Chapitre 1 : les complexes ; exercices : 1. Soit ABCD un quadrilatère quelconque et

Chapitre 1 : les complexes ; exercices :

1. Soit ABCD un quadrilatère quelconque et 𝑧_𝐴 , 𝑧_𝐵 , 𝑧_𝐶 𝑒𝑡 𝑧_𝐷 les affixes des sommets ; On note I , J , K et L les milieux respectifs des cotés [AB] , [BC] , [CD] et [DA] ; déterminer les affixes des vecteurs 𝐼𝐽 et 𝐿𝐾 ; que peut-on en déduire ?

2. Donner les écritures algébriques des inverses de 1 + 𝑖 et 4 − 6𝑖 3. Ecrire sous forme algébrique les complexes ^{2+𝑖 3}

3−2𝑖 et ^{3+𝑖 (2−𝑖)}

2+𝑖

4. Déterminer l’ensemble des nombres complexes z tels que 𝑍 = ^2𝑧−4

𝑧−𝑖 soit un réel (3 méthodes)

5. Prouver que : ∀ 𝑧 ∈ ℂ on a : 𝑧 ≤ 𝑅𝑒(𝑧) + 𝐼𝑚(𝑧) 6. Prouver que : ∀ 𝑧 ∈ ℂ , on a : 𝑧 ≤¹

2 ⟹ 2𝑖𝑧 + 1 + 𝑖 ≤ 1 + 2 ; y a-t-il équivalence ?

7. Prouver que ∀(𝑧, 𝑧^′, 𝑧") ∈ ℂ³ 𝑜𝑛 𝑎 ∶ 𝑧 − 𝑧" ≤ 𝑧 − 𝑧′ + 𝑧^′ − 𝑧" ; interpréter géométriquement ce résultat

8. A l’aide des formules d’Euler, linéariser cos 𝑥 𝑠𝑖𝑛²(𝑥) puis sin³(𝑥) 9. A l’aide de la formule de Moivre, calculer 𝑐𝑜𝑠(3𝑥) en fonction de 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 10. A l’aide de la formule de Moivre, calculer sin⁡(4𝑥) en fonction de

𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑒𝑡 cos⁡(𝑥)

11. Déterminer le module et un argument du nombre complexe : 𝑧₁ = 3 + 𝑖 12. Ecrire 𝑧₂ sous forme algébrique sachant que 𝑧₂ = 2 𝑒𝑡 arg 𝑧₂ = ^2𝜋

3

13. Déterminer la forme algébrique de ^(1+𝑖)20

(1−𝑖)¹⁶

14. Ecrire sous forme exponentielle l’expression 𝑒^{𝑖 𝜋9} + 𝑒^𝑖

𝜋

3 (indication : factoriser par 𝑒^𝑖

2𝜋

9 puis utiliser les formules d’Euler)

15. Généraliser la méthode pour écrire sous la forme 𝜌𝑒^𝑖𝜃 ( 𝜌 ∈ ℝ) les expressions 𝑒^𝑖𝜃 + 𝑒^3𝑖𝜃 , 𝑒^𝑖𝛼 + 𝑒^𝑖𝛽 𝑒𝑡 1 + 𝑒^𝑖𝜃 (la méthode utilisée est appelée méthode de l’arc moitié est à retenir)

16. A l’aide de la méthode de l’arc moitié, factoriser 𝑐𝑜𝑠(𝑝) + 𝑐𝑜𝑠(𝑞) avec p et q des réels

17. Idem pour sin 𝑝 + sin⁡(𝑞) et cos 𝑝 − cos⁡(𝑞)

18. Résoudre l’équation : cos 𝑥 + 3 sin 𝑥 = 2 (écrire cos 𝑥 + 3 sin 𝑥 sous la forme 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝜑) )

19. Ecrire sous la forme 𝜌𝑒^𝑖𝜃 ( 𝜌 ∈ ℝ) , le complexe 1 − 𝑒^𝑖𝜃 ; déduire que : cos ^𝜋

11 + cos ^3𝜋

11 + cos ^5𝜋

11 + cos ^7𝜋

11 + cos ^9𝜋

11 = ¹

2 20. Résoudre l’équation 𝑧⁵ = 1 + 𝑖

21. Déterminer les racines cubiques puis les racines quatrièmes de −1 22. Déterminer les racines carrées de −3 − 4𝑖 𝑒𝑡 𝑑𝑒 48 − 14 𝑖

23. Résoudre l’équation : 𝑧² − 5 + 3𝑖 𝑧 + 7𝑖 + 4 = 0

24. Déterminer l’ensemble des points M du plan complexe d’affixe 𝑧 ∈ ℂ tels que : 𝑧 + 2 + 𝑖 = 2 2 ; 𝑧 + 1 − 𝑖 ≤ 3

𝑧 − 𝑖 = 𝑧 − 𝑖 + 1 ; 1 + 𝑖 𝑧 − 2𝑖 = 2

25. Soient 𝐴 −2; 0 , 𝐵 0; 3 𝑒𝑡 𝐶 1; −2 trois points du plan. Montrer, en utilisant les nombres complexes, que ABC est un triangle rectangle en A

26. Soient 𝐴 −1; 1 , 𝐵 3; −1 𝑒𝑡 𝐶 1 − 3 ; −2 3 . Montrer que le triangle ABC est équilatéral indirect.

27. A et B sont deux points du plan complexe; a et b deux réels tels que +𝑏 ≠ 0 . On rappelle que le point G est appelé barycentre (ou centre d’inertie, ou centre de gravité) de 𝐴, 𝑎 , (𝐵, 𝑐) lorsque : 𝑎𝐺𝐴 + 𝑏𝐺𝐵 = 0 . si 𝑎 = 𝑏, G est appelé l’isobarycentre des points A et B

Exprimez l’affixe du point G en fonction de l’affixe des points A et B. (formule que l’on peut généraliser à trois points ou plus)

Déterminer l’affixe de l’isobarycentre des points 𝐴 1; 0 , 𝐵 0; 1 , 𝐶(1; 2) 28. Résoudre dans ℂ l’équation : 𝑒^𝑧 = 𝑖

29. Déterminer le lieu géométrique des points M d’affixe z tels que : a) 𝑀 𝑧 , 𝑁 𝑧² 𝑒𝑡 𝑃(𝑧⁴) soient alignés

b) 𝑃 1 , 𝑀 𝑧 𝑒𝑡 𝑁(𝑧²) forment un triangle rectangle c) 𝑀 𝑧 , 𝑁(¹

𝑧) et𝑃 −𝑖 soient alignés

30. Résoudre dans ℂ l’équation : (𝑧 − 1)⁴ = (𝑧 + 1)⁴

31. Déterminer la nature de la transformation géométrique d’écriture complexe : a) 𝑧^′ = −2𝑧 + 1 b) 𝑧^′ = −𝑖𝑧 + 2

Exercices de fin de chapitre 1

1. Déterminer le module et un argument des complexes : 3 − 3𝑖 ; 4 + 4𝑖

5𝑒^𝑖𝜋3

; −3 𝑒^𝑖5𝜋6 ; 1 + 𝑖 3 1 − 𝑖

25

2. Résoudre dans ℂ l’équation : 𝑧²− 2𝑧𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 1 = 0 3. A l’aide des formules d’Euler, linéariser 𝑐𝑜𝑠² 𝑥 sin⁡(2𝑥)

4. Le but de cet exercice est de factoriser dans ℂ, puis dans ℝ , le polynome 𝑧⁵− 1 (on rappelle que si un polynôme admet « a » pour racine, alors il possède le facteur (𝑥 − 𝑎) dans sa factorisation)

a) Déterminer les racines 5° de l’unité

b) Déduire une factorisation sur ℂ du polynôme 𝑧⁵− 1

c) Prouver que les racines 5° de l’unité sont conjuguées deux à deux d) Justifier que, pour tous complexes 𝑎 et , on a l’égalité :

𝑧 − 𝑎 𝑧 − 𝑎 = 𝑧²− 2𝑅𝑒 𝑎 𝑧 + 𝑎 ²

e) Déduire une factorisation sur ℝ du polynôme 𝑧⁵− 1 5. Rappeler les deux formules d’addition :

𝑐𝑜𝑠(𝑎 + 𝑏) = ⋯ . 𝑒𝑡 𝑠𝑖𝑛(𝑎 + 𝑏) = ⋯

A l’aide de ces formules, exprimer 𝑐𝑜𝑠 𝑥 +^𝜋

2 , 𝑠𝑖𝑛 𝑥 +^𝜋

2 , 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝜋 𝑒𝑡 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝜋 en fonction de 𝑐𝑜𝑠(𝑥) et 𝑠𝑖𝑛(𝑥)

Retrouver ces résultats en utilisant l’écriture : 𝑒^𝑖𝜃 = cos 𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜃 ∀𝜃 ∈ ℝ ,

6. Déterminer l’ensemble (C) des points 𝑀 d’affixe , avec 𝑧 = 1 + 2𝑖 + 3𝑒^𝑖𝜃 et 𝜃 ∈ [0; 𝜋]

(Indication : de l’égalité, on déduit le module et un argument du complexe 𝑧 − (1 + 2𝑖) ; il reste à traduire ces résultats géométriquement)