Notons G(z)= AL(z) la matrice compagnon de L.

Commeαest un point ordinaire, on sait qu’il existe une base de solutions (f1(z−α), . . . ,fµ(z− α)) de l’équationL(y(z))=0, où lesfi sont holomorphes au voisinage de 0. On sait aussi que la matrice wronskienne de cette baseY(z)∈Mµ(Q‚zƒ) a un rayon de convergence non nul et est telle queY(α)∈GLµ(Q) etY0(z)=G(z)Y(z), de sorte queY(s)(z)=Gs(z)Y(z) pour tout

(6)

entiers. D’où

Y(z)= X n=0

Y(n)(α)(z−α)n= µ

X

n=0

Gn(α)

n! (z−α)n

Y(α). (3)

Puisqueαest un point ordinaire,G(z) n’a pas de pôle enαet la condition de Galochkinau sens largeimplique qu’il existe une suite d’entiers positifs (qn)n∈Ntelle que

n∈N,∀kÉn, qnGk(α)

k! ∈Mµ³ OQ´

et ∀ε>0,∃n0(²)∈N, ∀nÊn0(ε),qnÉ(n!)ε. Ainsi, selon (3), on a∀n∈N, den(Y(α))qnY(n)(α)∈Mµ³

OQ´

. Ainsi, lesfi(z) vérifient la condi- tionc)de la définition 1.

Par ailleurs, soitKun corps de nombres galoisien contenant αtel queL ∈K(z) [d/dz].

Soit τ∈Gal (K/Q). Si L =

µ

P

k=0

ak(z) µ d

dz

k

, ak(z)∈K[z], on définit Lτ:=

µ

P

k=0

akτ(z) µ d

dz

k

en étendant l’action deτàQ‚zƒcoefficient par coefficient.

Alors pour touti∈{1, . . . ,µ},Lτ(fiτ(z−σ(α)))=0. De plus, commeaµ(α)6=0, on aaτµ(τ(α))= τ(aµ(α))6=0, de sorte queτ(α) est un point ordinaire deLτ. Ainsi, fiτest analytique au voi- sinage de 0. Ceci valant pour tout τ, on en déduit que, si fi(z)= P

n=0

bi,nzn, il existe une constanteC >0 telle que∀n∈N, bi,n ÉCn+1, ce qui prouve que lesfi(z) vérifient la condi- tionb)de la définition 1.

L’ensemble desG-opérateursau sens largepossède une structure algébrique analogue à celle de l’ensemble desG-opérateursau sens strict. On a les propriétés suivantes (listées par André dans le cas strict [4, p. 720]) :

• Un produit deG-opérateursau sens largeest unG-opérateurau sens large.

• Tout diviseur à droite d’unG-opérateurau sens largedansQ(z)[d/dz] est unG-opérateur au sens large.

• L’opérateur adjointLd’unG-opérateurau sens large Lest unG-opérateurau sens large.

• SiLetL0sont deuxG-opérateursau sens large, alors ils admettent un multiple commun à gauche qui est unG-opérateurau sens large(propriété de Ore à gauche).

La démonstration de ces propriétés est donnée dans la section 5. Elle consiste en l’adap- tation de propriétés des modules différentiels données dans le cas strict par André [3, §IV], qui sont détaillées dans [21].

Le but de la suite de cette partie est de démontrer un analogueau sens largedu théo- rème 3.

Théorème 4

Le théorème 3 reste vrai si l’on remplace « strict » par « large ».

Ceci implique en particulier que si f est uneG-fonctionau sens large, tout opérateur différentiel non nulL à coefficients dansQ(z) tel queL(f(z))=0 et d’ordre minimal pour f est unG-opérateurau sens large. En effet, la condition de minimalité sur l’ordreµde L impose que (f, . . . ,f(µ−1)) est libre surQ(z). Le théorème 4 assure donc que la condition de Galochkinau sens largeest vérifiée pourAL.

Notons que la proposition 1 constitue une réciproque partielle du théorème 4.

(7)

2.2 Démonstration du théorème 4

La preuve que nous allons présenter est une adaptation de la preuve originale du théo- rème 3 [12, pp. 38–50] au cas desG-fonctionsau sens large. Les six premières étapes de la démonstration sont identiques dans les cas strict et large puisque les conditionsb)etc)de la définition d’uneG-fonction (définitions 1 ou 2) n’y sont pas utilisées, y compris dans le lemme de Shidlovskii évoqué dans l’étape 3. Dans [10, pp. 21–22], Beukers a reformulé les idées des Chudnovsky en une trame condensée ; à des fins de clarté, nous suivrons cette trame dans les étapes 1 à 6, en la détaillant. La nouveauté de cette démonstration est l’étape 7, dans laquelle les conditionsb)etc)de la définition 1, spécifiques auxG-fonctionsau sens large, seront utilisées. André a également mentionné dans [5, pp. 746–747] un argument qui permet d’adapterau sens largela preuve du théorème des Chudnovsky donnée dans [3, pp.

112–123], mais sans donner de détails.

Remarquons tout d’abord que siK est un corps de nombres contenant les coefficients des coefficients deG(z) et les fi(0), 1Éi ɵ, alorsG∈Mµ(K(z)) etf∈K‚zƒµ. En effet, cela découle de l’équationf0=Gfen écrivantG comme un élément deMµ¡

K((z))¢

et identifiant les coefficients du développement en série de Laurent de part et d’autre.

Notations et hypothèses:

On aT(z)∈K[z], mais quitte à multiplier par un entier adapté, on peut supposer que T(z)∈OK[z] etT(z)G(z)∈Mµ(OK[z]).

On noteD= d

dz la dérivation usuelle surK‚zƒ. SiA∈K‚zƒet`∈N, on note A=O¡

z`¢

s’il existeB∈K‚zƒtel queA=z`B. On noteδ=[K:Q] le degré du corps de nombresK.

Étape 1: Soient N,M ∈N. On introduit des approximants de Padé (Q,P) de type II de paramètres (N,M) associés à fdont on laisse les paramètres libres pour l’instant, c’est-à- dire des polynômes Q,P1, . . . ,Pµ ∈K[z] tels que deg(Q)É N, max

1Éiɵdeg(PiN et si P = (P1, . . . ,Pn), alors

QfP=O¡ zN+M¢

.

On ne discutera des conditions d’existence de tels approximants de Padé que dans l’étape 7.

On a pour tout m <N+M, Tm

m!(D−G)mP∈K[z], ce qui est immédiat en utilisant la formule de Leibniz. De plus, on va montrer par récurrence surmque

m∈N, Tm

m!Q(m)fTm

m!(D−G)mP=O¡

zN+M−m¢

. (4)

Pourm=1, c’est la définition.

Supposons la relation vraie au rangm. Alors en dérivant (4) et en multipliant parT, on a (mT0TmQ(m)+Tm+1Q(m+1)f+Tm+1Q(m)f0

mT0Tm(D−G)mPTm+1D(DG)mP=O¡

zN+M(m+1)¢ . Or,f0=Gfdonc en multipliant (4) par la matrice polynomialeT Get en retranchant à l’équa- tion précédente, on obtient

(mT0TmQ(m)+Tm+1Q(m+1)f−mT0Tm(D−G)mP

Tm+1(D−G)m+1P=O¡

zN+M(m+1)¢ . Finalement, commeTmQ(m)fTm(D−G)mP=O¡

zN+Mm¢

, on a le résultat voulu.

(8)

Étape 2: Montrons que

s∈N, Gs s!P=

s

X

j=0

(−1)j

(s−j)!j!Dsj(D−G)jP. (5) On procède par récurrence :

• pours=1,Gs=GetGP=D(P)−(D−G)P.

• Soits∈N, supposons la formule (5) vraie pours. AlorsGs+1=GsG+Gs0, donc Gs+1

(s+1)!= 1 s+1

µGs

s!G+Gs0 s!

. Donc en appliquant l’hypothèse de récurrence au vecteurGP, on a

Gs+1

(s+1)!P= 1 s+1

à s

X

j=0

(−1)j

(s−j)!j!Ds−j(D−G)j(GP)+G0s s! P

! . Or,

Gs0 s!P=

µGs s!P

0

Gs s!P0=

s

X

j=0

(−1)j

(s−j)!j!Ds+1−j(D−G)jP

s

X

j=0

(−1)j

(s−j)!j!Ds−j(D−G)jDP.

Donc, en remarquant que∀j∈{0, . . . ,s}, (D−G)jD=(D−G)j+1+(D−G)jG, on a Gs+1

(s+1)!P= 1 s+1

à s

X

j=0

(−1)j

(s−j)!j!Ds+1j(D−G)jP

s

X

j=0

(−1)j

(s−j)!j!Dsj(D−G)j+1P

!

= 1 s+1

à s

X

j=0

(−1)j

(s−j)!j!Ds+1−j(D−G)jP+

s+1X

k=1

(−1)k

(s−k+1)!(k−1)!Ds+1−k(D−G)kP

!

= 1 s+1

à s

X

j=1

(−1)j(s+1−j)+j

(s+1−j)!j! Ds+1−j(D−G)jP+

s+1

X

k=1

(−1)k

(s−k+1)!(k−1)!Ds+1k(D−G)kP+Ds+1

s! P+(−1)s+1

s! (D−G)s+1P

!

=

s+1X

j=0

(−1)j

(s+1−j)!j!Ds+1−j(D−G)jP.

Cela conclut la récurrence.

Étape 3: Utilisation du lemme de Shidlovskii.

On note pourh∈N,Ph= 1

h!(D−G)hPetR(h)∈Mµ(K(z)) la matrice dont la jèmecolonne est¡h+j1

j−1

¢Ph+j1. Alors la formule (5) implique immédiatement que Gs

s!R(0)=

s

X

j=0

(−1)j

(s−j)!Ds−jR(j).

Selon le lemme de Shidlovskii pour les approximants de Padé de type II (voir [3, p. 115]), la matrice R(0) est inversible pourvu que M soit assez grand ce qui sera réalisé quand on spécifieraM etNdans l’étape 7. Donc

TsGs s! =

s

X

j=0

(−1)jTs+µ−1Ds−jR(j)

(s−j)! (Tµ−1R(0))−1. (6) Étape 4: Soitd le dénominateur commun des coefficients d’ordres inférieurs àN+M du développement en série entière de f. On suppose trouvés des approximants de Padé

(9)

Q,P1, . . . ,Pµ∈K[X] dedf, c’est-à-dire des polynômes tels que deg(Q)ÉN, max

1Éiɵdeg(PiN et

Q(df)−P=O¡ zN+M¢

,

avecP=(P1, . . . ,Pµ). On fait l’hypothèse supplémentaire queQ est un polynôme à coeffi- cients entiers algébriques. On peut alors appliquer les résultats des trois étapes précédentes, dont on conservera les notations, àQ etPpuisquedfest encore solution du système diffé- rentiely0=G y.

Selon (4), on a

∀mÉN+M, Tm

m!Q(m)(df)TmPm=O¡

zN+Mm¢

. (7)

On remarque que Q(m)

m! ∈OK[z] puisqueQ est à coefficients dansOK. On en déduit que si N+Mm> max

1Éiɵdeg(Pi,m), les coefficients deTmPmsont des éléments deOK[z].

Montrons par récurrence surmque

1Éiɵmaxdeg(TmPi,mN+t m. (8)

• Pourm=0, il s’agit simplement du fait que les composantes dePsont de degrés inférieurs àN.

• Pourm=1,TP0T GPa des composantes de degrés inférieurs àN+t, car les coefficients deT(z)Gsont de degrés bornés part.

• Soitm∈N, supposons le résultat vrai au rangm. Alors

(D−G)(Tm(D−G)mP)=mT0Tm1(D−G)mP+TmD(DG)mPTmG(DG)mP

=mT0Tm1(D−G)mP+Tm(D−G)m+1P.

Donc

Tm+1(D−G)m+1P=(D−G)(Tm(D−G)mP)mT0Tm(D−G)mP.

Or, en utilisant à la fois l’hypothèse de récurrence et le casm=1, on voit queT(D−G)(Tm(D− G)mP) a ses composantes de degrés bornés parN+mt+t=N+(m+1)t; par ailleurs, l’hy- pothèse de récurrence nous assure quemT0Tm(D−G)mPa des composantes de degrés in- férieurs àt+N+mt=N+(m+1)t. On en déduit le résultat souhaité (8).

On déduit, à condition queN+MmÊN+t m, c’est-à-dire mÉ M

t+1, (9)

que TmPm ∈OK[z]µ. Ceci implique immédiatement que si j est un entier naturel tel que j+µ−1É M

t+1, alorsTj+µ−1R(j) est une matrice à coefficients dansOK[z]. En particulier, Tµ−1R(0)∈Mµ(OK[z]).

Montrons à présent que

∀s∈N, s+µ−1É M

t+1, ∀j∈{0, . . . ,s}, Ts+µ−1

(s−j)!DsjR(j)∈Mµ(OK[z]). (10) Rappelons la formule de Leibniz généralisée : si`∈Netf1, . . . ,f`sontlfonctions dérivables kfois, alors

(f1. . .f`)(k)= X

i1+···+i`=k

à k i1, . . . ,i`

! Y

1ÉtÉk

ft(it).

(10)

En particulier, considérons un élément quelconqueW∈OK[z]. Alors (W`)(k)

k! = X

i1+···+i`=k

Y

1ÉtÉ`

W(it) it! .

Sik<`, pour tout (i1, . . . ,i`) intervenant dans la somme, chaque terme Q

1ÉtÉ`

W(it)

it! contient au moins`kindices de dérivation nuls. Ainsi, comme pour tout entiers,W(s)

s! ∈OK[z], on a(W`)(k)

k!W`−kOK[z].

Déduisons de cela par récurrence le résultat (10). Pours=0, c’est évident.

Soits∈N, supposons (10) vrai pours0∈{0, . . . ,s−1}. Par la formule de Leibniz, on a, pour j∈{0, . . . ,s},

Dsj¡

Ts+µ−1R(j)¢ (s−j)! =

sj

X

k=0

Ãsj k

!

× 1 (s−j)!

¡Ts+µ−1¢(k)

Ds−j−kR(j)

=Ts+µ−1Ds−jR(j) (s−j)! +

sj

X

k=1

¡Ts+µ−1¢(k)

k!

Ds−j−kR(j) (s−jk)!

=Ts+µ−1Ds−jR(j) (s−j)! +

sj

X

k=1

UkTs+µ−1−kDs−k−jR(j) (s−kj)!, avecUk∈OK[z], en utilisant la remarque précédente.

Or, d’une part,

Ds−j¡

Ts+µ−1R(j)¢

(s−j)! ∈Mµ(OK[z]),

puisqueTs+µ−1=TsjTj+µ−1R(j)∈Mµ(OK[z]), et d’autre part, par hypothèse de récurrence,

k∈{1, . . . ,sj}, Ts−k+µ−1Ds−k−jR(j)

(s−kj)! ∈Mµ(OK[z]).

Par conséquent,

Ts+µ−1Ds−jR(j)

(s−j)! ∈Mµ(OK[z]), ce qu’il fallait démontrer.

Étape 5: Lien entreqset taille des coefficients de det(Tµ−1R(0)).

Selon (6), on a pour touts∈N, TsGs

s! = 1 V

Xs

j=0

(−1)jTs+µ−1Ds−jR(j) (s−j)!

¡com¡

Tµ−1R(0)¢¢T

, (11)

V =det(Tµ−1R(0))∈OK[z], et selon (10), tous les termes de la somme sont à coefficients entiers algébriques à condition ques+µ−1É M

t+1.

Prenons pour s ∈N, qs le dénominateur des coefficients des coefficients des matrices T G,T2G2

2!, . . . ,TsGs

s!, comme dans la définition 4. Pour estimerqssous la conditions+µ−1É M

t+1, il suffit donc d’obtenir une estimation de la maison des coefficients deVs. C’est ce que permet de faire ce lemme :

(11)

Lemme 1

SoientU ∈OK[z],V ∈OK[z],W ∈K[z]tels queU=V W. NotonsV = P`

i=0

vizi, alors pour toutktel quevk6=0, on aNK/Q(vk)W∈OK[z].

Démonstration. Introduisons la valuation de Gauss associée à un premierpdeOK: vp

à q X

i=0

aizi

!

:= min

0ÉiÉq(vp(ai)),

vpest la valuationp-adique associée à l’idéal premierpdeOK. En utilisant les propriétés de valuation, on a vp(U)=vp(V)+vp(W) donc vp(W)Ê −vp(V) car, commeU est à coeffi- cients entiers algébriques,vp(U)Ê0.

NotonsS l’ensemble fini des premiers divisant tous les coefficients deV. Alors siW =

d

P

i=0

wizi, pour tout i ∈ {0, . . . ,d} et p S, on a vp(wi)+vp(V) Ê vp(V)+vp(W) Ê0, donc Q

p∈S

pvp(V)(wi)⊂OK. En particulier, sivk6=0, commevk∈ Q

p∈S

pvp(V)=pgcd((v0), . . . , (v`)), on a

∀i∈{0, . . . ,d}, (vk)(wi)⊂OK. D’où commeNK/Q(vk)∈(vk)∩Z, on aNK/Q(vk)W ∈OK[z].

PourW = P`

i=0

wizi ∈K[z], on définitσ(W)=max

0ÉiÉ` wi , lamaisondeW. Selon le lemme 1 appliqué à la formule (11) avec

U=

s

X

j=0

(−1)jTs+µ−1DsjR(j) (s−j)!

¡com¡

Tµ−1R(0)¢¢T ,

V =det(Tµ−1R(0)) etW =TsGs

s!, on a donc ici

∀s∈N tel que s+µ−1É M

t+1, qsÉσ(V)δ. (12) Étape 6: Majoration de la taille des coefficients de det(Tµ−1R(0))∈OK[z] en fonction de la maison deQ.

Par commodité, on s’intéresse à

Ve=det(P,TP1, . . . ,Tµ−1Pµ−1)=Tµ(µ−1)2 det(R(0))=Tµ(µ−1)2 V.

Le lemme suivant nous assure que ce changement n’introduit qu’une constante multiplica- tive dépendant seulement deGdans la majoration recherchée.

Lemme 2

Soient A,B∈K[z]etC=AB, alorsσ(C)É(deg(A)+deg(B)+1)σ(A)σ(B).

Démonstration. On écritA=

p

P

i=0

aizi etB =

q

P

i=0

bizi, de sorte queC=

p+q

P

j=0

cjzj, avec, pour tout j∈{0, . . . ,p+q},cj=

j

P

i=0

aibji.

(12)

Soitτ:K,→Qun plongement. Alors

|τ(cj)| É

j

X

i=0

|τ(ai)||τ(bji)| É(j+1)σ(A)σ(B)É(p+q+1)σ(A)σ(B), si bien qu’en prenant le maximum sur j et surτ, on obtient l’inégalité voulue.

Soitm∈{0, . . . ,µ−1}. SiQ=

N

P

i=0

qizi, alors Q(m)

m! =

N−m

X

i=0

(i+1) . . . (i+m)

m! qm+izm=

N−m

X

i=0

Ãm+i i

!

qm+izm.

De la majoration¡m+i

i

¢É2m+i É2N, il s’ensuit queσ µQ(m)

m!

É2Nσ(Q). Selon le lemme 2 appliqué àA=TmetB=Q(m)/m!,

σ µ

TmQ(m) m!

É2Nσ(Q)σ(Tm)(mt+Nm+1)

É2Nσ(Q)σ(Tm)((µ−1)(t−1)+N+1)Éc1Nσ(Q)σ(Tm), avecc1constante dépendant seulement deGpourN suffisamment grand.

En appliquantmfois le le lemme 2, on obtient

σ(Tmc2Nσ(T)σ(Tm−1)É · · · Éc3Nσ(T)m,

c2etc3sont des constantes. Dans ce qui suit, lesci désigneront des constantes.

Ainsi, pourNsuffisamment grand, σ

µ

TmQ(m) m!

Éc4Nσ(Q)σ(T)mÉc5Nσ(Q).

SoitθN+M le maximum des maisons desN+M premiers coefficients du développement en série entière des fi, etdN+M leur dénominateur commun. En répétant le raisonnement de la preuve du lemme 2, on voit que la maison de la partie polynomiale tronquée à l’ordre N+t mdeTmQ(m)

m! (dN+Mfi) est majorée par

c5Nσ(Q)(dN+MθN+M)(N+t m+1)Éc6Nσ(Q)(dN+MθN+M).

Or, siN+M−(µ−1)ÊN+t(µ−1), selon (7), cette partie polynomiale estTmPm, donc, avec une extension de la notationσaux vecteurs colonnes,

m∈{0, . . . ,µ−1}, σ(TmPmc7Nσ(Q)dN+MθN+M. On aVe= P

τ∈Sµε(τ)µ−1Q

j=0

TjPτ(j),j. Pourτ∈Sµ, en appliquant le lemme 2 à A=Pτ(0),0etB =

µ−1

Q

j=1

TjPτ(j),j, on a σ

õ−1 Y

j=0

TjPτ(j),j

!

Éσ(Pτ(0),0)σ õ−1

Y

j=1

TjPτ(j),j

!

(µ(N+t(µ−1)+1)

(13)

en utilisant (8). En itérant le procédé, on obtient une constantec8telle que σ

õ−1 Y

j=0

TjPτ(j),j

!

Éc7µNσ(Q)µdNµ+MθµN+Mc8N Éc9Nσ(Q)µdµN+MθNµ+M. Donc par inégalité triangulaire

σ(Ve)Éc10Nσ(Q)µdNµ+MθµN+M,

si bien que, commeV =Tµ(µ−1)/2Ve,σ(V)Éc11Nσ(Q)µdNµ+MθµN+M. D’où selon (12),

s∈N, s+µ−1É M

t+1, qsÉσ(V)δÉc12Nσ(Q)µδdNµδ+MθµδN+M. (13) Étape 7: Conclusion à l’aide d’un lemme diophantien.

Rappelons le lemme classique suivant dont une preuve peut être trouvée dans [30, p. 37].

Lemme 3 (Lemme de Siegel)

SoitKun corps de nombres. Considérons un système deméquations linéaires

∀1ÉiÉm,

n

X

j=1

ai jxj=0, (14)

où∀i,j,ai j ∈OK. On note A =max

i,j ai j . Alors si n>m, (14)a une solution non nulle (xj)1ÉjÉn∈OKnvérifiant

1maxÉjÉn xj Éc1(c1n A)n−mm , oùc1>0est une constante dépendant uniquement deK.

Soits∈N. On choisit dorénavantNetM de la forme suivante :N:=2µ(t+1)(s+µ−1) etM:=N/(2µ)=(t+1)(s+µ−1)∈N. En particulier, on a bien M

t+1Ês+µ−1.

Alors l’équation de PadéQ(dN+Mf)P=O¡ zN+M¢

se traduit par un système linéaire de µN

2µ =N

2 équations àN+1 inconnues (les coefficients deQ). Selon le lemme 3, il existe une solutionQ∈OK[z] telle que

σ(Q)Éc10(c10(N+1)θN+M)N+1−NN/2/2Éc13NθN+M, car N

2 ÉN+1−N 2.

C’est à partir de maintenant que l’on va se servir des propriétésb)etc)de la définition 1, qui sont propres auxG-fonctionsau sens large.

Soitε>0. Puisque les composantes defsont desG-fonctionsau sens large, on peut trou- ver une constantec14(ε) telles queθkÉ(k!)εetdkÉ(k!)εpourkÊc14(ε).

On as= bN/(2n(t+1))c −(µ−1), de sorte queM/(t+1)Ês+µ−1 donc selon (13), qsÉc12N(c13NθN+M)µδdNδµ+MθδµN+M. (15) D’une part, les termes géométriquesciN peuvent être dominés à partir d’un certain rang qui dépend deεpar (N!)ε. D’autre part, on a (N+M)É2N. Or, siα>1, selon la formule de Stirling,

(αk)!

(k!)α

p2παk (p

2πk)α

³αk e

´αk

³k e

´αk =rkααk, (16)

(14)

avec (rN)N∈N une suite tendant vers 0. Ainsi, sikest assez grand, (αk)!É(k!)α+1.

Par conséquent, en reprenant l’équation (15), on obtient queqsÉ(N!)c15×ε pour s plus grand qu’un certain rang dépendant deεet de la constantec15.

MaisNÉ2µ(t+1)(s+µ−1)É4µ(t+1)s pours assez grand, donc à partir d’un certain rang, selon (16),N!É(s!)4µ(t+1)+1. Finalement, poursassez grand (relativement àε), on a

sÊs0(ε), qsÉ(s!)c16ε. (17) Il suffit d’appliquer ce résultat àε0= ε

c16 pour obtenir la majoration désirée.

3 Démonstration du théorème 1

Dans cette section, nous allons démontrer le théorème 1 en suivant l’esquisse fournie par André [5, pp. 746–747].

3.1 Reformulation de la condition de Galochkin

On peut reformuler les conditions arithmétiques et analytiques définissant uneG-fonction au sens largeà l’aide des valeurs absolues sur le corps de nombresK.

Proposition 2 (André, [5]) Soit f(z)= P

n=0

anzn∈K‚zƒ. Les conditionsb)etc)de la définition 1 équivalent à 1

n X

v

log max(1,|a0|v, . . . ,|an|v)=o(logn), (18) où la somme porte sur toutes les valeurs absolues (à équivalence près)| · |v surK, finies et infinies.

On rappelle que deux valeurs absolues| · |v et| · |v0sont dites équivalentes s’il existec>0 tel que| · |v0= | · |cv. Les valeurs absolues sur un corps de nombresKsont, à équivalence près, les valeurs absolues p-adiques (ditesfinies)| · |ppour pSpec (OK) et les valeurs absolues infinies| · |τpour tout plongementτ:K,→Cdéfinie par

|ζ|τ=

(|τ(ζ)|1/[K:Q] siτ(K)⊂R

|τ(ζ)|2/[K:Q] sinon.

Pour la démonstration de la proposition 2, on aura besoin du lemme technique suivant : Lemme 4

a) Soit(un)n∈Nune suite de réels etg :R+→R+une fonction croissante tendant vers +∞en l’infini. Alors la condition

max(0,un)=o(g(n)) (19)

est équivalente à la condition

max(0,u0, . . . ,un)=o(g(n)). (20) b) Étant donnée(un)n∈Nune suite de réels positifs, on a

∀ε>0,∃n0(ε)∈N: ∀nÊn0(ε), unÉ(n!)ε (21) si et seulement simax(0, logun)=o(nlogn).

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