[ Brevet des collèges Amérique du Nord 9 juin 2015 \ E

Durée : 2 heures

[ Brevet des collèges Amérique du Nord 9 juin 2015 \

E

1 6 points

1. 5 × 10 ⁶ ×1, 2× 10

⁸

2, 4 × 10 ⁵ = 5 ×1, 2

2, 4 × 10 ⁶ × 10

⁸ 10 ⁵ = 5

2 × 10 ²

10

⁵ = 2, 5× 10

⁷ : réponse B.

2. Pour x = 20 et y = 5, 1 R = 1

20 + 1 5 = 1

20 + 4 20 = 5

20 = 1

4 , donc R = 4 : réponse B.

3. La solde est égale à 120 - 90 = 30 ( pour un prix initial de 120 ( , soit une réduction de 30 120 = 1

4 = 25

100 = 25 % : réponse A.

4. Puisque l’agrandissement est de coefficient 2, l’aire est multipliée par 2 ² = 4. Aire du rectangle avant agrandissement : 5 × 8 = 40 cm ² ; 40 × 4 = 160 cm ² . L’aire du rectangle obtenu après agrandissement est 160 cm ² : réponse C.

E

2 4 points

1. a. La distance totale de cette étape est de 190km.

b. Le cycliste a parcouru les cent premiers kilomètres en 2 heures et 30 minutes.

c. La distance parcourue lors de la dernière demi-heure de course est 20 km (= 190–170).

2. Non car les points correspondants ne sont pas alignés.

E

3 6 points

1. La fréquence d’apparition de la somme 3 est 15 %.

2. La fréquence d’apparition de la somme 1 est 0 %, en effet il est impossible d’obtenir 1, la plus petite somme possible est 2 (1 sur chaque dé).

3. a. Notons A et B les deux dés : Dé A : 1 – Dé B : 2

Dé A : 2 – Dé B : 1.

Il y a deux cas qui permettent d’obtenir une somme égale à 3.

b. Il y a 4 × 4 = 16 cas possibles.

La probabilité d’obtenir la somme 3 est donc 2 16 = 1

8 = 125

1000 = 0, 125 = 12, 5%.

Ce résultat est différent du résultat à la question 1 car seulement 1 000 lancers ont été simulés, ce n’est pas suffisant !

E

4 4 points

Notons x le nombre auquel l’on pense.

• x

• x −10

• (x −10) ² = (x − 10)(x − 10) = x ² − 10x − 10x + 100 = x ² − 20x + 100

• x ² − 20x + 100− x ² = −20x + 100

lijMermoz 1

Brevet des collèges A. P. M. E. P.

Le résultat obtenu est : − 20x + 100.

On résout l’équation : − 20x + 100 = − 340

− 20x = − 440 20x = 440 x = 22.

Le nombre auquel on pense au départ est donc 22.

E

5 4 points

1. On considère que les deux hélicoptères se situent à la même altitude et que le peloton des coureurs roule sur une route horizontale.

2. Dans le triangle AMN : H ∈ [AM], L ∈ [AN] et (LH) // (MN), donc, d’après le théorème de Thalès : AH

AM = AL AN = HL

MN , soit 720

1000 = 720 1000 = 270

MN . Donc MN = 270 × 1000

720 = 375 m.

E

6 4 points

1. 81 h 00 min − 80 h 45 min = 15 min.

La différence entre le temps de course de Leopold Konig et celui de Vincenzo Nibali est de 15 minutes.

2. a. Il s’agit de l’étendue.

b. La médiane est : 80 h 55 min (il y a 4 temps inférieurs et aussi 4 temps supérieurs).

c. Thibaut Pinot a mis 80 h 52 min pour parcourir 3 260,5 km.

80 h 52 min = 80 + 52 60 = 4800

60 + 52

60 h = 4852 60 h.

D’où 3260,5

4 852 60

= 3260,5 × 60

4852 ≈ 40 km.h

¹ .

La vitesse moyenne de Thibaut Pinot est à peu près égale à 40 km.h

¹ .

E

7 8 points

1. Le triangle ADC est rectangle en D, donc d’après le théorème de Pythagore : AC ² = AD ² + DC ²

Soit AC ² = 35, 52 + 35, 52 Donc AC ² = 2520,5.

D’où AC = p

2520,5 m.

Les diagonales d’un carré ont le même milieu, donc AH = p

2520,5 : 2 = p

630, 125 m.

Le triangle SAH est rectangle en H, donc, d’après le théorème de Pythagore : SH ² = SA ² –AH ² , soit SH ² = 33, 14 ² – ¡p

630, 125 ¢ 2

= 1098,2596–630, 125 = 468,1346.

Donc SH ≈ 21, 64 m.

2. a. AB = BC = CD = DA = 3550

800 = 4,4375 ≈ 4, 4 cm.

SA = SB = SC = SD == 3314

800 = 4,1425 ≈ 4, 1 cm.

Amérique du Nord 2 9 juin 2015

lijMermoz 2

Brevet des collèges A. P. M. E. P.

b. Patron

A

B C

D S

S

S

S

Amérique du Nord 3 9 juin 2015

lijMermoz 3

[ Brevet des collèges Amérique du Sud \ 1 ^er décembre 2015

E

1 4 points

1. ¡ 4 p

2 ¢ 2

= 4 ² × ¡p 2 ¢ 2

= 16 × 2 = 32 : c’est le PGCD de 128 et 96 car 128 = 32 × 4 et 96 = 32 × 3.

2. La moyenne de la série est égale à environ 14,666 et la médiane est 12 : ré- ponse 2.

3. 1 − 2 3 = 1

3 ne viennent pas en bus ; ils représentent 1

3 × 30 = 10 : réponse 3.

4. Le seul couple qui vérifie le système est le dernier : réponse 3.

E

2 4 points

1. =B2*(−3).

2. On a à trouver l’antécédent de −24 qui est −24

− 8 = 3.

3. On a h(x) = − 8x( − 6x + 4) = 48x ² − 32x : ce n’est pas une fonction affine.

E

3 4 points

1. Il y a en tout 96 + 104 = 200 titres. La probabilité que le premier titre soit un titre de musique rap est donc égale à 96

200 = 48

100 = 48% = 0, 48.

2. a. Il faut répartir tous les titres donc il faut trouver un nombre qui divise 104 et 96 le plus grand : c’est donc le PGCD de 104 et 96.

On utilise l’algorithme d’Euclide : 104 = 96 × 1 + 8 ;

96 = 8 × 12 + 0.

On a donc PGCD(104 ; 96) = 8, soit 8 concerts différents.

b. On a 104 = 8 × 13 et 96 = 8 × 12.

Il y aura dans chaque concert 13 titres d’électro et 12 titres de rap.

E

4 6 points

1. Puisque (CD) est axe de symétrie de la figure, elle est perpendiculaire au seg- ment [AB] en son milieu D. Le triangle CAD est donc rectangle en D et AD = 4,5 m.

On a dans ce triangle tan A b = CD AD , donc

CD = tan 25 × 4, 5 ≈ 2, 098 soit 2,10 m au centimètre près.

2. Le théorème de Pythagore dans le triangle ACD s’écrit :

AC ² = AD ² + DC ² , soit AC ² = 4, 5 ² + 2, 1 ² = 20, 25 + 4, 41 = 24, 66, donc AC = p

24, 66 ≈ 4, 965 soit 4,97 m au centimètre près.

3. On a d’après la figure DH = 2

3 ×DH = 2

3 ×4, 5 = 3.

Les droites (AC) et (HI) étant parallèles, les D, H, A d’une part, D, I, C d’autre part étant alignés dans cet ordre, le théorème de Thalès s’applique et s’écrit :

DH DA = DI

DC = HI AC . En particulier DH

DA = DI DC soit 3

4, 5 = DI

2, 1 soit DI = 2, 1 × 2

3 = 1, 4 (m).

1

lijMermoz 4

4. Méthode 1 : dans le triangle HDJ rectangle en J, on a  JHD = 25° car les poutres [AC] et [HI] sont parallèles ; on a donc sin  JHD = DJ

DH donc DJ = DH×sin JHD  = 3 × sin 25 ≈ 1, 267, soit 1,27 m au centimètre près.

Méthode 2 : on calcule l’aire du triangle rectangle HDI : 1

2 × HI × DJ = 1

2 × DH × DI.

Il reste à calculer IH grâce au théorème de Pythagore toujours dans ce tri- angle HDI.

On a HI = p

3 ² + 1, 4 ² ≈ 3, 311.

On a ensuite DJ = DH ×DI

HI ≈ 3 × 1, 4

3, 311 ≈ 1, 268 : on retrouve 1,27 m au centi- mètre près.

E

5 4 points

Affirmation 1 :

n ² − 6n + 9 = (n − 3) ² : cette expression est nulle si n = 3. Affirmation fausse.

Affirmation 2 : Le ballon fait 51 m en 1 seconde donc 51 × 60 × 60 = 183600 m en une heure, soit 183,6 km/h : il est plus rapide que le faucon. Affirmation fausse.

E

6 5 points

Aire du modèle A : 5 × 3 = 15 m ² ; Aire du modèle B : 8, 5× 3, 5 = 29, 75 m ² ;

Aire du modèle A : 8 × 4 = 32 m ² : ils choisissent le modèle C.

Aire des dalles : (8 + 2 +2) × 2 × 2 +4 × 2 × 2 = 64 m ² soit 64 dalles.

La promotion revient à payer 85 % du prix initial. Le coût des dalles est donc de : 64 × 13, 9 × 0, 85 = 756, 16 ( .

E

7 5 points

1. a. Volume d’une boule de rayon 3 cm : 4

3 π × 3 ³ = 4 π × 3 ² = 36 π cm ³ . b. Le rayon étant 2 fois plus grand le volume est 2 ³ = 8 fois plus grand donc

égal à 8 × 36 π = 288 π cm ³ . 2.

2 3

r

La coupe est un disque dont le rayon r est la longueur d’un triangle rectangle de côté 2 et d(hypoténuse 3 ; d’après le théorème de Pythagore, on a : r ² + 2 ² = 3 ² , soit r ² = 9 − 4 = 5, donc r = p

5 cm.

L’aire du disque est donc égale à : π ×r ² = π ×5 = 5 π cm ² ≈ 15, 708 soit environ 16 cm ² .

E

8 4 points

Soit x le nombre d’aller(s)-retour(s)

Sans abonnement Sophie paiera : 40x dans l’année.

Avec l’abonnement Sophie paiera : 442 +20x.

• 40x < 442 + 20x ou 20x < 442 ou 10x < 221 et enfin x < 22, 1 : jusqu’à 22 allers- retours il vaut mieux ne pas prendre l’abonnement.

2

lijMermoz 5

• 40x > 442 + 20x ou 20x > 442 ou 10x > 221 et enfin x > 22, 1 : à partir de 23 allers- retours il est plus intéressant pour Sophie de prendre l’abonnement.

Remarque : on peut aussi faire la représentation graphique de la fonction linéaire et de la fonction affine et lire pour quelles valeurs de x l’une est en dessous de l’autre.

3

lijMermoz 6

[ Corrigé du brevet des collèges Asie juin 2015 \

Durée : 2 heures

Exercice 1 5 points

1. Réponse C : 587000000 = 5, 87× 10 ⁸ .

2. Réponse A : (x +2)(3x −1) = 3x ² − x + 6x − 2 = 3x ² + 5x − 2.

3. 12 × 4 + 16 × 2 = 48 + 32 = 80.

4. Réponse B : − 8 × ( − 8) × · · · × ( − 8) = ( − 8) ¹⁸ .

5. Réponse A : Si on coupe par un plan parallèle à son axe, la longueur du rec- tangle obtenu est 10 cm, la largeur est inférieur ou égale à 4 cm ; seule la ré- ponse A convient.

Exercice 2 5 points

• En prenant le passage piéton Julien parcourt : 8 +15 = 23 (m)

• En traversant directement de J à F : le triangle FKJ est rectangle en K ; d’après le théorème de Pythagore, on a :

FJ ² = FK ² + KJ ² soit FJ ² = 8 ² + 15 ² = 64 + 225 = 289, d’où FJ = p

289 = 17 (m).

Il a donc gagné un parcours de 23 − 17 = 6.

Pour obtenir le temps mis pour parcourir ces 6 m on peut dresser un tableau de proportionnalité :

distance (m) 10 60 6

temps (s) 9 54 5,4

Julien gagne donc 5,6 s.

Exercice 3 4 points

1. 10 + 12 + 18 = 40. Dans le bus, il y a 40 élèves.

La probabilité que le premier sportif à sortir du bus soit un joueur de ping- pong est de 10

40 = 1 4 = 0, 25.

2. 1 − 1 4 = 4

4 − 1 4 = 3

4 = 0, 75.

La probabilité que le premier sportif à sortir du bus soit un coureur ou un gymnaste est de 3

4 . 3. 1

5 = 10 50 = 10

10 + 40 .

Si 10 nageurs soient présents dans le bus, la probabilité que le premier sportif à sortir du bus soit un nageur est 1

5 .

Autre méthode : soit n le nombre de nageurs ; on aura à la descente : 1

5 = n

n + 40 soit n + 40 = 5n ou r 4n = 40 et enfin n = 10.

Exercice 4 3 points

S’il reste 37 ballons la première année, les enfants se sont partagés équitablement 360 ballons car 397− 37 = 360.

S’il reste 13 ballons la première année, les enfants se sont partagés équitablement 585 ballons car 598− 13 = 585.

lijMermoz 7

Corrigé du brevet des collèges A. P. M. E. P.

Pour connaître le nombre maximum d’enfants présents à la fête, je recherche le PGCD, plus grand diviseur commun à 360 et 585. J’utilise l’algorithme d’Euclide.

585 = 360 × 1 + 225 360 = 225 × 1 + 135 225 = 135 × 1 + 90 135 = 90 × 1 + 45 90 = 45 × 2 + 0

Le dernier reste non nul est 45, donc PGCD(585 ; 360) = 45.

Le nombre maximum d’enfants présents était de 45.

Exercice 5 7 points

1. Conjecturons la distance d à l’aide d’une construction

a. C

80 m

45° 65°

b. En mesurant sur le schéma, on trouve environ 5,5 cm, on suppose donc que d est égale à 55 m.

2. Déterminons la distance d par le calcul

a. Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. On a donc :

 ACB = 180 ¡

 CAB + CBA  ¢

= 180(45+ 65) = 180− 110 = 70 (°).

b. On utilise la « loi des sinus » : BC sin b A = AC

sin B b = AB sin C b . Soit BC

sin 45 = AC

sin 65 = 80 sin 70 . En particulier BC

sin 45 = 80

sin c 70 , d’où par produit en croix : BC = 80 × sin 45

sin 70 ≈ 60, 20 (m) au centimètre près.

c. CBH est un triangle rectangle en H, on a : sin CBH  = CH

CB , soit sin 65 ≈ CH

60, 2 ou encore CH ≈ 60, 2 × sin 65 CH ≈ 54, 56m (valeur arrondie au cm près)

Exercice 6 7 points

Asie 2 juin 2015

lijMermoz 8

Corrigé du brevet des collèges A. P. M. E. P.

1. h(2) = − 17.

2. g(−3) = 3 × (−3) ² − 9 ×(−3) − 7 g( − 3) = 3 × 9 + 27 − 7

g(−3) = 27 + 27 − 7 g( − 3) = 54 − 7 g(−3) = 47.

3. 47 est l’image de −3 par la fonction g ou −3 est un antécédent de 47 par la fonction g.

4. Pauline a saisi la formule : = 5 ∗ B1 − 7.

5. a. À l’aide du tableau, on déduit que 3x ² 9x7 = 5x7 pour x = 0.

b. 3x ² − 9x − 7 = 5x −7 3x ² − 9x = 5x 3x ² − 9x − 5x = 0 3x ² − 14x = 0 x(3x − 14) = 0 Si ab = 0, alors a = 0 ou b = 0.

Soit x = 0, soit 3x − 14 = 0 3x = 14 x = 14 3 .

L’équation 3x ² − 9x − 7 = 5x − 7 a bien une autre solution que celle trouvée grâce au tableur : 14

3 .

Exercice 7 5 points

1. a. V = π

3 × h ² × (3r − h) V =

π

3 × 18 ² × (3 × 10 − 18) V =

π

3 × 324× (30 − 18) V =

π

3 × 324× 12 V = 3888 π

3 ≈ 1296 π cm ³ . b. V = 3888 π

3 ≈ 1296 π ≈ 4072 cm ³ soit à peu près 4 ℓ .

2. Soit h la hauteur atteinte par l’eau dans le nouvel aquarium. On a : 15 × 20 × h = 1296 π

300h = 1296 π h = 1296 π

300 h ≈ 14 cm.

La hauteur atteinte par l’eau est d’environ 14 cm.

Asie 3 juin 2015

lijMermoz 9

Durée : 2 heures

[ Corrigé du brevet des collèges 15 juin 2015 \ Centres étrangers groupement I (Maroc)

Exercice 1 4 points

1. On lit à 7 h une consommation de 68 100 MW.

2. La consommation est de 54 500 MW à 3 h et à 5 h 30 min.

3. L’écart le plus grand entre les deux courbes se situe vers 19 h 30 min.

4. La différence précédente se monte à 10 200 MW.

Exercice 2 3 points

1. (4x + 5)(x − 3) = 0 est équivalente à 4x + 5 = 0 ou x − 3 = 0, c’est-à-dire à 4x =

− − 5 ou x = 3, soit finalement à x = − 5

4 ou x = 3.

2. 8 × 10 ³ ×28 ×10

²

14 × 10

³ = 8 × 2 × 14 14 × 10 ¹

10

³ = 16 × 10 ¹

³ = 1, 6× 10 ⁴ . 3.

p 32

2 =

p 2 × 16

2 =

p 2 × p 16

2 = p

16 × p 2

2 = 4 × p 2

2 = 2 p 2.

Exercice 3 4 points

1. A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3.

2. a. Aurélie a un chance sur neuf : probabilité égale à 1 9 .

b. Si l’on supprime la lettre A et le nombre 1, il reste deux lettres et deux nombres donc 2× 2 = 4 choix possibles. La probabilité de trouver le bon code à son deuxième essai est donc égale à 1

4 .

c. Comme elle n’avait plus que le choix entre deux lettres mais le bon nombre il lui suffit donc de changer de lettre pour avoir le bon code.

Exercice 4 8 points

Des ingénieurs de l’Office National des Forêts font le marquage d’un lot de pins des- tinés à la vente.

1. Dans le triangle rectangle en A, OAS, on a : tan  AOS = AS

OA soit tan 45 = AS 15 , d’où AS = 15tan 45 ;

Dans le triangle rectangle en A, OAP, on a : tan AOP  = AP

OA soit tan 25 = AP 15 , d’où AP = 15tan 25.

La hauteur de l’arbre est :

h = AS + AP = 15tan 45 + 15tan 25 = 15(tan 45 + tan 25) ≈ 21, 99 soit 22 m au mètre près.

2. a. Il faut inscrire en M2 : = SOMME(B2 : L2).

b. Si d est le diamètre moyen, alors : d = 30 × 2 +35 ×4 + 40 × 8 + · · · + 80 ×3

2 + 4 + 8 + · · · + 3 = 5210

92 ≈ 57 cm au centimètre près.

lijMermoz 10

Corrigé du brevet des collèges A. P. M. E. P.

3. Le volume des 92 arbres est égal à : 92 × 10

24 ×0, 57 ² × 22.

Chaque mètre cube rapportant 70 ( , la vente rapportera : 70 × 92 × 10

24 ×0, 57 ² × 22 = 19179,93 ≈ 19180 ( .

Exercice 5 6 points

Affirmation 1 :

Sur 100 ( , la réduction serait de 20 ( , donc sur 400 ( la réduction est de 4 × 20 = 80 ( . Le billet ne coûte plus que 400 − 80 = 320 ( . L’affirmation est fausse.

Affirmation 2 :

On a f (2) = 4 × 2 −2 = 8 − 2 = 6.

La moitié de 6 est 3 et : f (3) = 4 ×3 − 2 = 12 − 2 = 10.

L’affirmation 2 est vraie.

Affirmation 3 :

Si (AB) et (CD) sont parallèles, le théorème de Thalès permet d’écrire : OB

OC = AB CD , soit 45

50 = 75

100 ou encore 9 10 = 3

4 , c’est-à-dire 0,9 = 0,75 qui est une égalité fausse.

L’affirmation 3 est faussee.

Exercice 6 3,5 points

1. Programme A : (3 + 2) ² = 5 ² = 25 ;

Programme B (3 +4) × 3 +4 = 7 × 3 + 4 = 21 + 4 = 25.

2. Avec au départ le nombre x introduit dans le programme A, on obtient : (x + 2) ² , donc (x +2) ² = 0 si x + 2 = 0 ou encore x = −2.

3. Avec le programme A un nombre x donne en sortie (x +2) ² . Avec le programme B un nombre x donne en sortie (x + 4) × x + 4.

On a donc : (x + 2) ² = (x + 4) × x + 4 soit x ² + 4x + 4 = x ² + 4x + 4, égalité vraie quel que soit le nombre x. Yeah a raison.

Exercice 7 7,5 points

1. Le sol est un rectangle de 12 m sur 9 m ; la surface au sol est donc égale à 12 × 9 = 108 m ² .

2. a. La base est un pavé dont on vient de calculer l’aire de la base et de hauteur 3 m ; le volume de la partie principale est donc égal à : 108 ×3 = 324 m ³ . b. La partie haute (grenier) est une réduction de la pyramide IABCD dans le

rapport 4, 5 6, 75 = 450

675 = 18 × 25 27 × 25 = 18

27 = 2 × 9 3 × 9 = 2

3 .

Chaque dimension de la petite pyramide étant égale à celle de la grande multipliée par 2

3 , son volume est donc égal à celui de la grande multiplié par

µ 2 3

¶ 3

.

Volume de la grande pyramide : 108 × 6, 75

3 = 108× 2, 25 = 243 m ³ .

Centres étrangers groupement I (Maroc) 2 15 juin 2015

lijMermoz 11

Corrigé du brevet des collèges A. P. M. E. P.

Volume de la petite pyramide = 243 × µ 2

3

¶ 3

= 9 × 27 ×8

×27 = 72 m ³ . Le volume des chambres est donc égal à 243 −72 = 171 m ³ . c. Le volume total à chauffer est donc égal à : 324 + 171 = 495.

3. Pour chauffer la partie principale et les chambres il faut une puissance de 495

25 × 925 = 495 × 37 = 18315 Watts.

Il faut donc acheter un nombre de radiateurs égal à : 18315

1800 ≈ 10, 17.

IL faut acheter 11 radiateurs à 349,90 euros pièce d’où une dépense de : 11 × 349, 90 = 3848,90 ( ( ).

Centres étrangers groupement I (Maroc) 3 15 juin 2015

lijMermoz 12

[ Corrigé du brevet des collèges 17 septembre 2015 \ Métropole–La Réunion–Antilles-Guyane

Durée : 2 heures

Exercice 1 6 points

1. Affirmation 1 : On a f (2) = (2 − 1)(4 − 5) = 1 × ( − 1) = − 1. Affirmation fausse.

Affirmation 2 : On a f (11) = (11 −1)(22 − 5) = 10 × 17 = 170. Affirmation vraie.

Affirmation 3 : On a f (x) = 2x ² − 5x − 2x + 5 = 2x ² − 7x + 5 : ce n’est pas une fonction linéaire. Affirmation fausse.

2. =(B1 - 1)*( 2*B1 - 5)

3. (x − 1)(2x − 5) = 0. Un produit de facteurs est nul si l’un des facteurs est nul soit si

x − 1 = 0 soit x = 1 ou 2x − 5 = 0 ou 2x = 5 et x = 5

2 .

Les deux nombres qui annulent f (x) sont 1 et 5 2 .

Exercice 2 6 points

On considère la figure ci-contre qui n’est pas à l’échelle.

1. Le triangle JAB est rectangle en A ; d’après le théorème de Pythagore : JA ² + ABô2 = JB ² soit 18 ² + 7, 5 ² = JB ² ou encore

JB ² = 324 +56, 25 = 380, 25.

Donc JB = p

380, 25 = 19, 5 (cm).

2. Dans le triangle JAC, les droites (MU) et (AC) sont parallèles, J, M et A sont alignés dans cet ordre, J, U et C sont alignés dans cet ordre : on peut donc appliquer le théorème de Thalès :

JM JA = JU

JC = MU AC . En particulier JM

JA = MU

AC donne 10 18 = 3

AC soit 10AC = 3 × 18 ou AC = 5, 4 (cm).

3. L’aire du triangle JCB est égale à 1

2 JA×CB = 1

2 ×18 ×(7, 5 −5, 4) = 1

2 ×18×2, 1 = 9 × 2, 1 = 18, 9 cm ² .

Exercice 3 6 points

1. Les deux personnes suivantes ont reçu une contravention après avoir em- prunté le pont d’Oléron.

Cas 1 : La vitesse étant supérieure à 100 km/h, on enlève 5 % à la vitesse constatée. La vitesse retenue est donc : 107 − 5

100 × 107 = 95

100 × 107 = 95 × 1, 07 = 101, 65 (km/h).

Cas 2 : La vitesse de M. Lagarde est 3, 2

2 = 1, 6 (km/min), soit 1, 6 × 60 = 96 (km/h).

La vitesse étant inférieure à 100, on enlève 5 à cette vitesse : la vitesse retenue est égale à 96 − 5 = 91 ; d’où la contravention.

2. M. Durand a parcouru les 3,2 km en 13 h 48 min 41 s moins 13 h 46 min 54 s, soit 1 min 47 s, soit 107 s.

Il a donc roulé en moyenne à la vitesse de :

lijMermoz 13

Corrigé du brevet des collèges A. P. M. E. P.

3, 2

107 km/s, soit 3, 2

107 × 3600 km/h ≈ 107, 664 (km/h).

La vitesse étant supérieure à 100, on enlève 5 % à cette vitesse et la vitesse retenue est égale à :

107, 664 × 95

100 ≈ 102, 28 (km/h). Il y aura contravention.

Remarque : M. Durand a roulé plus vite que M. Lagarde : il aura donc une contravention.

Exercice 4 4 points

Soit m le prix d’un pot de miel et e le prix d’un pain d’épices.

Les deux achats se traduisent par :

½ 2m + 3e = 24 m + 2e = 14, 50 Par différence on obtient m + e = 9, 50.

On a donc

½ m + 2e = 14, 50

m + e = 9, 50 qui donnent par différence e = 5 et par consé- quent m = 4, 50.

La troisième personne va donc payer 3 × 4, 50 + 5 = 18, 50 ( .

Exercice 5 4 points

1. 11 − 3 = 5 → 5 × 11 = 55 → 55 + 9 = 64.

2. −4 − 6 = −10 → −10 × (−4) = 40 → 40 + 9 = 49.

3. Soit x le nombre choisi ; on obtient successivement : x − 6 → x(x − 6) → x(x − 6) + 9.

On obtient donc finalement :

x(x − 6) + 9 = x ² −6x +9 = (x − 3) ² > 0.

Théo a raison.

Exercice 6 6 points

1. a. 232 + 211 + 214 + 175 + 336 + 191 + 184 + 217 = 1770 s soit 1800 − 30 (s) ou 30 min moins 30 s soit 29 min 30 s.

b. 3 min 30 s = 180 + 30 = 210 (s).

5 chansons sur 8 dépassent la durée, soit 2,5 sur 4 ou en multipliant par 25, 62,5 pour 100. (62,5 %)

2. Sur 8 chansons 3 sont interprétées par Maen ; la probabilité est donc égale à 3

8 = 1, 5 4 = 37, 5

100 = 0, 375 = 37, 5%.

3. Sur 25 morceaux écoutés 4 étaient interprétées par Hudad : la fréquence d’écoute de cet interprète est donc égale à 4

25 = 16

100 = 0, 16.

Exercice 7 4 points

• Calcul de l’horizontale DS.

Dans le triangle rectangle en S, TSD le théorème de Pythagore donne : 50, 2 ² = 6 ² + DS ² soit DS ² = 50, 2 ² − 6 ² = 2484,04 ≈ 49, 84 (cm).

La distance étant inférieure à 0,5 m l’angle peut aller jusqu’à 7°.

• Calcul de l’angle  TDS

Dans le triangle rectangle TDS, on a : sin  TDS = DS

DT = 6 50, 2 .

La calculatrice donne TDS  ≈ 6, 86° : la rampe est conforme à la norme.

Métropole–La Réunion–Antilles-Guyane 2 17 septembre 2015

lijMermoz 14

[ Corrigé du brevet des collèges Métropole - Antilles \ 25 juin 2015

E

1 4

1. La formule qui convient est : =SOMME(B2 :B7) 2. 1250 + 2130 + 1070 + 2260 + 1600 + 1740

6 = 10050

6 = 1675.

La moyenne des quantités de lait collecté dans ces exploitations est donc de 1 675 litres.

3. 2260

10050 ≈ 0, 22 = 22 %

22 % de la collecte provient donc de l’exploitation « Petits Pas ».

E

2 4,5

Si on appelle x le nombre de départ, le programme de calcul devient alors : 3(x + 8) − 24 − x = 3x + 24 − 24 − x = 2x.

Sophie, Martin et Faïza ont donc raison tandis que Gabriel se trompe.

E

3 4

1. Le triangle AK D étant rectangle en K , on peut appliquer le théorème de Py- thagore et on a :

D A ² = DK ² + K A ² . D’où K A ² = D A ² − DK ² . Donc K A = p

D A ² − DK ² = p

60 ² − 11 ² = p

3479 ≈ 59, 0 cm.

2. Les droites (DK ) et (P H) étant toutes les deux perpendiculaires à la droite (K A), elles sont parallèles.

On peut donc appliquer le théorème de Thalès et on a : AP AD = AH

AK = H P K D . Or AP = AD − DP = 60 − 45 = 15 cm.

D’où 15 60 = H P

11 . Et donc H P = 15 × 11

60 = 2, 75 cm.

E

4 7,5

1. On a f (3) = −6 ×3 + 7 = −18 +7 = −11.

2. La probabilité qu’Arthur choisisse une chemisette verte est de 1

3 . Celle qu’il choisisse un short vert est de 1

2 .

La probabilité qu’il soit habillé uniquement en vert est donc de 1 3 × 1

2 = 1 6 . 3. On a 2 ⁴⁰ = 2 ¹

³⁹ = 2 ¹ × 2 ³⁹ = 2 × 2 ³⁹ .

Ariane a donc bien raison.

4. Le PGCD de 15 et 12 est 3. Loïc n’a donc pas raison.

5. On a 5x −2 = 3x + 7 d’où 5x − 3x = 7 +2.

On a donc 2x = 9 d’où x = 9 2 = 4, 5.

La solution de cette équation est donc 4,5.

lijMermoz 15

Corrigé du brevet des collèges A. P. M. E. P.

E

5 6

1. La façade est constituée d’un rectangle et d’un triangle.

L’aire du rectangle est A _{1 = 6 × 7, 5 = 45 m}

_. L’aire du triangle est A _{2 =} ^{3 × 7, 5}

2 = 11, 25 m

.

L’aire de la façade est donc A _{= 45 + 11, 25 = 56, 25 m}

_. Or 56, 25

24 ≈ 2, 3. Il faudra donc acheter au moins 3 pots.

Le minimum à prévoir pour l’achat des pots de peinture est donc de : 3 × 103, 45 = 310, 35 ( .

2. 2

5 × 343, 50 = 137, 4

Agnès doit régler déjà 137,40 ( . 343, 50 − 137, 40

3 = 206, 10

3 = 68, 70

Chaque mensualité s’élèvera donc à 68,70 ( .

E

6 6

1. 12, 5 +10 = 22, 5

La distance d’arrêt du scooter est donc de 22,5 m à 45 km/h.

2. a. D’après le graphique, si la distance de réaction est de 15 m, la vitesse est de 55 km/h.

b. La distance de freinage n’est pas proportionnelle à la vitesse car la repré- sentation graphique n’est pas une droite.

c. D’après le graphique, si une voiture roule à 90 km/h, alors :

— la distance de réaction est de 25 m ;

— la distance de freinage est de 40 m ; La distance d’arrêt est donc de 40 + 25 = 65 m.

3. 110 ² 152, 4 ≈ 79

La distance de freinage sur route mouillée à 110 km/h est donc d’environ 79 m.

E

7 4

1. Dans le triangle ABC rectangle en B, on a : tan BC A  = AB

BC = 10 100 = 0, 1 D’où BC A  ≈ 6 ^o .

2. On a 1

5 = 1 × 20 5 × 20 = 20

100 .

C’est donc le panneau B qui indique la pente la plus forte.

Métropole - Antilles 2 25 juin 2015

lijMermoz 16

[ Corrigé du brevet des collèges Polynésie \ 23 juin 2015

Durée : 2 heures

Exercice 1 3 points

1. a. La probabilité que Sarah tire un jeton « 18 » est de 2 8 = 1

4 = 0, 25.

b. Il y a 3 jetons multiples de 5, la probabilité que Sarah tire un jeton multiple de 5 est donc de 3

8 = 0, 375.

2. Si Sarah garde le jeton tiré, il n’y a plus que 7 jetons dans le sac dont 3 mul- tiples de 5, la probabilité que Djamel tire un jeton multiple de 5 est de 3

7 6= 3 8 .

Exercice 2 4 points

1. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140

Niveau de bruit (en décibels)

Distance (en mètres)

a. À une distance de 100 mètres de la tondeuse, le niveau de bruit est d’en- viron 45 décibels.

b. Le niveau de bruit est de 60 décibels à une distance de 35 mètres de la tondeuse.

2. À 5 mètres de la machine A, le bruit est de 88 décibels environ. Pour la ma- chine B, ce niveau de bruit est atteint à presque 10 mètres de distance.

lijMermoz 17

Corrigé du brevet des collèges A. P. M. E. P.

Niveau de bruit (en décibels)

Distance (en mètres)

Machine A

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 5 10 15 20 25 30

Niveau de bruit (en décibels)

Distance (en mètres)

Machine B

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 5 10 15 20 25 30

Exercice 3 8 points

1.

L I

J

H K

On trace le triangle KJH connaissant les longueurs de ses trois côtés ; le cercle de centre J de rayon 6,8 coupe la droite (HK) en I.

2. Pour démontrer que les droites (IK) et (JH) sont perpendiculaires, les points I, H et K étant alignés, il suffit de montrer que le triangle JHK est un triangle rectangle en H.

Dans le triangle JHK, [JK] est le plus grand côté.

Je calcule séparément : D’une part : JK ² = 4 ² = 16.

D’autre part : JH ² +HK ² = 3, 2 ² + 2, 4 ² = 10, 24 +5, 76 = 16 Je constate que : JK ² = JH ² + HK ² .

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle JHK est rectangle en H.

Les droites (IK) et (JH) sont donc perpendiculaires.

3. Les droites (IK) et (JH) étant perpendiculaires, IHJ est un triangle rectangle en H, donc d’après le théorème de Pythagore, on a :

IJ ² = IH ² + HJ ² 6, 82 = IH ² + 3, 22

Polynésie 2 23 juin 2015

lijMermoz 18

Corrigé du brevet des collèges A. P. M. E. P.

46, 24 = IH ² + 10, 24 IH ² = 46, 24 − 10, 24 IH ² = 36.

IH est un nombre positif, donc IH = p 36 cm IH = 6 cm

4. HJK est un triangle rectangle en H, on a donc : cos HJK d = HJ JK = 3, 2

4 = 0, 8.

D’où HJK d ≈ 37 ° 5. Voir plus haut

6. Les triangles HIJ et HKL sont tels que : - (JL) et (IK) sont sécantes en H ; - (IJ) est parallèle à (KL).

D’après le théorème de Thalès, on a : HL

HJ = HK HI = KL

IJ . Or HK

HI = 2, 4

6 = 0, 4, donc KL

IJ = 0, 4 ou encore KL = 0, 4 × IJ.

Exercice 4 4,5 points

1. La solde est de 80 − 60 = 20 pour un prix initial de 80, soit une réduction de 20

80 = 1 4 = 25

100 = 25 %.

Le nombre caché sur l’affiche est 25.

2. 2 ¹⁰ = 1024, donc 2 ¹¹ = 2048.

3. (2x − 1) ² = (2x) ² + 1 ² − 2 × 2x × 1 = 4x ² + 1 −4x. Jules n’a pas raison.

Exercice 5 4,5 points

1. Le nombre de tours est égal à : 5405,470

13, 629 ≈ 396, 6.

Il a donc effectué 396 tours complets.

2. La vitesse moyenne est égale à : 5405,470

24 ≈ 225 km/h.

3. 205 (mph) ≈ 205× 1, 609 (km/h) soit 329,845 (km/h) 310 (km/h).

La voiture la plus rapide est la n

37.

Exercice 6 5 points

1. (7 + 1) ² − 9 = 8 ² − 9 = 64 − 9 = 55.

Si on choisit 7 comme nombre de départ, le résultat obtenu est 55.

2. (−6 + 1)2 −9 = (−5)2 − 9 = 25 − 9 = 16.

3. Jim a saisi la formule : = A2 + 1.

4. Je cherche x tel que : (x + 1) ² − 9 = 0 (x + 1) ² − 3 ² = 0

[(x + 1) + 3][(x + 1) − 3] = 0 (x + 1 + 3)(x +1 − 3) = 0

Polynésie 3 23 juin 2015

lijMermoz 19

Corrigé du brevet des collèges A. P. M. E. P.

(x + 4)(x − 2) = 0

Si ab = 0, alors a = 0 ou b = 0.

Donc soit x + 4 = 0 soit x − 2 = 0.

Soit x = −4, soit x = 2.

Les deux nombres pour lesquels le programme donne 0 sont −4 et 2.

Exercice 7 7 points

1. V piscine = 10 ×4 × 1, 2 = 48. Le volume de la piscine est de 48 m ³ . On calcule alors : 48

14 ≈ 3, 4 h soit 3h 24 min.

La piscine sera donc vide en moins de 4 heures.

2. On calcule la surface de la piscine :

A piscine = 10 × 4 + 2 × (10 ×1, 2) + 2 × (4 × 1, 2) A piscine = 40 + 24 + 9, 6

A piscine = 73, 6 m.

La surface de la piscine est de 73, 6 m ² .

2 couches sont nécessaires pour peindre la piscine, il faut donc prévoir de la peinture pour une surface de : 2 × 73, 6 = 147, 2 m ² .

On calcule la quantité de peinture nécessaire : 147, 2

6 ≈ 24, 53 ℓ . Il faudra environ 24,53 litres de peinture.

Or 24, 53 3 ≈ 8, 2.

Les seaux contiennent 3 litres de peinture, il faudra donc 9 seaux de peinture.

9 × 69, 99 = 629, 91.

Le coût sera donc de 629,91 ( .

Polynésie 4 23 juin 2015

lijMermoz 20

[ Corrigé du brevet des collèges Pondichéry \ 28 avril 2015

E

1 5

1. (x − 1) ² = x ² + 1 −2x. Réponse B

2. 2 × (−2) ² + 3 ×(−2) − 2 = 2 × 4 − 6 −2 = 8 − 8 = 0. Réponse C

3. Il faut résoudre l’équation 3x + 2 = −7 soit 3x = −9 et enfin x = −3. Réponse B.

4. L’angle de 18 ° reste un angle de 18 °. Réponse C 5. Réponse A.

E

2 4

1. On a 2622

19 = 138, mais 2530

19 ≈ 133, 2.

Ce qui veut dire que l’on ne pas répartir les 2 530 poissons dans 19 paquets (il eh reste 3)

2. Le plus grand nombre de paquets qu’il peut réaliser est un diviseur commun à 2 622 et à 2 530. Puisque c’est le plus grand c’est donc leur PGCD que l’on calcule grâce à l’algorithme d’Euclide :

26222530 × 1 + 92 ; 2530 = 92 × 27 + 46 ; 92 = 46 × 2 + 0.

Le PGCD est le dernier reste non nul, donc 46.

Effectivement : 2622

46 = 57 et 2530 46 = 55

Dans chacun des 46 paquets il y aura 57 œufs et 55 poissons.

E

3 6

• Sur la plage :

Peio paiera 3 mois à 2 500 soit 3 × 2500 = 7500 ( de location de paillote.

Il encaissera les trois quarts du temps soit 0, 75× 92 jours 500 ( par jour et le reste du temps soit 0, 25× 92 jours 50 ( par jour.

Ses recettes pour tout l’été s’élèveront donc à :

0, 75 ×92 × 500 +0, 25 × 92× 50 = 34500 +1150 = 35650 ( . Il gagnera donc sur la plage :

35650 − 7500 = 28150 ( .

• En ville

Peio paiera 92 jours à 60 soit 92 × 60 = 5520 ( de location.

Il encaissera les trois quarts du temps soit 0, 75 × 92 jours 350 ( par jour et le reste du temps soit 92 × 0, 25 jours 300 ( par jour.

Ses recettes pour tout l’été s’élèveront donc à :

0, 75 × 92 ×350 + 0, 25× 92 × 300 = 24150+ 6900 = 31050 ( . Il gagnera donc en ville :

31050 −5520 = 25530 ( .

• Conclusion : Peio gagnera gagnera plus sur la plage.

lijMermoz 21

Corrigé du brevet des collèges A. P. M. E. P.

E

4 6

1. La base est un triangle rectangle isocèle de côtés mesurant 7,5 cm. L’aire de cette base est donc égale à 7, 5× 7, 5

2 .

La hauteur de la pyramide est égale à 15 cm, donc le volume de la pyramide est égal à :

V SABC = 1 3

7, 5 × 7, 5

2 × 15 = 5 × 7, 5 × 7, 5

2 = 140, 625 cm ³ soit environ 141 cm ³ au cm ³ près.

2. a. Le plan de coupe étant parallèle à la base de la pyramide la section S

MN est une réduction de la base qui est un triangle rectangle isocèle ; S

MN est donc lui aussi un triangle rectangle isocèle.

b. La pyramide SS

MN est une réduction de la pyramide SABC et le rapport de réduction est le rapport des hauteurs soit SS

SA = 6 15 = 2

5 . On a donc S

N = 2

5 × AC = 2

5 × 7, 5 = 3 cm.

3. Le volume de la petite pyramide SS

MN peut s’obtenir de deux façons :

— Avec les dimensions : V SS

MN = 1

3 3 × 3

2 × 6 = 9 cm ³ .

— Soit en utilisant le rapport de réduction. Si la grande pyramide a un vo- lume de 140,625, la petite a un volume de :

140, 625 × µ 2

5

¶ 3

= 140, 625 × 8

125 = 9 cm ³ .

Dans tous les cas il reste un volume pour le parfum de : 140, 625 − 9 = 131, 625 cm ³ .

E

5 4

1. Il y a une porte sur cinq qui donne accès à la salle du trésor ; la probabilité d’y accéder est donc égale à 1

5 = 0, 2.

2. a. Soit M l’évènement « le candidat choisit une enveloppe contenant mille euros » ; on a p(M) = 1

8 = 0, 125 ;

Soit D l’évènement « le candidat choisit une enveloppe contenant deux cents euros » ; on a p(D ) = 5

8 = 0, 625 ;

Soit C l’évènement « le candidat choisit une enveloppe contenant cent euros » ; on a p(C ) = 2

8 = 0, 250.

Ce que l’on peut schématiser par : 0,125 M

D 0,625

0,250 C

b. La probabilité de gagner au moins 200 ( est la probabilité contraire de gagner 100 ( soit :

1 − 0, 250 = 0, 75 ou encore 3 chances sur 4.

3. Dans la salle de consolation 3 enveloppes sur 8 ne contiennent rien ; la pro- babilité de ne rien gagner est donc égale à 3

8 = 0, 375.

E

6 7

Pondichéry 2 28 avril 2015

lijMermoz 22

Corrigé du brevet des collèges A. P. M. E. P.

1. On construit :

— le segment [AB] tel que AB = 12 cm ;

— sa médiatrice pour trouver son milieu O ;

— le demi-cercle de centre O et de rayon 6 cm ;

— le cercle de centre A et de rayon 6 coupe ce demi-cercle en C ;

— on trace [AC] et [CB].

2. a. Le triangle ABC est inscrit dans un cercle qui admet pour diamètre l’un de ses côtés [AB] ; il est donc rectangle en C.

b. Le segment [BC] mesure 10 cm. On peut donc appliquer le théorème de Pythagore :

AC ² + CB ² = AB ² ou CB ² = AB ² − AC ² = 12 ² − 6 ² = 144 − 36 = 108 6= 100 carré de 10. Donc [CB] ne mesure pas 10 cm.

c. AOC est l’angle au centre qui intercepte l’arc  AC ; sa mesure est égale au Ø double de celle dessangle inscrit qui intercepte le même arc soit  ABC, donc l”angle AOC mesure 60 °. 

d. On a vu que CB ² = 108 = 9 × 12 = 9 ×4 × 3 = 36 × 3, donc CB = p

108 = p

36 × 3 = p 36 × p

3 = 6 p 3.

L’aire du triangle ABC est donc égale à : AC × CB

2 = 6 × 6 p 3 2 = 18 p

3 cm ² .

e. Dans BOC, on a OB = OC : le triangle est donc isocèle et on a donc OBC  = OCB  = 30. On en déduit que BOC  = 180 − 30 − 30 = 120 °.

E

7 4

c

c

6 − 2 c

Soit c la mesure d’un côté de l’un des petites triangles équilatéraux.

Dans l’hexagone gris il y a trois côtés de longueur c et trois côtés de longueur 6 − 2c.

On a donc :

3 × 3c = 3c + 3(6 − 2c) soit 9c = 3c + 18 − 6c soit

12c = 18 soit en simplifiant par 6 : 2c = 3 et enfin

c = ³ ₂ = 1, 5 cm.

Pondichéry 3 28 avril 2015

lijMermoz 23

Durée : 2 heures

[ Corrigé du brevet des collèges 15 juin 2015 \ Centres étrangers groupement I

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.

E

1 5,5 points

1. a. La probabilité est égale à 1 9 .

b. Il y a sur les 9 nombres, 5 qui sont impairs ; la probabilité est donc égale à 5

9 .

c. Évènements de probabilité 1 3 :

« la case d’un multiple de 3 s’allume » ;

« la case d’un nombre plus petit que 4 s’allume ».

2. En supposant que les seules les cases éteintes puissent s’allumer la seule pos- sibilité d’avoir trois cases allumées et alignées est que la case 4 s’allume soit une chance sur 7 cases éteintes : probabilité égale à 1

7 .

E

2 4 points

1.

distance parcourue par le son (km) 0,340 20,4 1 224

temps (s) 1 60 3 600

Le son a donc une vitesse de 1 224 km/h inférieure à celle de Félix Baumgart- ner ; celui-ci a atteint son objectif.

2. Avec le parachute, Félix a parcouru : 38969,3 −36529 = 2440,3 m en

9 min 3 s − 4 min 19 = 4 min 44 s, ou 284 s soit une vitesse moyenne de 2440,3

284 ≈ 8, 59 en mètres par seconde, soit 9 m/s à l’unité près.

E

3 6 points

1. On dessine un cercle de diamètre 6 cm donc de rayon 3 cm. Le cercle de centre M et de même rayon 3 cm coupe le cercle en deux points L répondant au problème ; on en choisit un.

2. Le triangle KLM est inscrit dans un cercle admettant pour diamètre l’un de ses côtés ; ce triangle est donc rectangle en L, d’hypoténuse [KM].

L’aire de ce triangle est égale au demi-produit des mesures des deux côtés de l’angle droit en L :

A _KLM = KL × LM

2 .

Le triangle KLM étant rectangle en L, le théorème de Pythagore permet d’élire : KM ² = KL ² + LM ² , soit

6 ² = KL ² + 3 ² ou KL ² = 6 ² − 3 ² = (6+ 3)(6 − 3) = 9 × 3, donc KL = p

9 × 3 = 9 × p 3 = 3 p

3.

Donc A _KLM = 3 p 3 × 3 2 = 9 p

3

2 ≈ 7, 79 soit 8 cm ² à 1 cm ² près.

lijMermoz 24

Corrigé du brevet des collèges A. P. M. E. P.

E

4 6 points

1. Dans la cellule B2, il faut saisir la formule : = 9 *B1-8 . 2. Dans la cellule B3, il faut saisir la formule : = -3*B1+ 31 .

Au vu du tableau, on peut conjecturer que le nombre à saisir dans les programmes pour obtenir le même résultat est compris entre 3 et 4.

Soit x le nombre saisi et tel que : P Mathilde = P Paul

9x − 8 = −3x + 3 ou 9x + 3x = 31 + 8 soit 12x = 39 et enfin x = 39

12 = 13 4 = 3, 25.

Programme de Mathilde : 9× 3, 25 −8 = 29, 25 −8 = 21, 25 ; Programme de Paul : −3 × 3, 25+ 31 = −9, 75 +31 = 21, 25.

Mathilde et Paul doivent choisir le nombre 3,25, la conjecture émise était correcte.

E

5 8 points

1. Il n’y a pas proportionnalité entre la température en degré Celsius et la tem- pérature en degré Fahrenheit car le graphique représentant la température en degré Fahrenheit en fonction de la température en degré Celsius est une droite mais qui ne passe pas par l’origine du repère.

2. Avec la proposition 3, f (0) = 3,or d

apr èsl ar epr ésent at i on1, onsai t quef(0)

= 32.

Il faut donc choisir entre les propositions 1 et 2. On lit également à l’aide des deux représentations que f (10) = 50, or la proposition donne 42 pour image de 10. Seule la proposition 2 est une fonction affine dont la représentation est une droite qui passe par les points (0 ; 32) et (10 ; 50).

3. f (10) = 1, 8 × 10 + 32 = 18 + 32 = 50 ; f (−40) = 1, 8× (−40) +32 = −72 + 32 = −40.

4. On cherche x, la valeur en degré Celsius, telle que : T degré Celsius = T degré Fahrenheit soit

x = 1, 8x +32 ou −32 = 1, 8x − x 0, 8x = − 32 soit x = − 32

0, 8 = − 40.

−40°C correspond à −40°F.

E

6 6,5 points

1. 16, 6+ 9, 5 = 26, 1 mm. Cette gélule correspond au calibre 000.

2. V gélule = V cylindre + V sphère . V gélule = π × 4, 75 ² × 16, 6 + 4

3 × π × 4, 75 ³ V gélule = 374,5375 π + 428,6875

3 π

V gélule ≈ 1626 mm ³ .

Le volume de la gélule, arrondie au mm ³ , est de 1 626mm ³ . 3. 3 × 6 = 18. Dans une boîte d’antibiotique, il y a 18 gélules.

18 × 1626 = 29268 mm ³ .

Le volume des 18 gélules est d’environ 29 268 mm ³ . 29268× 6, 15× 10

⁴ ≈ 18 (g ).

Pendant la durée de son traitement, Robert a absorbé environ 18 g d’antibiotique.

Centres étrangers groupement I 2 15 juin 2015

lijMermoz 25

A . P .M . E .P .

Durée : 2 heures

[ Corrigé du brevet des collèges Nouvelle–Calédonie \ 8 décembre 2015

Exercice 1 : Questionnaire à choix multiples 5 points 1. Le poids n’a pas de lien direct avec l’âge : réponse C.

2. Le demi-périmètre est égal à 12 cm donc la largeur mesure 4 cm : réponse B.

3. Il y a trois réponses proposées, donc la probabilité est de 1

3 : réponse A.

4. Le volume est égal à 4

3 π × 3 ³ = 4 π × 3 ² = 36 π ≈ 113, 09 soit 113 cm ³ à l’unité près.

5. x − 1 = 0 ou 5x −10 = 0 soit x = −1 ou x = 2 : réponse C.

Exercice 2 : Rampe d’accès 2,5 points

Dans ABC triangle rectangle en B, on a tan CAB  = CB

AB , donc AB = CB

tan  CAB = 30 tan 3 ≈ 572, 43 cm. Il faut donc prendre une longueur AB au moins égale à 573 cm.

Exercice 3 : Langues en voie de disparition 3 points

1. On a 6000 ×0, 43 = 2580 (langues).

2. Il reste 2580 − 231 = 2349 langues en voie de disparition.

3. 231 6000 = 77

2000 = 0,0385 soit 3,85 % pourcentage de langues éteintes.

Exercice 4 : Problème de carrelage 3 points

Soit c la longueur de côté du triangle rectangle isocèle d’hypoténuse 15 cm.

D’après le théorème de Pythagore on a c ² +c ² = 15 ² , soit 2c ² = 225, donc c ² = 112, 5, donc c = p

112, 5 ≈ 10, 61 cm.

Cette longueur étant inférieure à 12 cm on pourra découper les triangles rectangles isocèles dans des carreaux de 12 cm de côté.

Exercice 5 : Boîte de chocolats 4 points

1. Il y a 10 chocolats au lait sur un total de 24 chocolats ; la probabilité est donc égale à : 10

24 = 5 12 .

2. Il reste 9 chocolats au lait, 7 chocolats noirs et 5 chocolats blancs.

La probabilité de tirer un chocolat noir est donc égale à : 7 21 = 1

3 . 3. La probabilité de tirer un premier chocolat blanc est égale à 6

24 = 1 4 .

Il reste alors 5 chocolats blancs sur 23 chocolats : la probabilité de tirer alors un chocolat blanc est égale à 5

23 .

La probabilité d’avoir tiré deux chocolats blancs est donc égale à : 1

4 × 5 23 = 5

92 ≈ 0, 054 soit un peu plus de 5 %.

lijMermoz 26

Corrigé du brevet des collèges A. P. M. E. P.

Exercice 6 : Polygones réguliers 5,5 points

1. On considère les polygones réguliers suivants : a. Le carré :

Par exemple : A et C sont équidistants de B et de D, donc la droite (AC) est la médiatrice de [BD] : donc AOB  = 90°.

b. Le pentagone régulier :

Les cinq triangles isocèles AOB, BOC, COD, EOF et FOA ont les mêmes dimensions donc les cinq angles au centre ont la même mesure : 360

5 = 72 °.

c. L’hexagone régulier :

Comme précédemment chaque angle au centre mesure 360 6 = 60 °.

2.

O

A H 70°

On a AOH  = 90 −70 = 20°.

Chaque angle au centre mesure donc 2 × 20 = 40°.

Il y a donc dans ce polygone : 360

40 = 9 côtés de 5 cm. Son périmètre est donc de 9 × 5 = 45 cm.

Exercice 7 : Commande de livres 3 points

Si f est le nombre de livres de français et m le nombre de livres de mathématiques, on a donc le système :

½ f + m = 30

2000f + 3000m = 80000 ou encore en simplifiant par 1 000 dans la seconde équation :

½ f + m = 30

2f + 3m = 80 ou encore

½ 2f +2m = 60

2f + 3m = 80 d’où par différence m = 20 et donc f = 10.

Exercice 8 : Clip musical 7 points

1. Pour télécharger un seul titre le moins cher est le direct sans inscription : 4 ( . 2. Pour cette question, utiliser l’annexe 1.

a. Voir à la fin.

Nouvelle-Calédonie 2 8 décembre 2015

lijMermoz 27

Corrigé du brevet des collèges A. P. M. E. P.

b. Le tableau montre que pour 5 téléchargements les deux premières pos- sibilités coûtent 20 ( . Donc à partir de x = 6, il devient intéressant de prendre l’abonnement membre

3. £Dans cette question, x désigne le nombre de clips vidéos achetés.

a. f correspond à l’abonnement premium.

g correspond au téléchargement direct sans abonnement.

h correspond à l’abonnement membre.

b. Voir à la fin.

c. Pour 20 téléchargement les deux abonnements reviennent au même prix.

À partir de 21 téléchargements l’abonnement premium est la solution la moins onéreuse.

Exercice 9 : Marionnette 3 points

1. Les droites (AB) et (DE) sont parallèles car perpendiculaires à la droite (BC).

2. Les droites (AB) et (DE) sont parallèles, C, E, B d’une part, C, D et A d’autre part sont alignés dans cet ordre ; d’après le théorème de Thalès :

EC CB = DE

AB , soit EC 8 = 0, 3

1, 2 = 1

4 , d’où EC = 2 m.

Nouvelle-Calédonie 3 8 décembre 2015

lijMermoz 28

Corrigé du brevet des collèges A. P. M. E. P.

ANNEXE 1 - Exercice 8

Nombre de clips 1 2 5 10 15

Prix en euros pour le téléchargement direct

4 8 20 40 60

Prix en euros pour le téléchargement membre

12 14 20 30 40

Prix en euros pour le téléchargement pre- mium

50 50 50 50 50

ANNEXE 2 - Exercice 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 0

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

Nombre de clips achetés Prix en euros

f

g h

Nouvelle-Calédonie 4 8 décembre 2015

lijMermoz 29

[ Corrigé du brevet des collèges Polynésie \ 10 septembre 2015

Durée : 2 heures

Exercice 1 6 points

1. a. On obtient successivement :

4 ; 4+ 3 = 7 ; 7 ² = 49 ; 49 −4 ² = 49 − 16 = 33.

b. −5 ; −5 + 3 = −2 ; (−2) ² = 4 ; 4− (−5) ² = 4 − 25 = −21.

2. Premier programme : si x est le nombre choisi au départ, on obtient succes- sivement :

x ; x + 3 ; (x + 3) ² ; (x + 3) ² − x ²

Deuxième programme : si x est le nombre choisi au départ, on obtient suc- cessivement :

x ; 6x ; 6x + 9.

Or (x + 3) ² − x ² = (x + 3 + x)(x + 3 − x) = 3(2x + 3) = 6x + 9.

Les deux programmes donnent le même résultat.

item Il faut trouver un nombre x tel que 6x + 9 = 54 soit 6x = 45 ou 2x = 15 et x = 7, 5.

Exercice 2 5 points

Dans le triangle rectangle en A, ABC, on a : cos  ABC = AB

BC = 4

5 = 0, 8 ; la calculatrice livre  ABC ≈ 3§, 88 soit au dixième près 36,9°.

L’affirmation est vraie.

Affirmation 2

En remplaçant x par 3 dans l’équation on obtient : 3 ² + 2 ×3 − 15 = 9 + 6 −15 = 0.

L’affirmation est vraie.

Affirmation 3

Si la solde est de 30 % le nouveau prix est égal à 70 % de l’ancien prix x.

On a donc : x × 0, 7 = 49 soit x = 49 0, 7 = 490

7 = 70( ( ). L’affirmation est fausse.

Affirmation 4

Dans l’urne 1, la probabilité de gagner est égale à 35

35 +65 = 35

100 = 0, 35.

Dans l’urne 2, la probabilité de gagner est égale à 19 19 + 31 = 19

50 = 38

100 = 0, 38.

L’affirmation est vraie.

Exercice 3 3 points

1. La verticale contenant le point d’abscisse 36 coupe la droite en un point d’or- donnée à peu près égale à 2, 5 (bar).

2. D’après le panneau la distance de Morlaix à Brest est égale à :

123 − 64 = 59, donc Léa sera à 59 km de Morlaix dans 64 − 59 = 5 (km).

lijMermoz 30

Corrigé du brevet des collèges A. P. M. E. P.

Exercice 4 3 points

Si t est le prix d’une tulipe et r le prix d’une rose, on a donc :

½ 5t + 2r = 13, 70 t + r = 4, 30

On peut en déduire en multipliant chaque membre de la deuxième équation par 5 :

½ 5t + 2r = 13, 70

5t + 5r = 21, 50 soit par différence :

3r = 7, 80 et finalement r = 2, 60 ( . Par complément à 4,30, on obtient t = 4, 30 −2, 60 = 1, 70 ( ( ).

Exercice 5 7 points

1. On peut partager la surface de pâturage end eux rectangles, l’un de 240 (m) sur 2 × 240 = 480 (m) et l’autre de 240 (m) sur 620 − 240 = 380 (m).

L’aire totale est égale à =

240 × 480 + 380 × 240 = 206400 m ² , soit 20,64 ha ; donc on peut y faire paître au maximum :

20, 64 × 18 = 247, 768, soit un maximum de 247 chèvres.

2. Les 247 chèvres donneront en moyenne par jour : 247 ×1, 8 = 444, 6 litres de lait.

PARTIE 2 : Le stockage du lait

Volume de la cuve B : V B = π × 5 ² × 7, 6 = 190 π ≈ 596, 9. Il va donc acheter une cuve B.

Exercice 6 6 points

1. BD = BC + CD = 250 + 20 = 270 (cm).

Dans le triangle BDE rectangle en B, le théorème de Pythagore s’écrit : ED ² = EB ² + BD ² = 202500.

Donc ED = p

202500 = 450 (cm).

2. E, A, C sont alignés dans cet ordre ainsi que D, C, B et les droites (CA) et (ED) sont parallèles ; on peut donc appliquer le théorème de Thalès :

BC BD = AC

ED soit 250 270 = AC

450 qui donne : 270AC = 250 × 450 ou AC = 250× 9 × 50

9 × 30 = 1250

3 ≈ 416, 67 soit 417 (cm) au centimètre près.

Toujours d’après le théorème de Thalès : BA

BE = BC

BD soit BA 360 = 250

270 ; donc 270BA = 360 × 250 et BA = 360 × 250

270 = 9 × 4 × 10 × 250 9 × 10 × 3 = 1000

3 ≈ 333, 33.

Donc AE = 360 − 1000

3 = 1080 − 1000

3 = 80

3 ≈ 26, 67 soit 27 cm au centimètre près.

Exercice 7 6 points

1. On a D = 5

18 × 130 + 0, 006 × 130 ² ≈ 137, 5 (m) : le conducteur ne pourra pas s’arrêter à temps.

2. En formatant la colonne B à l’unité près on tape en B2 :

=A2 *5/8 + B2 ^ 2 *0,006.

Polynésie 2 10 septembre 2015

lijMermoz 31

Corrigé du brevet des collèges A. P. M. E. P.

3. Non : 38 (m) à la vitesse de 60 (km/h) est plus du double de 14 (m) pour s’arrêter à 30 (km/h).

4. On a 5 ² = 25 pour une distance de 29 ; 6 ² = 36 pour une distance de 38 ; 7 ² = 49 pour une distance de 49 ; 8 ² = 64 pour une distance de 61 ; 9 ² = 81 pour une distance de 74

Cette règle est à peu près cohérente avec la formule exacte.

Polynésie 3 10 septembre 2015

lijMermoz 32