Forum Bac
ATSM
Association Tunisienne des Sciences Mathématiques
Forum du bac Math
Sousse : 22-23 Mars 2010 Thème : Isométries et similitudes
Exercice 1:
Répondre par vrai ou faux aux questions suivantes, sans donner une justification.
1. La composée de deux homothéties est toujours une homothétie
ä vrai äfaux.
2. La composée de deux rotations peut être une translation
ä vrai äfaux.
3. La seule droite globalement invariante par une symétrie glissanteg est l’axe deg
ä vrai äfaux.
4. Le rapport d’une similitude directe qui admet un seul point invariant est toujours différent de 1
ä vrai äfaux.
5. une homothétie de rapport−2 est une similitude directe de rapport 2 et d’angleπ
ä vrai äfaux.
Exercice 2:
Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois réponses proposées est exacte.
1. Soitf est un déplacement,gantidéplacement tels que f(A)=Betg(B)=AavecA6=B. Alorsg◦f est une :
a)symétrie glissante b) symétrie orthogonale c) translation . 2. Soitf l’application du plan complexe qui àM(z) associe le pointM′(i z), alors f est une
a. similitude indirecte de rap- port 2
b. symétrie orthogonale d’axe y=x
c. symétrie orthogonale d’axe y= −x
3. SoitIun point du plan et la similitude f =R¡I,−π
2
¢◦h(I,−3). Alors la forme réduire def est : a) R¡I,π
2
¢◦h(I,3). b) R¡I,−π
2
¢◦h(I,3) c) R¡I,π
2
¢◦h(I,−3).
4. Soitσla similitude indirecte dont la forme complexe est :z′=2i z, alors une équation cartésienne de son axe est :
a) y=x+1. b) y= −x c) y=x.
Exercice 3:
SoitI AB un triangle rectangle enI direct tel queI A<I B, on noteJle symétrique deI par rapport àB. 1. Soitf la similitude directe telle que f(A)=Bet f(I)=J.
Iso. similitudes 1/3 ATSM
Forum Bac
Forum du Bac 4M
(a) Déterminer l’angle de f. Montrer que f admet un seul point invariant.
(b) SoitO=S(AB)(I), déterminer f <(O A)>et f <(OI)>. En déduire le centre def. (c) Construiref <(AB)>, puisf(B).
2. Soitg la similitude indirecte telle queg(A)=B etg(I)=O.
(a) Montrer que f etg ont le même rapport.
(b) Caractériser alorsf−1◦g.
(c) En déduire queg <(O A)>=(B J) etg <(B J)>=(O A). Déterminer alors la forme réduite de g.
Exercice 4:
Dans le plan orientéP. On donne un carréABC Dde centreOtel que³á# » AB,# » AD´
≡ π 2 [2π].
S1est la similitude directe de centreC qui envoieDsurA.
1. Déterminer le rapport et une mesure de l’angle deS1. 2. On noteB′l’image du pointB parS1.
(a) Montrer queS1〈(DB)〉 =(AB).
(b) Montrer que la droite¡ C B′¢
est tangente au cercle circonscrit au carréABC D. (c) Construire alors le pointB′.
3. S2est la similitude directe qui transformeO enAetAenB. (a) Déterminer et construireB1=S2(C).
(b) Déterminer le rapport et une mesure de l’angle deS2.
(c) En déduire queS2◦S1est une homothétie dont on déterminera le rapport.
4. SoitEle milieu du segment [DC], la droite (AE) coupe la droite (DB) enI. Montrer que les points C,IetB1sont alignés.
Exercice 5:
SoitC un cercle de centreOet de diamètre [BC].
Ale point deC tel que³á# » B A,# » BC´
≡ π
3[2π],A′le point diamétralement opposé àAsurC etI=S(BC)(A) 1. (a) Montrer qu’il existe un unique déplacement f telle quef(A)=Cet f(B)=O.
(b) Montrer quef est une rotation. Montrer queIest le centre de f. (c) Montrer quef(O)=A′.
2. Soitg l’antidéplacement tel queg(A)=A′etg(B)=C. (a) Montrer queg=SO◦S(AB).
(b) Déduire la nature et les éléments caractéristiques deg.
3. SoitEle point tel queOIC Eest un parallélogramme etD=f(C). On poset=f ◦r(D,−π
3). (a) Déterminert(C) est caractérisert.
Iso. similitudes 2/3 ATSM
Forum Bac
Forum du Bac 4M
(b) Déterminert(E). En déduire la nature du triangleE B D Exercice 6:
ABC Dest un parallélogramme de centreOtel queC B=2C D. 1. Soitf la similitude indirecte qui transformeDenCetCenB.
(a) Montrer que f admet un seul point invariantΩ. (b) Montrer quef ◦f est une homothétie.
(c) En déduire que# » DΩ= −1
3
# » DB .
2. SoitGle centre de gravité du triangle AC D.
(a) Montrer queD=Ω∗G. ConstruireΩ.
(b) Prouver que l’axe∆de f est la médiatrice de [GC].
3. On suppose dans cette question³á# » AB,# » AD´
≡ π
2[2π] et on désigne par g la similitude directe qui transformeDenCetCenB.
(a) Montrer queg=S(BC)◦f.
(b) Montrer que le centre deg est le projeté orthogonal deC sur la droite (B D).
Exercice 7:
Dans le plan complexeP rapporté à un repère orthonormé direct¡
O;#»u,#»v¢, on donne les pointsAetB d’affixes respectives−1 eti. Soitf : P −→ P
M(z) 7−→ M′(z′)
tel quez′=(1+i)z+i.
1. (a) Déterminer la nature de f et préciser ses éléments caractéristiques.
(b) SoitM un point distinct deA. Montrer queAM M′est rectangle isocèle enM.
2. On poseM0=Oet on pose pour toutndeN,Mn+1=f(Mn). On désigne parznl’affixe deMn. (a) Montrer que pour toutndeN,zn=(1+i)n−1.
(b) Montrer l’équivalenceO,A,Mnsont alignés⇐⇒nest un multiple de 4.
Exercice 8:
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct¡
O;#»u,#»v¢.
Soitf la similitude indirecte qui à tout pointMd’affixez, associe le pointM′d’affixez′tel que z′= −2i z+2i+1 oùzdésigne le conjugué dez.
1. Déterminer le rapport de f.
2. (a) Montrer que f admet un seul point invariant, on le noteI. Calculer son affixe.
(b) Déterminer l’ensemble des pointsM d’affixeztels que# »
I M′=2# »
I M. En déduire une équation de l’axe de f.
3. On pose M0le point d’affixe 2 et on pose pour tout n de N, Mn+1= f(Mn). On désigne par zn
l’affixe deMn.
(a) Caractériser f ◦f.
(b) Montrer que pour toutndeN,z2n=4n+1 etz2n+1=1−2×4ni.
Iso. similitudes 3/3 ATSM
