Filtres numériques

Filtres numériques

1. Filtre à Réponse Impulsionnelle Finie

Les filtres numériques à réponse impulsionnelle finie (R.I.F.) sont des systèmes linéaires discrets invariants dans le temps définis par une équation selon laquelle un nombre de sortie, représentant un échantillon du signal filtré, est obtenu par sommation pondérée d'un ensemble fini de nombres d'entrée, représentant les échantillons du signal à filtrer.

T

a₁ a₂

a₀ a_N-2 a_N-1

x(nT)

y(nT)

T T T

Figure 1. Structure directe d'un filtre R.I.F.

y nT a x n i T_i

i N

( )= . (( − ) )

=

∑

− 0 1

(1) T est la période d'échantillonnage. Afin d'alléger l'écriture, celle-ci est souvent prise égale à 1. On

travaille alors en unités réduites.

Le filtre ainsi défini comporte un nombre N fini de coefficients a_i. Ces derniers constituent la réponse impulsionnelle du filtre.

t h(t)

0

a

₁

a

0

a

₂

a

₃

a

_N-2

a

_N-1

Figure 2. Réponse impulsionnelle d'un filtre R.I.F.

{ }

h t( )= ... 0 a a_{0 1} ... a_{i t=} ... a_N−1 0 ... (2) Ceci peut être mis en évidence en calculant le signal de sortie y(t) associé à un signal d'entrée x(t)

constitué d'une unique impulsion à l'instant t=0.

Cette remarque permet d'interpréter l'équation (1) qui définit le filtre dans le domaine temporel comme une convolution discrète du signal d'entrée avec la réponse impulsionnelle finie du filtre.

Dans le domaine fréquentiel, cette convolution devient un produit simple entre la T.F. du signal d'entrée, c'est-à-dire son spectre, et la T.F. de la réponse impulsionnelle du filtre, c'est-à-dire sa fonction de transfert.

Y f( )=H f X f( ). ( ) (3)

H f a e_i ^{j fiT}

i N

( )= . ⁻

=

∑

− ² 0

1 π (4)

La fonction H(f), réponse en fréquence du filtre, est une fonction périodique, de période f_e=1 . Les T coefficients a_i constituent le développement en série de Fourier de cette fonction.

1.1. Phase linéaire

Si les coefficients sont symétriques (par rapport au centre du filtre), la fonction de transfert peut se mettre sous la forme d'un produit de deux termes dont l'un est une fonction réelle et l'autre un nombre complexe de module 1 qui traduit un temps de propagation τ constant à travers le filtre :

H f( )=R f e( ). ^{−jϕ( )f} avec ϕ( )f =ϕ₀+2π τf (5) Un tel filtre est dit à phase linéaire. Deux cas sont à considérer suivant que le nombre de coefficients N

est pair ou impair :

N =2P+1N =2P+1 : le filtre a un temps de propagation τ= PT. La fonction de transfert s'écrit :

[ ]

H f a a e e e

a a fiT e

P P i j fiT j fiT

i

P j fPT

p P i

i

P j fPT

( )

cos

= + +

 



= +

 



+ + −

=

−

= +

−

∑

∑

2 2

1

2

1

2 2 2

π π π

π π

(6)

N =2PN =2 : le filtre a un temps de propagation P ^{τ= P}

(

^{− 1}2

)

^T. La fonction de transfert s'écrit :

[ ]

H f a e e e

a f i T e

P i j f i T j f i T

i

P j f P T

P i

i

P j f P T

( )

cos ( )

( ) ( ) ( )

( )

= +

 



= −

 



− + + − − −

=

− −

= − +

− −

∑

∑

1 2 2

1

2

1 1

1 2

2

1 2

1 2

1 2

1

2 2 2

π π π

π π

(7)

Les filtres à phase linéaire permettent de modifier le spectre d'un signal sans altérer sa phase (à un retard près). C'est cette propriété qui les rend particulièrement intéressants car irremplaçables dans nombre de traitements numériques.

Les filtres dont les coefficients sont antisymétriques, sont également à phase linéaire. En effet, pour de tels filtres, la démonstration précédente conduit à des fonctions de transferts qui font apparaître non plus des fonctions cos(.) mais des fonctions j.sin(.). Ces filtres induisent donc non plus seulement un retard au signal mais également un déphasage de π/2. Cette propriété les rend particulièrement

intéressants lorsqu'il s'agit de déduire la partie imaginaire (déphasée de π/2) d'un signal réel. Il en va ainsi en radiocommunications par exemple, pour effectuer des changements de fréquence.

1.2. Transformation en Z

La fonction de transfert des filtres à réponse impulsionnelle finie peut être également écrite en fonction de la variable Z. Elle s'exprime directement à partir des coefficients :

H Z a Z_i ⁱ

i N

( )= ⁻

=

∑

− 0 1

(8) H(Z) est une fonction polynomiale de degré N-1 qui peut être caractérisée par ses N-1 racines Zi

complexes :

H Z Z a Z

Z a Z Z Z Z Z Z

a Z Z Z Z Z Z

a Z Z

N N i i

i N

N N

N

i i

N

( ) .

( )( ) . . . ( )

( )( ) . . . ( )

( )

=

= − − −

= − − −

= −

− − −

=

−

− −

− −

− −

−

=

−

∑

∏

1 0

1

0 1 2 1

0 1 1

2 1

1 1

0 1

1 1

1 1 1

1

(9)

Les positions des racines dans le plan complexe traduisent les propriétés du filtre :

• Si les coefficients sont réels, à toute racine complexe Zi correspond une racine complexe conjuguée Z_i. H(Z) peut donc alors s'écrire sous forme d'un produit de termes du premier degré (racine réelle) et de termes du second degré à coefficients réels (racines complexes conjuguées) :

H Z Z Z

H Z Z Z Z Z

r

c c

1 1

2 1 2 2

1 1 2 ( )

( ) Re( )

= −

= − +

−

− − (10)

• La symétrie des coefficients réels d'un filtre à phase linéaire implique une certaine disposition de ses racines. En effet, la fonction de transfert H(Z) d'un tel filtre peut être décomposée sous forme d'un produit (convolution dans le domaine temporel) de termes qui correspondent à des sous-filtres symétriques ou antisymétriques :

♦ de degré zéro. C'est-à-dire une simple amplification ou atténuation : H Z₀( )=a₀

♦ du premier degré dont les racines sont égales à 1 ou -1 : H Z₁( )= ±1 Z⁻¹

♦ du second degré dont les racines sont soit complexes conjuguées de module égal à 1, c'est-à- dire, disposées sur le cercle unité, soit réelles et inverse l'une de l'autre :

H Z₂( )= +1 a Z₁. ⁻¹+Z⁻² a quelconque₁

♦ du quatrième degré du type :

( )

H Z H Z H Z

H Z a a Z a Z

H Z a a Z a Z

H Z H Z a a a a Z a a a Z a a Z a a Z

T

T T

4 2 2

2 0 1 1

2 2

2 2 1 1

0 2

2 2 0 2 0 1 1

02 12

22 2

0 1 3

0 2 4

2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

=

= + +

= + +

= + + + + + +

− −

− −

− − − −

H₂^T( )Z est un polynôme dont les coefficients sont ceux de H Z₂( ) “retournés”. Si les racines de H Z₂( ) sont Zc ^{et Z}c alors, celles de H₂^T( ) sont Z 1

Z_c et 1 Z_c.

La figure suivante illustre les différents types de racines possibles pour un tel filtre.

1 j

-1

-j Zc

Zc

d

d1

Figure 3. Zéros d'un filtre à phase linéaire

Les racines des filtres sont importantes car elles permettent de les caractériser. En effet, la réponse en fréquence d'un filtre peut être déduite de H(Z) en remplaçant la variable Z par e^j2πfT. Or, e^j2πfT est un nombre complexe de module égal à 1 qui peut être considéré comme un vecteur dont l'extrémité se situe sur le cercle unité. En fonction de la fréquence, ce vecteur tourne depuis le point (1 ; +0) pour f=0 jusqu'au point (1 ; -0) pour f=fe (ou f=-0) en passant par le point (0 ; j) pour f=fe/4, le point (- 1 ; 0) pour f=fe/2, le point (0 ; -j) pour f=3fe/4 (ou -fe/2). La forme factorisée de H(Z) conduit à l'expression suivante de H(f) :

H f a e ^{j fNT} e^{j fT} Z_i

i N

( )= . ⁻ ( − )

=

∏

−

0 2 2

1

π 1 π (11)

Le module de cette expression est le suivant :

H f a M Z_{f i}

i N

( ) =

=

∏

− 0

1 1

(12) Mf est le point du cercle unité situé à l'extrémité du vecteur e^j2πfT.

Cette expression du module de H(f) conduit à une interprétation géométrique rapide de la réponse en fréquence d'un filtre. Celle-ci apparaît proportionnelle au produit des distances entre le point Mf et chacune des racines de H(Z).

1 j

-1

-j

Zc

Zc

M_f

Zr d₁ d₂

d₃ 2πf_e

| H(f)| =d .d .d_{1 2 3}

Figure 4. Réponse en fréquence d'un filtre R.I.F.

Dans le cas de racines situées sur le cercle unité, la réponse en fréquence s'annule à chaque fois que le point Mf est confondu avec l'une de ces racines. On qualifie ces racines de vrais zéros. D'une façon générale, les positions des zéros d'un filtre correspondent aux fréquences pour lesquelles la réponse du filtre est minimale. Les filtres passe-bas ont des zéros dont les parties réelles sont plutôt négatives (atténuation des fréquences proches de fe/2), tandis que les filtres passe-haut ont des zéros dont les parties réelles sont plutôt positives (atténuation des fréquences proches de 0).

1.3. Filtre à phase minimale ou maximale

Les filtres qui présentent des zéros à l'intérieur ou sur le cercle unité sont dits à phase minimale. Ces filtres permettent de modifier spectralement un signal en le déphasant un minimum. Ce déphasage n'est malheureusement plus linéaire et se traduit par un temps de propagation ainsi qu'un temps de groupe variables en fonction de la fréquence. Physiquement, un filtre à phase minimale présente une réponse impulsionnelle (coefficients de H(Z)) à tendance décroissante car ses zéros sont en module inférieurs ou égaux à l'unité. En effet, considérons l'expression suivante de H(Z) :

( )

H Z a Z Z_n

n

( )= N − ⁻

∏

=

0 1

1

1 (13)

Etant donné que les Zn sont tous inférieurs ou égaux à 1, il est évident que le développement de cette expression conduira à un polynôme dont les coefficients décroîtront avec les puissances négatives de Z.

Cette remarque permet d'illustrer la notion de phase minimale. Exemple simple de filtre à phase minimale :

y n( )=0 75, ×x n( )+0 25, ×x n( −1 (14) )

Cet exemple illustre la décroissance de la réponse impulsionnelle d'un filtre à phase minimale. y(n) est obtenu plutôt à partir des échantillons “récents” du signal d'entrée qu'à partir des échantillons

“anciens”.

Les filtres à phase maximale présentent les propriétés opposées. Les racines sont à l'extérieur ou sur le cercle unité. La phase non-linéaire de ces filtres est maximale et traduit un temps de propagation ainsi qu'un temps de groupe maximal et variable en fréquence. Un filtre à phase maximale présente une réponse impulsionnelle à tendance croissante.

Le “retournement” d'un filtre à phase minimale produit un filtre à phase maximale et vice versa. Deux filtres “retournés” l'un de l'autre et mis en cascade produisent un filtre à phase linéaire.

Les filtres à phase minimale et maximale sont rarement recherchés pour leurs propriétés. On les rencontre surtout dans certains systèmes physiques qui peuvent être modélisés par de tels filtres. Il en va ainsi pour les canaux de transmissions qui engendrent des échos du signal transmis. On parle alors de trajet direct (premier arrivé) et de trajets secondaires. Souvent, le trajet direct est plus élevé que les trajets secondaires et le canal est plutôt à phase minimale. Plus généralement, le canal doit être considéré comme un filtre à phase minimale suivi d'un filtre à phase maximale. Or, il se trouve que la partie à phase maximale est beaucoup plus difficile à corriger que celle à phase minimale¹. Ceci pour dire que la classification “phase minimale/phase maximale” est importante.

1.4. Synthèse des filtres R.I.F.

Nous ne nous intéresserons ici qu'aux filtres R.I.F. à phase linéaire. Les coefficients ai d'un tel filtre peuvent être calculés à partir de spécifications dans l'espace des fréquences. La fonction de transfert du filtre doit approcher une fonction donnée ou rester à l'intérieur d'un gabarit qui constitue la spécification.

1.4.1. Méthodes directes

Ce sont des méthodes qui consistent à utiliser les transformations classiques de Fourier pour calculer la réponse impulsionnelle d'un filtre (ses coefficients) à partir de sa réponse en fréquence.

Série de Fourier Inverse Discrète

Soit H(f) la réponse en fréquence recherchée. Cette fonction qui est périodique (échantillonnage temporel) peut être développée en série de Fourier :

a_i f H f e df

e

j i

f_{e fe}^f

= ¹

∫

0 ( ) ^{− 2π} (15)

Pour que le filtre soit réalisable, il faut limiter à N le nombre de coefficients. Cette opération revient à multiplier la réponse impulsionnelle par une fenêtre temporelle g(t) telle que :

g t pour NT

t NT g t ailleurs

( ) ( )

= −

≤ ≤

=

1 2 2

0

(16) Cette opération se traduit dans le domaine des fréquences par la convolution de H(f) avec G(f), la T.F.

de g(t) qui est :

G f NT fNT

( ) sin(fNT )

= π

π ⁽¹⁷⁾

1La partie à phase minimale peut être facilement corrigée par un filtre récursif adaptatif à phase minimale. Suivant la même idée, la partie à phase maximale devrait être corrigée avec un filtre récursif à phase maximale. Or un tel filtre n'est pas stable ! La solution sous-optimale souvent retenue est alors l'emploi d'un filtre R.I.F. adaptatif de grande longueur (quantité de calcul élevé).

0

1/NTe G(f) 1

f

Figure 5. Spectre de la fenêtre de troncature (N=11).

La fonction H f( ) résultante diffère de H(f) par des ondulations indésirables engendrées par G(f).

D'autre part, les variations brutales de H(f) (fréquence de coupure) sont transformées en variations lentes.

0 1

-Fe/2 Fe/2 f

Figure 6. Exemple de spectre définitif avec 11 coefficients.

Les ondulations de H f( ) dépendent de celles de la fonction G(f) et peuvent être réduites en choisissant comme fenêtre temporelle des fonctions dont le spectre présente moins d'ondulations que celui de la fenêtre rectangulaire. Comme en analyse spectrale, on peut choisir la fenêtre de Hamming définie comme suit :

g t t

NT pour NT

t NT g t ailleurs

( ) , , cos ( )

= + 

 

 − ≤ ≤

=

0 54 0 46 2

2 2

0

π

(18)

0 f

- fe/ 2 fe/ 2

G ( f )

Figure 7. Spectre de la fenêtre de Hamming (N=11).

Néanmoins, de telles fenêtres élargissent encore les zones de H f( ) qui correspondent aux variations brutales de H(f).

Transformée de Fourier Discrète Inverse

Soit H(f) la réponse en fréquence recherchée. Une méthode pour obtenir les N coefficients ai du filtre consiste à effectuer la Transformée de Fourier Discrète Inverse (T.F.D.I.) de H(f) :

( )

a_i H ^kf_N e

k

N _e j ^ik_N

=

=

∑

− 0

1 2π (19)

L'ensemble ^{H kf}

(

e ^N

)

, 0≤ ≤^{k N} −1, constitue un échantillonnage de la réponse en fréquence du filtre avec le pas f N_e . Le filtre à N coefficients obtenu présente une fonction de transfert H f( ) qui est confondue avec H(f) pour les seules fréquences kf N_e . Pour les autres fréquences, H f( ) diffère de H(f).

1

0 -Fe/2 Fe/2

Figure 8. Exemple d'un filtre passe-bas avec 11 coefficients.

En fait, l'échantillonnage dans le domaine fréquentiel induit une périodicité dans le domaine temporel et donc, normalement une réponse impulsionnelle infinie. Ainsi, les N points obtenus dans le domaine temporel avec cette méthode ne représentent normalement qu'une période d'une réponse impulsionnelle qui serait infinie. S'il était possible de réaliser un filtre qui présente une telle réponse impulsionnelle périodique infinie, la réponse en fréquence de ce filtre serait un spectre de raies correspondant exactement à la réponse en fréquence initiale échantillonnée :

f 0

H (f)

Figure 9. Réponse en fréquence : spectre de raies (N=11).

Dans la pratique, seule une période de la réponse impulsionnelle est mise en oeuvre. Cela revient à tronquer la réponse impulsionnelle infinie avec une fenêtre rectangulaire de taille N/fe. Dans le domaine fréquentiel, cela revient à convoluer le spectre de raies de la Figure 9 avec le spectre de la fenêtre (Figure 5).

Cette convolution a pour effet de "remplir le spectre" et conduit en définitive à la réponse en fréquence de la Figure 8 qui présente des ondulations².

2 Ces ondulations peuvent être atténuées en utilisant d'autres fenêtres de troncature : fenêtre de Hamming, ...

1.4.2. Méthode de synthèse itérative

La principale critique qui peut être faite envers la méthode de synthèse directe est que les ondulations de H f( ) sont variables. Elles sont plus fortes au niveau des zones de transition de H(f) qu'ailleurs. On imagine aisément qu'en modifiant d'une certaine façon les coefficients d'un filtre déterminé initialement par la méthode directe, on puisse diminuer les ondulations les plus fortes quitte à augmenter les autres. Cette remarque permet d'appréhender la solution optimale qui présente des ondulations minimales égalisées. Une façon de faire consiste à remettre en cause l'échantillonnage régulier de H(f). C'est ce que font les méthodes itératives comme l'algorithme de Remez en recherchant les points d'échantillonnage qui conduisent à des ondulations constantes. L'échantillonnage est plus serré dans les zones de H(f) à grandes variations que dans les autres. Les filtres ainsi obtenus sont dits à ondulations réparties ou encore “équiripple” en anglais.

f -Fe/2 Fe/2

0 H(f)

δ2

δ1

∆f

Figure 10. Exemple de filtre passe-bas équiripple à 11 coefficients.

Pour les filtres passe-bas dont le gabarit est donné par les ondulations en bande passante δ₁ et en bande affaiblie δ₂ et par les fréquences marquant la fin de la bande passante f1 et le début de la bande affaiblie f2, on constate qu'en première approximation, le nombre de coefficients est proportionnel au logarithme de 1/δ₁δ₂ ainsi qu'au rapport entre la fréquence d'échantillonnage fe et la bande de transition ∆_{f =f2-f1} :

N ≅²_{3 10}^{1 f}_f^e

log _{δ δ}1 2 _∆ (20)

2. Filtre à Réponse Impulsionnelle Infinie

La limite fondamentale des filtres R.I.F. qui viennent d'être décrits réside dans leur réponse impulsionnelle qui est finie et qui diffère de celle associée au gabarit en fréquence désiré (obtenue par Transformée de Fourier Inverse) qui est généralement infinie. Avec ces filtres, le respect d'un gabarit donné passe par l'allongement de la réponse impulsionnelle du filtre et l'accroissement de la quantité de calcul nécessaire à la réalisation. Or, certaines réponses impulsionnelles infinies peuvent être réalisées facilement d'une manière différente : la contre-réaction de la sortie sur l'entrée comme dans le domaine analogique. Il s'agit des filtres récursifs :

T

b2 b1 bN-2

bN-1

x(nT) y(nT)

T T

T

+ -

Figure 11. Structure directe d'un filtre récursif.

Ces filtres sont dits “à réponse impulsionnelle infinie” (R.I.I.). Ce sont des systèmes linéaires discrets invariants dans le temps. Un échantillon du signal de sortie est obtenu en sommant un échantillon du signal d'entrée avec une combinaison linéaire des échantillons passés du signal de sortie. L'équation temporelle qui régit ces filtres est la suivante :

( )

( )

y nT x nT b y n i T_i

i

( )= ( )−N . −

=

∑

− 1

1 (21)

La transformation en Z de cette équation :

Y Z X Z Y Z b Z_i ⁱ

i N

( )= ( )− ( ) . ⁻

=

∑

− 1 1

détermine la fonction de transfert du système : H Z Y Z

X Z b Z_i ⁱ

i

( ) ( ) N

( ) .

= =

+ ⁻

=

∑

−

1 1

1

1 (22)

ainsi que sa réponse en fréquence :

H f

b e_i ^{j fiT}

i

( ) N

.

=

+ ⁻

=

∑

−

1

1 ²

1

1 π

(23)

Par opposition aux filtres R.I.F. dont la fonction de transfert se présente sous la forme d'un numérateur polynomial, les filtres R.I.I. ont une fonction de transfert qui se présente sous la forme d'un dénominateur polynomial. Les racines de ce dénominateur sont appelées “pôles”.

2.1. Cellule élémentaire du premier ordre

Une telle cellule est définie par l'équation temporelle suivante :

y nT( )=x nT( )−b y n. (( −1) )T (24)

ou par la fonction de transfert suivante :

H Z( )= bZ + ⁻

1

1 ¹ (25)

La réponse impulsionnelle du système est la suivante :

{ }

h t b b b b b ^t b b ⁱ t iT

i

( )= ... − − ... (− ) ... (− )^∞ = (− ) . ( − )

=

∑

∞

0 0 1 ^{2 3 4}

0

δ

Pour que la suite h(t) ne diverge pas, b doit être inférieur à l'unité en valeur absolue. C'est la condition de stabilité du système.

Remarque : la fonction de transfert et la condition de stabilité peuvent être retrouvées par transformation en Z de la réponse impulsionnelle du système :

H Z b Z^{i i}

i

( )= (− ) . ⁻

=

∑

∞ 0

(26) H(Z) apparaît comme une série de raison -bZ-1. Elle converge à condition que cette raison soit en

module inférieure à l'unité et dans ce cas, est égale à (25). -b est aussi le pôle unique de la fonction de transfert qui doit être en module inférieure à l'unité.

La réponse en fréquence de cette cellule élémentaire est la suivante : H f( ) b e ^{j fiT}

= .

+ ⁻ 1

1 ^2π (27)

ou encore :

H f H f e avec H f

b fT b et f Arctg b fT

b fT

j f

( ) ( ) ( )

cos( ) ( ) sin( )

cos( )

= ( ) =

+ + =

+



 



−ϕ

π ϕ π

π

2

2

1

1 2 2

2

1 2

f /2e

1 1-b 1+b1

0

1 j

ω α M

0 -b P

|H(f)|

H = MP1 ϕ α ω= − Figure 12. Réponse en fréquence d'une cellule du 1er ordre et son interprétation

géométrique.

La représentation géométrique du module de H montre que la réponse de la cellule du premier ordre est inversement proportionnelle à la distance du pôle -b au point M=e-j2πfT. Cette distance est

minimale soit pour f=0 dans le cas du pôle réel positif, soit pour f=fe/2 dans le cas du pôle réel négatif.

Dans le premier cas, le filtre est passe-bas et dans le second, il est passe-haut. La distance du pôle au cercle unité rend compte de la sélectivité du filtre.

Tant que le coefficient b du filtre est réel, son unique pôle -b l'est également et la réponse maximale est donc obtenue obligatoirement soit pour f=0 ou pour f=fe/2 suivant le signe de b. Impossible dans ces conditions d'obtenir n'importe quelle réponse en fréquence. A moins de recourir à une cellule de premier ordre complexe qui nécessite la connaissance de la partie imaginaire du signal, la solution réside dans la cellule du second ordre.

2.2. Cellule du second ordre purement récursive La cellule du second ordre est caractérisée par deux coefficients :

y nT( )=x nT( )−b y n₁ (( −1) )T −b y n₂ (( −2) )T (28)

( ) ( )

H Z( )= b Z b Z P Z P Z

+ + =

− −

− − − −

1 1

1 1

1

1 1 1

2 2

1 1

2 1 (29)

P b

b b

1 2 1

12

2 2

1

2 4

, = − ± − (30)

Une cellule de second ordre possède deux pôles qui peuvent être complexes malgré des coefficients b1 et b2 réels. C'est là tout son intérêt.

Dans le cas où les deux pôles sont réels (b₁²≥4b₂), la cellule du second ordre se comporte comme deux cellules réelles du premier ordre en cascade.

Dans le cas de pôles complexes (b₁²<4b₂) :

P b

j b b P b

j b b

= − ¹ + ₂− ₁² = − ¹− ₂− ₁² 2

1 2 4

2 1

2 4 (31)

ceux-ci sont obligatoirement complexes conjugués. Il est utile de remarquer que b1 détermine leur partie réelle :

b₁= −2Re( ) (32) P

et que b2 détermine leur module :

b₂= P² = P² (33)

Les pôles peuvent être également définis en coordonnées polaires : θ

θ j j

e r P

e r P

= −

= . .

f /2e 0

1 j

ω α

M

0

P

|H(f)|

Hm

f_o

P² α₁

H

MP MP

= 1 = + −

1 2 2

. ϕ α α ω

Figure 13. Réponse en fréquence d'une cellule du 2nd ordre et son interprétation géométrique.

A partir de (29), il est facile de déterminer la réponse en fréquence de la cellule du second ordre : H f( )= b e ^{j fT} b e ^{j fT}

+ ⁻ + ⁻

1

1 ₁ ^2π ₂ ^4π (34)

( ) ( ) ( )

H f( ) b b b b fT b fT

cos cos

2

12 22

1 2 2

1

1 2 1 2 2 4

= + + + + π + π ⁽³⁵⁾

( ) ( )

( ) ( )

ϕ π π

π π

( ) sin sin

cos cos

f Arctg b fT b fT

b fT b fT

= − +

+ +













1 2

1 2

2 4

1 2 4 (36)

L'étude de |H(f)|2 met en évidence les deux fréquences extrémales 0 et fe/2 (tangentes horizontales).

D'autre part, lorsque la condition suivante est remplie :

( )

b b

b

1 2

2

1

4+ 1

< (37)

une troisième fréquence extrémale fo appelée “fréquence de résonance”, existe telle que :

( ) ( )

cos2 1

0 1 4 2

2

πf T b b

= − b+

(38) pour laquelle la réponse en fréquence est maximale :

H b

b b b

m=

− −

1 1

4

2 4

2

2 12 (39)

Il est intéressant de remarquer que ce maximum est inversement proportionnel à 1-b₂, quantité qui traduit la proximité des pôles au cercle unité. En coordonnées polaires :

θ sin ) r ( H_m r

+

= −

1 1

11

Dans le domaine temporel, la cellule du second ordre possède une réponse impulsionnelle qui est une suite h(n) que l'on détermine directement en excitant la cellule avec une impulsion ou par développement en série de la fonction H(Z). Dans le cas de pôles complexes, il vient :

H Z PZ P

P P PZ

P

P P h nT Z ⁿ

n

( )= ( ).

− − +

− − =

− − −

=

∑

∞

1 1

1

1 1 1

0

(40)

( )

( ) ( ( ) )

h nT P

P P P i n T P

P P P i n T

i i

i i

( )=

− − +

− −

=

∞

=

∑

^δ

∑

∞ ^δ

0 0

(41)

θ θ sin

) n r sin(

) nT (

h = ⁿ +1 (42)

2.3. Cellule du second ordre générale

La cellule du second ordre purement récursive permet comme nous venons de le voir, d'amplifier grandement certaines fréquences. L'idée avec la cellule du second ordre générale est de permettre en plus l'atténuation de certaines fréquences en adjoignant un numérateur à la fonction de transfert de la cellule du second ordre purement récursive.

H Z a Z a Z

b Z b Z

( )= + +

+ +

− −

− −

1 1

1 1

2 2

1 1

2 2 (43)

Les zéros du numérateur assurent l'atténuation de certaines fréquences et les pôles du dénominateur assurent l'amplification d'autres fréquences.

f /2e

0

|H(f)|

Hm

f_o

Cellule purement récursive Cellule générale

Influence d'un zéro sur le cercle unité Influence d'un pôle

Figure 14. Réponse en fréquence d'une cellule du second ordre générale.

2.4. Synthèse par fonctions modèles

Les filtres numériques à réponse impulsionnelle infinie, ou filtres récursifs ont des propriétés qui se rapprochent de celles des filtres analogiques et les techniques utilisées pour calculer leurs coefficients sont le plus souvent déduites de celles qui servent à déterminer les paramètres des filtres analogiques.

Dans le domaine analogique, la synthèse de filtre passe par l'emploi de fonctions modèles qui présentent de bonnes propriétés de sélectivité : fonctions de Butterworth, Chebyshev et elliptiques.

Elles constituent un modèle pour le carré de la fonction de transfert désirée. Ces fonctions modèles sont décrites plus loin dans le document. Le filtre analogique obtenu de cette manière peut être

"traduit" en filtre numérique grâce à la transformation bilinéaire ou la méthode de l'invariance impulsionnelle. Ces deux techniques sont également décrites en détail dans ce document. Le filtre numérique ainsi obtenu peut ne pas être satisfaisant car les caractéristiques fréquentielles (fréquence de coupure, ...) sont modifiées lors du passage du domaine analogique au domaine numérique.

2.4.2. Filtres de Butterworth

La fonction de Butterworth d'ordre n est définie par l'expression suivante :

F f

( )

f f

n

c

( )² 1 ₂ 1

= +

(44)

fc est la valeur de la variable pour laquelle la fonction prend la valeur 1/2 (-3 dB). Cette valeur est appelée “fréquence de coupure”.

La figure suivante représente la fonction de Butterworth pour différentes valeurs de n.

n=2 n=1

f_c 0

0,5 1

|F(f)|²

f n=3

Figure 15. Fonctions de Butterworth

Comme on peut le voir, les fonctions modèles de Butterworth ne possèdent pas de fréquence de résonance. Elles décroissent de façon monotone aussi bien en bande passante qu'en bande affaiblie.

Cette propriété peut être recherchée dans certaines applications. De plus, elles conduisent à des filtres robustes car non-résonnants (pôles éloignés du cercle unité) qui sont tolérants vis à vis des erreurs numériques inévitables lors de l'implantation. Cependant, leur sélectivité est beaucoup plus faible que celle du filtre optimal que constitue le filtre elliptique. Lorsque la bande de transition ∆f située entre la bande passante et la bande affaiblie est suffisamment faible, l'ordre du filtre est donné par l'expression suivante :

( )

N ≅  ^f_f^e _f^f











log 1 ^, sin

2

2 2 2 3 2

1

1

δ π 2

δ π ∆ (45)

L'ordre du filtre apparaît inversement proportionnel à la largueur de la bande de transition, comme pour les filtres à réponse impulsionnelle finie (20).

2.4.3. Filtres elliptiques

Le filtre elliptique présente des ondulations d'amplitude constante en bande passante et en bande affaiblie. Cette équirépartition des défauts le rend optimal en ce sens que pour un ordre n donné et des amplitudes d'ondulations fixées, il présente la bande de transition la plus faible possible. La fonction modèle fait appel aux fonctions elliptiques :

( )

T u( ) sn u k ,

2

2 1

1

=1 +ε

où y=sn(u,k) est défini de façon implicite par la fonction elliptique incomplète de première espèce :

( )

u d

k

Arc y

=

∫

− ^θ _θ

1 ^{2 2}

0 sin

sin

Une représentation de la fonction T2(u) pour u=j2πfT est donnée par la figure suivante où sont

k

1= A2 1

− ε

A²

f₂ f

|T(f)|²

0 1 1+ε²

1 1

f₁

Figure 16. Fonction de filtrage elliptique

Lorsque la bande de transition ∆_f=f2-f1 est petite, on montre que pour un gabarit tolérant des ondulations d'amplitude δ₁ en bande passante et δ₂ en bande affaiblie, l'ordre du filtre est donné par l'expression suivante :

( )

N ^f_f^e _f^f

e

≅ 











 

1 076 2 

2

2 1

4 1

, log .log sin

δ δ _{∆ π} π (46)

Cette expression montre que pour les filtres elliptiques, l'ordre est proportionnel au logarithme de l'inverse de la bande de transition normalisée, ce qui conduit à des valeurs beaucoup plus faibles que dans le cas des filtres de Butterworth (45) ou encore, des filtres à réponse impulsionnelle finie (20).

En pratique, une fois l'ordre du filtre déterminé, la procédure de calcul comporte la détermination des pôles et des zéros de T2(u) d'abord dans le domaine analogique, puis le calcul des pôles et des zéros dans le domaine numérique par transformation bilinéaire.

2.4.4. Transformation bilinéaire

Les fonctions modèles adaptées à la synthèse des filtres analogiques ne sont pas périodiques alors que la fonction à obtenir dans le cas numérique est de période fe. Pour les utiliser, il faut établir une correspondance entre l'axe réel des “fréquences analogiques” et l'intervalle [0 ; fe]. Cette correspondance est fournie par la transformation bilinéaire :

s Z

Z Z s

T T s

T

= −

+ = +

+

−

2 −1

1

2 2

1

1 (47)

s : variable de la transformée de Laplace.

A tout point du cercle unité, Z e= ^j2πfT, correspond un point s tel que :

( )

s e

e j tg

T

j fT

j fT T

= − fT

+ ⁻₋ =

2 2

2 2 2

2

1 1

π

π π (48)

Par suite, au cercle unité correspond l'axe imaginaire.

Une fraction rationnelle en s est transformée en une fonction rationnelle en Z avec la particularité que le numérateur et le dénominateur ont le même degré.

D'autre part, si s a une partie réelle négative, Z est en module inférieur à l'unité. La partie du plan complexe de la variable s qui est à gauche de l'axe imaginaire correspond donc à l'intérieur du cercle unité pour Z. Cette propriété permet de conserver les caractéristiques de stabilité des systèmes.

Le facteur _T² qui dépend de la fréquence d'échantillonnage, contrôle la déformation de l'axe des fréquences lors de la transformation de la fonction de transfert analogique en s en la fonction de transfert numérique en Z. Soit fN, la fréquence dans le domaine numérique et fA, celle dans le domaine analogique, ces deux grandeurs sont liées par la relation suivante :

( )

πf_A = _T¹tg f Tπ _N (49)

La figure suivante illustre cette relation :

f_N f_A

2 f_e 2

f_e

2 f_e 2

f_e

Figure 17. Déformation en fréquence apportée par la transformation bilinéaire

On peut remarquer que pour les fréquences très faibles, la déformation est négligeable. Néanmoins, pour calculer un filtre numérique à partir d'un gabarit selon cette méthode, on prédéforme généralement le gabarit avant de calculer le filtre dans le domaine analogique et d'appliquer la transformation bilinéaire pour obtenir le filtre numérique. Ceci de façon à compenser par la déformation du gabarit, celle apportée par la transformation bilinéaire.

2.4.5. Invariance impulsionnelle

La méthode dite de l'"invariance impulsionnelle" consiste à rechercher le filtre numérique dont la réponse impulsionnelle est une version échantillonnée de celle du filtre analogique initialement déterminé. Le théorème de l'échantillonnage s'applique alors à la réponse en fréquence qui subit des repliements de spectre et devient périodique.

Soit H(s), la fonction de transfert analogique décomposée en éléments simples :

H s c

s d

i i i N

( )=

= +

∑

− 0 1

avec c_i H s s d_{i s d}

= ( )( + ) ₌₋ i

La réponse impulsionnelle du filtre analogique est alors la suivante : h t c e_i ^{d t} t

i N

( )= ⁻ i ≥

=

∑

− 0 1

0

La réponse impulsionnelle échantillonnée correspondante est la suivante : h nT c e_i ^{d nT} t

i N

( )= ⁻i ≥

=

∑

− 0 1

0 où T est la période d'échantillonnage.

La transformée en Z de cette réponse impulsionnelle est :

H Z h nT Z ⁿ c e_i ^{d nT}Z ⁿ

i N

n n

( )= ( ) ⁻ = ⁻ i ⁻

=

−

=

∞

=

∞

∑ ∑

∑

0

1

0 0

En interchangeant l'ordre des sommes, il vient :

( )

H z c e Z c

e Z

i d n

n i

N i

i d T N

i

i

( )= =

−

− − −

=

∞

=

−

− −

=

∑

−

∑

¹

∑

0 0

1

0 1 1

1

Autrement dit, il suffit de remplacer les éléments simples de la fonction de transfert en s de la façon suivante pour obtenir la fonction de transfert en Z du filtre numérique :

1 1

s d+ _i → s e ^{d Ti} Z 1

− ^{− −}

La méthode de l'invariance impulsionnelle est simple mais conduit généralement à des fonctions de transferts numériques assez éloignées de celles analogiques, notamment du fait des repliements de spectre lorsque la fréquence d'échantillonnage est faible.

2.4.6. Respecter les spécifications

En résumé, un filtre à réponse impulsionnelle infinie numérique peut être obtenu de la façon suivante : 1. Spécification ou gabarit dans le domaine numérique : module de la réponse en fréquence

désirée, tolérance, ...

2. Transformation du gabarit numérique en gabarit analogique 3. Choix d'une fonction modèle et synthèse du filtre analogique

4. Transformation du filtre analogique en filtre numérique (transformation bilinéaire, ...) 5. Vérification du respect des spécifications initiales

Le point 2 est à considérer avec soin sous peine d'aboutir à un filtre numérique dont les caractéristiques fréquentielles sont éloignées des spécifications initiales. En effet, la transformation bilinéaire induit une compression de l'axe fréquentiel. Ainsi par exemple, la fréquence de coupure du filtre se trouve diminuée après transformation bilinéaire :

( )

f_{C T} Arctg f T_C

N =_π¹ π A (50)

Pour respecter les spécification initiales, il convient donc de pré-accentuer le gabarit du filtre lors du point 2. Soit H_N( f_N), le module de la réponse en fréquence désirée dans le domaine numérique.

H_A(f_A), le module de la réponse en fréquence dans le domaine analogique doit être obtenu de la manière suivante :

( )

H_A f_A H_{N T} Arctg f T_C

( ) = (_π¹ π A ) (51)