Critères de sélection de modèle de fiabilité dans le cadre des risques concurrents

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Critères de sélection de modèle de fiabilité dans le cadre des risques concurrents

Yann Dijoux

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Yann Dijoux. Critères de sélection de modèle de fiabilité dans le cadre des risques concurrents.

41èmes Journées de Statistique, Société Française de Statistique, May 2009, Bordeaux, France. �inria- 00386710�

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Crit` eres de s´ election de mod` ele de fiabilit´ e dans le cadre des risques concurrents

Yann Dijoux

Management Science Department, University of Strathclyde, Glasgow

R´esum´e

Afin de modéliser la dépendance entre les maintenances correctives et préventives conditionnelles, nous utilisons le cadre des risques concurrents. Dans ce contexte, la fonctionφpeut être aisément estimée et est très utile lors de la sélection de modèle.

Dans cette communication, nous proposons dans un premier temps d’étudier les propriétés de l’estimateur non paramétrique de φ. Enfin, nous présentons un test de monotonie de la fonction φ. Nous illustrons les résultats obtenus à l’aide d’un jeu de données réelles.

Abstract

The competing risks framework is used for the joint modelling of the dependency between corrective and condition-based preventive maintenance. In this context, the φ function can be easily estimated and is very useful in model selection. In this communication, we first study the quality of the non-parametric estimator of φ. Finally, we present a statistical test on the monotony ofφ. The main results are illustrated by the study of a real dataset.

Mots clés : fiabilité, risque industriel, processus aléatoires ponctuels, risques concurrents.

1. Introduction

Tout au long de leur vie opérationnelle, les systèmes complexes (centrales nucléaires, automobiles, etc...) sont soumis à deux types de maintenance:

• Les maintenances correctives (MC) interviennent suite à une défaillance et visent à remettre le système en marche.

• Les maintenances préventives (MP) interviennent lorsque le système est en état de fonctionnement et ont pour but de réduire la dégradation du système et retarder une éventuelle panne ultérieure. Nous nous intéressons plus particulièrement aux MP conditionnelles, effectuées suite à l’observation d’une dégradation avancée du système par l’équipe de maintenance.

Pour un système neuf, on ne sait pas si la première maintenance sera corrective ou préventive. Soit Z le temps potentiel d’attente jusqu’à la première MC suite à une

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à l’instant Y. Ainsi, le temps réel d’attente avant la première maintenance est W = min(Y, Z) et le type de cette maintenance est déterminé par U = 1I{Y≤Z}. U = 0 si la maintenance est corrective et U = 1 si elle est préventive.

Nous venons de présenter le principe des risques concurrents (Crowder, 2001), développé dans le contexte de la maintenance par Cooke et Paulsen (1994) ou Cooke et Bedford (2002). Désormais, Y etZ seront respectivement appelés risque de MP et risque de MC.

Par la suite, nous définissons la fonction φ, couramment employée dans le cadre des risques concurrents. Puis, nous présentons les principaux modèles de risques concurrents en précisant la monotonie de la fonction φ pour chacun des modèles. L’ estimateur non paramétrique de φ sera alors présenté ainsi que de nouveaux résultats sur la qualité de cet estimateur. Enfin, nous présentons un test de monotonie surφ basé sur la statistique de Wilcoxon.

2. Le contexte des risques concurrents

2.1 D´efinitions

La dépendance entre le risque de MP Y et le risque de MC Z s’exprime par la loi jointe de (Y, Z), définie par sa fonction de survie bivariée S(y, z) = P(Y > y, Z > z).

Les difficultés d’identifiabilité font que l’on ne peut estimer que les fonctions liées à la loi jointe de (W, U). En particulier, on définit une fonction appelée communément φ:

φ(w) = P(Y ≤Z|W > w) = P(U = 1|W > w)

Concrètement, φ(w) est la probabilité que la prochaine maintenance soit préventive sachant qu’elle n’a pas encore eu lieu à l’instantw. Etant estimable, cette fonction permet d’avoir des critères sur le choix d’un modèle de risques concurrents approprié à un jeu de données particulier.

2.2 Les principaux mod`eles

Les principaux modèles de risques concurrents utilisés en fiabilité et en analyse de la maintenance sont les suivants:

• Le modèle à risques indépendants est la situation la plus simple où l’on considèreY etZ indépendants. Le modèle est alors complètement défini par les lois marginales de Y et Z. Comme nous considérons des MC et MP conditionnelles toutes deux liées à la dégradation du système, il n’est pas réaliste d’utiliser ce modèle bien que les équations qui en découlent soient très simples.

• Les modèles à hasards proportionnels consistent à supposer que le type (U) et l’instant (W) de la première maintenance sont indépendants. Pour ces modèles, la fonction φ est constante.

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• Le modèle le plus employé en fiabilité est le modèle Delay-Time (Christer, 2002):

Y = A +B et Z = A +C, avec A, B et C, variables aléatoires mutuellement indépendantes. Acorrespond à une alerte émise avant la défaillance et B etC sont les temps d’attente après cette alerte avant d’effectuer une MP ou d’observer une défaillance. QuandB et C sont de lois exponentielles, φ est constante.

• Les modèles faisant l’hypothèse de signe aléatoire consistent à supposer que le type (U) de la première maintenance et l’instant (Z) de la potentielle défaillance sont indépendants. Pour ces modèles, la fonctionφ est maximum à l’origine. Parmi ces modèles, on peut citer le modèle IPRA (Langseth et Lindqvist, 2003) pour lequel φ est décroissante.

• Le modèle Alert-Delay (Dijoux et Gaudoin, 2008): Y = pZ+E, avec Z et E deux variables positives indépendantes. Le système émet un signal d’alerte à un instant proportionnel à la date de la potentielle défaillance. Il faut alors un délaiE avant de pouvoir effectuer une MP. Si ce délai est trop long, on observe une panne suivie d’une MC. LorsqueZ etE suivent des lois exponentielles, la fonction φ est croissante.

3. Etude de l’estimateur non param´etrique de φ

3.1 Définition et propriétés

Dans une approche statistique, on étudie un système réparable soumis à une séquence de maintenances préventives et correctives. Cela consiste à observer une suite de durées inter-maintenance et leur type de maintenance associé, à savoir une séquence dekcouples (Wi, Ui){i∈[1,k]}. Dans le cadre des risques concurrents classiques, on suppose les maintenances parfaites et donc que les (Wi, Ui)_{i≥1} sont iid. L’ estimateur de φ est alors:

cφ_k(w) = ( ^P^k

i=1Ui1l_{_Wi>w_} Pk

i=11l_{_Wi>w_} si maxi=1..kWi > w

γ(W₁, . . . , Uk)∈[0,1] si max_i=1..kWi ≤w (1) oùγ(W₁, . . . , Uk) est une fonction déterministe du passé du processus. Nous avons prouvé le résultat suivant sur cet estimateur:

Th´eor`eme 1 : cφk est un estimateur asymptotiquement sans biais et convergent de φ.

Plus pr´ecis´ement, le biais B[cφk(w)] vaut:

B[cφk(w)] =E[cφk(w)]−φ(w) = (E[γ(W1, . . . , Uk)|max

i=1..kWi ≤w]−φ(w))(1−SW(w))^k Cet estimateur est sans biais lorsque E[γ(W1, . . . , Uk)|maxi=1..kWi ≤ w] = φ(w). Il parait alors malheureusement difficile d’avoir un estimateur sans biais de φ en w. Toute-

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• γ(W₁, . . . , Uk)=0. Cela signifie qu’au-del`a de max_i=1..kWi, on consid`ere que toutes les maintenances sont correctives. Le biais est alors −φ(w)(1−SW(w))^k.

• γ(W1, . . . , U_k)=1. Au-delà de maxi=1..kW_i, on considère que toutes les maintenances sont préventives. Le biais est B[cφ_k(w)] = (1−φ(w))(1−S_W(w))^k.

• γ(W1, . . . , Uk) = ^P

k i=1Ui

k . Cela revient `a estimer φ(w) par la proportion de MP. On obtient alors B[cφk(w)] = (φ(0)−φ(w))(1−SW(w))^k−1.

• γ(W1, . . . , Uk) = U^∗, oùU^∗ est le type de maintenance associé à la plus grande valeur deWi. Il parait vraisemblable que pour ce choix de γ(W1, . . . , Uk), l’estimation de φ(w) sera meilleure que les précédentes si φ est monotone.

3.2 Discussion

En comparant la forme de l’estimateur et celle de la fonctionφthéorique pour plusieurs modèles, on peut déterminer quel modèle est le plus adapté pour des données. Si cφk

est maximum à l’origine, on peut privilégier un modèle de signe aléatoire. Si cφk est pratiquement constante, on peut opter pour un modèle à hasards proportionnels. Si cφk

est croissante, on peut opter pour le mod`ele Alert-Delay.

Intéressons nous à un jeu de données provenant de données de maintenances pour deux compresseurs identiques provenant d’une usine Norsk-Hydro productrice d’ammoniac.

Sur 21 années d’observation, 321 maintenances ont été effectuées, 189 MP et 132 MC.

L’estimateur non paramétrique deφest présenté sur la figure 1. On observe quecφkfluctue entre les valeurs 0.6 et 0.7 et semble légèrement croˆıtre. La section suivante apporte des indications supplémentaires sur le modèle à privilégier.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0.56 0.58 0.6 0.62 0.64 0.66 0.68 0.7

Figure 1: Estimation non param´etrique de φ

4. Test de monotonie de φ

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La visualisation decφkdonne des indications précieuses sur le choix d’un modèle. Dans le contexte de la maintenance, Dewan et al. (2004) ont proposé une procédure statistique basée sur le test de Kendall afin de tester si φ est constante. Ces tests sont basés sur les travaux de Deshpande et Sengupta (1995). Par la suite, nous proposons une procédure de tests non paramétriques, facilement implémentable, basée sur le test de Wilcoxon, toujours afin de tester si φ est constante.

Le principe est le suivant : si la fonction φ associée à un modèle est constante, cela signifie que W et U sont indépendants, ce qui correspond à un modèle à hasards proportionnels. En se pla¸cant sous l’hypothèse que φ est constante (H0), supposons que l’on observe un échantillon de k maintenances (Wi, Ui){1≤i≤k}. Comme W et U sont indépendants, on peut considérer que les durées de MC observées (Wi, Ui = 0)_{1≤i≤k} et les durées de MP observées (Wi, Ui = 1){1≤i≤k} sont deux sous-échantillons de (Wi){1≤i≤k}. SoitW₁^∗, . . . , W_k^∗la statistique d’ordre de l’échantillonW₁, . . . , WketU_i^∗ le type de la maintenance associé à la duréeW_i^∗. Sous H0, comme W etU sont indépendants, le rang d’un instant d’observation est indépendant du type de la maintenance. Ainsi, les deux sous-

échantillons doivent être répartis de manière homogène dans l’échantillon complet. En revanche, siφ est croissante, les rangs de (Wi, Ui = 1)_{1≤i≤k} doivent être plus élevés que (Wi, Ui = 0){1≤i≤k}. Le test de Wilcoxon permet justement de comparer deux échantillons indépendants. Il est basé sur la somme des rangs des observations du second échantillon dans l’échantillon complet. On aboutit à la propriété suivante:

Propri´et´e 1 Sous H₀ (φ constante), T = ²^P

k

i=1iU_i^∗−(k+1)Pk i=1Ui

√(k+1)(Pk

i=1Ui)(k−Pk i=1Ui)

√3 → N^L (0,1)

où N(0,1) désigne la loi normale centrée réduite. En pratique, il est nécessaire d’observer au moins 8 MP et 8 MC afin de pouvoir faire une approximation normale.

Autrement, on doit utiliser les tables de la loi de Wilcoxon. Sous l’approximation normale, on construit les tests en d´efinissant leur r´egion critiqueW. On obtient :

Th´eor`eme 2 Tests de monotonie de φ de seuil α :

• (i) Test de “H0 :φ constante” contre “H1 :H₀”: W =

|T|> u^α

2 .

• (ii) Test de “H2 :φ d´ecroissante” contre “H3 :φ croissante”: W ={T > uα}.

• (iii) Test de “H3 :φ croissante” contre “H2 :φ décroissante”: W ={T <−uα}. où uα est le quantile d’ordre 1−α de la loi normale centrée réduite.

Bien que construite de manière très différente, la statistique TD proposée par Desh- pande et Sengupta (1995) est asymptotiquement équivalente à la statistiqueq T. On peut

k(k+1)

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Pour illustrer la d´emarche, on teste sur les donn´ees Norsk-Hydro de la figure 1 si la fonctionφ est croissante en utilisant le test(ii). On obtient comme statistique T = 1.74.

La p-valeur correspondante est α_c = 4.1%. En particulier, en se fixant un seuil de 5%, on conclut que φ est croissante, ce qui est conforme à la visualisation deφ. Le test confirmeb donc qu’un modèle pertinent pour ces données doit avoir une fonction φ croissante.

5. Conclusion et perspectives

Dans ce papier, nous avons présenter deux méthodes, basées sur l’étude de la fonction φ, afin d’avoir des critères de sélection de modèle de risques concurrents. En premier lieu, le comportement de l’estimateur non paramétrique deφpermet visuellement d’opter pour un modèle adapté. On a montré la convergence de cet estimateur. Dans un deuxième temps, on peut effectuer un test de monotonie de φ pour affiner le choix de modèle.

Toutefois, ces méthodes restent très globales. Il serait intéressant de trouver une procédure qui puisse évaluer la pertinence d’un modèle de risque concurrent particulier, comme des statistiques d’adéquation d’un modèle pour un jeu de données. De plus, nous avons porté notre attention sur la fonction φ, mais d’autres fonctions estimables comme les fonctions de sous-survies conditionnelles peuvent être employées. Enfin, les méthodes proposées se placent dans le cadre où les maintenances sont parfaites, et il serait intéressant de généraliser ces critères en présence de maintenance imparfaite.

Bibliographie

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