Lois de Probabilit´ e

Lois de Probabilit´ e

1) Lois binomiale

Sachant que la variable al´eatoire X suit une loi Binomiale B(n, p), Calculer :

a) pourn = 6 etp= 0,4 P(X = 3), P(X 62), P(X >3), E(X) et σ(X).

b) pour n= 6 et p= 0,6 P(X = 6), P(X = 0), P(X 62).

c) pourn = 50 etp= 0,5 P(X <20), P(X >20), P(X 625), E(X).

d) pourn = 100 etp= 0,05 P(X = 0), P(X = 2), P(X >40), E(X).

2) Fabrication

Un lot de pi`eces en contient 3% de d´efectueuses. On pr´el`eve au hasard un ´echantillon de 10 pi`eces, les pi`eces ´etant tr`es nombreuses, on admet que le tirage peut ˆetre consid´er´e comme non exhaustif (c’est `a dire, comme si chaque pi`ece ´etait remise apr`es tirage).

Soit la variable al´eatoire X, qui prend pour valeur le nombre de pi`eces d´efectueuses dans l’´echantillon.

a) Etablir la loi de probabilit´´ e de X.

b) Calculer la variance et l’´ecart type de X.

c) Calculer la probabilit´e pour qu’un ´echantillon ne contienne aucune pi`ece d´efectueuse.

d) Calculer la probabilit´e pour qu’un ´echantillon contienne au moins une pi`ece d´efectueuse.

3) Sucre

Pour calibrer le sucre blanc en fonction de la taille de ses cristaux, il faut que le sucre soit bien sec, or dans 5% des cas, celui-ci est trop humide, et le calibrage ne peut avoir lieu. On consid`ere l’exp´erience al´eatoire qui consiste `a effectuer 10 calibrages successifs ind´ependants.

Dans cet exercice on donnera des valeurs approch´ees arrondies `a 10<sup>−4</sup> pr`es.

a) Quelle est la probabilit´e que tous les calibrages puissent ˆetre effectu´es ?

b) Quelle est la probabilit´e que deux calibrages au plus ne puissent ˆetre effectu´es en raison de l’humidit´e du sucre ?

4) Boules

Une urne contient 5 boules blanches 3 boules noires et 2 boules vertes indiscernables au toucher. On tire simultan´ement 2 boules de l’urne.

Soit les ´ev´enements :

A : «les 2 boules tir´ees sont de la mˆeme couleur»

B : «les 2 boules tir´ees sont de couleurs diff´erentes»

a) Calculer P(A) et P(B).

On r´ep`ete dix fois l’´epreuve pr´ec´edente en remettant les deux boules tir´ees dans la boˆıte apr`es chaque tirage. On noteX la variable al´eatoire qui `a chaque partie de dix ´epreuves associe le nombre de fois o`u l’´ev´enementA s’est r´ealis´e.

b) Quelle est la loi suivie par la variable al´eatoireX.

c) D´efinir la loi de X dans un tableau o`u figurera k, 06k 610 et P(X =k) On donnera des valeurs approch´ees arrondies `a 2 chiffres significatifs.

d) Calculer l’esp´erance la variance et l’´ecart type de X.

5) Loi de Poisson

Sachant que la variable al´eatoire X suit une loi de Poisson P(3) Calculer : P(X= 0) ; P(X = 2) ; P(X = 3)

P(X >3) ; P(X 65) ; P(76X69)

6) Apprenez ` a nager

Une statistique officielle montre qu’en France, il y a deux morts par noyade pour 100 000 habitants.

Soit la variable al´eatoire X qui `a une ville de 150 00 habitants associe le nombre de ses habitants noy´es dans l’ann´ee. On admet que X suit une loi de Poisson de param`etre 3.

Calculer les probabilit´es des ´ev´enements suivants : a) Il n’y a pas de noyade cette ann´ee pour cette ville b) Il y a deux noyades cette ann´ee pour cette ville c) Il y a cinq noyades cette ann´ee pour cette ville

d) Il y a moins de quatre noyades cette ann´ee pour cette ville

7) Camions

La variable al´eatoireX qui donne le nombre de camions venant livrer chaque jour, suit une loi de Poisson de param`etre λ= 4.

Il y a 5 postes de d´echargement et on consid`ere, pour simplifier l’´etude, qu’il faut une journ´ee pour d´echarger un camion.

a) Quelle est, `a 0,0001 pr`es, la probabilit´e de n’avoir aucun camion en attente ?

b) Combien faudrait-il de postes de d´echargement pour que la probabilit´e de n’avoir aucun camion en attente soit sup´erieure `a 0,85 ?

c) On pr´evoit pour les ann´ees `a venir, un doublement de la fr´equence des livraisons, c’est

`

a dire que l’on aura alors : λ= 8.

Combien faudrait-il de postes de d´echargement pour que la probabilit´e de n’avoir aucun camion en attente soit sup´erieure `a 0,85 ?

8) Loi normale

Sachant que la variable al´eatoire X suit une loi de Normale N(20,5) Calculer : P(X <28) ; P(X >28) ; P(X >20) ; P(X 612) ; P(12 6X 628)

9) Miroirs

Une usine est charg´ee de la fabrication de miroirs pour des appareils optiques de tr`es haute qualit´e. Pour cela, elle doit produire des supports qui sont des parall´el´epip`edes de verre dont les dimensions doivent ˆetre telles que :

X = 80,000±0,01 cm ; Y = 50,000±0,01 cm ; Z = 6,000±0,005 cm Une ´etude statistique sur un une s´erie de ces supports, montre que les dimensions sont des variables al´eatoires X, Y et Z qui suivent des loi normales ind´ependantes.

On trouve :

X = 80,005 et σ_X = 0,005 Y = 50,000 et σY = 0,005 Z = 6,001 et σ_Z = 0,002 D´eterminer le pourcentage des supports refus´es.

10) Poids

Soit la variable al´eatoireX, qui `a chaque pi`ece produite par une machine associe son poids.

La variable al´eatoireXsuit une loi normale dont la moyenne et l’´ecart type sont : m = 54g et s= 0,2g.

Une pi`ece est consid´er´ee comme d´efectueuse si x653,6g ou x>54,3g On donnera des valeurs approch´ees arrondies `a 2 chiffres significatifs.

a) Calculer la probabilit´e qu’une pi`ece soit d´efectueuse.

On donnera des valeurs approch´ees arrondies `a 2 chiffres significatifs.

b) Calculer l’esp´erance la variance et l’´ecart type de X.

Pour v´erifier que la machine n’est pas d´er´egl´ee, on d´etermine les cotes d’alerte, m−h et m+h d´efinies par : P(m−h6X 6m+h) = 0,95.

Calculer les cotes d’alerte.

11) Longueurs

Une machine fabrique plusieurs milliers de pi`eces par jour.

On admet que la variable al´eatoire X, qui `a chaque pi`ece pr´elev´ee dans la production du jour associe sa longueur, suit une loi normale dont la moyenne est m = 22mm et l’´ecart type ests= 0,025mm.

Une pi`ece est correcte si sa longueur est comprise entre 21,95 mm et 22,05 mm.

a) Quelle est la probabilit´e qu’une pi`ece pr´elev´ee au hasard dans la production du jour soit correcte ?

Dans la suite de l’exercice, on admet que la probabilit´e qu’une pi`ece pr´elev´ee au hasard dans la production du jour soit d´efectueuse est 0,05.

On pr´el`eve au hasard un ´echantillon de 80 pi`eces (le pr´el`evement est consid´er´e comme non exhaustif ).

Soit Y la variable al´eatoire qui donne le nombre des pi`eces d´efectueuses de l’´echantillon.

b) Quelle est la loi suivie par la variable Y. c) Calculer E(Y).

On approche Y par une variable al´eatoire Z qui suit une loi de Poisson P(λ).

d) D´eterminer la valeur de son param`etre λ.

e) Calculer P(Z = 10) la probabilit´e qu’un ´echantillon contienne 10 pi`eces d´efectueuses.

Lois de Probabilit´ e (Solutions)

1) Lois binomiale

La variable al´eatoire X suit une loi BinomialeB(n, p)

a) pourn = 6 etp= 0,4 P(X =k) = C₆^k×0,4^k×0,6^(6−k)

P(X = 3)'0.27648 P(X 62)'0,54432 P(X >3)'0,17920 E(X) = 2,4 σ(X) = 1,2

b) pour n= 6 et p= 0,6 P(X =k) =C₆^k×0,6^k×0,4^(6−k)

P(X = 6) '0,046656 P(X = 0) '0,004096 P(X 62)'0,17920 c) pourn = 50 etp= 0,5 P(X =k) =C₅₀^k ×0,5^k×0,5^(50−k)

P(X <20)'0,05946 P(X >20)'0,94054 P(X <625) '0,55614 E(X) = 25 d) pour n= 100 et p= 0,05 P(X=k) =C₁₀₀^k ×0,05^k×0,95^(100−k)

P(X = 0)'0,005921 P(X = 2)'0,81182 P(X >40)'0 E(X) = 5

2) Fabrication

Un lot de pi`eces en contient 3% de d´efectueuses. On pr´el`eve au hasard un ´echantillon de 10 pi`eces, les pi`eces ´etant tr`es nombreuses, on admet que le tirage peut ˆetre consid´er´e comme non exhaustif (c’est `a dire, comme si chaque pi`ece ´etait remise apr`es tirage).

Soit la variable al´eatoire X, qui prend pour valeur le nombre de pi`eces d´efectueuses dans l’´echantillon.

a) Etablir la loi de probabilit´´ e de X.

b) Calculer la variance et l’´ecart type de X.

c) Calculer la probabilit´e pour qu’un ´echantillon ne contienne aucune pi`ece d´efectueuse.

d) Calculer la probabilit´e pour qu’un ´echantillon contienne au moins une pi`ece d´efectueuse.

a) La variable al´eatoireX qui prend pour valeur le nombre de pi`eces d´efectueuses dans l’´echantillon suit une loi Binomiale B(10; 0,03)

P(X=k) =C₁₀^k ×0,03^k×0,97^(10−k)

b) Variance : V(X) = 10×0,03 = 0,3 Ecart type :´ σ(X) =√

10×0,03'0,5477 c) Probabilit´e pour qu’un ´echantillon sans pi`ece d´efectueuse : P(X = 0)'0,73742 d) Echantillon avec au moins une pi`´ ece d´efectueuse : 1−P(X = 0)'0,26258

3) Sucre

Pour calibrer le sucre blanc en fonction de la taille de ses cristaux, il faut que le sucre soit bien sec, or dans 5% des cas, celui-ci est trop humide, et le calibrage ne peut avoir lieu. On consid`ere l’exp´erience al´eatoire qui consiste `a effectuer 10 calibrages successifs ind´ependants.

Dans cet exercice on donnera des valeurs approch´ees arrondies `a 10<sup>−4</sup> pr`es.

a) Quelle est la probabilit´e que tous les calibrages puissent ˆetre effectu´es ?

b) Quelle est la probabilit´e que deux calibrages au plus ne puissent ˆetre effectu´es en raison de l’humidit´e du sucre ?

La variable al´eatoireXqui compte les calibrages impossibles suit une loi BinomialeB(10; 0,05) P(X=k) =C₁₀^k ×0,05^k×0,95^(10−k)

a) Probabilit´e pour que tous les calibrages soient effectu´es : P(X = 0)'0,5987 b) Probabilit´e pour que deux calibrages au plus soient possibles : P(X 62)'0,9885

4) Boules

Une urne contient 5 boules blanches 3 boules noires et 2 boules vertes indiscernables au toucher. On tire simultan´ement 2 boules de l’urne.

Soit les ´ev´enements :

A : «les 2 boules tir´ees sont de la mˆeme couleur»

B : «les 2 boules tir´ees sont de couleurs diff´erentes»

a) Calculer P(A) et P(B).

On r´ep`ete dix fois l’´epreuve pr´ec´edente en remettant les deux boules tir´ees dans la boˆıte apr`es chaque tirage. On noteX la variable al´eatoire qui `a chaque partie de dix ´epreuves associe le nombre de fois o`u l’´ev´enementA s’est r´ealis´e.

b) Quelle est la loi suivie par la variable al´eatoireX.

c) D´efinir la loi de X dans un tableau o`u figurera k, 06k 610 et P(X =k) On donnera des valeurs approch´ees arrondies `a 2 chiffres significatifs.

d) Calculer l’esp´erance la variance et l’´ecart type de X.

a) Le nombre des possibilit´es de tirage est donc C₅² = 10

L’´ev´enementA se r´ealise si un tire 2 noires (3 cas possibles) ou 2 vertes (un seul cas), donc card(A) = 4 et P(A) = 4

10 = 0,4 et donc : P(B) =P(A) = 1−P(A) = 6

10 = 0,6 b) La variable X qui compte les r´ealisations deA suit une loi Binomiale B(10; 0,4)

P(X =k) =C₁₀^k ×0,4^k×0,6^(10−k) c) D´efinition de la loi de X :

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P(X=k) 0,0060 0,040 0,12 0,21 0,25 0,20 0,11 0,042 0,010 0,0015 0,00010 d)

E(X) = 10×0,4 = 4 V(X) = 10×0,4×0,6 = 2,4 σ(X) = √

10×0,4×0,6'1,55

5) Loi de Poisson

La variable al´eatoire X suit une loi de PoissonP(3) P(X =k) = e⁻³3^k k!

P(X = 0)'0,049787 P(X = 2)'0,224042 P(X = 3) '0,224042 P(X >3) = 1−P(X 63)'0,35277 P(X 65)'0,91608

P(76X 69)'0,032406

6) Apprenez ` a nager

Une statistique officielle montre qu’en France, il y a deux morts par noyade pour 100 000 habitants.

Soit la variable al´eatoire X qui `a une ville de 150 00 habitants associe le nombre de ses habitants noy´es dans l’ann´ee. On admet que X suit une loi de Poisson de param`etre 3.

Calculer les probabilit´es des ´ev´enements suivants : a) Il n’y a pas de noyade cette ann´ee pour cette ville b) Il y a deux noyades cette ann´ee pour cette ville c) Il y a cinq noyades cette ann´ee pour cette ville

d) Il y a moins de quatre noyades cette ann´ee pour cette ville

La variable al´eatoire X suit une loi de PoissonP(3) P(X =k) = e⁻³3^k k!

a) Il n’y a pas de noyade cette ann´ee pour cette ville P(X = 0)'0,049787 b) Il y a deux noyades cette ann´ee pour cette ville P(X = 2)'0,22404 c) Il y a cinq noyades cette ann´ee pour cette ville P(X = 5)'0,10082

d) Il y a moins de quatre noyades cette ann´ee pour cette ville P(X <4)'0,0183

7) Camions

La variable al´eatoireX qui donne le nombre de camions venant livrer chaque jour, suit une loi de Poisson de param`etre λ= 4.

Il y a 5 postes de d´echargement et on consid`ere, pour simplifier l’´etude, qu’il faut une journ´ee pour d´echarger un camion.

a) Quelle est, `a 0,0001 pr`es, la probabilit´e de n’avoir aucun camion en attente ?

b) Combien faudrait-il de postes de d´echargement pour que la probabilit´e de n’avoir aucun camion en attente soit sup´erieure `a 0,85 ?

c) On pr´evoit pour les ann´ees `a venir, un doublement de la fr´equence des livraisons, c’est

`

a dire que l’on aura alors : λ= 8.

Combien faudrait-il de postes de d´echargement pour que la probabilit´e de n’avoir aucun camion en attente soit sup´erieure `a 0,85 ?

La variable al´eatoire X suit une loi de PoissonP(4) P(X =k) = e⁻⁴4^k k!

a) Probabilit´e de n’avoir aucun camion en attente : P(X = 0)'0,018316 b) Avecx postes de d´echargement, il faut que :

P(X > x)>0,85 ou 1−P(X 6x)<0,85

On a 1−P(X 61)<0,91 et 1−P(X 62)<0,76 il faut donc 2 postes c) Avec la variable al´eatoire Y qui suit une loi de Poisson P(8) λ = 8

On a 1−P(X 64)<0,90 et 1−P(X 65)<0,81 il faut donc 5 postes

8) Loi normale

Sachant que la variable al´eatoire X suit une loi de Normale N(20,5) Calculer : P(X <28) ; P(X >28) ; P(X >20) ; P(X 612) ; P(12 6X 628)

La variable al´eatoire T = X−20

5 suit une loi de Normale Centr´ee R´eduite N(0,1) P(X <28) =P(T < ²⁸⁻²⁰₅ ) =P(T <1,6) = Π(1,6)'0,9452

P(X >28) = 1−P(X <28)'0,0548

P(X >20) =P(T >0) = 1−P(T <0) = 1−Π(0)'0,5 P(X 612) =P(T >−1,6) = 1−Π(1,6)'0,0548

P(126X 628) =P(−1,66T 61,6) = 2 Π(1,6)−1'0,8904

9) Miroirs

Une usine est charg´ee de la fabrication de miroirs pour des appareils optiques de tr`es haute qualit´e. Pour cela, elle doit produire des supports qui sont des parall´el´epip`edes de verre dont les dimensions doivent ˆetre telles que :

X = 80,000±0,01 cm ; Y = 50,000±0,01 cm ; Z = 6,000±0,005 cm Une ´etude statistique sur un une s´erie de ces supports, montre que les dimensions sont des variables al´eatoires X, Y et Z qui suivent des loi normales ind´ependantes.

On trouve :

X = 80,005 et σ_X = 0,005 Y = 50,000 et σ_Y = 0,005 Z = 6,001 et σ_Z = 0,002 D´eterminer le pourcentage des supports refus´es.

La variable al´eatoire T = X−80,005

0,005 = Y −50,005

0,005 = Z−6,001

0,002 suit une loi de Normale Centr´ee R´eduite N(0,1)

Un support est refus´e si une des dimensions au moins n’est par dans l’intervalle correct. Il est donc accept´e si les trois dimensions sont correctes.

On va donc calculer la probabilit´e qu’il soit accept´e :

P(79,996X 680,01)×P(49,996Y 650,01)×P(5,995 6Z 66,005)

P(79,996X 680,01) =P(−36T 61) = Π(1)−Π(−3) = Π(1)−(1−Π(3))'0,83995 P(49,996Y 650,01) =P(−26T 62) = 2 Π(2)−1'0,9544

P(5,9956Z 66,005) =P(−36T 62) = Π(3) + Π(3)−1'0,97585

R´eponse : 1−0,83995×0,9544×0,97585'0,2177 Environ 22% de supports refus´es

10) Poids

Soit la variable al´eatoireX, qui `a chaque pi`ece produite par une machine associe son poids.

La variable al´eatoireXsuit une loi normale dont la moyenne et l’´ecart type sont : m = 54g et s= 0,2g.

Une pi`ece est consid´er´ee comme d´efectueuse si x653,6g ou x>54,3g On donnera des valeurs approch´ees arrondies `a 2 chiffres significatifs.

a) Calculer la probabilit´e qu’une pi`ece soit d´efectueuse.

On donnera des valeurs approch´ees arrondies `a 2 chiffres significatifs.

b) Pour v´erifier que la machine n’est pas d´er´egl´ee, on d´etermine les cotes d’alerte, m−h et m+h d´efinies par : P(m−h6X 6m+h) = 0,95.

Calculer les cotes d’alerte.

La variable al´eatoire T = X−m

s = X−54

0,2 suit une loi de Normale Centr´ee R´eduite.

a) 1−P(53,6< X <54,3) = 1−P(−2< T <1,5) = 1−

Π(1,5)−Π(−2) 1−P(53,6< X <54,3) = 2−Π(1,5)−Π(2)'0,0896' 0,090

b) P(m−h6X6m+h)P(−5h < T <+5h) = 2 Π(5h)−1 = 0,95 2 Π(5h)−1 = 0,95

Π(5h) = 1 + 0,95

2 = 0,975 5h = 1,96

h = 1,96

5 = 0,392

Les cotes d’alerte sont donc : 53,608 6X 654,392

11) Longueurs

Une machine fabrique plusieurs milliers de pi`eces par jour.

On admet que la variable al´eatoire X, qui `a chaque pi`ece pr´elev´ee dans la production du jour associe sa longueur, suit une loi normale dont la moyenne est m = 22mm et l’´ecart type ests= 0,025mm.

Une pi`ece est correcte si sa longueur est comprise entre 21,95 mm et 22,05 mm.

a) Quelle est la probabilit´e qu’une pi`ece pr´elev´ee au hasard dans la production du jour soit correcte ?

Dans la suite de l’exercice, on admet que la probabilit´e qu’une pi`ece pr´elev´ee au hasard dans la production du jour soit d´efectueuse est 0,05.

On pr´el`eve au hasard un ´echantillon de 80 pi`eces (le pr´el`evement est consid´er´e comme non exhaustif ).

Soit Y la variable al´eatoire qui donne le nombre des pi`eces d´efectueuses de l’´echantillon.

b) Quelle est la loi suivie par la variable Y. c) Calculer E(Y).

On approche Y par une variable al´eatoire Z qui suit une loi de Poisson P(λ).

d) D´eterminer la valeur de son param`etre λ.

e) Calculer P(Z = 10) la probabilit´e qu’un ´echantillon contienne 10 pi`eces d´efectueuses.

La variable al´eatoire T = X−m

s = X−22

0,025 suit une loi de Normale Centr´ee R´eduite.

a) P(21,95< X <22,05) = 1−P(−2< T <2) = 2 Π(2)−1' 0,9544

b) La variable al´eatoire Y qui donne le nombre des pi`eces d´efectueuses de l’´echantillon suit une loi BinomialeB(80; 0,05)

P(X=k) =C₈₀^k ×0,05^k×0,95^(80−k) c) E(X) = 80×0,05 = 4

d) Pour la loi suivie par la variable al´eatoireZ a pour param`etre : λ=E(X) = 4 La variable al´eatoireZ suit une loi de PoissonP(4)

P(Z =k) = e⁻⁴4^k k!

e) P(Z = 10) = e⁻⁴4¹⁰

10! '0,005