Structures Algébriques : Groupes et Anneaux
Table des matières
1 Structure de Groupe 3
1.1 Monoïdes . . . 3
1.2 Groupes, les premières propriétés . . . 4
1.3 Exemples importants de Groupes . . . 4
1.4 Produit direct d'une famille de groupes . . . 5
1.5 Sous-groupes . . . 5
1.6 Morphismes de groupes . . . 6
1.7 Sous-groupe engendré par une partie . . . 6
1.8 Groupes monogènes . . . 7
1.9 Classes modulo un sous-groupe et Théorème de Lagrange . . . 7
2 Groupes quotients et Théorèmes d'isomorphisme 10 2.1 Sous-groupes distingués . . . 10
2.2 Groupe quotient . . . 10
2.3 Les théorèmes d'isomorphisme et applications . . . 10
2.4 Application aux espaces vectoriels . . . 13
2.5 Le Groupe diédral. . . 13
3 Opération des groupes 15 3.1 Dénitions et premières propriétés . . . 15
3.2 Orbites et stabilisateurs . . . 15
3.3 Equation aux classes et Applications . . . 16
3.4 Le théorème de Cauchy . . . 16
3.5 Le théorème de Burnside . . . 17
3.6 Le groupe symétrique . . . 17
3.7 Complément : Classes de conjugaison dansSn . . . 20
4 Anneaux et Corps 21 4.1 Anneaux . . . 21
4.2 Eléments réguliers, éléments inversibles . . . 21
4.3 Sous-anneaux et morphismes d'anneaux . . . 22
4.4 Idéaux d'un anneau . . . 22
4.5 Anneau quotient et théorèmes d'isomorphismes . . . 23
4.6 Notion de Corps. . . 24
4.7 Corps de fractions d'un anneau intègre . . . 25
4.8 Anneau produit et Théorème des restes chinois . . . 25
4.9 Algèbres . . . 26
4.10 Complément : Caractéristique d'un anneau. . . 26
5 Anneaux de polynômes 28 5.1 Anneau de polynômes à coecients dans un anneau. . . 28
5.2 Anneaux de polynômes à plusieurs indéterminées . . . 28
5.3 Polynômes homogènes . . . 29
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6 Anneaux factoriels 30
6.1 Divisibilité dans les anneaux intègres . . . 30
6.2 Anneaux principaux . . . 30
6.3 Anneaux factoriels . . . 31
6.4 Factorialité des anneaux principaux. . . 32
6.5 Factorialité de l'anneau des polynômes . . . 32
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1 Structure de Groupe
1.1 Monoïdes
Denition 1.1.1. Un monoïde(E, ?)est un ensembleGmuni d'une loi de composition interne?associative et qui possède un élément neutre.
(A) associative :∀x, y, z∈G,(x ? y)? z=x ?(y ? z).
(N) possède un élément neutre :∃e∈G:∀x∈G,x ? e=e ? x.
Un Monoïde(E, ?)est dit commutatif, si la loi?est commutative :∀x, y∈G, x ? y =y ? x. Un groupe(G, ?)est dit ni, si l'ensemble sous-jacentGest ni.
Exemples 1.1.2. 1 -(N,+),(Z,+) sont des monoïdes.
2 - SoitX un ensemble non vide,F(X)l'ensemble des applicationsf :X7→X, alors(F,◦)est un monoïde.
Denition 1.1.3. Soit (E, ?) un monoïde d'élément neutre e. Un élément x de E est dit symétrisable (ou inversible), s'il existex0∈E, tel quex ? x0=x0? x=e.
Proposition 1.1.4. Soit(E, ?)un monoïde, alors : 1 - L'élément neutreeest unique.
2 - Si xest symétrisable, alors il existe un unique x0 ∈ E, tel que x ? x0 = x0? x =e. x0 est alors appelé le symétrique (ou l'inverse) dex.
3 - Tout élément xsymétrisable est régulier pour?. i.e : xest régulier à droite,∀a, b∈G,a ? x=b ? x⇒a=bet xest régulier à gauche,∀a, b∈G,x ? a=x ? b⇒a=b,
4 - Pour tout a ∈ E symétrisable, notons a0 le symétrique de a. Si xet y sont symétrisables, alors x ? y est symétrisable et(x ? y)0 =y0? x0,
Preuve.
1 - Soienteete0 deux éléments neutres. On ae ? e0=e0 careest élément neutre, mais on a aussie ? e0=ecar e0 est élément neutre. D'oùe=e0.
2 - Soientx0 et x00 deux symétriques dex, on ax0=x0? e=x0?(x ? x00) = (x0? x)? x00=e ? x00=x00
3 - Sia ? x=b ? x, alors (a ? x)? x0 = (b ? x)? x0, donca ?(x ? x0) =b ?(x ? x0), d'oùa=b. La même chose pour la régularité à gauche.
4 -(x ? y)?(y0? x0) =eet(y0? x0)?(x ? y) =e. Remarque 1.1.5. Remarque sur les notations.
En général, pour les monoïdes (et les groupes), on utilise deux types de notation :
Ila notation multiplicative, qui est la plus générale, la loi est alors notée ·, le composé dex et y est notée xy, l'élément neutre eou1, l'inverse dexest notéx−1.
Ila notation additive + en général reservée au cas commutatif. Le composé dexetyest notéex+y, l'élément neutre est noté0, le symétrique dexest noté−x, on l'appelle aussi l'opposé dex.
Denition 1.1.6. Soit(E,·)un monoïde d'élément neutreeetx∈E. Pour toutn∈N, on dénit la puissance dexd'exposant nnotéexn dexpar récurrence :x0=e,xn+1=xn·x.
Sixest inversible, on dénit pour toutn∈N, les puissances négatives x−n = (xn)−1. Proposition 1.1.7. Soit(E,·)un monoïde, x∈E. Pour tout n∈N, on a :
(1)xn+m=xnxm (2)xmn= (xm)n
(3) Si xy=yx, on a (xy)n=xnyn
Si de plusxety sont inversibles, alors on a alors les mêmes propriétés (1), (2) et (3), pour n, m∈Z Lorsque le monoïde est noté additivement, x+x . . .+x(n fois ) est noténxet(−n)x=−nx. Preuve. Pour les propriétés 1,2 et 3, on procède par récurrence surnsinest entier naturel.
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1.2 Groupes, les premières propriétés
Denition 1.2.1. Un groupe(G, ?)est un monoïde dans lequel tout élément est symétrisable. C'est donc un ensembleGmuni d'une loi de composition interne? qui est :
(A) associative :∀x, y, z∈G,(x ? y)? z=x ?(y ? z).
(N) possède un élément neutre :∃e∈G:∀x∈G,x ? e=e ? x.
(S) tout élément deGest symétrisable pour la loi? :∀x∈G,∃x0∈G:x ? x0=x0? x=e.
Un groupe(G, ?)est dit commutatif, si la loi ? est commutative :∀x, y ∈G, x ? y =y ? x. On dit alors aussi que le groupe(G, ?)est abélien.
Un groupe (G, ?)est dit ni, si l'ensemble sous-jacent Gest ni. Le cardinal deGest alors appelé l'ordre de G, il est noté|G|ouo(G).
Exemples 1.2.2.
1 -(Z,+)est un groupe abélien, on l'appelle le groupeZ.
2 -(Q,+),(R,+),(C,+),(Q∗,×),(R∗,×),(C∗,×)sont des groupes abéliens.
3 -(Z∗,×), n'est pas un groupe.
4 - On considère l'ensemble G={a, b}, muni d'une loi ? telle quea ? b=b ? a=b et a ? a=b ? b=a, alors (G, ?)est un groupe ni d'ordre 2.
Remarque 1.2.3.
1 - Les propriétés de la proposition 1.1.4, sont valables pour les groupes. Il résulte de la régularité que dans la table d'un groupe ni, chaque élément apparait une et une seule fois dans chaque ligne et dans chaque colonne.
2 - Nous dirons très souvent " SoitGun groupe" sans citer la loi deG, dans ce cas là la notation utilisé est la notation multiplicative(x, y)7→xy.
1.3 Exemples importants de Groupes
1. Groupe des classes modulo un entier
On note Z/n.Z, l'ensemble des éléments notées ¯0,¯1, . . . ,¯k, . . . n−1, appelés classes d'équivalences modulo n. On dénit surZ/n.Zune loi noté+dénie par :¯k+ ¯m= ¯r, oùrest le reste de la division euclidienne dek+m parn. On montre que(Z/n.Z,+) est un groupe ni d'ordrend'élément neutre ¯0.
groupe abélien ni d'ordren.
2. Groupe des éléments inversibles d'un monoïde
Proposition 1.3.1. Soit(E,·)un monoïde, i.e. la loi· est associative et admet un élément neutree. On note U(E)l'ensemble des éléments inversibles deE. Alors(U(E),·)est un groupe.
Preuve. D'abordU(E)6=∅, car e∈ U(E). Ensuite, si x, y ∈U(E), on a xyy−1x−1 =y−1x−1xy =e, donc xy∈U(E), par conséquent,·est une loi interne de U(E).
(U(E),·)est un monoïde d'élément neutreeet si x∈U(E), alors(x−1)−1=x, doncx−1∈U(E). Exemple 1.3.2. Soitn un entier, dansZ/nZon dénit la loi · par¯k·m¯ = ¯r, où r est le reste de la division euclidienne de kmparn. On montre que(Z/nZ,·)est un monoïde d'élément neutre¯1, ce n'est pas un groupe car ¯0 n'est pas symétrisable. L'ensemble des éléments inversibles de (Z/nZ,·) est noté Un, c'est un groupe commutatif ni.
Proposition 1.3.3. On a Un = {k¯ : kest premier avecn}, en particulier, o(Un) = φ(n), où φ(n), appelée indicatrice d'Euler, est le nombre des entiers naturels premiers avecninférieurs àn
Preuve. Soitk¯∈Un, il existeh∈Ztel quek¯¯h= ¯1. Donc il existe q∈Z, tel quehk−1 =qn, ce qui entraîne queketnsont premiers entre-eux.
Réciproquement, siketnsont premiers entre-eux, il existeu, v∈Z, tels queun+vk= 1. En prenant les classes modulon, on a :v¯¯k= ¯1. Ce qui signide quek¯est inversible modulon. 3 - Groupe des bijections d'un ensemble SoitX un ensemble non vide,(F(X),◦)le monoïde des applica- tions deX dans lui-même. L'ensemble B(X)des éléments inversibles de(F(X),◦)est l'ensemble des bijections deX dans lui-même. C'est donc un groupe pour la loi◦. SiX contient au moins trois éléments,B(X)n'est pas
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commutatif. De plus, siX est ni de cardinaln, alors|B(X)|=n!.
LorsqueX={1,2, . . . , n}, le groupe des bijections deX est notéSn. On l'appelle alors le groupe symétrique de degrén. Ses éléments sont appelés les permutations ànéléments. Son ordre est égal àn!.
Usuellement, une permutationσ∈ Sn est notée : σ=
1 2 . . . i . . . n
σ(1) σ(2) . . . σ(i) . . . σ(n)
Exemple 1.3.4. σ=
1 2 3 4 5 6 2 5 6 1 4 3
∈ S6.
Exemple 1.3.5. S3 est un groupe ni d'ordre6 comprenant : I=
1 2 3 1 2 3
, r1=
1 2 3 2 3 1
,r2=
1 2 3 3 1 2
,s1=
1 2 3 1 3 2
, s2=
1 2 3 3 2 1
, s3=
1 2 3 2 1 3
. 4. Le Groupe linéaire
Soitn∈N∗. On considère le monoïde(Mn(K),×), des matrices carrées d'ordre nà cecients dans K=Rou C. On note GLn(K)ou GLK(n), l'ensemble des matrices carrées inversibles dans(Mn(K),×). Alors GLn(K) est un groupe pour la multiplication des matrices appelé groupe linéaire.
5. Groupe d'isométries SoitE un espace euclidien de dimensionn. On appelle isométrie linéaire deE toute application linéaire f : E → E, telle que∀x, y∈ E,on a : d(f(x), f(y)) =d(x, y). L'ensemble des isométries linéaires noté Isom(E)est un groupe pour la composition des applications.
Soit maintenant A⊂E. On noteGA ={f ∈Isom(E) :f(A) =A}, i.e. l'ensemble des isométries qui laissent globalement xeA. Alors(GA,◦)est un groupe.
1.4 Produit direct d'une famille de groupes
Théorème 1.4.1. Soit G1, . . . , Gn une famille nie de groupes. On considère G = G1×G2×. . .×Gn sur lequel on dénit la loi : (x1, x2, . . . , xn)·(y1, y2, . . . , yn) = (x1y1, x2y2, . . . , xnyn)
Muni de cette loi, Gest un groupe appelé produit direct de la familleG1, . . . , Gn. - SiG1=G2=. . .=Gn, le groupe produit direct est notéGn.
- Si chaque groupeGi est abélien, alors leur produit est aussi abélien.
Exemples 1.4.2.
1 - Prenons K = (Z,+),(Q,+),(R,+) ou(C,+), et n un entier. On dénit surKn, l'addition (x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1+y1, . . . , xn+yn)c'est la loi produit direct.
2 - On prendG=Z/2Z, alors le groupe produitZ/2Z×Z/2Zest appelé groupe de Klein.
1.5 Sous-groupes
Denition 1.5.1. SoitGun groupe,H un sous-ensemble deG. On dit queH est un sous-groupe deG, lorsque H est une partie stable deG, et vérie les axiomes d'un groupe pour la l.c.i. induite par celle de G.
Remarquons queH admet alors le même élément neutre queG.
Proposition 1.5.2. Soient Gun groupe etH ⊂G. Les assertions suivantes sont équivalentes : 1 - H est un sous groupe de G.
2 - H6=∅,∀(a, b)∈H2, ab∈H et∀a∈H, a−1∈H. 3 - H6=∅et∀(a, b)∈H2, ab−1∈H.
Exemples 1.5.3.
1 - SoitGun groupe d'élément neutree, alors{e} etGsont deux sous-groupes deG. 2 - Pour toutn∈N. L'ensemblenZ={n.k∈Z:k∈Z}, est un sous-groupe deZ.
3 -Zest un sous-groupe de(R,+). 4 -Nn'est pas un sous-groupe deZ.
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Théorème 1.5.4. SoitH un sous-groupe deZ, alors il existen∈N, tel que H=nZ.
SiH 6={0}, alors n= min(H∩N∗).
Preuve. Il est clair que pour toutn∈N,nZest un sous-groupe de(Z,+).
Réciproquement soitH 6={0}un sous-groupe de(Z,+). Posonsn= min(H∩N∗). On anZ⊂H. Réciproque- ment, soit x∈ H, alors par division euclidienne, on a x=qn+r, où0 ≤r < n. Supposons quer 6= 0, alors r=x−nq∈H∩N∗, ce qui est absurde par minimalité den. Donc,r= 0, i.e.x∈nZ, par conséquentH ⊂nZ,
d'oùH =nZ.
1.6 Morphismes de groupes
Denition 1.6.1. Soient G, G0 deux groupes. Une applicationf : G→G0 est dite morphisme ou homomor- phisme de groupes si∀x, y∈Gon a f(xy) =f(x)f(y).
Un endomorphisme d'un groupeGest un morphisme deGdans lui-même.
Un isomorphisme est un morphisme bijectif. Un groupe G est dit isomorphe à un groupe G0, s'il existe un isomorphismeG→G0. On note alorsG∼=G0.
Exemples 1.6.2.
1 - SoientG,G0 deux groupes d'éléments neutres respectivementeete0. On peut toujours dénir un morphisme dit trivialθdeGdansG0 parθ(x) =e0,∀x∈G.
2 - SoitGun groupe. L'application identiqueIG:G→Gest un endomorphisme deG. SiH est un sous groupe deG, l'injection canoniquei:H →G, i(x) =xest un morphisme de groupes.
3 - SoitGun groupe,g∈G. L'applicationφg :Z→G, dénie parφg(n) =gn, est un morphisme de groupes.
4 - Soit G un groupe, g ∈ G. On déni une application γg : G → G, dénie par γg(x) = gxg−1 est un automorphisme deGappelé automorphisme intérieur associé àg.
5 - L'application exponentielleexp : (R,+)→(R∗+,×). est un isomorphisme, dont l'isomorphisme inverse est le logarithme naturel. Ainsi on a(R,+)∼= (R∗+,×).
Proposition 1.6.3.
1 - Le composé de deux morphismes est un morphisme.
2 - Soit f :G→G0, un isomorphisme, alorsf−1 est un isomorphisme.
Corollaire 1.6.4. SoitGun groupe, on note Aut(G), l'ensemble des automorphismes deG, alors(Aut(G),◦) est un groupe, sous-groupe des bijections de l'ensemble G.
Proposition 1.6.5. Soient G,G0 deux groupes d'éléments neutres respectivement e ete0 et f un morphisme deGdansG0. Alors,
1 - f(e) =e0.
2 - ∀x∈G,∀n∈Z,f(xn) =f(x)n. 3 - f(x−1) = (f(x))−1,∀x∈G.
4 - L'image d'un sous-groupe deG est un sous-groupe deG0. En particulier, f(G) est noté Imf, c'est l'image def.
5 - L'image réciproque d'un sous-groupe de G0 est un sous-groupe de G. En particulier f−1({e0}) ={x∈ G: f(x) =e0} est appelé le noyau de f et on le note Kerf.
Proposition 1.6.6. Soient G,G0 deux groupes d'éléments neutres respectivement e ete0 et f un morphisme deGdansG0. Alors,
f est surjective⇔Imf =G0 f est injective ⇔Kerf ={e}
1.7 Sous-groupe engendré par une partie
Proposition 1.7.1. SoitGun groupe et (Gi)i∈I une famille de sous-groupes de G. Alors∩i∈IGi est un sous- groupe deG.
Preuve. On ae∈Gi,∀i∈I, donce∈ ∩i∈IGi.
Soitx, y∈ ∩i∈IGi, alors x, y∈Gi,∀i∈I. Or les Gi sont des sous-groupes deG, donc xy−1∈Gi,∀i∈I, par
suitexy−1∈ ∩i∈IGi.
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Remarque 1.7.2. En général, la réunion de deux sous-groupes n'est pas un sous-groupe. Par exemple, 2Zet 3Z sont des sous-groupes deZ, mais E= 2Z∪3Z n'est pas un sous-groupe deZ, car 2 et 3 sont des éléments deE, mais2 + 3 = 5∈/ E.
Denition 1.7.3.
1 - SoitG un groupe etA une partie de G, l'ensemble EA de tous les sous groupes de GcontenantA est non vide. On aT
H∈EAH ={g∈G:g∈H,∀H ∈ EA}, c'est à dire l'intersection de tous les sous-groupes deGqui contiennent A, est un sous groupe deGcontenant A. On l'appelle le sous-groupe deGengendré par A. On le note grhAi. Remarquons que : grh∅i={e}.
2 - SiG=grhAi,Aest dite une partie génératrice deG.
Proposition 1.7.4. Soit Gun groupe et A⊂G. Alors : grhAi=H, si et seulement si, H est un sous-groupe deGqui contientA, et tout sous-groupe de GcontenantA contientH.
En d'autres termes, grhAiest le plus petit sous-groupe deG contenantA.
Preuve. Notons(Gi)i∈I la famille de tous les sous-groupes deGqui contiennent A. PosonsH =∩i∈IGi. Soit maintenantK un sous-groupe deGcontenantA. Alors il existej∈I tel queK=Gj, par suiteH ⊂K. Réciproquement, SoitH un sous-groupe deGcontenantAet tel que∀K, sous-groupe deG A⊂K⇒H ⊂K. On aH=Gjpour un certainj∈I(carA⊂H). Donc∩i∈IGi⊂Gj =H. D'autre part, commeA⊂Gi,∀i∈I,
par hypothèse on aH ⊂Gi,∀i∈I, doncH ⊂ ∩i∈IGi
Proposition 1.7.5. Soit G un groupe, A = {a} on a en notation multiplicative, grhai = {ak : k ∈ Z}. En notation additive, grhai={ka:k∈Z}.
Preuve. Soit le morphismeφa : (Z,+)→G, deni parφa(k) =ak. On a Imφa ={ak:k∈Z}est un sous-groupe de deG. SiH est un sous-groupe qui contienta, alors on a∀k∈Z, ak ∈H, donchai=Imφa={ka:k∈Z}.
1.8 Groupes monogènes
Denition 1.8.1.
1 - Un groupeGest dit monogène siG=grhai. C'est à dire engendré par un seul élément.
2 - Un groupe est dit cyclique s'il est monogène et ni.
Exemples 1.8.2.
1 -(Z,+)est un groupe monogène carZ=grh1i.
2 -(Z/nZ,+) est un groupe cyclique carZ/nZest ni et engendré par¯1.
3 - SoitGn l'ensemble des racinesn-ième de l'unité dansC. Alors(Gn,×)est un groupe cyclique engendré par e2πin = cos2π
n +isin2π n.
1.9 Classes modulo un sous-groupe et Théorème de Lagrange
Denition 1.9.1. Soit G un groupe et H un sous-groupe de G. On dénit la relation Rg sur G par : xRgy⇔x−1y∈H.
Rg est une relation d'équivalence appelée relation d'équivalence ou congruence à gauche moduloH . Six∈G, la classe à gauche moduloH est x¯=xH.
De même on dénit la relation d'équivalence à droite ou congruence à droite moduloH notéeRd parxRdy⇔ yx−1∈H. La classe dexest alors Hx.
Les ensembles quotients sont notés(G/H)g pourG/Rg et (G/H)g pour G/Rd. L'application :φ: (G/H)g → (G/H)d, dénie par φ(xH) =Hx−1 est une bijection. Ainsi, si l'un des ensembles quotient est ni l'autre l'est aussi, ils ont alors le même cardinal. Ce cardinal commun est appelé l'indice deH dans Gon le note[G:H]. Exemple 1.9.2. SoitG= (Z,+),H =nZ.xRgy⇔x−y∈H etxRdy⇔y−x∈H. Ici on aRg=Rd=R, car le groupe est commutatif. De plus,Z/R=Z/nZ.
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Exemple 1.9.3. Soit S3 ={I, r1, r2, s1, s2, s3} le groupe symétrique de degré 3 (voir Exemple 1.3.5). H = {I, s1}est un sous-groupe deG.
Les classes à gauche moduloH sont :H, r1H ={r1, s3}, r2H ={r2, s2}. Les classes à droite moduloH sont :H, Hr1={r1, s2}, Hr2={r2, s3}.
Théorème 1.9.4 (Lagrange). Soit Gun groupe ni etH un sous-groupe deG. Alors|G|=|H|.[G:H]. En particulier, l'ordre de H divise celui deG.
Preuve. Considérons l'ensemble quotient à gauche par H, (G/H)g = {x1H, . . . , xkH}, où k = [G : H]. On alorsG=∪ki=1xiH. Et puisque les classes xiH sont deux à deux disjointes, on a|G| =Pk
i=1card(xiH). Par ailleurs, l'applicationH →xH, h7→xhest une bijection, il en résulte que card(xH) =|H|, pour toutx∈G. Par conséquent on a,|G|=Pk
i=1card(xiH) =k|H|.
Théorème 1.9.5. SoitGun groupe ni,H etK deux sous-groupes deGtels queK⊂H. Alors on a la relation [G:K] = [G:H][H :K]
Preuve. On a[G:H]·[H :K] = |G|
|H|
|H|
|K| = |G|
|K| = [G:K]
Proposition 1.9.6. Tout groupe d'ordre un nombre premier est cyclique, engendré par n'importe quel élément diérent de l'élément neutre.
Preuve. SoitGun groupe d'élément neutreedont l'ordre est un nombre premierp. Sia6=eest un élément de G, alorsgrhai 6={e}, donc|grhai| 6= 1. Or|grhai| | |G|=p, donc|grhai|=p. D'où|grhai|=G. Denition 1.9.7. SoitGun groupe, eta∈G. On dit queaest d'ordre ni, si grhaiest ni, dans ce cas là, on appelle ordre dea, notéo(g), l'ordre du groupe grhai.
Théorème 1.9.8. Soit (G,·) un groupe d'élément neutre e et a un élément de G. Alors a est d'ordre ni, si et seulement si, il existe n ∈ N∗ tel que xn = e. Alors on a o(a) = Min{k ∈ N∗ : ak = e}. De plus, grhai={e,a,a2, . . . ,an−1} oùn=o(a).
Preuve. Supposons queaest d'ordre ni, alors l'ensemble{an∈G:n∈N}est ni, il existe alorsk > mtels que ak =am. Donc ak−m=e. Réciproquement, supposons qu'il existe n∈ N∗ tel que xn =e. Soitn le plus petit entier vériant cette propriéts et posons H = {e, a, a2, . . . , an−1}. Si ak, am ∈ H, alors ak.am = ak+m. Posonsk+m=qn+r, où 0≤r < n, alors ak+m =ar. Il en résulte queH est un sous-groupe ni deG, de plusH est engendré para. Doncaest d'ordre ni.
Il est clair queo(a) = Min{k∈N∗:ak=e}.
Corollaire 1.9.9. SoitGun groupe ni d'ordrend'élément neutree. Alors∀g∈G, on ao(g)|n. En particulier, gn=e.
Corollaire 1.9.10. Soit(G,·)un groupe ni d'ordren, alors Gest cyclique, si et seulement si,Gcontient un élément d'ordren.
Preuve. En eet, si G est cyclique, alors G est engendré par un élément d'ordre n. Réciproquement, si G contient un élémentad'ordren, alors|grhai|=n=|G|, par suiteG=grhai, Gest donc cyclique.
Exemples 1.9.11.
1 - Dans(Z,+)seul 0 est d'ordre ni.
2 - Dans le groupe(C∗,×), les éléments d'ordre ni sont les racines de l'unité. Par exempleo(i) = 4.
3 - SoitC2un groupe cyclique d'ordre 2. Tout groupe isomorphe au groupeG=C2×C2, qui est abélien d'ordre 4, est appelé groupe de Klein. Dans un groupe de Klein, tout élément6=eest d'ordre 2.
Proposition 1.9.12. SoitGun groupe d'élément neutre eeta∈Gun élément d'ordren. Alors∀k∈Z, on a ak=e⇔n|k
Preuve. Résulte du fait queo(a) = Min{k∈N∗:ak =e}.
Proposition 1.9.13. SoitGun groupe,H etK deux sous-groupes nis deG, on suppose que|H|et|K| sont premiers entre eux. AlorsH∩K={e}.
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Preuve. On a |H∩K| | |H| et |H∩K| | |K|. Comme|H|et |K|, sont premiers entre eux, on a|H∩K|= 1.
DoncH∩K={e}.
Proposition 1.9.14. SoitGun groupe d'élément neutreeeta∈Gun élément d'ordrenetmun entier naturel divisantnAlorso(amn) =m.
Preuve. Posons b=amn, alorsbm =an =e. Soitk ∈N∗, tel quebk =e, alors aknm =e, doncn | knm, ce qui
entraîne quem|k.
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2 Groupes quotients et Théorèmes d'isomorphisme
2.1 Sous-groupes distingués
Denition 2.1.1. SoitG un groupe,H sous groupe deG. On dit que H est un sous groupe distingué de G (ou normal) et on écritH CG, si :∀x∈G, xH =Hx, ce qui est équivalent à :∀x∈G, xHx−1⊂H.
Exemples 2.1.2.
1 - SoitGun groupe.{e} etGsont deux sous-groupes distingués deG.
2 - SoitGun groupe. L'ensemble Z(G) ={x∈G:gx=xg ∀g∈G}, est un sous-groupe distingué deGappelé le centre deG.
3 - Dans un groupe abélien, tout sous-groupe est distingué.
4 - Dans le groupeS3, l'ensembleN =ghri={I, r, r2}, oùr=
1 2 3 2 3 1
est un sous-groupe distingué . Proposition 2.1.3. L'image réciproque par un morphisme d'un sous-groupe distingué. En particulier, le noyau de tout morphisme est un sous-groupe distingué.
Preuve. Soit f : G → G0 un morphisme de groupes et N0 un sous-groupe distingué de G0. Posons N = f−1(N0) = {x ∈ G : f(x) ∈ N0}. N est un sous-groupe de G et ∀g ∈ G, x ∈ N, on a f(gxg−1) =
f(g)f(x)f(g)−1∈N0, doncgxg−1∈N.
2.2 Groupe quotient
Remarque 2.2.1. SiNCG, on axN=N x,∀x∈G, il en résulte que l'ensemble quotient à gauche et à droite sont égaux, on note alorsG/N cet ensemble.
Théorème 2.2.2. Soit (G,·) un groupe d'élément neutre e et N un sous-groupe distingué de G. alors sur l'ensemble quotient G/N, on dénit une loi¯· tel quex¯¯·¯y=xy, pour tousx, y∈G. Muni de cette loi,G/N est un groupe d'élément neutre ¯e et l'application π : G → G/N est un morphisme surjectif de groupes appelé la surjection canonique de Gsur G/N.
De plus, siGest abélien, G/N est abélien.
SiGest ni, alors G/N est ni et|G/N|= |G|
|N|
Preuve. Montrons d'abord que le produitx¯¯·¯y =xy ne dépend pas de xet y mais seulement de leurs classes modulo N. Soient a, b ∈ G tels que ¯a = ¯x et ¯b = ¯y. Montrons que xy = ab. On a xy(ab)−1 = xyb−1a−1 = xyb−1x−1xa−1. On a y¯= ¯b. Donc yb−1 ∈N et comme N CG, on a xyb−1x−1 ∈ N. De même,a¯ = ¯x, donc xa−1 ∈N. Finalement xyb−1a−1 =xyb−1x−1xa−1 ∈ N. Par conséquent xy = ab. Le produit est donc bien déni.
I∀x, y, z∈G, on a (¯x·y)¯ ·z¯=xy·z¯=xyz et x¯·(¯y·z) = ¯¯ x·yz=xyz D'où(¯x·y)¯ ·z¯= ¯x·(¯y·z)¯ . La loi quotient surG/N est donc associative.
ISoitel'élément neutre deG, on a∀x∈G,x¯·¯e=xe= ¯xet ¯e·x¯=ex= ¯x.
¯
eest l'élément neutre deG/N.
ISoit x¯∈ G/N et x0 le symétrique de xdansG. On a ¯x·x0 =xx0 = ¯eet x0·x¯ =x0x= ¯eTout élément de G/N est donc symétrisable.
En conclusion(G/N,·)est un groupeIL'applicationπ:G→G/N dénie parπ(x) = ¯x, vérieπ(xy) =xy=
¯
x·y¯=π(x)·π(y). C'est donc un morphisme de groupe, il est clair queπest surjectif.
IIl est aussi clair que siGest abélien, alorsG/N est aussi abélien.
ISiGest ni, d'après le théorème de Lagrange|G|=|N|[G:N], or [G:H] =card(G/N),|G/N|= |G||N|. Exemple 2.2.3. Le groupe(Z/nZ,+) est le quotient de(Z,+)parnZ.
2.3 Les théorèmes d'isomorphisme et applications
Théorème 2.3.1. (Décomposition canonique d'une application) Soient E,F deux ensembles, f :E →F une application.Rune relation d'équivalence etE/Rl'ensemble quotient , etπ:E→E/Rla surjection canonique.
On suppose que
∀x, y∈E, xRy⇒f(x) =f(y)
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Alors il existe une application surjective unique f¯:E/R →f(F), telle quef =i◦f¯◦π oùi:f(E)→F, x7→xest l'injection canonique.
De plus, sif(x) =f(y)⇒xRy, alors f¯est bijective.
Preuve. Supposons que ∀x, y ∈ E, xRy ⇒ f(x) = f(y). Posons f¯(¯x) = f(x). Montrons que cette relation dépend uniquement de la classe dex. En eet, six¯= ¯y, alorsxRy. Par suite, f(x) =f(y). Doncf¯(¯x) = ¯f(¯y). f¯est bien dénie et on af(x) = ¯f(¯x) =i◦f π(x)¯ ,∀x∈E.
Surjection, siy∈f(E), il existex∈E tel quey=f(x) = ¯f(¯x).
Supposons quef(x) =f(y)⇒xRy, montrons quef¯est injective. Soient x,¯ y¯tels que f¯(¯x) = ¯f(¯y). On a alors f(x) =f(y). Par hypothèse, on a alorsxRy, doncx¯= ¯y. Théorème 2.3.2. (Premier théorème d'isomorphisme) Soit f : G → G0 un morphisme de groupes et N un sous-groupe distingué de Gtel que N ⊂Kerf. Alors il existe un morphisme unique f¯: G/N → Imf tel que f(x) = ¯f(¯x),∀x∈G. De plus, siN=Kerf, alors f¯est un isomorphisme. On a alors l'isomorphisme
G/Kerf ∼= Imf
Preuve. SoitRla relation d'équivalence moduloN. On axRy⇒xy−1∈N ⇒f(xy−1) =e0⇔f(x) =f(y). Donc, en utilisant le théorème 2.3.1, il existe une surjectionf¯:G/N →Imf, telle quef =i◦f¯◦π. Par ailleurs, f¯(xy) =f(xy) =f(x)f(y) = ¯f(¯x) ¯f(¯y),f¯est donc un morphisme de groupes.
Supposons queN =Kerf, soitx¯∈Kerf¯, alors f¯(¯x) =f(x) =e0, doncx∈Kerf =N, par suitex¯= ¯e.f¯est
alors injectif. .
On interprète ce théorème en disant qu'il existe un unique isomorphismef :G/N →Imf tel que le diagramme suivant soit commutatif.
G - G0 6
G/N? π
f i -Imf f¯
Exemples 2.3.3.
1 - Soit (G,×) le groupe des nombres complexes de module 1 (le cercle complexe de rayon 1). L'application φ: (R,+)→G,x7→exp(ix), est un morphisme surjectif. Son noyau est égal à 2πZ. Donc on a l'isomorphisme G∼=R/2πZ.
2 - L'ensemble des automorphismes intérieurs, noté Int(G), d'un groupe G est un groupe pour la loi ◦, il est isomorphe àG/Z(G), oùZ(G)est le centre de G. (voir les exercices).
Théorème 2.3.4 (Classication des groupes monogènes). Soit Gun groupe monogène. S'il est inni, il est isomorphe àZ. S'il est ni d'ordre n, il est isomorphe àZ/nZ.
Preuve. SoitG un groupe monogène engendré par un élémentg. L'homomorphisme φg : Z→Gdéni par : φg(n) =gn est surjectif. Ker(φg) =nZ. Donc Imφg =G∼=Z/nZ. SiGest inni,n= 0et G∼=Z. SiGest ni n6= 0et G∼=Z/nZ.
Théorème 2.3.5. Tout groupe d'ordre un nombre premier pest cyclique, il est alors isomorphe à(Z/pZ,+) Denition 2.3.6. SoitGun groupeA, B deux parties deG. On noteAB={ab∈G:a∈A, b∈B}.
Exemple 2.3.7. En général le produit de deux sous-groupes n'est pas un groupe. Comme contre-exemple on a le suivant :
Dans le groupe S3, on prend H ={I, s1} et K = {I, s2}. HK ={I, s1, s2, r1} alors, d'après le théorème de Lagrange,HK n'est pas un sous-groupe deG.
Proposition 2.3.8. Soit G un groupe H, K deux sous-groupes de G. Alors. HK est un sous-groupe, si et seulement si,HK =KH.
En particulier, si l'un des sous-groupes est distingué, alorsHK est un sous-groupe deG.
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Preuve. Supposons queHK est un sous-groupe deG. AlorsHK = (HK)−1=K−1H−1=KH. Réciproque- ment, supposons queHK =KH. Montrons queHKest un sous-groupe deG. On ae=e.e∈HK. Soitx=hk, y=ab,h, a∈H,k, b∈K. Alorsxy−1=hkb−1a−1. Onkb−1a−1∈KH =HK, doncxy−1=hkb−1a−1∈KH. Supposons par exemple queH est distingué, ∀h∈H,∀k∈K on ahk =kk−1hk ∈KH, donc HK ⊂KH, et
kh=khk−1k∈KH doncKH⊂HK.
Théorème 2.3.9. (deuxième théorème d'isomorphisme) Soit Gun groupe.H, N deux sous-groupes deGavec N distingué dansG. Alors, HN est un sous-groupe de Get on a :
HN/N ∼=H/H∩N En particulier siH etN sont nis alors
|HN| · |H∩N|=|H||N|
Preuve. On a HN est un sous-groupe de G car N C G. Soit f : H → G/N, x 7→ x¯, f est un morphisme de groupes. On a Kerf = {x∈ H : x∈N} =H∩N. Déterminons Imf, soit y¯∈Imf, il existe x∈ H tel que x¯ = ¯y. Donc x−1y ∈ N, d'où y ∈ HN, Imf ⊂HN/N. Réciproquement, si y ∈ HN, alors y = xa, où
x∈H, a∈N, par suitef(x) = ¯x= ¯y.
Exemple 2.3.10. On reprend le groupe S3 (voir exemple 1.3.5), N = {I, r1, r2} et H = {I, s1}. Alors N est distingué dans S3 et on a N H/N ∼= H/H∩N. Or H ∩N = {I}. D'où N H/N ∼= H. Par conséquent,
|N H|=|N|.|H|= 3.2 = 6. Par suiteG=N H.
Théorème 2.3.11 (caractérisation du produit direct). Soit G un groupe, les assertions suivantes sont équivalentes :
1 - G∼=G1×. . .×Gn.
2 - Gcontientnsous-groupes distinguésH1, . . . Hn tels que : a - Gi∼=Hi.
b -∀x∈G,∃(x1, . . . , xn)∈H1×. . .×Hn unique tel quex=x1x2. . . xn.
Preuve. PosonsG∼=G1×. . .×Gn. Pour touti, considérons l'applicationpi :G→G, dénie parpi(x1, . . . , xn) = (y1, . . . , yn), tels que yj =e,∀j 6=i, etyi =xi. On a pi est un endomorphisme de G. Posons Hi = pi(G) =
∩j6=iKerpj, alorsHiest un sous-groupe distingué deG, et pour toutx∈G, x=p1(x)p2(x)·pn(x)∈H1H2· · ·Hn. Siy=y1y2· · ·yn, oùyi∈Hi, alors en appliquant lespi on obtientpi(x) =yi, d'où l'unicité.
Réciproquement, supposons les propriétés a) et b). D'abord par unicité on a Hi∩Hj = {e}, ∀i 6=j. Soient x∈Hi, y∈Hj, on axyx−1y−1∈Hi etxyx−1y−1∈Hj carHi, Hj CG. Donc∀x∈Hi, y∈Hj, on axy=yx. Considérons l'application
f :H1×H2. . .×Hn→G,f(x1, . . . , xn) =x1x2· · ·xn, on af(x1, . . . , xn)·.(y1, . . . , yn)) =f(x1y1, . . . , xnyn) = x1y1· · ·xnyn= (x1x2· · ·xn)(y1y2· · ·yn) =f(x1, . . . , xn)f(y1, . . . , yn)), doncf est un morphisme de groupes.
f est bijectif, car∀x∈g,∃!(x1, . . . , xn)∈H1×H2×. . .×Hn, tel quex1x2· · ·xn. Théorème 2.3.12. SoitGun groupe, les assertions suivantes sont équivalentes :
1 - G∼=G1×G2.
2 - Gcontient deux sous-groupes distinguésH1 etH2 tels que : a - G1∼=H1 etG2∼=H2.
b -G=H1H2 et H1∩H2={e}.
Preuve. La propriétéH1∩H2={e} est équivalente à l'unicité de l'écriturex=x1x2. Théorème 2.3.13. (troisième théorème d'isomorphisme) Soit Gun groupe,N un sous-groupe distingué de G. Alors les sous-groupes deG/N sont exactement de la formeH/N, oùH est un sous-groupe deGcontenant N. De plus,H/N est distingué dans G/N, si et seulement,H est distingué dans G. On a alors
G/N H/N
∼=G/H
Preuve. Soit L un sous-groupe de G/N, alors π−1(L) = H est un sous-groupe de G qui contient N, car π(N) = ¯e∈L. On a alorsL=H/N. SiLest distingué dansG/N, alorsH est distingué dansG.
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Théorème 2.3.14. Tout sous-groupe d'un groupe cyclique est cyclique.Tout groupe quotient d'un groupe cyclique est cyclique.
Preuve. On aGest cyclique, doncG∼=Z/nZ. D'après le 3ème théorème d'isomorphisme, tout sous-groupeL de Z/nZest de la forme kZ/nZ oùnZ⊂kZ donck|n. Il est facile de voir queL est engendré par ¯k et il est par conséquent cyclique d'ordre k
n. De même, tout groupe quotient deZ/nZ est de la forme Z/nZ kZ/nZ
∼=Z/kZ
est cyclique.
2.4 Application aux espaces vectoriels
Théorème 2.4.1. Soient E un espace vectoriel sur un corps commutatifK etF un sous-espace de E. 1 - Sur le groupe quotientE/F, on dénit une loi externe de la manière suivante : pour tout x¯∈E etα∈K, α¯x=αx. Muni de cette loi, E/F est un espace vectoriel surK, appelé espace quotient deE parF.
Preuve. Simple vérication des propriétés de la loi externe.
Théorème 2.4.2. SoitE unK-ev.
1 - Soit f :E→E0 une application linéaire deE vers un espaceE0, alors E/Kerf∼=Imf. 2 - SoientF etGdeux sous-espaces vectoriels deE, alors F+G/F ∼=G/F∩G.
3 - SoitF un sev deE. Les sous-espacesE/F sont de la formeH/F, oùH est un sous-espace deE qui contient F.
Preuve. On a les isomorphismes de groupes abéliens, on montre que ce sont des ismorphismes d'espaces
vectoriels.
Théorème 2.4.3. 1 - Soit E unK-ev de dimension nie et F un sev deE, alors E/F est de dimension nie etdim(E/F) =dim(E)−dim(F).
2 -Soitf :E→E0une application linéaire etE est de dimension nie, alorsdim(E)−dim(Kerf) =dim(Imf) 3 - Soit E un espace vectoriel, F et G deux sous-espaces de dimension nie, alors dim(F +G) = dim(F) + dim(G)−dim(F∩G)
Preuve. 1 - Soit G un supplémentaire de F dans E. D'après le deuxième théorème d'isomorphismes, on a E/F = (F+G)/F ∼=G/F ∩G=G. Par conséquent,dim(E/F) =dim(G) =dim(E)−dim(F).
2 - En utilisant l'isomorphismeE/Kerf∼=Imf, on adim(E/Kerf) =dim(E)−dim(Kerf) =dim(Imf). 3 - D'après le deuxième théorème des isomorphismes,F+G/F ∼=G/F∩G. On considère alors les dimensions.
2.5 Le Groupe diédral.
Denition 2.5.1. Un groupe Gest dit diédral s'il est engendré par deux éléments a et b tel que o(a) = n, o(b) = 2,o(ab) = 2.
Exemple 2.5.2. Dans GL2(R)on considère les matrices : r= cossinθθ −cossinθθ, ets= 10−10oùθ=2π n . On ark= cossinkθkθ −cossinkθkθ
,rk =I2⇔kθ= 2mπ, m∈Z⇔n|k. Donco(r) =n.
Par ailleurs on as2=I2 etrs= cossinθθ −sincosθθ, d'où(rs)2=I2. Par conséquent grhr, siest bien diédral.
Exemple 2.5.3. Le groupe des isométries d'un triangle équilatéral est un groupe diédral d'ordre 6.
Théorème 2.5.4. Pour tout entier n∈ N∗, il existe un groupe diédral G engendré par deux éléments a et b veriant les relations :o(a) =n,o(b) = 2 eto(ab) = 2.
Le sous-groupeN engendré paraest distingué dans G, etG=N H, oùH ={e, b}. En particulier|G|= 2n. De plus, deux groupes diédraux de même ordre sont isomorphes.
On note parfois∆n le groupe diédral d'ordre 2n.
Preuve. Existence : Nous avons vu que le groupeG=grhr, si, de l'exemple 2.5.2, est diédral. Soit N=grhri, alors|N|=o(r) =n. On asrks−1=s−k, doncN CG. Posons L=N∪N s, alorsLest un sous-groupe de G qui contientrets, doncG=L=N∪N s. d'oùG=N H en particulier,|G|=|N||H|= 2ncarN∩H={e}. Unicité (à un isomorphisme près) : Soit maintenantG0un groupe diédral engendré paraet btels queo(a) =n,
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o(b) = 2eto(ab) = 2. Montrons queG∼=G0. Considérons l'applicationf :G→G0, dénie parf(rksm) =akbm, k= 0,1, . . . , n,m= 0,1. Par calculs directs, on vérie quef est un morphisme de groupes. Montrons que c'est un isomorphisme. Si x=rksm ∈Kerf, alorsrksm=I2, donc rk =s−m, par suiterk ∈grhri ∩grish={I2}, d'oùk=m= 0. Doncf est injectif. Comme|G|=|G0|= 2n, f est un isomorphisme.
Complément : le groupe des quaternions. Soient les matrices complexes : I = (1 00 1); J = −1 00 1; K =
−i 0 0 i
;L= (0i i0).
Proposition 2.5.5. On poseQ8={I,−I, J,−J, K,−K, L,−L}, alorsQ8est un sous-groupe de GL2(C), appelé le groupe des quaternions.
Q8 est un groupe d'ordre 8 non abélien et non diédral. De plus tout groupe engendré par deux éléments a etb tels queo(a) = 4,a2=b2 etaba=best isomorphe à Q8
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3 Opération des groupes
3.1 Dénitions et premières propriétés
Denition 3.1.1. Soit (G,·) un groupe d'élément neutre e. On appelle opération ou action de G sur un ensembleE, la donnée d'une application G×E→E,(g, x)7→gx, telle que :
1 -e.x=x,
2 - et∀g, h∈G,∀x∈E,g(hx) = (gh)x.
On dit que le groupeGopère sur l'ensembleE. Exemples 3.1.2.
1 - SoitEun ensemble,Gun sous-groupe du groupe des bijections deE. AlorsGopère surEpar(f, x)7→f(x). 2 - Soit Gun groupe, l'application (g, x)7→gx est une opération de deG sur lui même appelée opération de translation.
3 - SoitGun groupe, alorsGopère sur lui-même par(g, x)7→gxg−1, dite opération de conjugaison.
4 - Soit G un groupe, alorsG opère sur l'ensemble S(G)de ses sous-groupes au moyen de l'action (g, H) 7→
gHg−1.
Proposition 3.1.3. Soit Gun groupe et E un ensemble et φ:G×E→E, (g, x)7→gx une application. On noteB(E)le groupe des bijections deE. Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i)φest une opération de Gsur E.
(ii) Il existe un morphisme de groupes ρ:G→ B(E)tel queρ(g)(x) =gx,∀g∈G, x∈E.
Preuve. (i)⇒(ii). Soit φ une opération de G sur E. Pour tout a ∈ G, on dénit l'application ρa : E → E, par ρa(x) = ax, ∀x ∈ E. C'est une bijection de E dont la bijection réciproque est ρa−1. Considérons alors l'applicationρ:G→ B(E), a7→ ρa. On aρab(x) = (ab)x=a(bx) =ρa(ρb(x)) = (ρa◦ρb)(x) ∀x∈E. Donc ρab=ρa◦ρb. Ainsiρest un morphisme de groupes.
(ii)⇒(i). Réciproquement, soit ρ: G→ B(E) un morphisme de groupes. Alors l'application φ: G×E → E, dénie parφ(a, x) =ρa(x), est une opération du groupeGsurE.
Denition 3.1.4.
1 - Le noyau du morphismeρprécédent estN ={g:gx=x∀x∈E}. Il est appelé noyau de l'action. C'est un sous-groupe distingué deG. Une action est dite dèle si son noyau est trivial(={e}).
2 - Une opération est dite transitive si∀x, y∈E,∃g∈G:gx=y. Exemples 3.1.5.
1 - L'opération de translation d'un groupe sur lui-même est à la fois transitive et dèle.
2 - L'opération de conjugaison d'un groupeGsur lui-même n'est ni dèle ni transitive. Son noyau est le centre Z(G)deG.
3.2 Orbites et stabilisateurs
Proposition 3.2.1. Soit Gun groupe opérant sur un ensemble E. La relation Rdénie sur E par : xRy ⇔
∃g ∈ G : y = gx, est une relation d'équivalence. Ses classes sont appelées Les orbites de l'opération, elles forment une partition deE.
Denition 3.2.2. On noteO(x)l' orbite de xl'ensembleO(x) ={gx∈E :g∈G}.
Une opération est transitive, si et seulement si, elleEest l'unique orbite pour cette opération.
Denition 3.2.3. Soit G un groupe opérant sur un ensemble E. On appelle stabilisateur, ou xateur, de x l'ensemble Stab(x) ={g∈G:gx=x}. C'est un sous-groupe deG.
Exemples 3.2.4.
1 - SoitGun groupe opérant sur lui-même par conjugaison. Le stabilisateur dex∈Gest Cent(x) ={g ∈G: gx=xg}, c'est le centralisateur dex.
2 - Soit G un groupe opérant sur S(G) par (g, H) 7→ gHg−1. Le stabilisateur N(H) de H est appelé le normalisateur deH. C'est le plus grand sous-groupe deGdans lequelH est distingué.
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Proposition 3.2.5. SoitGun groupe opérant sur un ensembleE etStab(x)le stabilisateur d'un élémentxde E. Alors il existe une bijection entre l'ensemble quotient à droite(G/Stab(x))d et O(x). En particulier, O(x) est nie, si et seulement si, (G/Stab(x))d est ni et on a alors :
[G: Stab(x)] = cardO(x) A retenir : Le cardinal de l'orbite est égal à l'indice du stabilisateur.
Preuve. Soit H le stabilisateur de xet f l'application f : G → E, a 7→ ax. L'image de f est O(x). On a
∀a, b ∈ G, f(a) = f(b) ⇔ ax = bx ⇔ b−1ax = x ⇔ b−1a ∈ H ⇔ bH = aH. Donc f est constante sur les classes à droite modulo H. Par conséquent, il existe une application f¯: (G/H)d → Ox unique telle que
f¯(¯a) =f(a)∀a∈G. On vérie quef¯est bien une bijection.
3.3 Equation aux classes et Applications
Proposition 3.3.1. Soit G un groupe opérant sur un ensemble ni E. Alors il existe x1, x2, . . . , xk ∈E tels que
cardE=
k
X
i=1
[G: Stab(xi)]
Preuve. Puisque les orbites forment une partition deEet queE est ni, on aE=O(x1)∪ O(x2)∪. . .O(xk). Par suite cardE=Pk
i=1cardO(xi). On applique alors la proposition 3.2.5.
Remarque 3.3.2. L'égalité précédente est appelée équations aux classes. C'est le point de départ de nom- breuses applications de la notion d'opération à l'étude des structures des groupes.
Proposition 3.3.3. SoitGun groupe ni de centre Z(G), alors il existex1, x2, . . . , xk∈Gtels que
|G|=|Z(G)|+
k
X
i=1
[G: Cent(xi)]
oùG6= Cent(xi)∀i= 1, . . . , k.
Preuve. On fait opérerGsur lui-même par conjugaison. On aO(x) ={x} ⇔ ∀y∈G y−1xy=x⇔x∈Z(G), oùZ(G)désigne le centre deG. L'ensembleG\Z(G)est stable par l'opération de conjugaison, on applique alors l'équation aux classes pour l'opération deGsurE=G\Z(G).
3.4 Le théorème de Cauchy
Denition 3.4.1. Soitpun nombre premier. On appellep-groupe, tout groupe dont l'ordre est une puissance dep.
Théorème 3.4.2. Soit E un ensemble ni et G un un p-groupe opérant surE. On pose Fix(G) ={x∈E : σ(x) =x,∀σ∈G}, alors card(F ix(G)≡card(E) (modp)
Preuve. On aE est alors réunion disjointes d'orbites. Toutes les orbites non triviales ont un cardinal divisible parp. On aE =F ix(G)∪ ∪ki=1Ωi, où les Ωi, sont les orbites non triviales. On a card(E) =card(F ix(G)) + Pk
i=1card(Ωi), le cardinal desΩi est divisible parp, d'oùp|card(E)−card(F ix(G)). Théorème 3.4.3 (Cauchy). SoitGun groupe ni d'ordre divisible par un nombre premierp. AlorsGcontient un élément d'ordrep.
Preuve. SoitE={(g1, g2, . . . , gp)∈Gp|g1g2· · ·gp=e}. Alors card(E) =np−1. L'applicationσ(g1, g2, . . . , gp) = (g2, . . . , gp, g1) est une permutattion de E. Donc le groupe grhσi opère sur E et l'ordre de σ est p. Donc 3.4.2, on a p| card(E)−card(F ix(G)). Commep| np−1, alors p| card(F ix(G)). Or card(F ix(G))6= 0, car (e, e, . . . , e) ∈ F ix(G), on a card(F ix(G) ≥ p, il existe alors (g1, g2, . . . , gp) ∈ E tel que σ(g1, g2, . . . , gp) = (g2, . . . , gp, g1) = (g1, g2, . . . , gp). Par conséquentg1=g2=. . .=gp, d'oùg1p=e.
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Théorème 3.4.4 (Réciproque du théorème de Lagrange pour les groupes abéliens). SoitGun groupe abélien ni et mun entier qui divise l'ordre de G. AlorsGcontient un sous-groupe d'ordre m.
Preuve. Soitmun entier quelconque divisantn. Simest premier, on applique ce qui précéde. Sinon, il existe un nombre premierp|met un sous-groupeH d'ordrepdeG. Alors mp | np =|HG|< n. Donc d'après l'hypothèse de récurrence, il existe dans HG un sous-groupe KH d'ordre mp, on a alors |K|=m Remarque 3.4.5. Le résultat du théorème précédent n'est pas vrai dans le cas général pour un groupe non abélien, par exemple le groupe altérnéA4 est d'ordre 12 mais ne contient pas de sous-groupe d'ordre 6.
3.5 Le théorème de Burnside
Théorème 3.5.1. (Burnside) Le centre d'unp-groupe est non trivial.
Preuve. Pour tout g ∈ G, posons γg, l'automorpphisme intérieur associé à g i.e. γg(x) = gxg−1,∀x ∈ Get G0 ={γg :g ∈G}. Alors G0 est unp-groupe de bijections de G. D'après le théorème 3.4.2,p| card(F ix(G0), maisF ix(G0) ={x∈G:gxg−1=x}=Z(G), donc|Z(G)| ≥p Théorème 3.5.2. SoitGun groupe d'ordrepn. Alors pour tout1≤k≤n,Gcontient un sous-groupe distingué d'ordre pk.
Preuve. On raisonne par récurrence sur n. Si n= 1, il n'y a rien à démontrer. Supposons la propriété vraie pour les groupes d'ordre pm avec m < n. Soit G un groupe d'ordre pn. D'abord Z(G) est non trivial, donc contient un sous-groupeH d'ordrepqui est distingué dansG(tout sous-groupe deZ(G)est distingué dansG).
Le groupeG/Hest un groupe d'ordrepn−1. On applique alors l'hypothèse de récurrence àG/Het le troisième
théorème des isomorphismes.
Proposition 3.5.3. SoitGun groupe tel queG/Z(G)soit cyclique. Alors Gest abélien.
Preuve. Supposons que G/Z(G) soit cyclique engendré par x¯. Soient y, z ∈G,y =xkg, z =xmh, où g, h∈ Z(G). Alorsyz=xkgxmh=xkxmgh=xmxkgh=xmhxkg=zy.Gest abélien.
Proposition 3.5.4. Tout groupe d'ordre p2 est abélien. Il est alors ou bien cyclique ou bien isomorphe à un produit direct de deux groupes cycliques d'ordrep.
Preuve. En eet,Z(G)est non trivial. Donc on ao(Z(G)) =p ouo(Z(G)) =p2. Il en résulte queo(G/Z(G))) = 1 ou p. Par suite,G/Z(G)et cyclique. D'où Gest abélien.
SiGn'est pas cyclique, alors tous les éléments deGdiérents deesont d'ordrep. Soita6=eun élement deG. Toujours du fait queGn'est pas cyclique, il existe un élémentb /∈grhai. On a alors grhai ∩grhbi={e}. D'où
G∼=grhai × grhbi .
3.6 Le groupe symétrique
Théorème 3.6.1 (Cayley). Tout groupe est isomorphe à un sous-groupe du groupe des bijections d'un en- semble.
Preuve. SoitGun groupe. Pour touta∈G, on dénitρa :G→Gparρa(x) =ax. Alorsρaest une bijection de l'ensembleG. Soit(B(G),◦)le groupe des bijections de l'ensembleG, considérons l'applicationf :G→ B(G), dénie par f(a) = ρa. On a f(ab)(x) = ρab(x) = (ab)x = a(bx) = ρa ◦ρb(x), donc f est un morphisme de groupes. De plus, sif(a) =I, alorsax=x,∀x∈G, donca=e. Par conséquent,f est injectif. D'oùG∼=Imf.
Gest donc isomorphe à un sous-groupe deB(G).
Proposition 3.6.2. SoitX etY deux ensembles nis de même cardinal. Alors leurs groupes de bijections sont isomorphes.
Preuve. Soitf :X →Y une bijection. L'applicationΦ :B(X)→ B(Y), dénie parΦ(σ) =f◦σ◦f−1 est un
isomorphisme de groupes.
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On convient de noterSn le groupe des bijections de l'ensemble{1,2, . . . , n}. On l'appelle le groupe symétrique de degrén. Ses éléments sont appelés les permutations ànéléments. Son ordre est égal àn!.
Toute permutationσ∈ Sn sera notée : σ=
1 2 . . . i . . . n
σ(1) σ(2) . . . σ(i) . . . σ(n)
Exemple 3.6.3. σ=
1 2 3 4 5 6 2 5 6 1 4 3
∈ S6. Denition 3.6.4.
1 - Soit σune permutation d'un ensemble ni E. On dénit une relationiRj ⇔ ∃k ∈N: j =σk(i). Alors R est une relation d'equivalence. Ses classes d'équivalences sont appelées les orbites suivantσ, ouσ-orbites.
Les σ- orbites, sont les orbites de l'opération de grhσisur E. En particulier, si σ est d'ordre ni, le cardinal d'une orbite divise l'ordre deσ.
Une orbite est dite triviale si elle est réduite à un seul élément. Cet élément est xé parσ.
2 - On appelle cycle une permutation possédant une seule orbite non triviale. Cette orbite est alors appelée le support du cycle, son cardinal est la longueur du cycle. On dit queσest unk-cycle oùkest sa longueur.
On note le cycle de support {a1, a2, . . . , ak}, c = (a1, a2, . . . , ak), avec c(ai) = ai+1, pour i = 1, . . . , k−1 et c(ak) =a1. Les autres éléments sont inchangés.
3 - On appelle transposition un cycle de longueur 2.
Exemples 3.6.5.
1 - Soitσ=
1 2 3 4 5 6 2 5 6 1 4 3
. Alors les orbites deσsont{1,2,5,4} et{3,6}. 2 -
1 2 3 4 5 1 5 2 4 3
, possède les orbites {2,5,3} {1} et{4}. C'est un 3-cycle.
Exemple 3.6.6. S3est constitué par l'identitéI, trois transpositions(12),(13),(2,3)et deux 3-cycles(123)et(132). Denition 3.6.7. Deux cycles sont dits disjoints ou indépendants, si leurs supports sont disjoints.
Proposition 3.6.8.
1 - L'ordre d'un cycle est égal à sa longueur.
2 - Deux cycles disjoints commutent.
Preuve.
1 - Soit σ= (a, σ(a), . . . , σk−1(a))un cycle de longueur k. On aσk(a) =aet σk(σi(a)) = σi(σk(a)) =σi(a). Doncσk=I. Soit maintenantm∈N∗ tel queσm=I. En particulier,σm(a) =a, doncm≥k.
2 - Soientuet vdeux cycles disjoints. Montrons que ∀i∈ {1,2, . . . , n}, on auv(i) =vu(i).
Siiest dans le support de l'un mais pas de l'autre, par exemple ,iest dans le support dev,in'est pas dans le support deu, doncv(u(i)) =v(i) =u(v(i)), carv(i)est dans le support dev et n'est donc pas dans le support
deu
Théorème 3.6.9.
1 - Toute permutation non identique est la composée de façon unique (à l'ordre des facteurs près) de cycles deux à deux disjoints.
2 - Toute permutation est un produit (non nécessairement unique) de transpositions.
Preuve. 1 - NotonsO1, O2, . . . , Ok les orbites non triviales deσ. A chaque orbiteOi est associé un cycleci. Si x∈ {1,2, . . . , n}, alorsxappartient à une orbite uniqueOi et on aσ(x) =ci(x) =c1c2. . . ck(x).
2 - Pour chaque cycle on a : (a1. . . ak) = (a1a2)◦(a2a3). . .◦(ak−1ak). Ce qui permet de décomposer σ en
transpositions.
Exemple 3.6.10. Soitσ=
1 2 3 4 5 6 7 8 4 5 8 3 6 2 7 1
∈ S8. Les orbites deσsont :{1,4,3,8},{2,5,6}et {7}, on a : σ= (1,4,3,8)◦(2,5,6) = (14)◦(43)◦(38)◦(25)◦(56).
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Théorème 3.6.11. Soitσune permutation d'un ensemble niE. Alors le cardinal de toute orbite divise l'ordre deσ. De plus l'ordre deσest égal au PPCM des cardinaux de ses orbites i.e. le PPCM des longueurs des cycles disjoints qui la composent.
Preuve. Notonsmle PPCM des cardinaux des orbites suivantσ.
Si a ∈ E, alors a est dans une orbite Ω. Sii est le cardinal de cette orbite, alors σi(a) = a, par conséquent σm(a) =a.
Soit maintenant un entierk tel queσk =I. Montrons que m|k. Soit i le cardinal d'uneσ-orbite quelconque Ω. Posonscle cycle associé à cette orbite. Tout élémentade l'orbite vérieσi(a) =a. Il s'ensuit queci=Iet
quei|k. Ce qui implique quem|k. Par suite,o(σ) =m.
Denition 3.6.12. Soitσ∈ Sn. On appelle signature deσle nombre(σ) = (−1)n−m∈ {−1,1} oùmest le nombre deσ-orbites. Une permutation est dite paire, si sa signature est égal à 1.
Une permutation est dite impaire, si sa signature est égal à -1.
Exemples 3.6.13.
1 - La signature de l'application identiqueI est égal à 1.
2 - Soit σ=
1 2 3 4 5 6 7 8 4 5 8 3 6 2 7 1
∈ S8 les orbites deσsont{1,4,3,8},{2,5,6},{7}, il y a 3 orbites donc la signature deσest(−1)8−3= (−1)5=−1
3 - Siσ= (ij)est une transposition deSn, le nombre d'orbites estn−1. Donc(σ) = 1
Proposition 3.6.14. Soit σ une permutation de l'ensemble E ={1,2, . . . , n},τ = (aiaj) une transposition.
On noteσ0 =τ◦σ,mle nombre de σ-orbites etm0 celui des σ0-orbites. Alors : - Siai, aj appartiennent à la mêmeσ-orbite on a : m0=m+ 1.
- Siai, aj appartiennent à deux σ-orbites diérentes, on am0 =m−1. Preuve.
ISupposons queai, aj appartiennent à la même σ-orbite. Soitc= (a1a2. . . ai. . . aj. . . ak)le cycle composant σqui contient ai etaj. On aτ σ= (a1a2. . . ai−1ajaj+1. . . ak)(aiai+1. . . aj−1). Seule l'orbite de c s'est scindée en deux. Donc le nombre d'orbites deτ σestm+ 1.
ISupposons queaietajappartiennent à deux orbites diérentes. Posonsc1= (a1. . . ai. . . ak)le cycle contenant ai et c2 = (b1. . . bj. . . bm) où bj = aj. On a τ c1c2 = (b1b2. . . bj−1aiai+1. . . aka1. . . ai−1bj. . . bm). Les deux orbites se sont fusionnées pour donner une seule orbite. Donc le nombre d'orbites estm−1. Théorème 3.6.15. L'application signature : (Sn,◦) → ({−1,1},×) est un morphisme surjectif de groupes qui vérie (τ) = −1, pour toute transposition τ. En particulier, si σ est le produit de k transpositions, alors (σ) = (−1)k.
Le noyau de est le sous-groupe distinguéAn, des permutations dites paires.An est appelé le groupe alterné de degrén. Son ordre est égal à n!
2.
Preuve. On a pour tout σ ∈ Sn et toute transposition τ, (τ σ) = −(σ). Pour σ ∈ Sn, posons Hσ = {ρ ∈ Sn|(ρσ) =(ρ)(σ)}. Si ρ∈Hσ, alors pour toute transposition τ, τ ρ ∈Hσ. Par conséquent Hσ est un sous- groupe deSn qui contient toutes les transpositions. DoncHσ=Sn. D'où ∀ρ, σ∈ Sn, (ρσ) =(ρ)(σ)
SoitAn, le noyau de . D'après le premier théorème des isomorphismes, on aSn/Ker ∼={−1,1}, donc[Sn : An] = 2. Ce qui entraîne|Sn|/|An|= 2. Il en résulte que|An|= n!
2 .
Exemples 3.6.16.
1 - Dans l'exemple 3.6.10, on a σ est un produit de 5 transpositions. Donc (σ) = (−1)5 = −1, c'est une permutation impaire. 2 - La signature d'unk-cycle est égale à(−1)k−1.
3 - On aA4={I,(123),(132),(124),(142),(234),(243),(134),(143),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}.
Denition 3.6.17. Soitσ∈ Sn. On appelle inversion deσtout couple (i, j)tel quei < j et σ(i)> σ(j). On note Inv(σ)le nombre d'inversions deσ.
Exemple 3.6.18. Soitσ=
1 2 3 4 5 6 7 8 4 5 8 3 6 2 7 1
∈ S8, alors les inversions deσsont(1,4),(1,6),(1,8), (2,4),(2,6),(2,8),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(4,6),(4,8),(5,6),(5,8),(6,8),(7,8). Donc Inv(σ) = 17.
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Exemple 3.6.19. Siτ= (i j)est une transposition, alors Inv(τ) = 2(j−i)−1. Théorème 3.6.20. Soitσ∈ Sn, alors
(σ) = Y
1≤i<j≤n
σ(j)−σ(i)
j−i = (−1)Inv(σ)
3.7 Complément : Classes de conjugaison dans S
nDenition 3.7.1.
1 - Deux permutationsσet σ0 dansSn, sont dites conjuguées dansSn, s'il existe ρ∈ Sn telle queσ0=ρσρ−1. 2 - On appelle type de la permutationσ∈ Sn, uns-uplet(k1, k2, . . . , ks), oùk1≥k2≥. . .≥ks, leski étant les longueurs des orbites deσ.
Exemples 3.7.2.
1 - Sicest le cycle(a1. . . ak), on a ρcρ−1= (ρ(a1). . . ρ(ak)). 2 - La permutation de l'exemple 3.6.10 est de type(4,3,1).
Théorème 3.7.3. Deux permutations sont conjuguées, si et seulement si, elles sont du même type.
De plus, il y a autant de classes de conjugaison dans Sn que de suites d'entiers (k1, k2, . . . , ks), vériant les inégalitésk1≥k2≥. . .≥ks, etk1+k2+. . .+ks=n
Exemple 3.7.4.
Dans S4, les classes de conjugaison sont representées par : 4,(3,1),(2,2),(2,1,1),(1,1,1,1), qui sont respecti- vement les classes de(1234),(123)(4),(12)(34),(12)(3)(4), I.
