1 géometrie du triangle

1 géometrie du triangle

1.1 relations métriques dans un triangle

on suppose connue les droites remarquables d’un triangle (hauteur , médiane ,médiatrice) et aussi on suppose connue les propriétés caractéristiques des triangles semblables

ABC est un traingle selon l’usage , on note AB=c , BC=a , CA=b , S l’aire du triangle , Ab= BACd , Bb =CBA,d Cb =ACBd

1.1.1 la relation Masoud al Kashi (1390-1450)

Theorème 1 avec les notaions usuelles a² =b²+c²−2bccos

Ab

dans le cas d’un triangle rectangle en A on obtient le théorème de Pythagore

démonstration.on aBC² = −→

AC−−→

AB 2

=AC²+AB²−2−→

AB.−→

AC Or :−→

AB.−→

AC =AB.ACcos

Ab

il en résulte quea² =b²+c²−2bccos Ab

Exercice 1 (o maroc 2000 stage 1)soitABCDun rectangle et X un point du plan montrer queXA²+XC² = XB²+XD²

1.1.2 le théorème de la médiane

Theorème 2 ABC est un triangle , I est le milieu de [BC]. on note par m_a la longueur de la médiane issue du sommet A alors :

AB²+AC² = 2AI²+ 1 2BC² autrement

b²+c² = 2m²_a+1 2a²

démonstration.méthode 1

on aAB =AI−BI etAC =AI−CI =AI+BI d’où AB²+AC² =−→

AI−−→ BI2

+−→ AI−−→

CI2

= 2AI²+ 2BI² = 2AI²+ BC² 2 ainsib²+c² = 2m²_a+¹₂a²

méthode 2

on peut aussi utiliser le théorème d’al kashi dans les triangle ABI et AIC on trouve c² = a²

4 +m²_a−2m_a.a

2cos (α)oùαest la mesure de l’angleAIBd de même b² = a²

4 +m²_a−2m_a.a

2cos (π−α) par addition il en résulte queb²+c² = 2m²_a+1

2a²

1.1.3 loi des sinus.

Theorème 3 l’aire d’un triangle ABC est S = 1

2bcsinAb

Theorème 4 avec les notations usuelles on a a

sinAb= b

sinBb = c

sinCb = abc 2S

démonstration.il suffit de remarquer queS= 1

2bcsinAb= 1

2acsinBb = 1

2absinCb

Exercice 2 on considère un quadrilatère convex inscrit dans un cercle de rayon 1et dont le centre est le milieu de[AC]on suppose queBD=ADet les diagonales se coupent en P calculerCD sachant queP C = 2

5

Exercice 3 soit ABC un triangle et D un point du segment [BC] tel que BD = AC et BADd = 30^◦ et DACd = 90^◦calculer la distanceCD

Exercice 4 les longueurs des côtés d’un triangle acutangle (autrement tous ses angles sont aigus )sont des entiers et le diamètre de son cercle circonscrit est 6.25 calculer les longueurs de ce triangle

Exercice 5 soit ABCD un quadrilatère convexe et soit M le point d’intersection des diagonales on suppose que DB = 3DM etAM =M C

calculer BC et CD en fonction des longuers des cotés du triangleABD

1.2 à propos d’aires

1.2.1 aire d’un triangle formule classique

Exercice 6 Lunules d’Hippocrate

soitABCun triangle rectangle en A et on considère trois demi cercles de diamètre respectivement[AB],[AC]

,[BC] voir figure

montrer que l’aire de la partie hachurée est égale à celui du triangle ABC

1.2.2 Formule de Héron

Theorème 5 l’aire S du triangle ABC est donnée par la formule S=p

p(p−a) (p−b) (p−c) oùp= a+b+c

2 est le demi - périmètre du triangle ABC

démonstration.des formulesS = ¹₂bcsinAb , etcosAb= b²+c²−a²

2bc et cos²Ab+ sin²Ab= 1 on trouve :16S² = 4b²c²−(b²+c²−a²)² = 16p(p−a) (p−b) (p−c)

Exercice 7 montrer qu’il n’existe pas de triangle d’aire entiere et dont les cotés sont des nombres premiers Exercice 8 soit(ABC)un triangle et soit M le point de contact du cercle inscrit au triangle avec le côt [BC]

on noteh_Ala hauteur issue de A etαune mesure de l’angleAb montrer que 1

BM + 1

CM = 2

h_Acotan ^α₂

1.2.3 aire d’un triangle et cercle circonscrit

soit(C)le cercle ciconscrit au triangle ABC et R son rayon Theorème 6 a

sinAb = b

sinBb = c

sinCb = 2Ren particulierS = abc 4R

démonstration.siAb= 90^◦alors [BC] est diamètre de(C)et dans ce casa= 2R siAb6= 90^◦ considérons le point D diamétralement opposé de B sur(C)

on a alorssin Ab

= sin

BDCd

( intercept le même arc ) d’oùsin Ab

= a

2R on montre aussi que sin

Bb

= b

2Ret sin Cb

= c et on applique la loi des sinus2R

1.2.4 aire d’un triangle et cercle inscrit

Theorème 7 on note r le rayon du cercle inscrit dans le traingle ABC et p le demi périmètre et S la surface de ABC alorsS =pr

démonstration.soit I le centre du cercle inscrit dans le traingle ABC le point I est le point de rencontre des bissectrices interieurs

en remarquant que

aire(ABC) = aire(BIC) +aire(CIA) +aire(AIB) montrer queS =pr

Exercice 9 on notehA, hB, hC les longueurs des hauteurs et r le rayon du cercle inscrit dans le traingle ABC 1. montrer que 1

h_A + 1 h_B + 1

h_C = 1 r 2. en déduirer³ ≤ h_Ah_Bh_C

27 etudier le cas d’égalité

1.2.5 aire d’un triangle et cercle ex-inscrit

Theorème 8 ABC un triangle et p son demi périmètre on noter_ale rayon du cercle ex-inscrit dans l’angleAb

S = (p−a)r_a

démonstration.soit I’ le centre du cercle ex-inscrit dans le traingle ABC dans l’angleAb voir figure

aire(ABC) = aire(CI⁰A) +aire(AI⁰B)−aire(BI⁰C) doncS= ¹₂br_a+¹₂br_a− ¹₂ar_a = ¹₂(b+c−a)r

or2p=a+b+cdoncS = (p−a)r_a

on montre de mêmeS = (p−b)r_b et S= (p−c)r_c

1.2.6 longueur dúne bissectrice

Theorème 9 ABC un triangle

si D est le point de rencontre de la bissectrice de l’angle Abet la droite (BC) alors on a les resultas suivants

1)Dest le barycentre de(B, b)et(C, c) 2)DB

DC = c b 3) AD= 2bc

b+ccos Ab 2

!

4)BD= ac b+c

Exercice 10 soit I le centre du cercle inscrit dans le traingle ABC etSla qsurface deABC montrer que IA²sinA+b IB²sinBb+IC²sinCb= 2S

Exercice 11 soit I le centre du cercle inscrit dans le traingle ABC et soitI_A⁰ le centre du cercle ex-inscrit du traingle ABC dans l’angleAb

montrer que I barycentre du système pondéré (A, a),(B, b),(C, c) et I_A⁰ barycentre du système pondéré (A,−a),(B, b),(C, c)

1.2.7 formule d’euler

Theorème 10 si R est le rayon du cercle ciconscrit et r est le rayon du cercle inscrit et d est la distance entre les deux centres de ces deux cercles alorsd² =R²−2Rr et doncR ≥ 2r (inégalité d’euler)

démonstration.à titre d’exercice Exercice 12 OIM canada 88

le triangle ABC est inscrit dans un cercle .les bissectrices intérieurs des angles A,B,C rencontrent le cercle(respectivement) en A’,B’,C’ montrer que l’aire du triangleA⁰B⁰C⁰ est supérieure ou égale à l’aire du triangle ABC

indication notons par [ABC] l’aire du triangle ABC

on note aussi parRle rayon du cercle ciconscrit ,rle rayon du cercle inscrit ,ple demi-périmètre 1) montrer que[ABC] = 2R²sin (A) sin (B) sin (C)et

[A⁰B⁰C⁰] = 2R²sin (A⁰) sin (B⁰) sin (C⁰) = 2R²cos A

2

cos B

2

cos C

2

2)en déduire que [ABC]

[A⁰B⁰C⁰] = 8 sin ^A₂

sin ^B₂

sin ^C₂ 3)montrer quesin ^C₂

=

r(p−a) (p−b)

ab de même trouversin ^B₂

et sin ^C₂ 4) déduire que [ABC]

[A⁰B⁰C⁰] = 8(p−a) (p−b) (p−c) abc

5)montrer enfin que [ABC]

[A⁰B⁰C⁰] = 2r

R et conclure !