Généralisation et optimisation de la méthode vectorielle d'analyse de la texture

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Albert Vadon. Généralisation et optimisation de la méthode vectorielle d’analyse de la texture. Cristal-lographie. Université Paul Verlaine - Metz, 1981. Français. �NNT : 1981METZ005S�. �tel-01775630�

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A l b e r t V A D 0 N

M a î t r e - A s s i s t a n t à l ' E c o l e N a t i o n a r e d ' I n g ê n i e u r s d e M e t z

r tBLtOt l-rteuc uiv r v rnSttRiÂe

T H È S E s o u t e n u e l e 1 8 D é c e m b r e 1 9 8 1 â l ' U . E . R . d e S c i e n c e s E x a c t e s e t N a t u r e l l e S r o , u d e I ' U n i v e r s i t é d e M e t z e n v u e d e I ' o b t e n t i o n d u g r a d e d e D o c t e u r è s S c i e n c e s J U R Y

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Rapporteurs Exami nateurs M M . H . R . W E N K , U n i v e r s i t é d e B e r k e l e y ( U . S . A . ) P . C0ULOMB, U n i v e r s i t é d e T o u l o u s e R . B A R O , U n i v e r s i t é d e M e t z H . J . B U N G E , U n i v e r s i t é d e C l a u s t h a l - Z e l l e r f e l d ( R . F . A . ) C. CAMBAT0S, _{Université de Metz}

D . R U E R , U n i v e r s i t é d e M e t z - METZ

sh{j sl ;

éRè

PJ

Qà-t

Je voudnoLs ,Leme,LoLerl tout. d'abond Lz Pttodu,seun R. RAR1 cawL a bLen vou.Lu dLnLgzn cette neehenel+e, pon I-a condianee c1u'iL m'a touloun't têmoign'ee zt rrou)L,son tou.tLen mon-t.[- tun 'Lequz.L _{!'a'L touiouns pu eompten.}

J,aLmenaLt )Leme,Leien au^^i Moyuie-un Pienne MAURICE, Oil-ec'tewt de L'EcoLz NaLLona,(.e d'Ingê.wLzuU de Metz. C'Ut. Lui cawL m'a" pttopoa'e, en 1969, de vewLn A L,E.N.I. de Metz pou)L U en^eignQh e"t e'staqen en môme tenpa d'itvL-L1a.LÀen une neeitenche daru ce tApe d' Ecole. ConvaLncu clue le panvLendnd,i A m(,.nz,L _{de dnont non îtt-ava(L de necl+enche} et. na tÂ"che p'edagogicaue - LtLë Lounde-pa,L6oi - i,(. nta cu^A de ne ,soubewtn e[dleacement. IL a en panLLctil-La-n vvL6 A na d,ispotLLLon Le,s moqeru indonnailLquu LndiÂpeuablu à cel'te nechenel'te. C'e,tt. gnâce A Lui en e66e.t. _{que. i'aL pu u.tLLiÀe,1, pouJL} Is" misz att poLwt du pnognanwnu et enswLte pouh Leun expLoLtaiion, Lu ondLnaleutu AuccaÂ^iÇL qu'a connu^

L y E , N . I . t t . l l 9 t t 1 1 3 0 , IB f t 3 7 0 / 1 1 5 e t e n ( 1 i n t u n L n a . L 0 R 9 0 3 0 0 e o n n e e l ê . t u n 1N1 C 11101 . Je negnell.e vLvenent. qu'un aeoLdenl, de La tloule ,L',enp'eche d'â"tae patul nout auloutld'hwL.

Je ,souhai.te ajou,ten Le-L mea ,LemQ.tLeiemznt's à Montieun B. PIGNIN, Che-{ du ae.nvLce Ln[onm1Lque de L'E.N.I.M, frouL ^U pnê-cLzux conÂul^, pouL !-'aLde ma.ft,uLeL,(-e inponlnnte que Lu petuonnel,'s dz don tenvLce m'ont g'enê.neuemenrt appon-tê.e.

Je LLeu à. nemencien 'ego"Lemeytt totu Lu membnel du iunq de ce,t'te thële : - I-e lnoduyeu)L H.R. I,JENK, de L'LtwLvetuitê. de CaI'L'[otwLe (U.S.A.l, Poû ,s,ô-tne pelsonnelhemenl inÎArlu^ê. à. ce tnavdit Q.t poun Lu covtÂz'Lb dnuo-tueux

qu,i2 m, a donn1,s. Je Lui ^u,U neconna(l.tant d'avoLn, gnâ,ce ailx ph-oblèmel clut iL

- Lz Pnode^^euh ?, C}llL)MB, dz !.'UwLvensitô. de Tou.LouÂt, _{frouL L' e,ttime} qutiL me têmoLgnQ- en ytanlicLpant à ce iunu;

- ,Le Pnodedteun C. CARABAÏ0S , de L't)rr,Lventit'e. d,e Metzr poutL L'Lvltienô.t c1u'iL a touloutu mawL|eÂ:e pouL me^ lnavaux;

- et endin mon colLè.gue de neeheneLte depw bLentôt d'Lx ant, 0. RUER, poluL Llu.t ce que nou^ avovt dait zruemble.

Je voudnais ,LemencLetL'ega.Lemerut. totu me's co%è.gue,t du Labona.tctine de Mêta.UungLe Sîltue,tuaa.Le, en panLLeu.Lien aon Dinzc,teun ae-tueL, Le ?tu[ot'seun J.J. HEIZLtrANN, pouL L'Lyr.tê.nâ.t qu'il ponl.e au dle.veI-oppemzrvt et à,.La di66tuion de I-a mlethode vee-tonLelLe.

Je tieru atuti d. nenettei-en vivemeytL Lu te-ehnie,Lera comp'etzvrlÂ, con^ei-encieux et ddvouê-t de noltte Labona.toine :

- M. C. LARUELLE, ingê.wLeun E.N.I.M. e.t noryontabLe du matê.nLel's, poÙL

tou.to,s Lu donnî.u de {iguners de p6Le,s qu'il- a ewtegi.ttnd.e's dun bande.t magnê.liquet - fl, A. THIL, de,ttinoteun, tp'eoLa,Li'ste de La con$eeLLon e,t nepnoduc'tion de docunevut's, pouL de nombneuet dLgune,s i.(hutnant cet'te thëse;

- Mme C. fiUISSpN, notne ^ecrLLteiJLe, poull La mLruLLe e-t Le âoLn clue, ma.Lgnê. del dê.Lart,souvenl Ltèl eoutr,tt, e.lLe a opporttû à Lapnê,tenta,t'Lon de ce ttnval.

* C H A P I T R E I : DESCRIPTION DES ORIENTATTONS I . 1 . I N T R O D U C T I O N 1 . 2 . D E F I N I T I O N E T R E P E R A G E D ' U N E O R I E N T A T I O N 9 1 . 2 . t D é f i n i t i o n . . " " " i 9 I . 2 . 2 . C h o i x d e s r e P è r e s 9 I . 2 . 3 . M o y e n s d ' i n v e s t i g a t i o n e t f i g u r e s d e p ô 1 e s 1 1 I . 2 .4 . M o d è l e g é o m é t r i q u e u t i I i s ê .. 1 5 I . Z . S . L e p o i n t d e v u e d e l a m é t h o d e d e d é v e l o p p e m e n t e n s é r i e 1 5 1 . 2 . 6 . F o n c t i o n d e d i s t r i b u t i o n d e s o r i e n t a t i o n s o u 0 . D . F . 1 7 I . 2 : 7 . P a r a m è t r e s d ' u n e o r i e n t a t i o n . . L 7 I . 3 . O R I E N T A T I O N E T O R I E N T A T I O N S C R I S T A L L O G R A P H I Q U E M E N T E Q U I V A L E N T E S . 2 T I . 4 . C H A N G E M E N T D E R E P E R E O U C O R R E S P O N D A N C E I N T R E L E S T R I P L E T S . . 2 L T . 5 . R A P P E L D U C A S D E L A C L A S S E C U B I Q U E M 3 M . I . 6 . G E N E R A L I S A T I O N : E S P A C E D . O R I E N T A T I O N S P O U R C H A Q U E C L A S S E D E S Y M E T R I E C R I S T A L L I N E I . 6 . 1 . R é d u c t i o n d e l ' e s p a c e d e s o r i e n t a t i o n s 2 7 I . 6 . 2 . C h o i x d e l a p o s i t i o n d e r é f é r e n c e d u c r i s t a l d a n s le 2 3 25 ê q u i v a 1 e n t e s 3 3 I . 6 . 4 . I n f l u e n c e d e s s y m é t r i e s m a c r o s c o p i q u e s d e l ' ê c h a n t i l l o n 4 l I . 7 . P A R T I T I O N D E L ' E S P A C E D E S O R I E N T A T I O N S - I . 7 . 1 . _{C o n d i t i o n s d ' u n e b o n n e p a r t i t i o n '} 1 . 7 . 2 . P a r t i t i o n c h o i s i e p o u r la c l a s s e c u b i q u e ' I . 7 . 3 . P a r t i t i O n c h O i s i e p o u r la c l a s s e h e x a g o n a l e " ' qNNEXES : rePère macroscoPique I . 5 . 3 . R e c h e r c h e d e s e s P a c e s 4 . 1 . 2 . T r a ç a g e a u t o m a t i s é d ' u n e n s e m b l e donnéer QU€l que soit le sYstème

;;

;;;;;;;;;;;;

;,;;i i;;;;;;i;;;."Îl

4 5 4 5 4 7 5 1 d e p ô 1 e s d a n s u n e o r i e n t a t i o n c r i s t a l I i n 6 1 4 . 1 . 1 . C o r r e s p o n d a n c e s e n t r e l e s p a r a m è t r e s d é f i n i s s a n t u n e o r i e n t a t i o n

T T . 2 . D E F I N I T I O N E T R E P E R A G E D ' U N P O L E

i r . 3 . M I N I M A L P 0 L E D E N S I T Y S E T ( M . P . D . S . ) 7 3

I l . 3 . 1 . D é f i n i t i o n 7 5

I I . 3 . 2 . M é t h o d e d e r e c h e r c h e . . 7 7 - S o l u t i o n in f o r m a t i q u e 7 9

- Sol ution géométrique . . . 8 1

I I . 3 . 3 . A p p ' l i c a t i o n a u s y s t è m e c u b i q u e m 3 m . . 8 9 I I . 3 . 4 . M . P . D . S . e t a n a l y s e d e l a t e x t u r e 1 0 1 I I . 3 . 5 . I n f l u e n c e d e s s y m é t r i e s m a c r o s c o p i q u e s . . . . I 2 9 I I . 4 . p A R T r r I o N D E L ' H E M I S P H E R E D E S e O r - r S l l 7 2 9 I I . 5 . R E P R E S E N T A T I O N D ' U N E F I G U R E D E P O L E S 1 3 1 I I . 5 . 1 . R e p r é s e n t a t i o n p l a n e 1 3 1 I I . 5 .2 . R e p r é s e n t a t i o n e n p e r s p e c t i v e 1 3 3 I I . 6 . E S P A C E T R I D I M E N S I O N N E L D E S P O L E S 1 3 5 * C H A P I T R E I I I : C O R R E S P O N D A N C E S 0 R I E N T A T I O N S < - - - + P O L E S 1 3 9 I I I . 1 . I N T R O D U C T I O N Ï T 1 . 2 . P R I N C I P E F O N D A M E N T A L D E L A M E T H O D E V E C T O R I E L L T . 1 4 1 I I I . 3 . C o R R E S P 0 N D A N C E S G E o M E T R I Q U E S o R I E N T A T I 0 N S < - - + P o L E S . . . . 1 5 3 I I I . 4 . N O U V T L L E M E T H O D E D E C A L C U L D E S M A T R I C E S D E N S I T E D E P R O B A B I L I T E S 1 5 9 1 5 9 I I I . 4 . ? . A l g o r i th m e d e I I I . 4 . 3 . V é r i f i c a t i o n s I I I . 4 . 4 . A v a n t a g e s d e c a l c u l 1 6 5 théoriques , . 167 c e t t e n o u v e l l e m é t h o d e . . . . 1 7 3 7 3 1 4 1 r l

FpnÛ'tt

1

I I I . 4 . 1 . P r i n c i P e .

I I I . 5 . 3 . I I I . 6 . A P P L I C A T I O N I I I . 6 . 1 .

l r r . 6

. 2 .

I I I . 6 . 3 . A N N E X E I I I . I D e u x i è m e c a s : s y m é t r i e p a r r a p p o r t a u p l u n ( 4 ' 0 Ç l o u p 1 a n t r a n s v e r s e . 1 8 i I I I . 5 . 4 . T r o i s i è m e c a s : s y m é t r i e o r t h o r h o m b i q u e 1 8 1 A U S Y S T E M E C U B I Q U E 1 8 3 C a l c u ' l d e n ' i m p o r t e q u e l l e m a t r j c e o { h k l } . 1 8 3 R é s u l t a t s 1 8 5 R é s o l u t i o n e x p é r i m e n t a l e e t t a i l l e d e s m a t r i c e s . . . . 1 9 3 1 9 9 I F CHAPITRE I V : A P P L I C A T T O N A U X M A T E R I A U X D U S Y S T E M E H E X A G O N A L _{6 / M 4M... 205} I V . 1 . I N T R O D U C T I O N

|U.2. ETAT STANDARD OU DE REFERENCE .

I V . 3 . D O M A I N E D E S O R I E N T A T I O N S 2 I 3 I V . 4 . M . P . D . S . I V . 4 . 1 . I V . 4 . 2 . I V . 4 . 3 . 2t3 207 207 C a s g é n é r a ' l ( h I k I l). 2 1 5 C a s p a r t ' i c u l i e r s . 2 ? 7 Résul tats 225 I V . s . C A L C U L D E S M A T R I C E S o t h k l ) 2 2 5 I V . 5 . 1 . C h o i x d e l a t a i l l e . . . . 2 2 5 I V . 5 . 2 . R é s u l t a t s o b t e n u s . 2 2 7 I V . 6 . F I G U R E S D E P O L E S E L E M E N T A I R E S . . . . 2 2 9 I V . 7 . C A L C U L D U V E C T E U R T E X T U R E Y . . . I V . 8 . E X E M P L E D ' A N A L Y S E . 2 3 3 I V . 9 . T R A I T E I 4 E N T A V E C 2 F I G U R E S I N C O M P L E T E S . . . 2 3 9

\ l )

v . 4

.

E T A T S T A N D A R D O U D E R E F E R E N C E . . . 2 4 7 D O M A I N E D E S O R I E N T A T I O N S . . . 2 5 1 M . P . D . S .

v . 4 .

1 .

u . 4 . ? .

v . 4 . 3 .

C a s g é n é r a l ( h f C a s p a r t i c u l i e r s R é c a p i t u l a t i o n 253 253 259 259

v . 5 .

v . 6

.

u . 7 .

v . 8 .

C A L C U L D E S M A T R I C E S o { h k l i . 2 6 1 V . 5 . 1 . C h o i x d e l a t a i l l e d e l a m a t r i c e . . ? 6 1 " u . 5 . 2 . R é s u l t a t s . 2 6 7 F I G U R E S D E P O L E S E L E M E N T A I R E S . . . 2 6 9 C A L C U L D U V E C T E U R T E X T U R E Y . . . 2 7 7 E T U D E P A R T I C U L I E R E D ' U N E C H A N T I L L O N T E M O I N D E C A L C I T E . . 2 7 3 V . 8 . 1 . V e c t e u r i n i t i a l Y i 2 7 5 V . 8 . 2 . L e s m a t r i c e s o t 0 1 2 ] d e l a c a l c i t e . 2 7 7 V . 8 . 3 . F i g u r e s d e p ô : l é s d e s 1 6 1 o r i e n t a t i o n s in d i v i d u e l ' l e s . . . . 2 7 7 V . 8 . 4 . C o m m e n t _{o b t e n i r l e s " f i g u r e s d e p ô 1 e s} e x p é r i m e n t a l s s " ' ! 277 V . 8 . 5 . A n a l y s e d e s f i g u r e s e x p é r i m e n t a l e s . . . : . 2 8 I V . 8 . 6 . F i g u r e s d e p ô l e s r e c a l c u l é e s . 2 8 3 v . 8 . 7 . o . D . F . 2 8 9 i l C 0 N C L U S I 0 N . j . . . 2 9 t * B I B L I O G R A P H I E . . . 2 9 4

s o n t à o a u c h e - p a g e s p a i r e s . C o n p t e t e n u d u n o m b r e _{i m p o r t a n t d e f i o u r e s , nous avons pensé oue} c e t t e d i s p o s i t i o n ê t a i t 1 a p l u s c l a i r e . D a n s t o u t e l a m e s u r e d u p o s s i b l e l e s f i q u r e s se trouvent en face du texte correspondant. C e l a e n t r a î n e

- INTRODUCTION -C e t r a v a i l f a i t s u i t e à c e l u i d e D . R U E R e x p o s ê d a n s s a t h è s e d ' E t a t s o u t e n u e ' l e 2 1 O c t o b r e 1 9 7 6 à ' l 'U n i v e r s i t é d e M E T Z , i n t i t u l é e " M é t h o d e V e c t o r i e l l e d ' A n a l y s e d e 1 a T e x t u r e " . D . R U E R d é c r i v a i t u n e m é t h o d e d ' a n a l y s e d e l a t e x t u r e d e s m a t é r i a u x p o ' l y c r i s t a l l i n s d e r é s e a u c u b i q u e m 3 m à l ' a i d e d ' u n e s e u ' l e f i g u r e d e p ô 1 e s i n c o m p l è t e , c h o i s i e p a r m i le s f i g u r e s t l l l ) , { 1 1 0 } o u t 1 0 0 } . L e b u t d e n o t r e t r a v a i ] e s t :

- de qénéra'liser 'la méthode à t o u t e s l e s c l a s s e s d e s y m é t r i e c r i s t a l ' l i n e _; - d ' o p t i m j s e r ' l e s p r o c é d u r e s d e c a l c u 1 . L a m é t h o d e v e c t o r i e ' l ' l e , t e l l e q u e l' a d ê c r i t e D . R U E R , p a r . a i s s a i t e n e f f e t d i f f i c i l e à m e t t r e e n o e u v r e d e f a ç o n p r a t i q u e , c o m p t e t e n u d e l a s p é c i f i c i t é d e ' l a m é t h o d e e m p l o y é e p o u r le c a l c u l d e s m a t r i c e s o t h k l ) e t d e l a d u r é e d u c a l c u l i t ê r a t i f d u v e c t e u r t e x t u r e . L ' i d é e f o n d a m e n t a ' l e d e l a m é t h o d e v e c t o r i e l l e e s t l a l i n é a r i s a t i o n d e s r e ' l a t i o n s e n t r e d e n s i t é d e ' p ô l e s d ' u n e fi g u r e d e p ô l e s e t d e n s i t é d ' o r i e n t a t i o n s d a n s ' l ' e s p a c e d e s o r i e n t a t i o n s . C e { t e li n é a r i s a t i o n i m p o s e l a d i s c r é t i s a t i o n s e l o n c h a q u e v a r i a b l e , a u s s i b { é n d e l ' e s p a c e d e s p ô 1 e s q u e d e l ' e s p a c e d e s o r i e n t a t i o n s . P a r r a p p o r t a u x a u t r e s m é t h o d e s ' l a l i n é a r i s a t i o n e s t u n a v a n t a g e c o n s i d é r a b l e , m a l g r é 1 e h a n d i c a p d ' u n t r a i t e m e n t d e m a t r i c e s d e r a n q ê l e v é , s i I ' o n v e u t u n e r é s o l u t i o n ê l e v é e .

Le premier chapitre de cette étude concerne donc la détermination de l ' e s p a c e d e d é f i n i t i o n d e s o r i e n t a t i o n s c r i s t a l l o g r a p h i q u e m e n t ê q u i v a l e n t e s p o u r 1 e s 1 1 c l a s s e s c e n t r o s y m é t r i q u e s d e L A U E , s e u l e s c l a s s e s p o u r l e s q u e l l e s l ' a n a ' l y s e p a r d i f f r a c t i o n a u n s e n s .

L a r e c h e r c h e d u d o m a i n e d e d é f i n i t i o n d e s a x e s d e f i b r e s u r l a s p h è r e d e s p ô l e s e t l e u r d i s c r ê t i s a t i o n n o u s c o n d u i r a à s ê p a r e r l e s 1 1 c l a s s e s c e n t r o s y m é t r i q u e s d e L A U E e n 2 f a m i l l e s : x l a f a m i l l e c u b i q u e , p o u r l a q u e l l e l e d o m a i n e d e s a x e s d e f i b r e e s t u n m u l t i p l e d u t r i a n g l e u n i t a i r e c u b i q u e m 3 m x l a f a m i l l e h e x a g o n a ' l e , p o u r l a q u e l l e c e d o m a i n e e s t u n m u l t i p l e d u t r i a n g ' l e u n i t a i r e h e x a q o n a l 6 / m m n . L a d i s c r é t i s a t i o n d e c e s d o m a i n e s , p o u r le s c l a s s e s m 3 m , 6 / m m m e t - g 2 / n d o i t n o u s p e r m e t t r e d e d é f i n i r d e s t a i l l e s d e m a t r i c e s v a l a b l e s q u e l l e q u e s o i t ' l a c l a s s e e t c o r r e s p o n d a n t à u n e r é s o l u t i o n d o n n ê e p o u r l ' 0 . D . F . L a s t r u c t u r e d u p r o g r a m n e d ' a n a l y s e d o i t ê t r e t e l ' l e q u e c e s p r o g r a m m e s s o i e n t v a ' l a b l e s q u e ' l 1 e q u e s o i t I a c l a s s e c r i s t a l I i n e . L ' i n t é r ê t c a p i t a ] d e I a m é t h o d e v e c t o r i e l ' l e e s t I e p e t i t n o m b r e d e f i g u r e s t h é o r i q u e m e n t n é c e s s a i r e p o u r 1 ' a n a l y s e . I' l e s t d o n c im p o r t a n t d e t r o u v e r l e s c r i t è r e s r i g o u r e u x d e s é l e c t i o n d u d o m a i n e m i n i m a l d e s p ô l e s p e r m e t t a n t d ' e f f e c t u e r u n e a n a ' l y s e . N o u s a v o n s a p p e ' l ê c e d o m a i n e - c o n s t i t u a n t u n é c h a n t i l l o n s t a t i s t i q u e - M . P . D . S . o u " M i n i m a l P o Ï e D e n s i t y S e t " . N o u s e s s a i e r o n s - p o u r I ' e n s e m b l e d e s 1 1 c l a s s e s d e L A U E - d e d é t e r m i n e r r i g o u r e u s e n e n t c e M . P . D . S . N o u s v e r r o n s q u ' i l v a r i e d r u n e fi q u r e i n c o m p l è t e p o u r l e s c ' l a s s e s d e f o r t e g é o m é t r i e à 3 f i g u r e s c o m p ' l è t e s p o u r ' l a c l a s s e Î. C e t t e r e c h e r c h e d u M . P . D . S . p o u r l e s 1 1 c l a s s e s c e n t r o s y m é t r i q u e s d e L A U E f a i t l ' o b j e t d u s e c o n d c h a p i t r e . L e p r o b l è m e s u i v a n t e s t d e q ê n é r a l i s e r la m é t h o d e d e c a l c u l d e s t e r m e s d e s m a t r i c e s d e n s i t é d e p r o b a b i l i t é s t h k l ) . C e t t e q é n é r a l i s a t i o n d o i t s ' a p p ' l i q u e r : à t o u t e f i g u r e d e l a c l a s s e c u b i q u e m 3 m p u i s à t o u t e f i q u r e d e n ' i m p o r t e q u e l 1 e e t c e l a q u e 1 1 e q u e s o i t l a p a r t i t i o n d e o u d e l ' e s p a c e d e s p ô l e s . c l a s s e c r i s t a l l i n e I ' e s p a c e d e s o r i e n t a t i o n s

L e t r o i s i è m e c h a p i t r e p r ê s e n t e la méthode d e c a l c u l d e s m a t r i c e s o { h k l } q u e n o u s a v o n s m i s e a u p o i n t . I l n o u s re s t e r a a l o r s à a p p l i q u e r ' l e s p r o g r a m m e s d ' a n a l y s e r é a l i s é s à q u e l q u e s m a t é r i a u x c u b i q u e s , h e x a g o n a u x o u t r i g o n a u x . E n r e c a l c u l a n t le s f i g u r e s d e p ô 1 e s _{à p a r t i r d e l a f o n c t i o n d e d i s t r i b u t i o n d e s o r i e n t a t i o n s} t r o u v é e s p a r l ' a n a l y s e , n o u s p o u r r o n s _{c o n s t a t e r le b o n a c c o r d a v e c la} f i g u r e e x p é r i m e n t a l e a n a l y s é e . N o u s r e c a l c u l e r o n s é g a ' l e m e n t d ' a u t r e s f i g u r e s , q u i seront également e n b o n a c c o r d a v e c le s f i q u r e s expérimentales.

C e p e n d a n t , à c e s t a d e d e l ' é t u d e , i l n o u s m a n q u a i t u n t e s t d ' e x a c t i t u d e d e t o u t e n o t r e c h a î n e d ' a n a 1 y s e . C e t e s t n o u s a é t é f o u r n i p a r ' l e P r o f e s s e u r H . R . l^ f E N K x r o u , f o r m e d r u n é c h a n t i l l o n de marbre déformé _{- calcite Ca C0, ,} g n o u p e s p a t i a l R 3 C - d o n t i ' l a p u m e s u r e r o p t i q u e m e n t l e s 1 6 1 o r i e n t a t i o n s i n d i v i d u e l ' l e s c o m e s p o n d a n t à u n e s e c t i o n o b l i q u e . C e s 1 6 1 o r i e n t a t i o n s n o u s o n t a l o r s s e r v i d ' é c h a n t i l l o n té n r o i n . I ' l e s t e n e f f e t p o s s i b l e , à p a r t i r d e c e s 1 6 1 o r i e n t a t i o n s , d e c a l c u l e r n ' i m p o r t e q u e l l e f i g u r e d e p ô l e s X t h k ' l ) s e l o n la r e l a t i o n f o n d a m e n t a l e d e l a m é t h o d e v e c t o r i e l ' l e : X t h k l ) =

[tnn

r]

. Y o L a f i q u r e X t h k l ) a i n s i o b t e n u e e s t a l o r s a n a l y s é e c o m m e u n e fi g u r e d e p ô ' l e s e x p é r i m e n t a ' l e o r d i n a i r e . L e r é s u l t a t d e l ' a n a l y s e - s o i t Y - d o i t ê t r e a u s s i v o i s i n q u e p o s s ' i b l e d e l a v a l e u r Y o i n i t i a l e . C e t t e v é r i f i c a t i o n e s t e x t r ê m e m e n t i m p o r t a n t e p u i s q u ' e ' l ' l e c o m p a r e n o n p l u s 1 e s f i g u r e s e x p é r i m e n t a l e s a u x f i g u r e s r e c a ' l c u l é e s - c e q u i e s t u n e condition nécessaire m a j s n o n s u f f i s a n t e d ' e x a c t i t u d e - m a i s d i r e c t e m e n t l e s 2 0 . D . F . E l l e t e s t e t o u t e l a c h a î n e d e l ' a n a 1 y s e , m a i s m o n t r e é q a l e m e n t q u ' u n e fi g u r e d e p ô ' l e s c o m p l è t e - c o n s t i t u a n t ' l e M . P . D . S . e n s y s t è m e t r i q o n a l 3 Z / , - p e r m e t d e t r o u v e r l a t e x t u r e d ' u n é c h a n t i l ' l o n p o l y c r i s t a l I i n . I l n o u s r e s t a i t a l o r s à r é s o u d r e u n p r o b l è n e im p o r t a n t : t o u t e m é t h o d e , a u s s i s a t i s f a i s a n t e s o i t - e ' l 1 e p o u r 1 ' e s p r i t , n e p e u t ê t r e u t i ' l i s é e c o u r a m m e n t e n l a b o r a t o i r e e t s u r t o u t d a n s l' i n d u s t r i e q u e s i e l l e e s t é c o n o m i q u e m e n t j usti fi ée . x _{H . R . W E N K , D é p a r t e m e n t} , C a ' l i f o r n i e d e G é o l o g i e e t d e

( u . s . A .

₎

G é o p h y s i q u e , U n i v e r s i t é d e B E R K E L E Y ,

L a r é d u c t i o n d u n o m b r e d e f i g u r e s n é c e s s a i r e s à 1 ' a n a ] y s e e s t d é i à u n f a c t e u r i m p o r t a n t d ' é c o n o m i e . D e p 1 u s , d a n s la m i s e a u p o i n t d e t o u s n o s p n o g r a m m e s , n o u s n o u s s o m m e s t o u j o u r s p r é o c c u p é s d e l ' a s p e c t é c o n o m i q u e d u t r a i t e m e n t . I l n o u s fa ] l a i t a s s u r e r u n e u t i l i s a t i o n a i s é e d e l a m é t h o d e v e c t o r i e l ' l e - a u s s i b i e n s u r m i n i - o r d i n a t e u r q u e s u r g r o s o r d i n a t e u r - t o u t e n o p t i m i s a n t 1 e s t e m p s d e c a l c u ' l . C e t a s p e c t d u p r o b l è r n n e n o u s s e m b l e p a s s e c o n d a i r e . N o u s e s p é r o n s q u ' a i n s i n o s p r o g r a m m e s s e r o n t e x p l o i t a b l e s p a r t o u s l e s s c i e n t i f i q u e s q u i l e s o u h a i t e r o n t .

. D E S C R Ï P T I O N D E S O R I E N T A T I O N S -I . 1 . -I N T R O D U C T -I O N 1 . 2 . D I F I N I T I O N E T R E P E R A G E D ' U N E O R I E N T A T I O N 1 . 2 . I . D é f i n i t i o n 1 . 2 . 2 . C h o i x d e s r e o è r e s I . 2 . 3 . M o y e n s d ' i n v e s t i g a t i o n , f i g u r e s d e p ô ' l e s I . 2 .4 . M o d è l e g é o m é t r i q u e u t i ' l i s ê I . 2 . 5 . L e p o i n t d e v u e d e l a m é t h o d e d e d é v e l o p p e m e n t e n s é r i e I . 2 . 6 . F o n c t i o n d e d i s t r i b u t i o n d e s o r i e n t a t i o n s o u 0 . D . F . I . 2 . 7 . P a r a m è t r e s d ' u n e o r i e n t a t i o n I . 3 . O R I E N T A T I O N E T O R I E N T A T I O N S C R I S T A L L O G R A P H I O U E M E N T E O U I V A L E N T E S I . 4 . C H A N G E M E N T D E R E P E R E O U C O R R E S P O N D A N C T E N T R T L E S T R I P L E T S I . 5 . R A P P E L D U C A S D E L A C L A S S E C U B I Q U T M 3 M I . 6 . G E N E R A L I S A T I O N : E S P A C E D ' O R I E N T A T I O N S P O U R C H A Q I J E C L A S S E D E S Y M E T R I E C R I S T A L L I N E I . 5 . 1 . R é d u c t i o n d e l ' e s p a c e d e s o r i e n t a t i o n s I . 6 . 2 . C h o i x d e l a p o s i t i o n d e r ê f ê r e n c e d u c r i s t a l d a n s le r e p è r e m a c r o s c o p i q u e I . 6 . 3 . R e c h e r c h e d e s e s p a c e s d ' o r i e n t a t i o n s c r i s t a l ' l o g r a p h ' i q u e m e n t é q u i v a I e n t e s I . 6 . 4 . I n f l u e n c e d e s s y m é t r i e s m a c r o s c o p i q u e s d e l ' é c h a n t i l ' l o n 1 , 7 . P A R T I T I O N D E L ' E S P A C E D E S O R I E N T A T I O N S I . 7 . 1 . C o n d i t i o n s d ' u n e b o n n e p a r t i ti on I . 7 . 2 . P a r t i t j o n c h o i s i e p o u r la c l a s s e c u b i q u e I . 7 . 3 . P a r t i t i o n c h o i s i e p o u r la c ] a s s e h e x a g o n a l e A N N E X E S : A . 1 . 1 . C o r r e s p o n d a n c e s e n t r e l e s p a r a m è t r e s d ê f i n i s s a n t u n e o r i e n t a t i o n s e l o n R O E , B U N G E e t R U E R A . I . 2 . T r a ç a g e a u t o m a t i s é d ' u n e n s e m b l e d e p ô l e s d a n s u n e o r i e n t a t i o n d o n n é e , q u e l o u e s o i t l e s y s t è m e c r i s t a l l i n

I . 1 . I N T R O D U C T I O N P o u r tr o u v e r l a c o m e s p o n d a n c e b i u n i v o q u e o r i e n t a t i o h < - - - + f i g u r e d e p ô l e s é l é m e n t a i r e q u i e s t à l a b a s e d e l a m ê t h o d e v e c t o r i e l l e , c e ' l l e - c i u t i l i s e I ' e n s e m b ' l e c r i s t a l l o g r a p h i q u e d e s o r i e n t a t i o n s , c ' e s t - à - d i r e 1 ' e n s e m b l e d e s o r i e n t a t i o n s p h y s i q u e m e n t d i s c e r n a b l e s . I l n o u s fa u t d o n c t r o u v e r I ' e n s e m b l e m i n i m a ] d e c e s o r i e n t a t i o n s - c o n s t i t u a n t le u r d o m a i n e d e d é f i n i t i o n - e t c e ] a p o u r c h a q u e c l a s s e c r i s t a l l i n e . Q u e l s s o n t a l o r s l e s é l ê n r e n t s q u i p e r m e t t e n t d e d é f i n i r c e d o m a i n e ? I l s s o n t d e d e u x ty p e s : - c e u x li é s a u x m o y e n s d ' i n v e s t i g a t i o n , c ' e s t - à - d i r e à l a d i f f r a c t j o n . c e l l e - c i n e d i s t i n g u e p a s l e s 2 f a c e s d ' u n p ' l a n , q u e 1 e c r i s t a l s o i t c e n t r o s y m é t r i q u e o u n o n . C e l a r é d u i t l ' i n f o r m a t i o n c o n t e n u e s u r u n e fi g u r e d e p ô l e s e t l i m i t e l ' ê t u d e a u x 1 l ' c l a s s e s centrosymétri ques ;

- ceux 1iés aux symétries du cristal. Les éléments d e s y m é t r i e d u c r i s t a l s o n t l e s s y m ê t r i e s g é o m é t r i q u e s e t l e s r o t a t i o n s . I n i e c t e r c e s é l é m e n t s d e s y m é t r i e d a n s l' 0 . D . F . , c ' e s t , e n m é t h o d e v e c t o r i e l l e , r ê d u i r e l e d o m a i n e d e d é f i n i t i o n d e s o r i e n t a t i o n s .

La question est donc de savoir cornment chacun de ces 2 types d ' é l é m e n t s c o n t r i b u e à r é d u i r e ' l e d o m a i n e d e s o r i e n t a t i o n s . L a r é p o n s e à c e t t e q u e s t i o n n o u s p e r m e t a l o r s d e r é d u i r e , e n p a r t a n t d u p l u s g r a n d d e s d o m a i n e s , c e l u i d e l a c l a s s e ( 1 ) a y a n t ' l a s y m é t r i e l a p l u s f a i b l e , d e p r o c h e e n p r o c h e c e d o m a i n e j u s q u ' à celui de la classe m3m o ù l a s y m é t r i e e s t l a o l u s f o r t e . C o n n a i s s a n t a l o r s d e s d o m a i n e s d e d é f i n i t i o n d e s o r i e n t a t i o n s p o u r l e s 1 1 c ' l a s s e s c e n t r o s y m é t r i q u e s d e L A U E n o u s p o u v o n s l e s r e g r o u p e r e n 2 t y p e s s e u l e m e n t : le t y p e c u b i q u e e t l e t y p e h e x a g o n a l . N o u s d i s c r é t i s o n s a l o r s c e s 2 t y p e s d e d o m a i n e s d e 1 a f a ç o n q u i n o u s s e m b l e ' l a p ' l u s a d a p t é e a u c a l c u l d e s m a t r i c e s d e n s i t é s d e p r o b a b i l i t ê o ( h k l ) .

KE

, r [oo]

-r' [0101

F i g u r e 1 . 1 . : R e p è r e m a c r o s c o p i q u e K " d a n s l e c a s d r u n e t ô l e

/xà--,

---+D[

e t r e p è r e c r i s t a l l o g r a p h i q u e K a L a m i n é e , p o u r u n c r i s t a l c u b i q u e .

[oot]

I . 2 . D E F I N I T I O N E T R E P E R A G E D ' U N E O R I E N T A T I O N I . 2 . L . D é f i n i t i o n D a n s l , é t u d e d e s m a t é r i a u x p o l y c r i s t a l ' l i n s , l a n o t i o n d ' o r i e n t a t i o n d , u n c r i s t a l l i t e e s t f o n d a m e n t a l e . L ' o r i e n t a t i o n d ' u n c r i s t a l l i t e e s t s a p o s i t i o n a n g u l a i r e , c ' e s t - à - d i r e s a p o s i t i o n d é f i n i e à u n e tr a n s l a t i o n p r è s ' P o u r p o s i t i o n n e r u n s o l i d e d a n s u n r e p è r e , i l f a u t c o n n a î t r e 1 a p o s i t i o n d e 3 d e s e s p o i n t s , c ' e s t - à - d i r e c o n n a î t r e 9 c o o r d o n n é e s i n d é p e n d a n t e s . s i ' l e s o ] i d e e s t r i g i d e , i ' l n e f a u t p l u s q u e 6 c o o r d o n n é e s , l a c o n s e r v a t i o n d e s d i s t a n c e s e n t r e p o i n t s f o u r n i s s a n t 3 r e l a t i o n s s u p p l é m e n t a i r e s ' s i d e p l u s o n i m m o b i l i s e u n p o i n t d e c e s o l i d e r i g i d e , 3 d e s c o o r d o n n é e s s o n t i m p o s é e s e t l e n o m b r e d e d e g r é s d e ' l i b e r t é d u s y s t è m e e s t r é d u i t à 3 ' U n e o r i e n t a t i o n - o u p o s i t i o n a n g u ' l a i r e - d ' u n c r i s t a l l i t e e s t d o n c u n e g r a n d e u r à 3 d e g r é s d e ' l i b e r t é q u e I ' o n c o n n a î t r a p a r 3 c o o r d o n n ê e s i n d é p e n d a n t e s , d a n s u n r e p è r e c h o i s i d ' a v a n c e ' I . 2 . 2 . C h o i x d e s r e p è r e s I l e s t n a t u r e ' l d e c h o i s i r u n r e p è r e li é à l ' é c h a n t i l l o n e t d e c h e r c h e r à d é f i n i r l ' o r i e n t a t i o n d ' u n c r i s t a l l i t e d a n s c e r e p è r e . C e r e p è r e - d i t

repère macroscopigue K, - est choisi de préférence - orthonormé direct

- en tenant comPte des sYmétries

* s o i t d e s c o n t r a i n t e s l o r s d e ' l a m i s e e n f o r m e d u m a t ê r i a u x s o i t d e s d é f o r m a t i o n s q u i e n r é s u l t e n t ' p o u r r e p é r e r fa c i ' l e m e n t l a p o s i t i o n d u c r i s t a l l i t e , i l f a u t c h o i s i r u n s e c o n d r e p è r e li é a u c r i s t a l l i t e . c e r e p è r e c r i s t a ' l l o g r a p h i Q u e K , e s t d é f i n i p a r 3 a x e s p a r à 1 1 è l e s à d e s r a n g é e s c r i s t a l l o g r a p h i q u e s d e b a s i n d i c e ' c e r e p è r e e s t l e m ê m e p o u r t o u s ' l e s c r i s t a l l i t e s . c e r e p è r e n ' e s t p a s o L r l i -gatoi rement égal au rePère Kt '

L e s c l e u x r e p è r e s K , e t K , o n t m ê m e o r i g i n e 0 '

L a f i g u r e 1 . 1 . m o n t r e l e s c h o i x q u e ' l ' o n e f f e c t u e g ê n é r a l e m e n t ' d a n s 1 e c a s d ' u n e tô l e l a m i n ê e ' p o u r u n c r i s t a l c u b ' i q u e '

xE

F i g u r e 1 . 2 . : L a c e n t r o s y m é t r i e du cristal + s u r f , , e s È l a m ê m e q u e s u r X , i m p l i q u e q u e l a d i s t r i b u t i o n d e s p ô l e s r l e s t v u e d e d e s s u s [ - e s t v u e d e d e s s o u s E 1 1 n r y a q u t u n e o r i e n t a t i o n e t q u r u n e f i g u r e d e p ô l e s .

I . 2 . 3 . M o y e n s d r i n v e s t i g a t i g n e t f i g u r e s d e p ô l e s L e m o y e n d ' i n v e s t i q a t i o n p r i v i l é g i é e n a n a ' l y s e d e s t e x t u r e s e s t l a d i f f r a c t i o n d e s R . X . o u d e s n e u t r o n s p a r l e r n a t é r i a u l u i - m ê m e . 0 r la d i f f r a c t i o n n e c o n n a i t q u e d e s p l a n s c r i s t a l ' l i n s . C h a q u e f a m i l l e d e p l a n s c r i s t a l l i n s p a r a l l è l e s a , e n c e q u i c o n c e r n e s o n o r i e n t a t i o n , u n r e p r é s e n t a n t u n i q u e : l e p l a n p a s s a n t p a r l ' o r i g i n e d e s c o o r d o n n é e s c h o i s i e s . S u r ' l a s p h è r e d e s p ô 1 e s t E , l i é e à l ' é c h a n t i l l o n , c e p ' l a n a 2 r e p r é s e n t a n t s : l e s p ô 1 e s ( h k l ) e t ( Ë k T ) . L a d i f f r a c t i o n n e d i s t i n q u e p a s ( h k l ) d e ( h k T ) : I ' i n t e n s i t é d i f f r a c t ê e e s t ' l a m ê m e , g u ê 1 e s r a y o n s i n c i d e n t s t o m b e n t s u r u n e f a c e o u s u r I ' a u t r e d u o l a n . C e r é s u ' l t a t e s t é v i d e n t o a r s y m é t r i e p o u r u n c r i s t a l c e n t r o s y m é t r i g u e . 1 1 n e I ' e s t p a s d u t o u t d a n s le c a s d ' u n c r i s t a l n o n c e n t r o s y m é t r i q u e e t c o n s t i t u e la ' l o i d e F R I E D E L . 0 n p e u t d i r e d ' u n e a u t r e f a ç o n q u e s i l a r e l a t i o n d e B R A G G p e r m e t d e t r o u v e r I ' o r i e n t a t i o n d ' u n e f a m i l l e d e p ' l a n s , e ' l 1 e n e p e r m e t p a s d e d i s t i n q u e r le s f a c e s d e c e s p 1 a n s . L e s p ô 1 e s d e s p l a n s v i s é s s o n t a u s s i b i e n ( h k l ) q u e ( h k T 1 , c e q u i r e v i e n t à l i m i t e r , d a n s 1 e r e p è r e d e l ' é c h a n t i 1 1 o n , l e d o m a i n e d e s p ô ' l e s à t h é m i s p h è r e , ' l 'h é m i s p h è r e n o r d . L a s p h è r e d e s p ô ' l e s e s t d o n c " v u e d e d e s s u s " . C h a q u e f a m i l l e d e p l a n s c r i s t a l l i n s a a l o r s u n r e p r é s e n t a n t u n i q u e : u n d e s p ô 1 e s ( h k l ) o u ( h [ T ) . U n e o r i e n t a t i o n c r i s t a l l i n e e s t p a r f a i t e m e n t d é f i n i e p a r I ' o r i e n t a t i o n d e 3 p l a n s c r i s t a l l i n s , c ' e s t à d i r e p a r 1 a p o s i t i o n d e 3 p ô l e s s u r I ' h é m i s

-phère

nord

rf.

E n r a i s o n d e l a l o i d e F R I E D E L , s e u l e s le s 1 1 c l a s s e s c e n t r o s y m é t r i q u e s d e L A U E p e u v e n t ê t r e é t u d i é e s p a r d i f f r a c t i o n . T o u t e c l a s s e n o n c e n t r o s y m é -t r i q u e e s -t n é c e s s a i r e m e n t c e n t r o s y m ê t r i s é e .

ln!luence

-de-

le -sen!rqsvue!r!e-du

-sris!e

I

3 p ô 1 e s ( h . k . ' 1 . _{) s r " r f e t l e u r s c e n t r o s y m é t r i q u e s} ( h i k i î i ) s u r i i i ' È

dêfi

ni ssent

_{Ig-Uêpe-grienlelign.}

ri

+

Sur ri , cette orientation est Sur ri , cette orientation est m a i s i 1 s ' a g i t d e l a m ê m e o r i e n t a t i o n ' c o r m e ' l e m o n t r e l a f i g u r e 7 . ? .

" v u e d e d e s s u s " . { f v u e d e d e s s o u s "

F i g u r e 1 . 3 . : L e s 2 r e p è r e s a s s o c i é s a u x 2 c o n t c e n È r o s Y m é t r i q u e s . L t u n c e p e n d a n t i l s r a g i t d u m ê m e i l s f a g i t d u m ê m e c r i s t a L . f o r m e s d r o i È e e t g a u c h e d u c r i s t a l e s È d r o i t , l t a u t r e e s t g a u c h e . r é s e a u . P o u r l a d i f f r a c t i o n

p o u r ( h k l ) , d a n s u n r e p è r e g a u c h e p o u r ( h t T l . P o u r p a s s e r d ' u n r e p è r e à l r a u t r e , i l f a u d r a i t r e t o u r n e r le r e p è r e e n ' r d o i q t d e g a n t " . C e t t e o p é r a t i o n e s t i m p o s s i b l e à r é a l i s e r p o u r le c r i s t a l . . C e p e n d a n t i l p e u t e x i s t e r 2 f o r m e s c r i s t a l l i n e s c e n t r o s y m é t r i q u e s d u m ê m e r é s e a u (f i g u r e 1 . 3 . ) . U n e fo n n e e s t d r o i t e , I ' a u t r e g a u c h e , m a i s le s f i g u r e s d e p ô l e s d e c e s 2 f o n n e s s o n t ] e s m ê m e s , c e q u i v e u t d i r e q u e l e s 2 f o r m e s s o n t i n d i s c e r n a b l e s a u x R . X . , c a r l e s R . X . n e d i s t i n q u e n t q u e le r é s e a u . I' l e s t a l o r s p l u s s i m p l e e t p l u s n a t u r e ' l d ' a s s o c i e r l' o r i e n t a t i o n a u r é s e a u . La forme droite et la forme gauche comespondent a'lors toutes deux à la m ê m e o r i e n t a t i o n . I l e s t a ' l o r s in u t i l e d e v o u l o i r d i s t i n g u e r 2 d i s t r i b u -t i o n s d ' o r i e n -t a -t i o n s , 1 ' u n e d r o i -t e , l ' a u -t r e g a u c h e , e t d e v o u l o i r c h e r C h e r l e u r s p o i d s r e s p e c t i f s . C e t t e i n f o r m a t i o n n ' e s t p a s c o n t e n u e d a n s ' l a f i g u r e d e p ô l e s . L a c e n t r o s y m é t r i e d u c r i s t a l n e m o d i f i e d o n c p a s l e d o m a i n e d e d é f i n i t i o n d e s o r i e n t a t i o n s .

9we!rie-du-sris!el

-par-repper!-è-1-plen-e!-espeee-d:erien!e!!sns

S i l e c r i s t a l e s t s y m ê t r i q u e p a r r a p p o r t à I p 1 a n , l e s 3 p ô 1 e s ( h i k i l i ) d ' u n e o r i e n t a t i o n e t l e u r s s y m ê t r i q u e s ( h i k i l ; ) p a r r a p p o r t à c e p l a n s u r r [ d e f i n i s s e n t l a m ê m e o r i e n t a t i o n .

0r, pour les pôles situés sur rl , toute symétrie par rapport à un p l a n e s t n é d u c t i b ' l e à u n e ro t a t i o n . E n e f f e t , 0 é t a n t 1 ' o r i g i n e

s y m / plan = rot (a,n) s y m / 0

A ê t a n t u n a x e p e r p e n d i c u ' l a i r e a u p l a n d e s y m ê t r i e , p a s s a n t p a r 0 . L a c e n t r o s y m ê t r i e é t a n t p o u r c e s p ô 1 e s u n e o p é r a t i o n id e n t i q u e s y m / plan = rot (a,n)

R e m a r q u o n s q u e l' o n p e u t c h o i s i r ' l ' u n o u I ' a u t r e d e s a x e s a p e r p e n d i -c u l a i r e s e n 0 a u p l a n , e t l ' u n o u l ' a u t r e d e s a n g l e s d e r o t a t i o n - I I O u + i l .

-14-a; o t{ o o É ql(t, F.l tl +, t{ (ItÉ Êo F{ ê. o9 ro qt or, +J tr .F{ o ,Ê. EÊ 1(l, r\t r, t{ ât{ C\$ À É oo .F{ o +,J (Il(t +J ."{ Ét{ Ol .|-l .,{ l(U lrË oh -o F{ IJ +rd oo o o. o oF{ rn u0 (?rÉ ICÛ ll ci 4 'd A. 1 o lâ rt ôto v€ lr Ëo orJ .ilJ rJ qt (Û IJÉ E!O o -.{ .F{ +J Hqt O+J -o Fl tl .l 4l -l I ul HI )l .rl ;l q* tUo t qr) a LLI * (Jo O?-)r AN q* Zo O? I tO F* o v. I u)'* * lrioo lo U)'P U) Lrj** (Joo (J?? -)r (J]c.{ q** Zoo cl?q oo t60 F-** o V.TCY t*

s y m / p l a n t r a n s v e r s e = r o t ( n i , n ) c o m m e ' l ' i l l u s t r e la figure 1.4.

L a s y m é t r i e d u c r i s t a l p a r r a p p o r t à u n p l a n d o n n a n t 2 f i g u r e s d e p ô l e s d i s t i n c t e s , d é d u i t e s l' u n e d e I ' a u t r e p a r u n e r o t a t i o n :

- on peut réduire de moitié le domaine d e d é f i n i t i o n d e s o r i e n t a t i o n s - u n e te l l e r ê d u c t i o n e s t é q u i v a l e n t e à c e l l e d u e à u n a x e d ' o r d r e 2 . I . 2 . 4 . M o d è l e g é o m é t r i q u e u t i ' l i s é

Gêonr,êtriquement, on peut définir une orientation comme 'la transforrnation q u i a m è n e l e c r i s t a l l i t e d e s a p o s i t i o n d e r é f é r e n c e à s a p o s i t i o n a c t u e l l e . S u r i f , 1 a c e n t r o s y m é t r i e d u c r i s t a l é t a n t é q u i v a l e n t e à u n e o p é r a t i o n id e n t i q u e e t l a s y m é t r i e p a r r a p p o r t à u n p ' l a n s e r é d u i s a n t à u n e r o t a t i o n d ' o r d r e 2 , o n p e u t r e p r ê s e n t e r t o u t ê ' l é m e n t d e s y m é t r i e d u c r i s t a ' l s u r u n e f i g u r e d e p ô l e s uniquement p a r d e s r o t a t i o n s . T o u t e o r i e n t a t i o n p h y s i q u e m e n t d i s c e r n a b l e d ' u n c r i s t a l l i t e e s t d o n c c o n n u e d a n s 1 e c a s g ê n é r a l p a r l a s e u l e r o t a t i o n g q u i a m è n e l e c r i s t a l l i t e d e s a p o s i t i o n d e r é f é r e n c e à s a p o s i t i o n a c t u e l l e . L a d e s c r i p t i o n m a t h é m a t i q u e d e l a t e x t u r e f a i t a l o r s a p p e l a u f o r m a l i s m e e t p r o p r i é t é s d u g r o u p e d e s r o t a t i o n s . I . 2 . 5 . L e p o i n t d g v u e d e l a n é t h o d e d e d é v e l o p p e m e n t e n s é r i e D a n s l a m é t h o d e d e d é v e ' l o p p e m e n t e n s é r i e s u r l a b a s e d e s h a r m o n i q u e s s p h ê r i q u e s , B U N G E , E S L I N G e t M U L L E R / I . l / o n t a d o p t é u n a u t r e p o i n t d e v u e . C e p o i n t d e v u e e s t g ê o m ê t r i q u e : i l c o n s i s t e à a s s o c i e r à c h a q u e f o r m e c r i s t a l l i n e u n r e p è r e e t à é t u d i e r l a d i s t r i b u t i o n d e c e s r e p è r e s . A ' l o r s t o u t e s y m é t r i e tr a n s f o r m e l e r e p è r e d r o i t e n r e p è r e g a u c h e . L ' 0 . D . F . r e p r é s e n t e a l o r s l a d i s t r i b u t i o n d e s c r i s t a l l i t e s e n t e n a n t c o m p t e d e s f o r m e s c r i s t a l l i n e s p o s s i b l e s . M a i s le p r o b l è m e p h y s i q u e r e s t e l e m ê m e : c e t t e 0 . D . F . e s t i n a c c e s s i b ' l e p a r d i f f r a c t i o n .

Kc

KE

-16-a

"] r\

a

3

É o .F{ +J qt IJ É o .F{ t

il

$l

\o o\ o ocl t\ ll (Y) rn ,(U oo .F{ o. u(,l (Û(u ug É t't oo .F{ o Ll Oo F\ .. Cl dl rl ;l 3

jl

I

o,l 'i trl É 5l o è01 +r .F{ I lr kl v. LLI j*J 3M z-O I x[.tl ou) ? Èz O *p-o{ ? ;-. Ur7 tlj *M (_1 \

I

É Lrl *:l zv. NZ-o J xL! oA o Èz O t; 9< :F. Sz UJ *M o

E t u d i e r T a t e x t u r e , c ' e s t é t u d i e r l a d i s t r i b u t i o n d e s o r i e n t a t i o n s d a n s l' e s p a c e d e s o r i e n t â t i o n s . U n e o r i e n t a t i o n é t a n t une grandeur à 3 v a r i a b l e s , l ' 0 . D . F . e s t d o n c u n e g r a n d e u r â 4 v a r i a b l e s . L a f o n c t i o n d e t e x t u r e e s t p a r n a t u r e d i s c o n t i n u e . L e n o m b r e d e c r i s t a l l i t e s é t u d i é e s t l i m i t é - s o i t p a r l ' é c h a n t i l l o n - s o i t p a r l e p r o c é d é d ' i n v e s t i g a t i o n . L ' 0 . 0 . F . e s t d o n c u n e f o n c t i o n é c h a n t i l l o n n é e o u " à b a t o n s " . E n t r e 2 b â t o n s , il n ' y a r i e n . C e p e n d a n t l e n o m b r e d e c r i s t a l l i t e s ê t a n t s u f f i s a m -m e n t g r a n d , o n p e u t r e p r é s e n t e r c e t t e 0 . D . F . p a r u n e f o n c t i o n

- soit continue (méthode d e d é v e l o p p e m e n t e n s é r i e ) - s o i t c o n s t a n t e p a r i n t e r v a l l e ( m é t h o d e v e c t o r i e l l e ) . I . ? . 7 . P a r a m è t r e s d ' u n e o r i e n t a t i o n R a p p e l o n s b r i è v e m e n t l e s p a r a m è t r e s d ' u n e o r i e n t a t i o n , e n m é t h o d e v e c t o r i e l l e , t e l s q u e le s a d é f i n i s R U E R / 1 . 2 / p o u r le s y s t è m e c u b i q u e . L a r o t a t i o n g e s t c a r a c t é r i s ê e p a r l e v e c t e u r O f r d ' u n axe fixe de K, - c e l u i d e l a n o r m a l e â l ' ê c h a n t i l l o n - e t l ' a n g l e d e ' l a r o t a t i o n a u t o u r d e c e v e c t e u r q u i a m è n e I ' o r i e n t a t i o n e n c o i n c i d e n c e a v e c s a p o s i t i o n d e r é f é r e n c e . L e s f i g u r e s 1 . 5 . a e t 1 , . 5 . b m o n t r e n t , d a n s le r e p è r e n a c r o s c o p i q u e , l e s r o t a t i o n s d é f i n i s s a n t le t r i p l e t g = { v , t o , ç } .

En position de référence, dto coincide avec [too]

dt"

_[oro]

o-ùo

_[oor]

0n passe

ae tOto ,0-lo

,Ofro) , position

de réfêrence,

_{à {[too] , [oio] , pot]] ,}

p o s i t i o n a c t u e l l e p a r l e p r o d u i t d e 2 r o t a t i o n s

r u n e r o t a t i o n a u t o u r d e I ' a x e d - Ù _{$ , n / 2 ) , d ' a n g l e - 1 .}

F i g u r e 1 . 6 . :

[roo]

[oro]

Lîool

- À e s t l f a n g l e d e 1 a r o t a t i o n a u È o u r d e o e s t l ' a n g l e d i è d r e e n t r e : * l e p l a n d u g r a n d c e r c l e d e d i a m è t r e * l e p l a n d u g r a n d c e r c l e d e d i a m è t r e C t e s È d o n e L ' a n g l e e n t r e l - e s 2 p ô l e s d e

OÛ q,ri amène N en No

C [roo] , [Too] ) passant par N f [rool , [Too-l ) passant par No c e s p l a n s , s o i t [oto] et [n]

é t a i t e n 6 - ù , e n 6 , i ( . v e t I s o n t ' l e s c o o r d o n n é e s p o ' l a i r e s d e la direction o-ù d a n s le r e p è r e c r i s t a l l o g r a p h i q u e , c o m m e l e m o n t r e l a f i g u r e 1 . 5 . a . r u n e r o t a t i o n a u t o u r d e 0 I ( , d ' a n g l e E ( 0 - < e . 2 n ) . N o u s p o u v o n s s c h é m a t i s e r c e d é p l a c e m e n t p a r :

( o , o , o )

A l o r s g = R 2 (

_4',r)

o Rl (0-Û, -r) C e t t e d é f i n i t i o n d e g é t a b l i e p o u r 1 e s y s t è m e c u b i q u e m 3 m s e g é n é r a l i s e s a n s r e s t r i c t i o n à t o u t e s l e s a u t r e s c l a s s e s c r i s t a ' l l i n e s . C e p e n d a n t , d a n s le c a s d u s y s t è m e c u b i q u e m 3 m , l m a x v a l e u r l i m i t e d e À , correspondant _{a u x d i r e c t i o n s h i a a n s le p l a n [Ott-],} d é p e n d d e l a v a l e u r d e v . L o r s q u e y varie de 0 à 45 degrés, tmax varie de 45 à 54,74 degrés. Il est a l o r s p r é f é r a b l e d e r e m p l a c e r l e p a r a m è t r e l , p a r l e p a r a m è t r e o , a n g l e d i è d r e e n t r e l e p l a n [OtO] et le plan défini par le grand cercle de diamètre [tOO] ,

[t0fl, passant par q , corme 'le montre la figure 1.6.

u r e t t r s o n t l i é s p a r l a r e l a t i o n o = A r c t g ( t S r c o s v ) . A l o r s o v ô F i e d e 0 à 4 5 d e g r é s q u e l q u e s o i t Y .

F i g u r e 1 . 7 . : C h a q u e r " . ô { ( i = I , 6) est un p h y s i q u e m e n t indiscernables, d o n c

a x e d t o r d r e 4 . 1 1 y a 2 4 o r i e n t a t i o n s c r i s t a l l o g r a p h i q u e m e n Ë é q u i v a l e n t e s .

I . 3 . O R I E N T A T I O N E T O R I E N T A Ï I O N S C R I S T A L L O G R A P H I q U E M E N T E Q U I V A L E N T E S

L e c h o i x

s = !tlt,o,ï2] de

/ 1 . 6 / ) n ' e s t p a s uti I i sée 'lors de

|-d ' u n t r i p l e t ltriptet q = {v,o,f} |-de ROE / 1 . 3 / ; t r i p l e t

t_ B U N G E l L . 4 / ; T . i p l e t g = { à , ' } d e L U C K E / 1 . 5 . / o u P O S P I E C H a r b i t r a i r e . I 1 c o r r e s p o n d à u n e m é t h o d o l o g i e d i f f é r e n t e l ' a n a l y s e d e l a t e x t u r e . S i u n c r i s t a l l i t e n e p o s s è d e a u c u n e a u t r e s y m é t r i e q u e l a c e n t r o -s y n É t r i e , t o u t e -s -s e -s o r i e n t a t i o n -s -s o n t c r i -s t a l l o g r a p h i q u e m e n t d i s t i n c t e s , d o n c p h y s i q u e m e n t d i s c e r n a b l e s . C ' e s t l e c a s d ' u n c r i s t a l ' l i t e t r i c . l i n i q u e d e l a c l a s s e 1 S i l e c r i s t a l l i t e a d e s é l ê m e n t s d e s y m ë t r i e a u t r e s , ' l e s o p é r a t i o n s d e s y m é t r i e d u c r i s t a l r é d u i s e n t le n o m b r e d e c e s o r i e n t a t i o n s c r i s t a l l o g r a p h i q u e m e n t d i s t i n c t e s , c o m m e ' l e m o n t r e l a f i g u r e L . 7 . d a n s l e c a s d ' u n c r i s t a ' l c u b i q u e m 3 m , o ù l a s y m ë t r i e e s t m a x i m a l e . M é t h o d o l o g i q u e m e n t , i l y a d e u x fa ç o n s d e t e n i r c o m p t e d e s s y m é t r i e s d u c r i s t a l :

- soit on raisonne sur I'ensemble g e g [ t g l f i g u e d e s o r i e n t a t i o n s

c o r r e s p o n d a n t à u n c r i s t a l l i t e s a n s s y m ê t r i e . P u i s o n i n j e c t e d a n s ' l ' 0 . D . F . l e s c o n d i t i o n s d ' i n v a r i a n c e d u e s à l a s y m ê t r i e p o u r ' l u i d o n n e r l a s t r u c t u r e v o u l u e ( M é t h o d e d e B U N G E - R O E _{/ L . 3 / , / 1 . 4 / ) ;} - s o i t o n r a i s o n n e s u r l ' e n s e m b l e g f i g l g l l q g f g p b l g u e d e s o r i e n t a t i o n s , c ' e s t - à - d i r e s u r l ' e n s e m b l e d e s o r i e n t a t i o n s c r i s t a l ' l o g r a p h i q u e m e n t d i s t i n c t e s ( M é t h o d e d e R U E R - B A R 0 / 1 . 2 / ) . I n j e c t e r l e s c o n d i t i o n s d e s y m é t r i e d u c r i s t a l d a n s l' 0 . D . F . s e h o r n e a l o r s à r é d u i r e 1 ' e s p a c e d e s o r i e n t a t i o n s à s o n s t r i c t m i n i m u m . C ' e s t u n e c o n d i t i o n n é c e s s a i r e p o u r mettre en êvidence, aprës

d i s c r é t i s a t i o n , l e s c o r r e s p o n d a n c e s e n t r e c l a s s e s d ' o r i e n t a t i o n s e t c l a s s e s d e p ô l e s .

I.4. CHANGEMENT DE REPERE OU CORRESPONDANCE ENTRE LES TRIPLETS

0 n p e u t c a l c u l e r l e s f o r m u l e s d e t r a n s f o r m a t i o n d e s p a r a m è t r e s d ' u n e o r i e n t a t i o n c h o i s i s p a r u n a u t e u r e n p a r a m è t r e s c h o i s i s p a r u n a u t r e l C e r t a i n e s d e c e s f o r m u l e s s o n t f a c i l e s à é t a b l i r , d ' a u t r e s b e a u c o u p m o i n s . C e r t a i n e s

t a b l e s - e n p a r t i c u l i e r c e l l e d e H A N S E N , P O S P I E C H , L U C K E l t , 7 / - d o n n e n t c e r t a i n e s c o r r e s p o n d a n c e s d a n s ' l e c a s d u s y s t è m e c u b i q u e .

F i g u r e 1 . 8 . : L e r e p è r e l a s p h è r e c r i s t a l l o g r a p h i q u e d e s p ô l e s X , l e s 2 o b L i q u e K a d é c o u p e s u r t r i a n g l e s u n i t a i r e s T l e r T 2 . S Y S T E H E C U B I O U E T R I A N G L E S T 1 + T 2 P13f1 ETAT .STANDARD

t r i q u e e n t r e u n e o r i e n t a t i o n { ( r , o , Y r } é q u i v a ' l e n t e { v , u r r t } . e t l ' ô r i e n t a t i o n c r i s t a l l o g r a p h i q u e m e n t 0n trouve : Ntù ll . j ù ' e , , t a U , . l i s s Ë i n e n t d e c e ç r e l a t i o n s f a i t I ' q b i e t ! e I ' a n n e x e A 1 . , R a p p e l o n s q u e u r e t À s o n t l l i ê s ' p a r ' l a r e l a t i o n :

: , Rappelons b1.:.ièvement quelques résultat$ se rapportant au système cubiôtre m3m, tils'que les a rnontrês RUER /1.2/ .

1 ' , ;

I

L e r e p è r e K E li ê à l ' é c h a n t i l , , l o n e s t c o n ' S t ' i t u é i p a r 1es 3 vecteurs

orthononrÉs

habituels

_{tô.q, At, 4Çt}

';

L e r e p è r e K C li é a u c r i s t a l e s t u n r e p è r e o b l i q u e d i r e c t d é f i n i p a r l e s t r o i s r a n g ê e s _{[ 0 0 1 ] , [ t Ï t ] , ê t L Ï Ï l ] . I l e s t c o n s t i t u é p a r l e s d e u x} I : , t . . : l , . i i l . . ' . . r t : . . , . t . . , : ! l . ; . ' , : . t . r e p è r e s o b l i q u e s v o i s i n s

Rr r [oo1] , [oÎt] , [tÏt] t

_{' 1}

et

_{. t 2}

_{Rr r [oor] , [oÎt] , [Îitl t}

deux triarlgles uni tai res T, ' T, comme

. ; : . '' in. ..:j ' ; | = 0 P = I I -., at:: r - O e - r 1 : i , . q , 2 ' " ' t À * i ' ? Y A_{, 1 ,} d é c o u p a n t s u r l a s p h è r e d e * p ô ' l e s l e n p n t r e la f i g u r e 1 . 8 . l e s C h a q u e n o r m a l e 6 - ù a l ' é c h a n t i l l o n e s t r e p é r é e d a n s 1 e r e p è r e K , Par l e d o u b l e t ( v , t : ) . I 1 s u f f i t d e c o n n a î t r e l a p o s i t i o n d e c e t t e n o r m a l e d a n s l ' e n s e m b l e d e s d e u x tr i a n g l e s u n i , t a i . r e g { , T t + ' T Z } . c a r le s 2 3 a u t r e s p o s i t i o n s , d a n s le s 2 3 e n s e m b ' l e s , s o n t c r i s t a l l o g r a p h i q u e m e n t é q u i v a l e n t e s . C h a q u e p o s i t i o n c r i s t a l l o g r a p h i q u e ( v , u r ) e s t l a c l a s s e d ' é q u i v a l e n c e d e s 2 4 p o s i t i o n s g é o m é -t r i q u e s c o r r e s p o n d a n -t e s d é d u i t e s le s u n e s d e s a u t r e s p a r l e s o p é r a t i o n s d e s y m é t r i e d u c r i s t a ' l c u b i q u e . C h a q u e o r i e n t a t i o n g e s t c a r a c t ê r i s é e p a r u n t r i p l e t u n i q u e {v , u r , E } .

I

I

!

l 2 n

I

.-'l\r]

--:4

t _Ltt-r-- \

n-i

- -

T .

-/ - ; \

T

<----tflt (4r,

r. , ()

c y l i n d r i q u e s '

tffz (-,t,,

t,-{)

F i g u r e 1 . 9 . : E s p a c e G d e a o r i e n t a t i o n t ' c t l c o o r d o n n é e s p o u r u n c r i s t a l t r i e l i n i q u e

t

v u e d e l a s e c t i o n d e b a s e G t

A i n s i e n s y s t è m e c u b i q u e

L e s p o i n t s a p p a r t e n a n t a u x l i m i t e s s o n t d e s p o i n t s m u l t i p l e s , m a i s n e r e p r é s e n t a n t g u ' u n e seu'le orientation physique.

N o u s v e r r o n s a u $ 1 . 6 . 4 . 1 ' i n t é r ê t d u c h o i x d e 2 s e n s d e r o t a t i o n p o u r Y e t ç . I . 6 . G E N E R A L I S A T I O N : E S P A C E D , O R I E N T A T I O N S P O U R C T A Q U E C L A S S E D E S Y M E Ï R I E C R I S Ï A L L I N E L e d o m a i n e d e d é f i n i t i o n d e s p ô ' l e s d ' u n p l a n c r i s t a l l i n e s t l a s p h è r e d e s p ô l e s x E l i é e à l ' é c h a n t i l l o n . L e s 2 p ô l e s [ t r l l ] e t [ h k [ d ' u n p l a n c r i s t a l l i n - s o i t c e n t r o - s y m é t r i . q u e s s u r 1 a s p h è r e - é t a n t p h y s i q u e m e n t i n d i s c e r n a b l e s , c e d o m a i n e s e É d u i t à l a d e m i - s p h è r e p o s i t i v e l l . L e d o m a i n e d e d ê f i n i t i o n d e s n o r m a l e s O f r à l ' é c h a n t i l ] o n , e s t l a s p h è r e r , e n t i è r e . U n s y s t è m e c r i s t a l l i n n e p o s s é d a n t a u c u n é l é m e n t d e s y m ê t r i e v o i t d o n c s e s a x e s d e f i b r e G * c o u v r i r t o u t e l a s p h è r e r r g u i c o n s t i t u e d o n c l e d o m a i n e d e d é f i n i t i o n d e s e s a x e s d e f i b r e . L a r o t a t i o n a u t o u r d e O f r g é n è r e t o u t e s l e s o r i e n t a t i o n s p o s s i b l e s , l o r s q u e s o n a m p l i t u d e v a r i e d e 0

à 2 n .

D a n s l e c a s g ê n é r a l o ù i l n ' y a a u c u n e s y m é t r i e , n i c r i s t a l l i n e , n i macroscopique, l'espace des orientations cristallographiques G est un double cylindre de hauteur 2n , l'un ayant pour base la projection stéréographique d e l ' h é m i s p h è r e r l , 1 ' a u t r e a y a n t p o u r b a s e l a p r o i e c t i o n s t é r ë o g r a p h i q u e d e l ' h ê m i s p h ê r e r i L a f i g u r e 1 . 9 . r e p r é s e n t e c e d o u b l e c y l i n d r e .

La double base du cytindre représente ï'espace G* = tcl + eff

L e d o u b l e c y l i n d r e re p r é s e n t e 1 ' e s p a c e G = t G t + G r ) d e s o r i e n t a t i o n s . Remarquons qu'en cas de symétrie axiale, les deux espaces el et e! s o n t in d i s c e r n a b l e s .

v e l - n / 4 , + n / 4 ) r 0 r € [ 0 , n / 4 ] ,

{ r e l _ 0 , e n ] s i v > 0

T o u t e r o t a t i o n d u c r i s t a l P r é c é d e n È , m a i s a Y a n t u n e o . L ,tt --='-r / - \ R O T A T I O N S S U C C E S S I V E S r l . . 0 0 r . O 0 r t 0 . 0 0 r r 2 r l s . 0 0 r 4 . 0 0 , - . 6 ! , 0 ! r L e c r i s t a l e n Position de référence e s t p o s é s u r u n e f a c e d u Prisme.

Le domaine de définition des axes de fibre c o r r e s p o n d a n t , e n p r o j e c t i o n s t é r é o g r a p h i q u e , e s t l e d o m a i n e h a c h u r é . i T o u t e n c o n s e r v a n È L e s ê l - é m e n t s d e s y m é t r i e d u c r i s t a l h e x a g o n a l , l e d o m a i n e h a c h u r é e s t m o i n s i n t é r e s s a n t p o u r l a d i s c r é È i s a t i o n q u e l e d o m a i n e c o r r e s p o n d a n t a u p r i s m e s u r s a b a s e . c o n d u i t à p o s i t i o n un domaine égal d i f f é r e n t e . SYSTEI'1E HEXAGONAL C = 4.941 C/^ = ETAT STANDARD F i g u r e l . 1 0 . :

I . 6 . 1 . R é d u c t i o n d e l ' e s p a c e d e s o r i e n t a t i o n s D e m ê m e q u e 1 ' o n d ê f i n i t u n e fo n c t i o n g é n é r a t r i c e d ' u n e f o n c t i o n p é r i o d i q u e e n s ê r i e d e F O U R I E R p a r e x e m p ' l ê , l ' 0 . D . F . q u ' u t i l i s e l a m é t h o d e v e c t o r i e l l e e s t g g n É f g l f j g g . I' l f a u t d o n c re c h e r c h e r 1 ' e s p a c e m i n i m a l d e s o r i e n t a t i o n s p h y s i q u e m e n t d i s t i n c t e s r g u e 1 ' o n p e u t é g a l e m e n t q u a l i f i e r d ' e s p a c e d ' o r i e n t a t i o n s c r i s t a l l o g r a p h i q u e m e n t é q u i v a l e n t e s . C o m m e n o u s l ' a v o n s v u e n I . 2 . 3 . r c e t t e r e c h e r c h e d é p e n d d e s s y m ê t r i e s d u c r i s t a l . E l l e e n t r a î n e n é c e s s a i r e m e n t q u 9 s e u l e s le s 1 1 c l a s s e s c e n t r o s y m é t r i q u e s d e L A U E p u i s s e n t ê t r e a n a l Y s é e s .

?.

- I n

11

u

en

ee

- ds

e

- e

s

! res

- svuÊ

!ries

- d

s

- sri g

!e

l

T o u t é l é m e n t d e s y m é t r i e d u c r i s t a l q u i e s t a x e d e r o t a t i o n d ' o r d r e n e n g e n d r e n o r i e n t a t i o n s g é o m é t r i q u e m e n t d i s t i n c t e s , m a i s c r i s t a l l o g r a p h i q u e m e n t é q u i v a l e n t e s . I ' l r é d u i t d o n c le d o m a i n e d e d é f i n i t i o n G x à l / n d e s a v a l e u r i n i t i a l e . L e c r i s t a l é t a n t c e n t r o s y m é t r i q u e , 1 e s s y m é t r i e s d u c r i s t a l p a r r a p o o r t à d e s p l a n s s o n t c o m p t é e s c o n r m e d e s a x e s d e r o t a t i o n d ' o r d r e 2 . L ' é t u d e s e l i m i t e d o n c à l a r é d u c t i o n d u d o m a i n e G x d e s a x e s d e f i b r e s d e s 1 1 c l a s s e s c e n t r o s y m é t r i q u e s d e L A U E , s o i t i , 2 / n , m m m , 3 , 3 m , 4 / n , 4 / m n m , 6 / n m m , m 3 , m 3 m . C h o i x d e l a s i t i o n d e r é f é r e n c e d u c r i s t a l d a n s le re macroscop'r que L a p o s i t i o n d u d o m a i n e G * s u r ' l a s p h è r e d e s p ô l e s d é p e n d d e I ' o r i e n t a t i o n d e r é f é r e n c e . I 1 y a p l u s i e u r s p o s i t i o n s é q u i v a l e n t e s , d é d u j t e s l e s u n e s d e s a u t r e s p a r 1 e s o p é r a t i o n s d e s y r n é t r i e d u c r i s t a l .

1. InfluenEe-de-le-sçnlrssvuÉlrie-du-sris!ql

L a f i g u r e 1 . 1 0 . i l l u s t r e c e t t e r e m a r q u e .

% o \ , , É * , , \

v--,

I I L x 1 5 . C ( r x 3 ' , l . C C * 5 2 . î C x I ] R IE N T A T I O N S E L O N R U E R F i g u r e l . l l . : L a r o t a t i o n ( ô 4 , - À ) t r a n s f o r m " t l ( l ï t ) e n r l L a r o t a t i o n ( O N o , q) transforme Pl en P, L e s 3 a u t r e s p ô l e s { ( t t l ) , ( T l l ) , ( T l T ) i - n o t é e a v e c d e s s u b i s s e n t l e s m ê m e s r o t a t i o n s La rotation 1@, -r1 transforme P! (TTl) en Pi L a r o t a t i o n ( f f i * , ç ) t r a n s f o r m e P ) e n P , L e s 3 a u t r e s p ô l e s { ( l l l ) , ( i t l ) , ( l î t l i - n o t é s a v e c d e s s u b i s s e n t l e s m ê m e s ro t a t i o n s . P , e t P , s o n t s y r n é t r i q u e s p a r r a p P o r t a u p l a n t r a n s v e r s e a i n s i q u e t e s 5 a u t r e s p ô l e s ' 2 à 2 . +

-SYSTI:t"lF CUB I rjilE 1131"1

F I G U R F 1 . 4 1 .

-^

_q]

tP

o,'' r

- 1- --5

' lot

,-:/21.

I

'-

..

z ' / t ,

. ' r /

\

I

( \ ,

/ ,È..

\

I

a

-Le choix de la position de référence n'est pas arbitraire. Un bon choix fait apparaître des relations simples entre paramètres d'orientations synétriques. Nous verrons plus tard que cela est fort utile pour bâtir la matrice [o(hkl)]'

d e n s i t ê d e P r o b a b i l i t é .

Nous choisissons une seule position de référence par système c r i s t a l l i n . C e l l e - c i e s t t e l l e q u e le p l a n t r a n s v e r s e ( 0 s , ô Ç ) O u repère macroscopique soit un plan de symétrie de la c'lasse de plus haute symétrie appartenant au système'

Les 2 donaines e! et G! sont alors :

soit symêtriques par rapport au plan transverse - soit symétriques par rapport au plan êquatorial comme nous le verrons en I.6.3.

Il découle de ce choix les 3 propriétés suivantes 2 1. Si deux orientations

rapport au Plan transverse' ces rapport à ce même Plan si leur

Js:!!f!ce!!sn

Soit 2 pôles l! et n! sYmétriçPr

Par

Le schéma

des 2 transformations

est le sulvant

R1

(ôDi,

-r)

n, ({'r)

Pi

R, (0{, -r1

n2 (dîlË,

- r)

P à

ont leur axe de fibre symétrique par

2 orientations sont également symêtriques par troisième coordonnée prend des valeurs opposées'

Pi

'l

au plan transverse.

avec

S = srn/(plan

transverse)

par rapport au plan transverse' Pi et rapport à ce même plan. Les rotations

P2

or Rr (0Ç, -r) = R1(-0{,r1

0Di .t -0Ç etant 2 axes sYmêtriques

sont également

centrosymétriques

par

P à R2

-30-att o a C" .r{ l. l, ro a h ID rf É o o o C\| aî (\ o ta (tl o r^ -É \,. o r-l +J Ff O 'F{ +J Ë oql ôrÉ rn c, ro, oo F<t fr) à(Û É ok !no É o o. 14 É(É o-.r, 3tl . ,ql TJ Ér, o}| .Fa O a.È oÀ G ôt 11 (tt H o (r, .FlÊ

dl

v. trl t: 3.v Olz cl cl J *[u ?q. Èz O *F-s{ Yt-tÀ? tu *M cl v uJ .J gM ftz o J *tu oA

È6

tF

3s

.F Pz tu *Q o

conservent les mêmes symétries;P, et P, sont donc symêtriques par rapport au p l a n transverse. Les pôles de l'orientation étant 2 à 2 synÉtriques, l'orienta-' t i o n e s t s y m é t r i q u e p a r rapport au-plan transverse.

L a f i g u r e 1 . 1 1 . m o n t r e c e t t e p r o p r i é t é p o u r l e s 4 p ô l e s { l l 1 } d e l a c l a s s e c u b i q u e m 3 m .

Le schéma précêdent peut donc se compléter

Rl (ffii, -^)

n, (ôi{,r)

Pi

rs

rs

Rl (oo],-^) .1. *, (6ÏÇ,

-e) I

P ' 2 0n peut écrire :

2. Si ? orientations ont même axe de fibrel Cês 2 orientations s o n t s y m é t r i q u e s p a r r a p p o r t à . , ' l ' a x e normal de tÏpchantillon si leur troisième coordonnêe diffère dç n. t:

!ss!ifice!ien

;-i' I

e! nat rapport

à l'axe 6lÇ

si ç est transfonrré

en r + II . La figure 1.12. montre

un exemple

d'une

t e l l e s y m é t r i e .

ti

P2

P2

t

toÇ,oq)

(* 'o ' E) = ( -v 'ar

'- E)

t t o Ç l ( v ' o ' g ) = ( Y r t o r E * l l )

li'

t\-.1

F i g u r e 1 . 1 3 . :

..#

ô

D,emi-axe ON' et>ON sur EE

4 +

La rotation (ON' , ç) donne Pir la rotation (ON

il;

0

I

il;

0 I

+

il;

, E) donn. P; , F i g u r e l . 1 4 : L e s 2 t e x t u r e s a e t b n e f o n t q u t u n .

3 . S i 2 o r i e n t a t i o n s a p p a r t i e n n e n t à a u p l a n t r a n s v e r s e , c e s 2 o r i e n t a t i o n s s o n t

( 0 I Ë , 0Ç) si leurs troisièmes coordonnées

!s:!ifiselisr

,'

_u.

E l I e e s t i m m é d i a t e ; e n f a i s a n t I e p r ê c é d e n t e s .

1 . N o u s u t i l i s o n s m a i n t e n a n t l e r e p è r e la sphère rr. Une orientation est définie par à l ' é c h a n t i l l o n d e c o o r d o n n ê e s p o l a i r e s ( v , r )

2 fibres symétriques par rapport s y m ê t r i o u e s p a r r a p p o r t a u p l a n s o n t s u p p l é m e n t a i r e s .

oroduit des 2 transformations

ttorË,Çt

(v rr,r,

e) .:'1-vir;f'e1

! !

I . 6 . 3 . R e c h e r c h e d e s e s p à c e s d ' o r i e n t a t i o n s c r i s t a l l o g r a p h i q u e m e n t é q u i v a l e n t e s

c r i s t a l l i n a u q u e l n o u s a s s o c i o n s

+

g = (Off,ç), 0N êtant la normale dans le repère {[0I0] [too] [00i]]. Le domaine de variation de O'fr est la sphère r, entière. L'angle Ç

varie, pour chaque position de O-fr, de 0 à 2n (0 -. ç . 2n).

2. Les axes 0N sont 2 à 2 symêtriques par rapport à I'origine. Les 2 demi-axes Oil et 0t- sont axes de rotations distinctes, donnant 2 orientations d i s t i n c t e s , c o r f l m e l e m o n t r e l a f i g u r e 1 . 1 3 . I l f a u t d o n c c h o i s i r d e u x

domaines de définition pour 1es axes de fibnes, sur xC , 1'un Gl por" 0-fi* ' 'l 'autre uf uour ô't- Ces 2 domaines sont centrosymétriques.

e*=rcT+ell

3. Les 2 demi-axes O-'fi+ et Ofr- engendrent 2 fibres complètes physiquement i n d i s c e r n a b l e s . C e s 2 f i b r e s n e s e r a i e n t d i s c e r n a b l e s q u e s i l e s c r i s t a l l i t e s v o u l a i e n t b i e n s e r e g r o u p e r e n ' r a r ê t e d e p o i s s o n " c o f l m e I ' i n d i q u e l a f i g u r e

1 . 1 4 . _{C e t t e d i s p o s i t i o n p o u r r a i t r ê s u l t e r d ' u n e c e n t r i f u g a t i o n} d e s c r i s t a T -l i t e s , o u m i e u x , d ' u n f i -l a g e a v e c g -l i s s e m e n t v e r s l a p é r i p h é r i è ' l e s o r i e n t a -t i o n s n e s -t a n -t le s m ê m e s . L e s p r o p r i ê t ê s p h y s i q u e s d e c e s 2 f i b r e s s e r a i e n t cependant très différentes. I'l faut en outre remarquer que pour sêparer les

F i g u r e l . l 5 . a - + L r a x e O N o d r o r d r e 2 r é d u i t E , ; 1 1 r + . f ç - r ' ' 2 ' E _{2 ' v ' ,} F i g u r e l . 1 5 . !

Lraxe 0r{ arordre 2 réduit - - +

a " E