La mécanique quantique à l'échelle macroscopique

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Texte intégral

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Université de Caen LMNO année 2017-18

La mécanique quantique à l'échelle macroscopique

C. LONGUEMARE

17 avril & 12 juin 2018

de l'importance du principe de PAULI

(2)

Partie I : physique quantique à quelques particules

Plan

1. Etats à plusieurs particules particules libres

particules identiques les fermions identiques

2. Système quantique de quelques particules N = 2 ou 3 l'atome d'Hélium

la molécule d'hydrogène le positronium

le Deutérium

les systèmes de deux ou trois quarks

Partie II : physique des fermions à l'échelle macroscopique 1. Système quantique de fermions dégénérés N ≥ 6 1023

le "gaz" de Fermi la capacité calorique la "pression"

2. Les systèmes stellaires quantiques N >> 6 1023 les naines blanches

les étoiles à neutrons

3. Les électrons dans les solides N ∼ 6 1023 le modèle de Fermi

les fonctions de Bloch

Appendices Théorème du viriel N R et U R

(3)

Le modèle élémentaire de Fermi

hypothèse N fermions indépendants dans un potentiel à une dimen- sion.

Nous avons étudié N = 2 3 ... < 200 nous allons considérer N ∼ 1023. la mécanique quantique impose

∆p∆x ∼ h

L' état fondamental dépend de N : Remplissage des premières couches.

p = h λ E − U0 = p2

2m

les atomes R0 ∼ 1010 m U0 ↘ ∝ Z E1 ∼ −Z2 13,6 eV les noyaux R0 ↗ R0 = A1/3 1,25 1015 m U0 ∼ −50 M eV E1 ∼ −10 M eV les particules de couleur (connement de la couleur)

(4)

Propriétés d'un gaz de Fermi

Collection de N ∼ 1023 fermions identiques "libres" maintenus dans une "boite" par une interaction extérieure ou une interaction mutuelle Les états "libres" des fermions sont des ondes planes

φ ∝ exp−i(ωt − ⃗p ⃗x) χσ avec P = (ϵ(⃗p) = ℏω, ⃗p) La densité d'états dans l'espace de phase ⃗p, ⃗x

dg = h3 d3p d3x × fσ = V h3 d3p × fσ

fσ est la dimension de l'espace interne des fermions considérés : pour e fσ = 2; pour les nucléons fσ = 4

La densité de fermions d'énergie ϵ dépend de la température T

dN = 1

expβ(ϵ− µ) + 1 dg avec β = 1 kT

Le potentiel chimique µ est déterminé par la conservation de N (∀ T) N =

dN ⇒ µ(ρ, T) avec ρ = N V

(5)

Thermodynamique du gaz de fermions dégénérés Quelques mots :

Energie interne U

U =

ϵ dN Fonction de partition et Energie libre F

Z =

exp(−βϵ) dN F = U − T S = −N kT ln(Z) Pression P et capacité calorique CV

P = −(∂F

∂V )T CV = (∂U

∂T )V

(6)

Le gaz de fermions totalement dégénérés La température du thermostat voisine de 0K

Energie de Fermi (par dénition)

ϵF = µ(ρ, T = 0) conséquences

dN = dg si ϵ − ϵF ≤ 0 si non ϵ − ϵF ≥ 0 dN = 0 avec dg = V h3 4π p2dp × fσ = 3Cp2 dp l'énergie de Fermi ϵF est telle que N =

ϵF dg L'énergie des états quantiques ϵ(p) dans les limites UR et NR

cp < ϵ = c

p2 + (mc)2 < mc2 + p2 2m L'énergie interne et impulsion de Fermi ϵF ↔ pF

U =

ϵF

ϵ dg N =

ϵF

dg = C p3F Pression partielle P des fermions

P = −(∂F

∂V )T=0 = −(∂U

∂V )T=0 = (2

3)N R ou (1

3)U R × U

V → p ∼ U V

(7)

Thermodynamique du gaz de fermions dégénérés

. réf 4

(8)

Application aux systèmes stellaires massifs et passifs

Le c÷ur est un plasma neutre constitué d'ions, d'électrons sans activité nu- cléaire. L'eondrement gravitationnel → naine blanche/ étoile à neutrons ...

Conservation de l'énergie : si ET est l'énergie thermique, et L la luminosité,

∆Egrav + ∆ET + L = 0

Le théorème du Viriel nous dit que pour un système gravique "stable"

en l'absence d'autres phénomènes (réf 8) :

−Egrav = 2ET ⇒ ∆ET = −1

2 ∆Egrav = L

L'énergie gravitationnelle : Si l'étoile est une sphère polytrope de masse M, de rayon R et d'indice n = 1

Egrav = −3 4

GM2

R plus généralement Egrav = − 3 5 − n

GM2 R

La gravité est due aux ions et la pression aux électrons (→ dégénérés) Dans le cas UR

ET=0( électrons ) = Ec =

ϵF

cp dg = c 3C

pF

p3 dp = 3

4 c C p4F avec C = V h3 4π3 fσ

. L'hypothèse polytropique : P ργ avec γn= 1 +n avec n < 5; pour le soleil n=3,34 (réf 8) , le choix n = 1 correspond à une sphère isotherme

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Calcul de la masse de Chandrasekhar

Condition d'équilibre du système stellaire (gravitation ↔ agitation)

−Egrav = 1 ou 2 Ec théorème du viriel classique UR ou NR Conséquence avec N = M/(mp + mn) = M/2mp

rappel à T = 0 N =

F

dg = C p3F soit pF = (N C)1/3 GM2 = c RN pF = c RN (N

C)1/3 = 2πℏc N4/3 ( 3

4π)2/3 (fσ)1/3 Mchdr2/3 = 2πℏc

G (2mp)4/3 ( 3

4π)2/3 (fσ)1/3 plus simplement

Mchdr = 3√ π

√25fσ × (ℏc

G)3/2 1

m2p = 0,66 ( ℏc

G m2p)3/2 mp [Eq 1]

SI SI

c = 197 M ev f m 3,152 1026 M 1,998 1030 G 6,673 1011 fσ 2 mp 1,672 1027

Limite de Chandrasekhar ? dans cette théorie élémentaire on trouve Mchdr = 2,4 1030 kg la valeur admise est 2,8 1030 kg soit 1,4 M

. une naine blanche est en fait un "atome" de rayon 20. 103 km constitué d'électrons et de nucléons, maintenu en "équilibre" par la gravitation et la pression partielle électronique

modèle atomique de J J Thomson 1904

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Les étoiles à neutrons

Si la masse de l'étoile qui s'eondre est telle que M > Mchandra (supernovæ) alors à T = 10 109 K e + p → n + νe

Les neutrons dégénérés N-R peuvent suspendre l'eondrement si un nouvel équilibre est réalisé grâce à la pression quantique des neutrons .

−Egrav = 2Ec viriel N R

Calcul de l'énergie d'agitation des neutrons à T = 0 (cas N R) ET=0( neutrons ) = Ec =

ϵF p2 2mn

dg = 3C 2mn

pF

p4 dp = 3C 10 mn

p5F

2Ec = 3N 5 mn

(N

C)2/3 = −Egrav = 3 4

GM2 R C = R3 h3 (4π

3 )2 fσ = R33 4fσ

18π et N = M mn

Finalement avec fσ = 2 R M1/3 = 4

5(18π 4fσ

)2/32 G m8n/3

[Eq 2]

. Dimension Eq 2 : en multipliant par M2/3 on obtient M L ce qui est bien la dimension de 2(GM2)1

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SI SI c = 197 M ev f m 3,152 1026 M 1,998 1030

G 6,673 1011 fσ 2

mn = mp 1,672 1027 1.051 1034

Application : une étoile à neutrons d'une masse solaire M = M R M1/3 = 4

5 (18π 4fσ

)2/32

G m8/3n = 12,4 1013 m.kg1/3 R⋆n = 9,8 km la valeur admise est plutôt 20 km

Pour que le système soit stable , il est bien sûr nécessaire de bloquer la désintégration naturelle des neutrons

n → p + e + ¯νe

La structure d'une étoile à neutrons est donc complexe.

Si la masse est trop élevée pour permettre ce quasi-équilibre, l'eon- drement gravitationnel se poursuit jusqu' au "trou noir".

. une étoile à neutrons d'une masse solaire est en fait un "noyau" de rayon 10 km constitué de neutrons, maintenu en "équilibre" par la gravitation et la pression partielle de dégénérescence des neutrons

(12)

Application aux électrons de conduction des métaux Modèle classique : La loi d'Ohm :

Hypothèse : Il existe dans les conducteurs des charges libres (q) de masse (m) et en densité ( ρ) dépendant du matériau :

⃗j = γ ⃗E = ρ⃗v

Le modèle de Drude permet d'interpréter la conductivité γ γ = ρ q2

τ est le temps de relaxation du phénomène d'accélération sous l'in- uence du champ électrique E⃗ .

Exemple pour le cuivre

Un e− libre par atome de cuivre (électrons de valence)

A 63,54 g

Z 29

q = e −1,6 1019 C

m 9,1 1031 kg

Structure Atomique du cuivre Cu = (Ar) 3d10 4s1

Calcul numérique pour le gaz d'électrons classiques (masse m) libres : Vitesse de dérive dans le champ E = 1 vd = 7,6 µm/s

Vitesse d'agitation thermique vT = 1200 km/s Libre parcours moyen λ = vT.τ = 3,15 nm

(13)

Métaux γ1 ρ τ λ 108Ωm 10+22cm3 1014s 109m

Li 8,6 4,2 0,9

Na 4,3 2,5 3,3

K 6,1 1,3 4,4

Cs 19 0,8 2,2

Cu 1,6 8,5 2,7 3,15

Classication des conducteurs

matériau densité : e libres relaxation conductivité conducteur ρ >> Cte ∀ T τ << ↓ γ ↓ avec T ↑ Semi conducteur ρ ↑ avec T ↑ τ << ↓ γ ↑ avec T ↑ Isolant ρ << Cte ∀ T τ << ↓ γ ↓ avec T ↑

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Modèle des électrons quantiques libres

Modèle quantique :

1. électrons sont indiscernables et soumis au principe de Pauli (fermions)

2. Dans un puits créé par les ions qui a les dimensions macroscopiques du conduc- teur

3. L'énergie d'un électron dans le puits est : ε = p2

2m +U0 avec U0 ≈ −12 eV dans la suite on redénit ε avec U0 = 0 La quantication des quantités de mouvement s'applique :

p = ⃗k et ⃗k = (nx Lx

, ny Ly

nz Lz

)

La densité d'états d'impulsions ds l'espace de phase est : dg = d3p× V

h3 = d3k × V

(2π)3 p = ⃗k

La distribution des états quantiques (propre de p et du spin) dans l'espace de phase en fonction de l'énergie est :

dg

= 2×V

h3 (2m)3/2 ε Le nombre d'occupation de chaque état est xé par F-D :

n(α) = 1

1 + exp(α) avec α = εµ kT µ est le potentiel chimique des électrons e.

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L'énergie interne électronique et le potentiel chimique sont xés par les équations suivantes :

N =

n(α)g(ε)dε µ(T) U =

ε×n(α)g(ε)dε U(T) L'énergie de Fermi est l'énergie cinétique max des électrons à T = 0 :

εF = µ(T=0) En conséquence :

N =

εF

0

g(ε) soit dans ce modèle εF = h2

8m (3N πV )2/3 Application Numérique : pour le Cu l'énergie de fermi vaut

εF = 7 eV L'énergie d'ionisation est donc de l'ordre de 3 eV

L'énergie interne à basse température (on développe au voisinage de T=0 ) : U(T) = U(0) + π2

4 N(kT)2 εF

La capacité calorique est faible et varie linéairement avec T : CV = = π2

2 Nk2 εF T

La capacité est faible car l'énergie de Fermi est relativement élevée

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Une onde dans une structure périodique Première zone de Brillouin (P ZB) :

Une onde dans un réseau est dénie par son amplitude à t en chaque site du réseau "physique" : RB (de Bravais). Notation : RR est dans la suite le réseau réciproque.

−−→OMi = n⃗a+ m⃗b + p⃗c = R⃗i Ψ⃗k ≈ Aexpi(ω(k)t ⃗k. ⃗Ri)

La fonction ω(k) est la relation de dispersion des ondes, elle carac- térise la dynamique du milieu ; la dispersion dans la direction ⃗k est dénie par la dynamique "spécique" des ondes dans cette direction qui est associée à une famille de plans réticulaires

⃗k est donc dans une direction caractérisée par 3 indices de Miller :

⃗k(ω) pour ( p, q, r) (pqr) premiers entre eux propriété essentielle du réseau réciproque

si on ajoute à ⃗k un vecteur K⃗ du RR on ne modie pas l'état ondu- latoire des sites du réseau :

Ψ⃗k+K = Ψ⃗k ∀M un site du RB car K. ⃗⃗ R = 0 (2π)

On peut donc limiter la dénition de ⃗k à une zone, la première zone de Brillouin (P ZB) qui est située autour de l'origine et limitée par les plans médiateurs construits entre l'origine O et l'ensemble des premiers sites du RR .

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Exemple à 1 Dimension période a

Réseau de Bravais ... − 2a − a 0 a 2a...

Réseau Réciproque ... − 4aπ2aπ 0 2π

a

4π a ...

La première zone de Brillouin (P ZB) à 1D est donc dénie par

−π

a ≤ k ≤ π

a λ > 2a Construction des ondes dans R3

L'onde ⃗k = 0 est stationnaire : tous les sites sont en phase.

Si ⃗k est diérent de zéro, il existe des déphasages entre les diérents sites (onde progressive par ex).

On montre que le nombre des états d'impulsion ⃗k dans la P ZB est égal au nombre de sites (mailles) du RB !

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Une onde électronique dans un cristal

Théorie des bandes de valence

Les états quantiques des électrons dans un cristal ionique sont ceux d'électrons dans un potentiel attractif périodique :

U(⃗r+Ri) = U(⃗r) n⃗a+m⃗b+p⃗c= Ri

Soit un état atomique de valence φ(r R0) sur le site R0 : les électrons étant indiscernables il est légitime de considérer qu'ils se trouvent également sur tous les atomes du cristal soit un tel électron :

Ψ0(⃗r) 1

N

j

φ(⃗r Rj)

Cet état est périodique (RB) et tous les sites sont en phase.

(ceci suppose certaines propriétés de normalisation et d'orthogonalité) Ψ0(⃗r+R) = Ψ0(⃗r)

A partir de cet état "statique" et "stationnaire", on peut construire une onde électronique introduisant des déphasages entre les sites :

Il s'agit des fonctions d'onde de Bloch (Félix Bloch 1905-83) :

Ψ⃗k = expi(ωt ⃗k⃗r) Ψ0(r) soit une onde plane sur le réseau

Cette fonction est satisfaisante pour représenter les électrons quantiques de valence dans un cristal où ces électrons peuvent eectivement passer d'un site à l'autre par eet tunnel c'est à dire si ce sont des électrons de valence.

L'onde (ω, ⃗k) se propage sur une mer d'électrons " statiques" liés à tous les atomes et les valeurs de ⃗k sont limitées à la P ZB : ces états constituent une bande de 2N états. L'énergie de ces états est telle que :

ε = p2

2m +U0 avec p = ⃗k

m est la masse eective des électrons (électrons liés au cristal ) ; U0 est l'énergie de l'électron lié au cristal dans l'état fondamental de repos ⃗k = 0.

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La quantité de mouvement est p = ⃗k avec

⃗k P ZB |⃗k| ≤ π

a à 1D .

Ainsi on dénira, par exemple, la bande de conduction du sodium associé à l'état atomique : 3s1

ε = p2

2m +U3s1 Celle du silicium 3sp4

ε = p2

2m +U3sp4

L'occupation moyenne des états obéit à la statistique de FD :

dN = g(ε) n(α) n(α) = (1 + exp(βα))1 α = εµ

S'il existe des gaps entre les bandes, l'excitation des ondes d'électrons est dicile.

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En conclusion

On distingue à "basse température" soit jusqu'à quelques milliers de Kelvin !

1. Les isolants : bande de valence saturée, bande de conduction vide et gap large (>5 eV)

2. Les semi-conducteurs intrinsèques (purs) : bande de valence sa- turée mais le gap est étroit (∼ 1 eV )

3. Les conducteurs : bande de valence incomplète, conduction est possible même à T = 0!

4. Les semi-conducteurs dopés : la conduction est variable et condi- tionnée par la densité du dopage

• de type N (apport d'électrons "libres" additionnels)

• de type P (apport d'états "vides" non occupés : les trous".

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Conclusion Quelques pistes pour poursuivre l'étude

Etudier les problèmes de stabilité stellaire

La superuidité des systèmes de fermions et de bosons

Les modèles plus élaborés pour décrire la physique des étoiles en n de vie.

(22)

Annexe Théorème du viriel

Dynamique relativiste : un point matériel soumis à une "force" clas- sique

d

dt(⃗r.⃗p) = ⃗v.⃗p +⃗r. ⃗f Pour la gravitation

⃗r. ⃗f = EG(r)

Si la trajectoire est périodique, l'intégrale sur une période

T

(⃗v.⃗p) dt +

T

⃗r. ⃗f dt = 0 ⇒ < (mγv2) > = − < EG(r) >

avec p = mγ⃗v

Pour une particule non-relativiste γ = 1 (⃗v.⃗p) = 2Ec

pour une particule ultra-relativiste m ∼ 0 γ >> 1 (⃗v.⃗p) = E = Ec

Pour une collection de points matériels connés dans un volume (en moyenne dans le temps et sur la collection)

(1 ou 2) < Ec > = − < EG >

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références

La physique des fermions

1 L. Landau & E. Lifchitz , Electrodynamique , Ed MIR 1973 2 A. Akhiezer , Physique atomique , Ed MIR & Ellipse 1988

3 D. Blokhintsev , Principes de la mécanique quantique , Ed MIR 1976 4 L. Landau & E. Lifchitz , Physique statistique , Ed MIR 1967

5 S. Vauclair , Eléments de physique statistique , InterEditions 1993

6 L. Fonda & G Ghirardi , Symetry principle in quantum physiscs , M. Dekker 1970 7 R. Evans , Le noyau atomique Dunod 1961

8 V.Sobolev, Cours d'astrophysique théorique, Ed Mir Moscou, topics

Positronium [1] pages 416

Atome d'Hélium [3] pages 538

Molécule H2 [3] pages 568 [2] pages 174

Noyaux [7] Pages 392

Spectroscopie du modèle de quarks [6] pages 193 221

Statistiques quantiques [5] page 103 [4] page 185-198

Etoiles dégénérées [5] pages 119

cours d'astrophysique [8] excellent

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Références

Sujets connexes :