Polynôme de reconstruction de type WENO

Polynôme de reconstruction de type WENO

Cuvelier F.

22 juin 2012

Table des matières

1 Notations 1

2 Polynôme d'interpolation d'une fonction 2

3 Polynôme d'interpolation de la dérivée d'une fonction 7

3.1 Calcul de v ¹ p x _i q , v ¹ p x _{i 1 { 2} q et v ¹ p x _{i 1 { 2} q avec 5 points + centré . . . 10

3.2 Calcul de v ¹ p x i q avec 3 points + WENO . . . 11

4 Reconstruction à partir des valeurs moyennes 12 4.1 Grille uniforme . . . 14

4.2 WENO ordre 5 . . . 15

5 old 16 6 Matrices 17 6.1 k=3 . . . 17

6.2 k=4 . . . 17

6.3 k=5 . . . 17

6.4 k=6 . . . 18

6.5 k=7 . . . 18

7 Calcul des coecients de régularités : β r 19 7.1 k 3 . . . 19

7.1.1 Calcul de β 0 . . . 19

7.1.2 Calcul de β 1 . . . 20

7.1.3 Calcul de β 2 . . . 20 Voir [Shu97].

1 Notations

Soient a et b deux réels, a   b et N _x un entier positif. On pose ∆x p b a q{ N _x et x _{i 1 { 2} a i∆x, @ i P v 0, N x w .

On note x i ^x

₂ ^x

le point milieux de l'intervalle r x _{i 1 { 2} , x _{i 1 { 2} s . on a alors x _{1 { 2} a   x ₁   x _{3 { 2}   . . .   x _{i 1 { 2}   x _i   x _{i 1 { 2}   . . .   x _N

_{1 { 2} b.

Soit k P N , on note S k,i p r q un stencil à k points consécutifs déni par S k,i p r q t x i r , . . . , x i r k 1 u

Version du 22 juin 2012 à 16:35

Si i P v k 1, N _x k 1 w, ll y a k choix possible de stencils à k points consécutifs contenant x _i : S k,i p r q , @ r P v 0, k 1 w .

2 Polynôme d'interpolation d'une fonction

On suppose connues les valeurs V i v p x i q , i P v 1, N x w et on souhaite calculer V _{i 1 { 2} v p x _{i 1 { 2} q pour i P v 1, N x 1 w.

Pour cela on utilise des polynômes d'interpolation de Lagrange de degré k 1 judicieusement choisis. Sur chaque intervalle r x _{i 1 { 2} ; x _{i 1 { 2} s , on peut construire un polynôme d'interpolation de degré k 1 en choisissant k points consécutifs contenant x _i (le stencil) : S _k,i p r q t x _{i r} , . . . , x _{i r k 1} u @ r P v 0, k 1 w Il y a donc k choix possible de stencils à k points consécutifs contenant x _i :

S k,i p r q , @ r P v 0, k 1 w .

Le polynôme d'interpolation de Lagrange de degré k 1 associé au stencil S k,i p r q , noté P ^r k,i ^{r s} , vériant P ^r k,i ^{r s} p x _{i r j} q V _{i r j} , @ j P v 0, k 1 w (2.1) est donné par

P ^r k,i ^{r s} p x q

k ¸ 1 j 0

V _{i r j} L ^r _j ^{r s} p x q (2.2) avec

L ^r _j ^{r s} p x q

k ¹ 1 l 0 l j

x x i r l

x _{i r j} x _{i r l} . Soit r P v 0, k 1 w , si la fonction v P C ^{k 1} pr x i r , x i r k 1 s ; Rq alors

P ^r k,i ^{r s} p x q v p x q Op ∆x ^k q , @ x P r x _{i r} , x _{i r k 1} s . (2.3) On cherche à calculer ce polynôme aux points x _{i 1 { 2} et x _{i 1 { 2} . Dans le cas de points équidistants on a

@ r P v 0, k 1 w , @ j P v 0, k 1 w ,

L ^r _j ^{r s} p x _{i 1 { 2} q

k ¹ 1 l 0 l j

r l 1 { 2 j l

L ^r _j ^{r s} p x _{i 1 { 2} q

k ¹ 1 l 0 l j

r l 1 { 2 j l

On déni C ^{p k q} P M k 1,k pRq par @ r P v 0, k w , @ j P v 0, k 1 w

C ^p r ^{k q} 1,j 1

k ¹ 1 l 0 l j

r l 1 { 2

j l . (2.4)

On a alors, @ r P v 0, k 1 w ,

P ^r k,i ^{r s} p x _{i 1 { 2} q

k ¸ 1 j 0

V _{i r j} C ^p r ^{k q} 1,j 1

P ^r k,i ^{r s} p x _{i 1 { 2} q

k ¸ 1 j 0

V _{i r j} C ^p r ^{k q} 2,j 1

Algorithm 2.1 Calcul de la matrice C dénie par (2.4) Données : k : polynôme de degré k 1 .

Résultat : C : matrice de dimension p k 1 q k ...

1: function C Ð CoefStencilsFonc( k )

2: C Ð 0

3: for j Ð 0 to k 1 do

4: P Ð 1

5: for r Ð 0 to k do

6: for l Ð 0 to j 1 do

7: P Ð P p r l 1 { 2 q{p j l q

8: end for

9: for l Ð j 1 to k 1 do

10: P Ð P p r l 1 { 2 q{p j l q

11: end for

12: Cp r 1, j 1 q Ð P

13: end for

14: end for

15: end function

Algorithm 2.2 Calcul des vecteurs V V V et V V V dénis par (5.1) et (5.2) Données : V V V : vecteur de dimension N _x .

k : polynôme de degré k 1 .

C : matrice de dimension p k 1 q k rrr : vecteur de R ^N

.

rrr p i q choix du stencil pour l'intervalle r x _{i 1 { 2} ; x _{i 1 { 2} s . Résultat : V V V : vecteur de R ^N

.

V

V V : vecteur de R ^N

.

1: function r V V V , V V V s Ð FoncLagrangePM( V V V , k, C , rrr )

2: for i Ð 1 to N x do

3: V V V p i q Ð 0

4: V V V p i q Ð 0

5: for j Ð 1 to k do

6: V V V p i q V V V p i q Cp rrr p i q 1, j q V V V p i rrr p i q j 1 q

7: V V V p i q V V V p i q Cp rrr p i q 2, j q V V V p i rrr p i q j 1 q

8: end for

9: end for

10: end function

On a par exemple

Le principe des méthodes de type WENO est de rechercher de nouvelles approximations aux points frontières de la i -ème cellule (i.e. aux points x _{i 1 { 2} et x _{i 1 { 2} ) par une combinaison convexe des k polynômes précédents aux points considérés :

V _{i 1 { 2}

k ¸ 1 r 0

ω _r P ^r k,i ^{r s} p x _{i 1 { 2} q

Pour obtenir la stabilité et la consistance de telles formules, il faut que

ω _r ¥ 0,

k ¸ 1 r 0

ω _r 1. (2.5)

Si la fonction v est régulière sur r x i k 1 , x i k 1 s , c'est à dire sur l'ensemble des stencils S k,i p r q , @ r P v 0, k 1 w , alors il existe des contantes d _r telles que

k ¸ 1 r 0

d _r P ^r k,i ^{r s} p x _{i 1 { 2} q v p x _{i 1 { 2} q Op ∆x ^{2k 1} q et, elles vérient aussi

d _r ¥ 0,

k ¸ 1 r 0

d _r 1. (2.6)

Dans le cas régulier, on souhaite avoir

ω _r d _r O p ∆x ^{k 1} q , @ r P v 0, k 1 w ce qui donne alors

V _{i 1 { 2}

k ¸ 1 r 0

ω _r P ^r k,i ^{r s} p x _{i 1 { 2} q v p x _{i 1 { 2} q O p ∆x ^{2k 1} q . En eet, on déduit de (2.5) et (2.6) la relation suivante

v p x _{i 1 { 2} q

k ¸ 1 r 0

p ω _r d _r q 0 d'où

k ¸ 1 r 0

ω _r P ^r k,i ^{r s} p x i 1 { 2 q

k ¸ 1 r 0

d _r P ^r k,i ^{r s} p x i 1 { 2 q

k ¸ 1 r 0

p ω _r d _r qP ^r k,i ^{r s} p x i 1 { 2 q v p x i 1 { 2 q

k ¸ 1 r 0

p ω _r d _r q

k ¸ 1 r 0

p ω _r d _r q

P ^r k,i ^{r s} p x _{i 1 { 2} q v p x _{i 1 { 2} q

k ¸ 1 r 0

O p ∆x ^{k 1} q O p ∆x ^k q O p ∆x ^{2k 1} q On prend alors

ω _r α _r

° k 1 s 0 α s

, α _r d _r

p ε β r q ² , @ r P v 0, k 1 w (2.7) où β r mesure la régularité de la fonction v pour le stencil S k,i p r q :

β r

k ¸ 1 l 0

» x

x

∆x ^{2l 1}

B ^l P ^r k,i ^{r s}

B x ^l p x q 2

dx (2.8)

Notation 1 On note W k,ε l'application suivante :

"

W k,ε : R ^k R ^k ÝÑ R ^k

p u u u, v v v q ÞÝÑ w w w W k,ε p u u u, v v v q (2.9) où les composantes du vecteur w w w sont données par

w i α i

° k j 1 α j

, α i u i

p ε v i q ² , @ i P v 1, k w (2.10)

En notant d d d p d ₀ , . . . , d _{k 1} q ^t , d d d p d ₀ , . . . , d _{k 1} q ^t et β β β p β ₀ , . . . , β _{k 1} q ^t , on a ω

ω ω W k,ε p d d d , β β β q et ω ω ω W k,ε p d d d , β β β q . Pour k 3, on obtient :

β 0 ¹³ ₁₂ p V i 2V i 1 V i 2 q ^{2 1} ₄ p 3V i 4V i 1 V i 2 q ² β 1 ¹³ ₁₂ p V i 1 2V i V i 1 q ^{2 1} ₄ p V i 1 V i 1 q ² β ₂ ¹³ ₁₂ p V _{i 2} 2V _{i 1} V _i q ^{2 1} ₄ p V _{i 2} 4V _{i 1} 3V _i q ²

(2.11)

et

d ₀ d ₂ 3

10 , d ₁ d ₁ 3

5 , d ₂ d ₀ 1

10 (2.12)

C ^{p 3 q} 1 8

15 10 3

3 6 1

1 6 3

3 10 15

P ^r 3,i ^{0 s} p x _{i 1 { 2} q 1

8 p 15V _i 10V _{i 1} 3V _{i 2} q P ^r 3,i ^{1 s} p x _{i 1 { 2} q 1

8 p 3V i 1 6V i V i 1 q P ^r 3,i ^{2 s} p x _{i 1 { 2} q 1

8 p V i 2 6V i 1 3V i q et

P ^r 3,i ^{0 s} p x _{i 1 { 2} q 1

8 p 3V _i 6V _{i 1} V _{i 2} q P ^r 3,i ^{1 s} p x _{i 1 { 2} q 1

8 p V i 1 6V i 3V i 1 q P ^r 3,i ^{2 s} p x _{i 1 { 2} q 1

8 p 3V i 2 10V i 1 15V i q On a, si u est susament régulière, @ r P v 0, 2 w,

P ^r 3,i ^{r s} p x _{i 1 { 2} q u p x _{i 1 { 2} q O p ∆x ³ q , @ i P v r 1, N r w (2.13) P ^r 3,i ^{r s} p x _{i 1 { 2} q u p x _{i 1 { 2} q Op ∆x ³ q , @ i P v r 1, N r w (2.14) le meilleur polynôme de degré k 1 qui s'écrit comme une combinaison des k polynômes associés aux stencils S k,i p r q , @ r P v 0, k 1 w . Un tel polynôme s'écrit alors sous la forme ,@ i P v k, N k w,

V _{i 1 { 2}

k ¸ 1 r 0

d _r P ^r _k,i ^{r s} p x _{i 1 { 2} q

V _{i 1 { 2}

k ¸ 1 r 0

d _r P ^r k,i ^{r s} p x _{i 1 { 2} q

On peut prendre les coecients d _r et d _r de telle sorte que, si u est susament régulière, V _{i 1 { 2} P ^r 2k ^{k s} 1,i p x _{i 1 { 2} q v p x _{i 1 { 2} q O p ∆x ^{2k 1} q

V _{i 1 { 2} P ^r 2k ^{k s} 1,i p x i 1 { 2 q v p x i 1 { 2 q Op ∆x ^{2k 1} q .

les meilleurs coecients

C ^{p 5 q} 1 384

945 1260 1134 540 105

105 420 210 84 15

15 180 270 60 9

9 60 270 180 15

15 84 210 420 105 105 540 1134 1260 945 ce qui donne plus particulièrement

P ^r 5,i ^{2 s} p x _{i 1 { 2} q 1

384 p 15V _{i 2} 180V _{i 1} 270V _i 60V _{i 1} 9V _{i 2} q (2.15) P ^r 5,i ^{2 s} p x _{i 1 { 2} q 1

384 p 9V _{i 2} 60V _{i 1} 270V _i 180V _{i 1} 15V _{i 2} q (2.16) On cherche d _r et d _r , r P v 0, 2 w tels que

P ^r 5,i ^{2 s} p x _{i 1 { 2} q

¸ 2 r 0

d _r P ^r 3,i ^{r s} p x _{i 1 { 2} q et

P ^r 5,i ^{2 s} p x _{i 1 { 2} q

¸ 2 r 0

d _r P ^r 3,i ^{r s} p x _{i 1 { 2} q .

P ^r 5,i ^{2 s} p x _{i 1 { 2} q 1

8 d ₂ V i 2 p 3d ₁ 6d ₂ q V i 1 p 15d ₀ 6d ₁ 3d ₂ q V i p 10d ₀ d ₁ q V i 1 3d ₀ V i 2

(2.17) En identiant (2.17) et (2.15), on obtient

$ ' ' ' ' &

' ' ' '

%

48 p d ₂ q 15

48 p 3d ₁ 6d ₂ q 180 48 p 3d ₂ 6d ₁ 15d ₀ q 270 48 p 10d ₀ d ₁ q 60

48 p 3d ₀ q 9

ce qui donne

d ₀ 3

48 , d ₁ 30

48 et d ₂ 15 48 . De même

P ^r 5,i ^{2 s} p x i 1 { 2 q 1

8 3d ₂ V i 2 p d ₁ 10d ₂ q V i 1 p 3d ₀ 6d ₁ 153d ₂ q V i p 6d ₀ 3d ₁ q V i 1 d ₀ V i 2

(2.18)

En identiant (2.18) et (2.16), on obtient

$ ' ' ' ' &

' ' ' '

%

48 p 3d ₂ q 9

48 p d ₁ 10d ₂ q 60 48 p 15d ₂ 6d ₁ 3d ₀ q 270 48 p 6d ₀ 3d ₁ q 180

48 p d ₀ q 15

ce qui donne

d ₀ 15

48 , d ₁ 30

48 et d ₂ 3 48 . Les schémas de type WENO s'écrivent

V _{i 1 { 2}

3 Polynôme d'interpolation de la dérivée d'une fonction

On connait v p x i q @ i P v 1, N x w . On souhaite calculer dV i ^dv _dx p x i q , @ i P v 1, N x w et dV _{i 1 { 2} ^dv _dx p x _{i 1 { 2} q ,

@ i P v 0, N x w .

En dérivant l'équation (2.2), on obtient, @ r P v 0, k 1 w , d P ^r k,i ^{r s}

dx p x q

k ¸ 1 j 0

V p x i r j q dL ^r _j ^{r s}

dx p x q @ x P r x i r , x i r k 1 s (3.1) avec @ j P v 0, k 1 w

dL ^r _j ^{r s} dx p x q

k ¸ 1 m 0 m j

k ¹ 1 l 0 l j,m

p x x i r l q

k ¹ 1 l 0 l j

p x _{i r j} x _{i r l} q

, @ x P r x _{i 1 { 2} , x _{i 1 { 2} s (3.2)

Comme les points sont équidistants, on obtient

dL ^r _j ^{r s}

dx p x _i q

k ¸ 1 m 0 m j

k ¹ 1 l 0 l j,m

p r l q

∆x

k ¹ 1 l 0 l j

p j l q

(3.3)

dL ^r _j ^{r s}

dx p x _{i 1 { 2} q

k ¸ 1 m 0 m j

k ¹ 1 l 0 l j,m

p r l 1 { 2 q

∆x

k ¹ 1 l 0 l j

p j l q

(3.4)

dL ^r _j ^{r s}

dx p x _{i 1 { 2} q

k ¸ 1 m 0 m j

k ¹ 1 l 0 l j,m

p r l 1 { 2 q

∆x

k ¹ 1 l 0 l j

p j l q

(3.5)

(3.6) On déni D P M k,k pRq par @ r P v 0, k 1 w , @ j P v 0, k 1 w

D r 1,j 1

k ¸ 1 m 0 m j

k ¹ 1 l 0 l j,m

p r l q

∆x

k ¹ 1 l 0 l j

p j l q

. (3.7)

et ¯

D P M k 1,k pRq par @ r P v 0, k w , @ j P v 0, k 1 w

D ¯ r 1,j 1

k ¸ 1 m 0 m j

k ¹ 1 l 0 l j,m

p r l 1 { 2 q

∆x

k ¹ 1 l 0 l j

p j l q

. (3.8)

On a alors

d P ^r _k,i ^{r s}

dx p x _i q

k ¸ 1 j 0

V _{i r j} D r 1,j 1

d P ^r k,i ^{r s}

dx p x _{i 1 { 2} q

k ¸ 1 j 0

V i r j D ¯ r 1,j 1

d P ^r _k,i ^{r s}

dx p x _{i 1 { 2} q

k ¸ 1 j 0

V _{i r j} ¯ D r 2,j 1

On note dV dV dV , dV dV dV et dV dV dV les trois vecteurs de R ^N

dénis par, @ i P v 1, N x w ,

$ ' ' ' ' ' ' ' ' &

' ' ' ' ' ' ' '

%

dV _i d P ^r _k,i ^{R p i qs} dx p x _i q dV _i d P ^r k,i ^{R p i qs}

dx p x _{i 1 { 2} q dV _i d P ^r k,i ^{R p i qs}

dx p x _{i 1 { 2} q

(3.9)

(3.10)

(3.11)

où R p i q est le choix du stencil de ENO associé à l'intervalle r x _{i 1 { 2} ; x _{i 1 { 2} s .

Algorithm 3.1 Calcul des matrices D et D ¯ dénies en (3.7) et (3.8) Données : k : polynôme de degré k 1 .

Résultat : D : matrice de M k,k pRq , D ¯ : matrice de M k 1,k pRq

1: function rD , Ds Ð CoefStencilsDiff( ¯ k, h )

2: D Ð 0

3: ¯

D Ð 0

4: denom Ð 0 ™ vecteur de dimension k

5: for j Ð 0 to k 1 do

6: P Ð 1

7: for l Ð 0 to k , l j do

8: P Ð P p j l q

9: end for

10: denom p j 1 q Ð h P

11: end for

12: for j Ð 0 to k 1 do

13: for r Ð 0 to k 1 do ™ calcul de D

14: S Ð 0

15: for m Ð 0 to k 1, m j do

16: P Ð 1

17: for l Ð 0 to k 1, l j, l m do

18: P Ð P p r l q

19: end for

20: S Ð S P

21: end for

22: Dp r 1, j 1 q Ð S { denom p j 1 q

23: end for

24: for r Ð 0 to k do ™ calcul de D ¯

25: S Ð 0

26: for m Ð 0 to k 1, m j do

27: P Ð 1

28: for l Ð 0 to k 1, l j, l m do

29: P Ð P p r l 1 { 2 q

30: end for

31: S Ð S P

32: end for

33: Dp ¯ r 1, j 1 q Ð S { denom p j 1 q

34: end for

35: end for

36: end function

Algorithm 3.2 Calcul du vecteur dV dV dV déni par (3.9) Données : V V V : vecteur de dimension N _x .

k : polynôme de degré k 1 .

D : matrice de de M k,k pRq , dénie par (3.7) rrr : vecteur de R ^N

.

rrr p i q choix du stencil pour l'intervalle r x _{i 1 { 2} ; x _{i 1 { 2} s . Résultat : dV dV dV : vecteur de R ^N

.

1: function dV dV dV Ð DiffFoncLagrange( V V V , k, D , rrr )

2: for i Ð 1 to N x do

3: dV dV dV p i q Ð 0

4: for j Ð 1 to k do

5: dV dV dV p i q dV dV dV p i q Dp rrr p i q 1, j q V V V p i rrr p i q j 1 q

6: end for

7: end for

8: end function

Algorithm 3.3 Calcul des vecteurs dV dV dV et dV dV dV dénis par (3.10) et (3.10) Données : V V V : vecteur de dimension N x .

k : polynôme de degré k 1 .

D ¯ : matrice de de M k 1,k pRq , dénie par (3.8) rrr : vecteur de R ^N

.

rrr p i q choix du stencil pour l'intervalle r x _{i 1 { 2} ; x _{i 1 { 2} s . Résultat : dV dV dV : vecteur de R ^N

.

dV dV dV : vecteur de R ^N

.

1: function r dV dV dV , dV dV dV s Ð DiffFoncLagrangePM( V V V , k, D ¯ , rrr )

2: for i Ð 1 to N _x do

3: dV dV dV p i q Ð 0

4: dV dV dV p i q Ð 0

5: for j Ð 1 to k do

6: dV dV dV p i q dV dV dV p i q Dp ¯ rrr p i q 1, j q V V V p i rrr p i q j 1 q

7: dV dV dV p i q dV dV dV p i q Dp ¯ rrr p i q 2, j q V V V p i rrr p i q j 1 q

8: end for

9: end for

10: end function

3.1 Calcul de v ¹ p x _i q , v ¹ p x _{i 1 { 2} q et v ¹ p x _{i 1 { 2} q avec 5 points + centré

Pour k 5, on a

D 1 12∆x

25 48 36 16 3 3 10 18 6 1

1 8 0 8 1

1 6 18 10 3 3 16 36 48 25

, D ¯ 1 24∆x

93 229 225 111 22

22 17 9 5 1

1 27 27 1 0

0 1 27 27 1

1 5 9 17 22

22 111 225 229 93

,

On obtient les formules centrées pour r 2 : d P ^r 5,i ^{2 s}

dx p x _i q 1

12∆x p V _{i 2} 8V _{i 1} 8V _{i 1} V _{i 2} q (3.12) d P ^r 5,i ^{2 s}

dx p x _{i 1 { 2} q 1

24∆x p V _{i 2} 27V _{i 1} 27V _i V _{i 1} q (3.13) d P ^r 5,i ^{2 s}

dx p x _{i 1 { 2} q 1

24∆x p V _{i 1} 27V _i 27V _{i 1} V _{i 2} q (3.14)

3.2 Calcul de v ¹ p x _i q avec 3 points + WENO

Pour k 3, on a

D 1 2∆x

3 4 1 1 0 1

1 4 3

, D ¯ 1

∆x

2 3 1 1 1 0

0 1 1

1 3 2

,

Ce qui donne

d P ^r 3,i ^{0 s}

dx p x i q 1

2∆x p 3V i 4V i 1 V i 2 q d P ^r 3,i ^{1 s}

dx p x i q 1

2∆x p V i 1 V i 1 q d P ^r 3,i ^{2 s}

dx p x i q 1

2∆x p V i 2 4V i 1 3V i q d P ^r 3,i ^{0 s}

dx p x _{i 1 { 2} q 1

∆x p 2V _i 3V _{i 1} V _{i 2} q d P ^r 3,i ^{1 s}

dx p x _{i 1 { 2} q 1

∆x p V i V i 1 q d P ^r 3,i ^{2 s}

dx p x _{i 1 { 2} q 1

∆x p V i 1 V i q d P ^r 3,i ^{0 s}

dx p x _{i 1 { 2} q 1

∆x p V _i V _{i 1} q d P ^r 3,i ^{1 s}

dx p x _{i 1 { 2} q 1

∆x p V _{i 1} V _i q d P ^r 3,i ^{2 s}

dx p x _{i 1 { 2} q 1

∆x p V _{i 2} 3V _{i 1} 2V _i q On cherche κ _r tels que

d P ^r 5,i ^{2 s}

dx p x _i q

¸ 2 r 0

κ _r d P ^r 3,i ^{r s}

dx p x _i q . C'est à dire

2∆x d P ^r 5,i ^{2 s}

dx p x i q κ 0 p 3V i 4V i 1 V i 2 q κ 1 p V i 1 V i 1 q κ 2 p V i 2 4V i 1 3V i q

κ 2 V i 2 p κ 1 4κ 2 q V i 1 p 3κ 0 3κ 2 q V i p 4κ 0 κ 1 q V i 1 κ 0 V i 2 .

En identiant avec (3.12), on est amené à résoudre le système

0 0 1

0 1 4 3 0 3

4 1 0

1 0 0

κ ₀

κ ₁ κ ₂

1

6 ⁴ ₃

0

4

3 ¹ ₆

ce qui donne

κ 0 1 { 6, κ 1 2 { 3, κ 2 1 { 6.

Soient κ κ κ p κ ₀ , . . . , κ _{k 1} q ^t et β β β p β ₀ , . . . , β _{k 1} q ^t deux vecteurs de R ^k . On note κ κ κ

p κ

₀ , . . . , κ

_{k 1} q ^t le vecteur de R ^k déni par

κ κ κ

W ε p κ κ κ, β β β q Alors l'approximation de WENO de v ¹ p x i q est donnée par

dV _i

¸ 3 r 0

κ

_r d P ^r 3,i ^{r s}

dx p x _i q (3.15)

Soient κ κ κ p κ 0 , . . . , κ k 1 q ^t et β β β p β 0 , . . . , β k 1 q ^t deux vecteurs de R ^k . On note W k,ε la fonction de R ^k R ^k à valeurs dans R ^k qui pour tous vecteurs u u u et v v v de R ^k

4 Reconstruction à partir des valeurs moyennes

On suppose connues les valeurs moyennes de v sur chaque intervalle

¯ v i 1

∆x _i

» x

x

v p ξ q dξ, donné @ i P v 1, N w . Pour chaque i P v 1, N w , on cherche à évaluer v p x _i q , v p x _{i 1 { 2} q et v p x _{i 1 { 2} q .

Soit

V p x q

» x x

v p ξ q dξ, @ x P r a; b s (4.1) une primitive de v . On a alors, de manière exacte,

V p x _{i 1 { 2} q

¸ i j 1

» x

x

v p ξ q dξ

¸ i j 1

∆x j ¯ v j , @ i P v 0, N w (4.2) Le polynôme d'interpolation de Lagrange de degré k associé au stencil S _{k 1,i} p r 1 { 2 q est donné par

Q ^r k,i ^{r 1 { 2 s} p x q

¸ k m 0

V _{i r m 1 { 2} L ^r _m ^{r 1 { 2 s} p x q @ x P r x _{i 1 { 2} , x _{i 1 { 2} s (4.3) avec

L ^r _m ^{r 1 { 2 s} p x q

¹ k l 0 l m

x x _{i r l 1 { 2} x _{i r m 1 { 2} x _{i r l 1 { 2} .

Soit r P v 0, k 1 w , si la fonction v est régulière sur r x _{i r 1 { 2} , x _{i r k 1 { 2} s alors, @ x P r x _{i r 1 { 2} , x _{i r k 1 { 2} s , Q ^r _k,i ^{r 1 { 2 s} p x q V p x q O p ∆x ^{k 1} q (4.4) d Q ^r k,i ^{r 1 { 2 s}

dx p x q V ¹ p x q Op ∆x ^k q v p x q Op ∆x ^k q . (4.5)

On pose

P ^r k,i ^{r 1 { 2 s} d Q ^r k,i ^{r 1 { 2 s}

dx . On a alors, @ j P v i r, i k r 1 w ,

1

∆x _j

» x

x

P ^r _k,i ^{r 1 { 2 s} p ξ q dξ 1

∆x _j

» x

x

d Q ^r k,i ^{r 1 { 2 s}

dx p ξ q dξ

1

∆x _j V p x _{j 1 { 2} q V p x _{j 1 { 2} q

1

∆x j

» x

x

v p ξ q dξ

» x

x

v p ξ q dξ

1

∆x j

» x

x

v p ξ q dξ ¯ v _j .

De part une propriété évidente des polynômes de base de Lagrange, on a

¸ k m 0

L ^r _m ^{r 1 { 2 s} p x q 1.

On en déduit alors

Q ^r k,i ^{r 1 { 2 s} p x q V p x _{i r 1 { 2} q

¸ k m 0

p V p x _{i r m 1 { 2} q V p x _{i r 1 { 2} qq L ^r _m ^{r 1 { 2 s} p x q (4.6) Or d'après (4.2),

V p x _{i r m 1 { 2} q V p x _{i r 1 { 2} q

i r ¸ m 1 j 1

∆x _j v ¯ _j

i ¸ r 1 j 1

∆x _j v ¯ _j

i r ¸ m 1 j i r

∆x j v ¯ j

m ¸ 1 j 0

∆x i r j v ¯ i r j .

Q ^r k,i ^{r 1 { 2 s} p x q V p x _{i r 1 { 2} q

¸ k m 0

m ¸ 1 j 0

∆x i r j v ¯ i r j L ^r _m ^{r 1 { 2 s} p x q (4.7) En permuttant les boucles, on obtient

Q ^r k,i ^{r 1 { 2 s} p x q V p x _{i r 1 { 2} q

k ¸ 1 j 0

¸ k m j 1

∆x i r j v ¯ i r j L ^r _m ^{r 1 { 2 s} p x q (4.8) En dérivant cette equation, on a

P ^r k,i ^{r 1 { 2 s} p x q

k ¸ 1 j 0

∆x i r j v ¯ i r j

¸ k m j 1

dL ^r m ^{r 1 { 2 s}

dx p x q (4.9)

Or

dL ^r m ^{r 1 { 2 s}

dx p x q

¸ k l 0 l m

¹ k q 0 q m,l

p x x _{i r q 1 { 2} q

¹ k l 0

p x _{i r m 1 { 2} x _{i r l 1 { 2} q

ce qui donne

P ^r k,i ^{r 1 { 2 s} p x q

k ¸ 1 j 0

∆x i r j v ¯ i r j

¸ k m j 1

¸ k l 0 l m

¹ k q 0 q m,l

p x x _{i r q 1 { 2} q

¹ k l 0 l m

p x _{i r m 1 { 2} x _{i r l 1 { 2} q

(4.10)

et plus particulièrement

v _{i 1 { 2} P ^r k,i ^{r 1 { 2 s} p x _{i 1 { 2} q

k ¸ 1 j 0

d rj p x _{i 1 { 2} q ¯ v i r j (4.11)

v _{i 1 { 2} P ^r k,i ^{r 1 { 2 s} p x _{i 1 { 2} q

k ¸ 1 j 0

d rj p x _{i 1 { 2} q ¯ v i r j (4.12)

v i P ^r k,i ^{r 1 { 2 s} p x i q

k ¸ 1 j 0

d rj p x i q v ¯ i r j (4.13) avec

d _rj p x q ∆x _{i r j}

¸ k m j 1

¸ k l 0 l m

¹ k q 0 q m,l

p x x i r q 1 { 2 q

¹ k l 0 l m

p x _{i r m 1 { 2} x _{i r l 1 { 2} q

(4.14)

4.1 Grille uniforme

On suppose ici que ∆x ∆x _i . Soit D ^{r k s} P M k 1,k pRq , la matrice dénie par

D ^r r ^{k s} 2,j 1

¸ k m j 1

¸ k l 0 l m

¹ k q 0 q m,l

p r q 1 q

¹ k l 0 l m

p m l q

, @ r P v 1, k 1 w , @ j P v 0, k 1 w , (4.15)

et ¯

D ^{r k s} P M k pRq , la matrice dénie par

D ¯ ^r r ^{k s} 1,j 1

¸ k m j 1

¸ k l 0 l m

¹ k q 0 q m,l

p r q 1 { 2 q

¹ k l 0 l m

p m l q

, @p r, j q P v 0, k 1 w ² . (4.16)

On a alors

P ^r k,i ^{r 1 { 2 s} p x _{i 1 { 2} q

k ¸ 1 j 0

D ^r r ^{k s} 2,j 1 ¯ v _{i r j} (4.17)

P ^r k,i ^{r 1 { 2 s} p x _{i 1 { 2} q

k ¸ 1 j 0

D ^r r ^{k s} 1,j 1 ¯ v _{i r j} (4.18)

P ^r k,i ^{r 1 { 2 s} p x _i q

k ¸ 1 j 0

D ¯ ^r r ^{k s} 1,j 1 ¯ v _{i r j} (4.19)

et on a, d'après (4.5) et @ r P v 0, k 1 w ,

v p x _{i 1 { 2} q P ^r k,i ^{r 1 { 2 s} p x _{i 1 { 2} q O p ∆x ^k q (4.20) v p x _{i 1 { 2} q P ^r k,i ^{r 1 { 2 s} p x _{i 1 { 2} q Op ∆x ^k q (4.21) v p x i q P ^r k,i ^{r 1 { 2 s} p x i q Op ∆x ^k q . (4.22)

4.2 WENO ordre 5

On cherche α _r P R , α r P R , r P v 0, 2 w tels que P ^r 5,i ^{2 1 { 2 s} p x _{i 1 { 2} q

¸ 2 r 0

α _r P ^r 3,i ^{r 1 { 2 s} p x _{i 1 { 2} q (4.23)

P ^r 5,i ^{2 1 { 2 s} p x _{i 1 { 2} q

¸ 2 r 0

α _r P ^r 3,i ^{r 1 { 2 s} p x _{i 1 { 2} q (4.24)

P ^r 5,i ^{2 1 { 2 s} p x i q

¸ 2 r 0

α r P ^r 3,i ^{r 1 { 2 s} p x i q (4.25) On a, pour k 3

D ^{r 3 s} 1 6

11 7 2

2 5 1

1 5 2 2 7 11

et r D ^{r 3 s} 1 24

23 2 1 1 26 1 1 2 23

On a, pour k 5

D ^{r 5 s} 1 60

137 163 137 63 12

12 77 43 17 3

3 27 47 13 2

2 13 47 27 3

3 17 43 77 12 12 63 137 163 137

et r D ^{r 5 s} 1 1920

1689 684 746 364 71 71 2044 26 36 9

9 116 2134 116 9

9 36 26 2044 71

71 364 746 684 1689

Ce qui donne

P ^r 3,i ^{0 1 { 2 s} p x _{i 1 { 2} q D ^r 1,: ^{3 s} v ¯ _{i:i 2} , P ^r 3,i ^{1 1 { 2 s} p x _{i 1 { 2} q D ^r 2,: ^{3 s} v ¯ _{i 1:i 1} , P ^r 3,i ^{2 1 { 2 s} p x _{i 1 { 2} q D ^r 3,: ^{3 s} ¯ v _{i 2:i} , (4.26) P ^r 3,i ^{0 1 { 2 s} p x _{i 1 { 2} q D ^r 2,: ^{3 s} v ¯ i:i 2 , P ^r 3,i ^{1 1 { 2 s} p x _{i 1 { 2} q D ^r 3,: ^{3 s} v ¯ i 1:i 1 , P ^r 3,i ^{2 1 { 2 s} p x _{i 1 { 2} q D ^r 4,: ^{3 s} ¯ v i 2:i , (4.27) P ^r 3,i ^{0 1 { 2 s} p x i q r D ^r 1,: ^{3 s} v ¯ i:i 2 , P ^r 3,i ^{1 1 { 2 s} p x i q r D ^r 2,: ^{3 s} v ¯ i 1:i 1 , P ^r 3,i ^{2 1 { 2 s} p x i q r D ^r 3,: ^{3 s} v ¯ i 2:i . (4.28) et

P ^r 5,i ^{2 1 { 2 s} p x _{i 1 { 2} q D ^r 3,: ^{5 s} v ¯ i 2:i 2 (4.29) P ^r 5,i ^{2 1 { 2 s} p x _{i 1 { 2} q D ^r 4,: ^{5 s} v ¯ _{i 2:i 2} (4.30) P ^r 5,i ^{2 1 { 2 s} p x _i q r D ^r 3,: ^{5 s} v ¯ _{i 2:i 2} (4.31) P ^r 5,i ^{2 1 { 2 s} p x _{i 1 { 2} q 1

60 p 3¯ v i 2 27¯ v i 1 47¯ v i 13¯ v i 1 2¯ v i 2 q (4.32) P ^r 5,i ^{2 1 { 2 s} p x _{i 1 { 2} q 1

60 p 2¯ v i 2 13¯ v i 1 47¯ v i 27¯ v i 1 3¯ v i 2 q (4.33) De (4.23), on obtient

P ^r 5,i ^{2 1 { 2 s} p x _{i 1 { 2} q 1

6 α ₀ p 11¯ v _i 7¯ v _{i 1} 2¯ v _{i 2} q α ₁ p 2¯ v _{i 1} 5¯ v _i v ¯ _{i 1} q α ₂ p ¯ v _{i 2} 5¯ v _{i 1} 2¯ v _i q

1

6

α ₂ ¯ v _{i 2} p 2α ₁ 5α ₂ q ¯ v _{i 1} p 11α ₀ 5α ₁ 2α ₂ q v ¯ _i p 7α α q ¯ v 2α v ¯

.

Par identication, on est amené à résoudre le système

$ ' ' ' ' &

' ' ' '

%

α _{2 10} ³

2α ₁ 5α ₂ ²⁷ ₁₀ 11α ₀ 5α ₁ 2α ₂ ⁴⁷ ₁₀ 7α ₀ α ₁ ¹³ ₁₀

2α _{0 10} ²

ce qui donne

α ₀ 1

10 , α ₁ 6

10 et α ₂ 3

10 . (4.34)

De (4.24), on obtient P ^r 5,i ^{2 1 { 2 s} p x _{i 1 { 2} q 1

6 α ₀ p 2¯ v _i 5¯ v _{i 1} v ¯ _{i 2} q α ₁ p ¯ v _{i 1} 5¯ v _i 2¯ v _{i 1} q α ₂ p 2¯ v _{i 2} 7¯ v _{i 1} 11¯ v _i q

1

6

2α ₂ v ¯ _{i 2} p α ₁ 7α ₂ q v ¯ _{i 1} p 2α ₀ 5α ₁ 11α ₂ q v ¯ _i p 5α ₀ 2α ₁ q v ¯ _{i 1} α ₀ ¯ v _{i 2}

. Par identication, on est amené à résoudre le système

$ ' ' ' ' &

' ' ' '

%

2α _{2 10} ²

α ₁ 7α ₂ ¹³ ₁₀ 2α ₀ 5α ₁ 11α ₂ ⁴⁷ ₁₀ 5α ₀ 2α ₁ ²⁷ ₁₀

2α _{0 10} ³

ce qui donne

α ₀ 3

10 , α ₁ 6

10 et α ₂ 1

10 . (4.35)

De (4.25), on obtient P ^r 5,i ^{2 1 { 2 s} p x i q 1

24 p α 0 p 23¯ v i 2¯ v i 1 ¯ v i 2 q α 1 p ¯ v i 1 26¯ v i ¯ v i 1 q α 2 p ¯ v i 2 2¯ v i 1 23¯ v i qq

1

24 r α 2 v ¯ i 2 p α 1 2α 2 q v ¯ i 1 p 23α 0 26α 1 23α 2 q ¯ v i

p 2α ₀ α ₁ q ¯ v _{i 1} α ₀ ¯ v _{i 2} s . Par identication, on est amené à résoudre le système

$ ' ' ' ' &

' ' ' '

%

α 2 ⁹ ₁₉₂₀ ²⁴ α 1 2α 2 116 24

1920

23α 0 26α 1 23α 2 ²¹³⁴ ₁₉₂₀ ²⁴

2α 0 α 1 116 24

α 0 ⁹ ₁₉₂₀ ²⁴ 1920

ce qui donne

α 0

9

80 , α 1 98 80 et α 2

9

80 . (4.36)

5 old

On note V V V et V V V les deux vecteurs de R ^N

dénis par, @ i P v 1, N x w ,

$ &

%

V _i P ^r k,i ^{R p i qs} p x _{i 1 { 2} q V _i P ^r _k,i ^{R p i qs} p x _{i 1 { 2} q

(5.1)

(5.2)

où R p i q est le choix du stencil de ENO associé à l'intervalle r x _{i 1 { 2} ; x _{i 1 { 2} s .

6 Matrices

6.1 k=3

C ^{r 3 s} 1 8

15 10 3

3 6 1

1 6 3

3 10 15

D ^{r 3 s} 1 2∆x

3 4 1 1 0 1

1 4 3

D ¯ ^{r 3 s} 1

∆x

2 3 1 1 1 0

0 1 1

1 3 2

6.2 k=4

C ^{r 4 s} 1 16

35 35 21 5

5 15 5 1

1 9 9 1

1 5 15 5

5 21 35 35

D ^{r 4 s} 1 6∆x

11 18 9 2 2 3 6 1

1 6 3 2

2 9 18 11

D ¯ ^{r 4 s} 1 24∆x

71 141 93 23

23 21 3 1

1 27 27 1

1 3 21 23

23 93 141 71

6.3 k=5

C ^{r 5 s} 1 128

315 420 378 180 35

35 140 70 28 5

5 60 90 20 3

3 20 90 60 5

5 28 70 140 35 35 180 378 420 315

D ^{r 5 s} 1 12∆x

25 48 36 16 3 3 10 18 6 1

1 8 0 8 1

1 6 18 10 3 3 16 36 48 25

D ¯ ^{r 5 s} 1 24∆x

93 229 225 111 22

22 17 9 5 1

1 27 27 1 0

0 1 27 27 1

1 5 9 17 22

22 111 225 229 93

6.4 k=6

C ^{r 6 s} 1 256

693 1155 1386 990 385 63

63 315 210 126 45 7

7 105 210 70 21 3

3 25 150 150 25 3

3 21 70 210 105 7

7 45 126 210 315 63

63 385 990 1386 1155 693

D ^{r 6 s} 1 60∆x

137 300 300 200 75 12 12 65 120 60 20 3

3 30 20 60 15 2

2 15 60 20 30 3

3 20 60 120 65 12

12 75 200 300 300 137

D ¯ ^{r 6 s} 1 1920∆x

9129 26765 34890 25770 10205 1689 1689 1005 1430 1110 435 71

71 2115 2070 10 45 9

9 125 2250 2250 125 9

9 45 10 2070 2115 71

71 435 1110 1430 1005 1689 1689 10205 25770 34890 26765 9129

6.5 k=7

C ^{r 7 s} 1 1024

3003 6006 9009 8580 5005 1638 231 231 1386 1155 924 495 154 21 21 378 945 420 189 54 7

7 70 525 700 175 42 5

5 42 175 700 525 70 7

7 54 189 420 945 378 21

21 154 495 924 1155 1386 231 231 1638 5005 8580 9009 6006 3003

D ^{r 7 s} 1 60∆x

147 360 450 400 225 72 10 10 77 150 100 50 15 2

2 24 35 80 30 8 1

1 9 45 0 45 9 1

1 8 30 80 35 24 2

2 15 50 100 150 77 10 10 72 225 400 450 360 147

D ¯ ^{r 7 s} 1 1920∆x

10756 36527 59295 58310 34610 11451 1627 1627 633 2360 2350 1365 443 62

62 2061 1935 190 180 63 9

9 125 2250 2250 125 9 0

0 9 125 2250 2250 125 9

9 63 180 190 1935 2061 62

62 443 1365 2350 2360 633 1627 1627 11451 34610 58310 59295 36527 10756

7 Calcul des coecients de régularités : β _r

On pose h ∆x. Soit k P N et r P v 0, k 1 w . On veut calculer β _r qui mesure la régularité du polynôme d'interpolation de Lagrange pour la fonction v sur le stencil S k,i p r q . On choisi

β _r

k ¸ 1 l 0

» x

x

∆x ^{2l 1}

B ^l P ^r _k,i ^{r s} B x ^l p x q

²

dx (7.1)

avec

P ^r k,i ^{r s} p x q

k ¸ 1 j 0

V i r j L ^r _j ^{r s} p x q et

L ^r _j ^{r s} p x q

k ¹ 1 l 0 l j

x x i r l

x i r j x i r l

.

7.1 k 3

On a, @ r P v 0, 2 w ,

β r 1 h

» x

x

P ^r 3,i ^{r s} p x q ² dx h

» x

x

BP ^r 3,i ^{r s}

B x p x q 2

dx h ³

» x

x

B ² P ^r 3,i ^{r s}

B x ² p x q 2

dx

1

h

» h { 2 h { 2

P ^r 3,i ^{r s} p x _i s q ² ds h

» h { 2 h { 2

BP ^r 3,i ^{r s}

B x p x _i s q 2

ds h ³

» h { 2 h { 2

B ² P ^r 3,i ^{r s}

B x ² p x _i s q 2

ds

7.1.1 Calcul de β ₀ On a

P ^r 3,i ^{0 s} p x q V i L ^r ₀ ^{0 s} p x q V i 1 L ^r ₁ ^{0 s} p x q V i 2 L ^r ₂ ^{0 s} p x q et, en posant x x _i s,

L ^r ₀ ^{0 s} p x q L ^r ₀ ^{0 s} p x _i s q 1

h ² p s h qp s 2h q L ^r ₁ ^{0 s} p x q L ^r ₁ ^{0 s} p x i s q 1

h ² s p s 2h q L ^r ₂ ^{0 s} p x q L ^r ₂ ^{0 s} p x i s q 1

h ² s p s h q ce qui donne,

P ^r 3,i ^{0 s} p x q P ^r 3,i ^{0 s} p s x i q 1

h ² t V i p s h qp s 2h q V i 1 s p s 2h q V i 2 s p s h qu β 0 4423

240 V _i ² 881 40 V i V i 1

621 40 V i V i 2

2083

240 V _i ² ₁ 521

40 V i 1 V i 2

1303

240 V _i ² ₂

7.1.2 Calcul de β ₁ On a

P ^r 3,i ^{1 s} p x q V i 1 L ^r ₀ ^{1 s} p x q V i L ^r ₁ ^{1 s} p x q V i 1 L ^r ₂ ^{1 s} p x q et, en posant x x i s,

L ^r ₀ ^{1 s} p x q L ^r ₀ ^{1 s} p x i s q 1

h ² s p s h q L ^r ₁ ^{1 s} p x q L ^r ₁ ^{1 s} p x i s q 1

h ² p s h qp s h q L ^r ₂ ^{1 s} p x q L ^r ₂ ^{1 s} p x i s q 1

h ² p s h q s ce qui donne,

P ^r 3,i ^{1 s} p x q P ^r 3,i ^{1 s} p s x i q 1

h ² t V i 1 s p s h q V i p s h qp s h q V i 1 p s h q s u β ₁ 1243

240 V _i ² 341

40 V _i V _{i 1} 341

40 V _i V _{i 1} 1303

240 V _i ² ₁ 261

40 V _{i 1} V _{i 1} 1303 240 V _i ² ₁ 7.1.3 Calcul de β ₂

On a

P ^r 3,i ^{2 s} p x q V i 2 L ^r ₀ ^{2 s} p x q V i 1 L ^r ₁ ^{2 s} p x q V i L ^r ₂ ^{2 s} p x q et, en posant x x i s,

L ^r ₀ ^{2 s} p x q L ^r ₀ ^{2 s} p x i s q 1

h ² p s h q s L ^r ₁ ^{2 s} p x q L ^r ₁ ^{2 s} p x i s q 1

h ² p s 2h q s L ^r ₂ ^{2 s} p x q L ^r ₂ ^{2 s} p x i s q 1

h ² p s 2h qp s h q ce qui donne,

P ^r 3,i ^{1 s} p x q P ^r 3,i ^{1 s} p s x i q 1

h ² t V i 2 p s h q s V i 1 p s 2h q s V i p s 2h qp s h qu β ₂ 4423

240 V _i ² 881

40 V _i V _{i 1} 621

40 V _i V _{i 2} 2083

240 V _i ² ₁ 521

40 V _{i 1} V _{i 2} 1303 240 V _i ² ₂

Références

[Shu97] Chi-Wang Shu. Essentially non-oscillatory and weighted essentially non-oscillatory schemes for hyper-

bolic conservation laws. NASA/ICASE Report, 65, 1997.