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Correction devoir maison n°10
Exercice 1
1) Recherche des valeurs interdites : on doit résoudre 3 10 0.
On calcule le discriminant : Δ 3 4 10 49 donc il y a deux racines : 5 et 2. Finalement, 2; 5
2) Pour tout : 2
5 2 5 5 2
2 5 3 10 5 2 3 10
Par identification, on obtient :
3 7 7 10 5 2 42
" ce qui donne 7 14 5 2 28
"
Finalement, on trouve : 7 ; 4 et 24. D’où, pour tout : $ 7 &% &'%
3) Pour la limite en ∞ et en ∞ : la fonction $ est une fonction rationnelle dont on calcule la limite à l’infini donc sa limite est égale à la limite du quotient simplifié de ses termes de plus haut degré :
&,-lim $ lim&,-7
lim&,-7 7 /0 lim&,-$ 7 Pour les limites en 2 : on utilise la forme obtenue à la question 2) :
lim&,7 7 ; lim&, %
&''% % et lim&, ; &12&% 3 ∞ car 2 4 0 Par addition, on trouve donc : lim&, ; &1$ ∞ .
De la même manière, on trouve : lim&, ; &6$ ∞.
Pour les limites en 5, on raisonne de la même manière, avec la même forme et on trouve :
&,' ; &1'lim $ ∞ et &,' ; &6'lim $ ∞
4) Pour étudier les variations de la fonction $, on peut utiliser plusieurs méthodes : on peut calculer sa dérivée et étudier son signe mais on peut aussi raisonner avec les fonctions composées comme au début de l’année.
Cette dernière méthode donne : 9&% est la composée de 9 2 (fonction affine croissante sur son ensemble de définition) et de 9%& (fonction décroissante sur chaque intervalle où elle est définie).
La composée d’une fonction croissante et d’une fonction décroissante est une fonction décroissante donc 9&% est une fonction décroissante sur chaque intervalle où elle est définie.
De la même manière, on démontre que 9&'% est décroissante sur chaque intervalle où elle est définie.
Par addition, la fonction $ est décroissante sur chaque intervalle où elle est définie.
L’autre méthode aurait donné : $: ;&<'=&>=
&<&?< . Le dénominateur est strictement positif donc $: est du signe du numérateur. Pour le déterminer, on calcule alors le discriminant du numérateur et on trouve : 18816 donc c’est toujours du signe de 28. Finalement $: est toujours négatif et la fonction $ est décroissante sur chaque intervalle où elle est définie.
∞ 2 5 ∞
Variations de la fonction $
7 ∞ ∞
∞ ∞ 7
5) Grâce aux limites calculées à la question 4, on trouve qu’il y a trois asymptotes à A : deux asymptotes verticales, d’équation 2 et 5 et une asymptote horizontale en ∞ et en ∞ d’équation B 7.
6) Position relative de A et de la droite d’équation B 7 : pour la déterminer, il faut étudier le signe de
$ 7 &% &'% & &';&; . Il en reste plus qu’à remplir un tableau de signes :
∞ 2 1 5 ∞
Signe de 28 28 0
Signe de 2 0
Signe de 5 0
Signe de $ 7 0
Finalement, sur C ∞; 2DE D1; 5D , A est en dessous de la droite d’équation B 7 et sur C 2; 1DEC5; ∞D, A
est au dessus de la droite d’équation B 7.
Le point d’intersection de la courbe A et de la droite d’équation B 7 a pour abscisse 1. Son ordonnée est bien évidemment 7. Donc F 1; 7.
7) On souhaite calculer l’équation de la tangente au point d’abscisse 1 (donc au point F…). L’équation est de la forme B $: 1 1 $ 1 .
Or $: 1 ;'=>= ?< %
et $ 1 7. Donc l’équation est, après développement : B % 8) On cherche un autre point d’intersection entre A et G, on doit donc résoudre $ % . Cette équation est équivalente à 2 4 14 8 0.
Or nous savons que 1 est solution de cette équation donc le membre de gauche est factorisable par 1. On cherche donc , et tels que 1 2 4 14 8.
On développe le membre de gauche et on obtient : . Par identification, on trouve : 2 ; 6 ; 8.
On doit donc résoudre 1 2 6 8 0
Si un produit est nul alors l’un des facteurs est nul donc 1 0 ou 2 6 8 0. La première équation, nous donne 1 et on retrouve le point F.
La deuxième équation admet deux solutions : 1 et 4.
Le second point d’intersection entre A et G a donc pour abscisse 4. Son ordonnée est alors $ 4 %>. Finalement, I 24; %>3
9) Voici la courbe :
Exercice 2
A admet la droite d’équation 2 comme asymptote verticale : ceci signifie que 2 est une valeur interdite de $. Or d’après l’expression de $, la valeur interdite est solution de l’équation J 0. Donc 2 J 0 et J 2. Ensuite A admet la droite d’équation B 2 1 comme asymptote oblique en ∞ et en ∞. Donc, ceci signifie que les limites de $ 2 1 en ∞ et en ∞ sont égales à 0. Calculons $ 2 1 :
$ 2 1
2 2 1 2
2 2 5 2 2
Si 2 K 0 : la limite de $ 2 1 en ∞ serait égale à la limite du quotient des termes de plus haut degré, autrement dit à la limite en ∞ de 2 et cette limite ne serait pas égale à 0. Donc 2.
De la même manière, si 5 K 0, la limite en ∞ de $ 2 1 serait égale à 5 K 0. Comme ceci est impossible, on a 5.
Pour terminer, comme 3 n’est pas valeur interdite de $, on a lim&,$ $ 3. Donc $ 3 8. On remplace et on obtient : 5.
Finalement $ &<&'&'.
0 1 1
x y
I
J
