Formalisme Hamilton - Cours pdf

MECANIQUE MECANIQUE ANALYTIQUE ANALYTIQUE

SMP5 SMP5

Professeur de l’enseignement supérieur Bureau 37 département de physique Faculté des sciences

Agadir

email: [email protected]

Rachid MESRAR

Rachid MESRAR

CHAPITRE 5 : FORMALISME HAMILTONIEN CHAPITRE 5 : FORMALISME HAMILTONIEN

« Le formalisme hamiltonien transforme le système des n

équations du second ordre de Lagrange en un système de 2n équations du premier ordre qui nécessite la connaissance des conditions initiales permettant de déterminer les 2n constantes arbitraires issues de leur intégration »

R. Hamilton (1805-1865)

Préambule

Objectifs p

Objectifs pé édagogiques dagogiques

Introduire le HamiltonienIntroduire le Hamiltonien d’d’un systun systèmeème

Etablir les éEtablir les équations canoniques de Hamiltonquations canoniques de Hamilton

Comprendre les transformations canoniquesComprendre les transformations canoniques

Introduire la notion de crochets de PoissonIntroduire la notion de crochets de Poisson

Comprendre le formalisme de HamiltonjComprendre le formalisme de Hamiltonj--JacobiJacobi

CHAPITRE 5 : FORMALISME HAMILTONIEN

CHAPITRE 5 : FORMALISME HAMILTONIEN

Notions abord

Notions abord é é es es

Impulsion gé Impulsion g é né n éralis ralisé ée e

Espace des phases Espace des phases

Fonction de Hamilton ou Fonction de Hamilton ou Hamiltonien Hamiltonien

Equations canoniques Equations canoniques

Crochets de Poisson Crochets de Poisson - - Structure symplectique Structure symplectique

^{Identit Identit é é de Jacobi de Jacobi}

CHAPITRE 5 : FORMALISME HAMILTONIEN

CHAPITRE 5 : FORMALISME HAMILTONIEN

Notions abord

Notions abord é é es es - - suite suite

Transformations canoniques Transformations canoniques

Fonctions gé Fonctions g én né é ratrices ratrices

^{Inté Int} égrale premi grale premiè ère du mouvement re du mouvement

Equation de Hamilton- Equation de Hamilton -Jacobi (EHJ) Jacobi (EHJ)

Equation caracté Equation caract éristique ristique

CHAPITRE 5 : FORMALISME HAMILTONIEN

CHAPITRE 5 : FORMALISME HAMILTONIEN

PLAN DU CHAPITRE 5 PLAN DU CHAPITRE 5

1- 1 - Introduction Introduction

2 2 - - Formalisme de Hamilton Formalisme de Hamilton 3- 3 - Crochets de Poisson Crochets de Poisson

4 4 - - Transformations canoniques Transformations canoniques

5 5 - - Formalisme de Hamilton Formalisme de Hamilton - - Jacobi Jacobi

CHAPITRE 5 : FORMALISME HAMILTONIEN

CHAPITRE 5 : FORMALISME HAMILTONIEN

Formalisme Hamiltonien Equations canoniques

§- 1 -

Introduction

Le formalisme hamiltonien n’introduit rien de nouveau dans les concepts de la physique ; il ne simplifie pas énormément la résolution des équations de Lagrange qui décrivent les

phénomènes de la mécanique, mais il a permis des avancées considérables dans la résolution des problèmes en mécanique classique avec la théorie de Hamilton-Jacobi et les calculs

des perturbations.

C’est de plus le langage par excellence de la mécanique statistique et de la mécanique quantique.

William R.Hamilton (1805-1865) Formalisme canonique de Hamilton

Décrire le système par les variables , au lieu

( q

_i

, p

_i

) ( q

_i

, q &

_i

)

Exprimer en fonction des p

_i

et q

_i

q &

i

Philosophie générale

Hypothèses :

Les paramètres de configuration sont indépendants

Liaisons parfaites

Existence d’un potentiel

Possibilité d’indépendance du temps

Formalisme canonique de Hamilton

Définition 1: impulsion généralisée

On appelle impulsions généralisées, moments généralisés ou encore moments conjugués, les quantités définies par :

i i

i q

T q

p L

&

& ∂

= ∂

∂

= ∂

Définition 2: espace des phases

On appelle espace des phases du système l’espace (q_i, p_i) à 2n

dimensions. L’état dynamique du système à un instant t est entièrement caractérisé par un point de cet espace. Lorsque le temps varie, le point représentatif du système décrit une courbe dans l’espace des phases, appelée hypertrajectoire.

Toute hypertrajectoire correspond à des conditions initiales déterminées.

Formalisme canonique de Hamilton

Définition 3 : Hamiltonien

La fonction de Hamilton ou Hamiltonien H est défini comme la transformée de Legendre du Lagrangien L en :

q &

_i

∑ ⁻

=

i

i

i q L

p

H &

où les sont remplacées en fonction de leurs expressions

) , ,

( q p t f

q &

_i

=

_{i i}

q &

i

H est en définitive une fonction des q_i et des p_i :

) , ,

( q p t H

H = _{i i}

Formalisme canonique de Hamilton

Equations canoniques

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∂

− ∂

∂

− ∂

=

∂

− ∂

∂ −

− ∂ +

=

i

i i i

i i

dL i

i i

i

i i

q p d

i

i i

i

i i

t dt dq L

q dp L

q

t dt q L

d p q dq

q L d p dp

q dH

i i

&

4 4 4 4

4 3

4 4 4 4

4 2

1

&

4 4

4 3

4 4

4 2

1

&

&

& )

(

t dt dp H

p dq H

q dH H

i

i i i

i

i ∂

+ ∂

∂ + ∂

∂

= ∑ ∂ ∑

Formalisme canonique de Hamilton

t L t

H

équations n

p q H

équations q n

L q

H

i i

i i

∂

− ∂

∂ =

∂

→

∂ =

∂

∂ →

− ∂

∂ =

∂

&

D’où :

Si H ne dépend pas explicitement du temps, 0 . t

H =

∂

∂

On sait que la trajectoire physique obéit à l’équation d’Euler-Lagrange:

i i

i i

p dt p

d q

L dt

d q

L &

&  = =





 



∂

= ∂

∂

∂

Ce qui donne

 













∂ =

− ∂

=

∂ =

= ∂

n 1

q i p H

n 1

p i q H

i i

i i

,..., ,...,

&

&

Equations canoniques

La dynamique du système est régie par 2n équations

différentielles du premier ordre. Ces 2n équations remplacent les n équations d’Euler-Lagrange.

Remarque

L’apparition du signe (

-

) entre les équations pour les q_i et celles pour les moments conjugués, s’appelle symétrie symplectique.

t p H

p q H

q H dt

dH

i

i i i

i

i

∂

+ ∂

∂ + ∂

∂

= ∑ ∂ ^& ∑ ^&

t L t

H dt

dH

∂

− ∂

∂ =

= ∂

Les moments conjugués des variables cycliques sont des intégrales premières, ce qui donne:

Si le hamiltonien ne dépend pas explicitement du temps, alors il y a conservation de l’énergie mécanique totale du système:

Cte V

T

H = + =

Remarque 1

t p H

p q H

q H dt

dH

i

i i i

i

i

∂

+ ∂

∂ + ∂

∂

= ∑ ∂ ^& ∑ ^&

t p H

q q

p

t p H

p q H

q H dt

dH

i

i i i

i i

i

i i i

i i

∂ + ∂ + +

−

=

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∑

∑

∑

∑

&

&

&

&

&

&

Sur une trajectoire qui obéit aux équations canoniques, on a:

Remarque 2

t L t

H dt

dH

∂

− ∂

∂ =

= ∂

D’où:

Equations canoniques à partir du principe de moindre action

Fiche de synthèse 1

Ce qu’il faut absolument savoir

i

i

q

p L

&

∂

= ∂

∑ ⁻

=

i

i

i

q L

p

H &

i i

i i

p q H

q p H

∂

= ∂

∂

− ∂

=

&

&

Impulsion généralisée

Hamiltonien

Equations canoniques

Méthodologie à suivre pour résoudre un problème en utilisant le formalisme

hamiltonien (voir TD4)

1- Calculer H 2- Calculer p

_i

3- Exprimer en fonction de p

_i

4- Reporter le résultat dans H et l’exprimer en fonction de

5- Ecrire les équations canoniques q &

i

) , ,

( q

_i

p

_i

t

Voir applications pédagogiques

Mise en œuvre

∑ ⁻

=

i

i

i

q L

p

H &

i i

i i

p q H

q p H

∂

= ∂

∂

− ∂

=

&

&

Hamiltonien

Equations canoniques

i

i

q

p L

&

∂

= ∂

Moments conjugués

TD4

Application pédagogique n° 1

On considère une particule de masse m placé dans un potentiel de la forme :

r r e

V

− 2

= )

(

Hamiltonien en coordonnées polaires

1- Ecrire le lagrangien puis le hamiltonien du système en coordonnées polaires r et

2- Exprimer le hamiltonien H en fonction de

3- Pourquoi H = E = Cte, pourquoi est une constante du mouvement.

4- Ecrire les équations canoniques et exprimer en fonction de

θ .

θ

. P et P

_r

P

θ

r

. P et

P

_θ

θ & et r &

1-

r r e

r 2 m

V 1 T

H

r r e

r 2 m

V 1 T

L

2 2

2 2

2 2

2 2

− +

= +

=

+ +

=

−

=

) (

) (

θ θ

&

&

&

&

2 2

r r

mr mr P

P L

m r P

r r m

P L

θ θ θ θ

θ ^{= ⇒ =}

∂

= ∂

=

= ⇒

∂

= ∂

&

&

&

&

&

&

2-

r e mr

2

P m

2 r P

H

2 2

2 2

r + −

= ^θ

θ ⁾

, (

t 0

H =

∂

∂

Cte P _θ =

3- H = E = Cte car

car θ est une variable cyclique.

4- Equations canoniques

 



 



∂ =

= ∂

∂ =

= ∂

2 r

r

mr P P

H

m P P

r H

θ θ

θ ^&

&

 

 



−

∂ =

− ∂

=

∂ =

− ∂

=

2 2 3

2

r r

e mr

P r

P H

H 0 P

θ

θ θ

&

&

Hamiltonien en coordonnées sphériques

1-

θ ϕ

ϕ θ θ

ϕ θ θ

2 2

2

2 2

2 2

2 2

r

h r

r g f

r V

r r

r 2 m

T 1

sin ) (

) ) (

( )

, ,

(

) sin

(

+ +

=

+ +

= & & &

θ ϕ

θ

ϕ θ θ

2 2

2

2 2

2 2

2 2

r

h r

r g f

r r

r 2 m

V 1 T

H

sin ) (

) ) (

(

) sin

( + +

+

+ +

= +

= & & &

 





 







=

= ⇒

∂

= ∂

=

= ⇒

∂

= ∂

=

= ⇒

∂

= ∂

ϕ θ ϕ

ϕ θ

θ θ θ

ϕ ϕ

θ θ

2 2

2 2

2 2

r r

mr mr P

P H

mr mr P

P H

m r P

r r m

P H

sin & & sin

&

&

&

&

&

&

&

Impulsion généralisée et moments conjugués

θ ϕ

θ

θ

θ ϕ

2 2

2

2 2

2 2

2 2

r

r

h r

r g f

r

P r

P P m

2 H 1

sin ) (

) ) (

(

sin +

+ +

 





 



 + +

=

Hamiltonien

 





 







∂ =

= ∂

∂ =

= ∂

∂ =

= ∂

ϕ θ

θ

ϕ ϕ

θ θ

2 2

2 r r

mr

P P

H

mr P P

H

m P P

r H

& sin

&

&

2- Equations canoniques

i

i p

q H

∂

= ∂

&

 





 







− ′

∂ =

− ∂

=

 

 



 ′ −

−

∂ =

− ∂

=

 

 



 +

′ +

 −







 



 +

∂ =

− ∂

=

θ ϕ ϕ

θ θ θ ϕ

θ θ θ

θ θ ϕ

θ

ϕ

ϕ θ

θ ϕ

2 2

3 2

2 3

2

2 3

2 2 2

r 3

r h P H

h g 2

r P 1

mr P H

g h r

r 2 P f

mr P 1 r

P H

sin ) (

sin

cos )

) ( sin (

cos

sin ) ) (

( )

sin (

&

&

&

i

i q

p H

∂

− ∂

=

&

Et maintenant, c’est à vous de jouer.

A vos dossiers pédagogiques.

Crochets de poisson

§- 2 -

Crochets de Poisson

« On introduit la notion de crochets de Poisson pour leur

analogie avec les commutateurs de la mécanique quantique »

Denis Poisson (1781-1840)

C’est un pont vers la mécanique quantique

Il est intéressant de reformuler les équations canoniques a l’aide des crochets de Poisson. Ce formalisme s’avère en particulier très utile pour comprendre le passage de la dynamique classique à la dynamique quantique, que le système possède un nombre fini de degrés de liberté, comme c’est le cas dans ce chapitre, ou qu’il possède un nombre infini de degrés de liberté.

Par ailleurs, la dissymétrie apparente entre les deux jeux d’équation de Hamilton peut être cachée pudiquement en introduisant les crochets de Poisson.

i i

i i

q H dt

et dp p

H dt

dq

∂

− ∂

∂ =

= ∂

On appelle crochets de poisson entre deux fonctions

) , ,

( )

, ,

( q p t et f q p t

f

_{i i i i}

définies dans l’espace des phases l’expression suivante :

Cette notation permet d’écrire pour toute fonction des

i i

et p

q et éventuellement le temps, la relation bien plus générale :

{ }

i i

i i i q

g p

f p

g q

g f

f ∂

∂

∂

− ∂

∂

∂

∂

= ∑ ∂

,

t f dt

dp p

f dt

dq q

f dt

df _i

i i

i i ∂

+ ∂

∂ + ∂

∂

= ∑ ∂

i i

i i

q H dt

et dp p

H dt

dq

∂

− ∂

∂ =

= ∂

or

{ }

t H f

t f f q

H p

f p

H q

f dt

df

i i

i i i

∂

+ ∂

∂ = + ∂

∂

∂

∂

− ∂

∂

∂

∂

= ∑ ∂ ^,

(équations canoniques)

Si f ne dépend pas explicitement du temps :

t 0

f =

∂

∂

Pour qu’elle soit une intégrale première, il suffit que :

{ ^{f , H} } ^{= 0}

Ceci permet de mettre les équations canoniques de Hamilton sous forme plus symétrique :

En effet :

{ }

{ {

ⁱ

0 i i i

1 i i

i

q

H p

q p

H q

H q

q ∂

∂

∂

− ∂

∂

∂

∂

= ∂

=

=

,

{ }

{ {

ⁱ

1 i i i

0 i i

i

q

H p

p p

H q

H p

p ∂

∂

∂

− ∂

∂

∂

∂

= ∂

=

=

,

^variablesindépendantes

{ } { ^{p H} }

dt et dp

H dt q

dq

i i

i

i = , = ,

On en déduit que le hamiltonien lui-même vérifie :

Ce qui établit que le hamiltonien garde une valeur constante (l’énergie) si il ne dépend pas explicitement du temps.

Plus généralement, on appellera « constante du mouvement » tout opérateur ne dépendant pas explicitement du temps et dont le crochet de Poisson avec H est nul.

{ }

t H H

dt H dH

0 ∂

+ ∂

=

= 3

2

1 ,

Le crochet de poisson est un élément central de l’approche hamiltonienne, qui met sur un pied d’égalité les 2n variables dynamiques. Du point de vue mathématique, il s’agit d’un produit bilinéaire antisymétrique qui dote l’espace des phases d’une structure algébrique dite structure «symplectique ».

Structure symplectique et transformations canoniques

On constate que dans le cas particulier où

et on obtient les crochets de Poisson entre les variables conjugués :

{ } ^{q i , p j = δ ij et} { } ^{q i , q j = 0 et} { ^{p i , p j} } ^{= 0}

{ }

{

∑

∑ ^{= =}



 







 





∂

∂

∂

− ∂

∂

∂

∂

= ∂

=

k

ij jk

ik

k k

j

0 k

i k

j k

i j

i

q

p p

q q

p q

p q

q ^, δ δ δ

k

k

et g p

q

f = = ^{on a:}

Propriétés des crochets de Poisson

Propriété n° 1

Propriétés des crochets de Poisson

∑

=





 





∂

∂

∂

− ∂

∂

∂

∂

−

ⁿ

∂

1

i i i i

q

i

A p

B p

A q

B

Propriété n° 2

Propriété n° 3

{ ^{A , B . C} }

Propriété n° 4

Pour n = 1

Or

d’où :

C’est l’identité de Jacobi

Voir applications pédagogiques

Mise en œuvre

Et maintenant, c’est à vous de jouer.

A vos dossiers pédagogiques.

Transformations canoniques

§- 3 -

Transformations canoniques (TC)

De même que dans un espace vectoriel euclidien, on peut s’intéresser à des « isométries », c’est-à- dire à des transformations qui conservent la structure euclidienne. Dans l’espace des phases, on peut considérer des transformations qui conservent le crochet de Poisson et qui sont alors appelées « transformations canoniques ».

Translation, rotation, homothétie,…etc.

) ,

( )

,

( q _i p _i  → Q _i P _i

Changement de variables dans l’espace des phases :

Principe de base

Transformations canoniques (TC)

Soit le système canonique associé à l’hamiltonien H(q_i, p_i, t)

 













∂ =

− ∂

=

∂ =

= ∂

n 1

q i p H

n 1

p i q H

i i

i i

,..., ,...,

&

&

Effectuons la transformation suivante:

 



=

=

) , ,...,

, ,...,

(

) , ,...,

, ,...,

(

t p

p q

q P

P

t p

p q

q Q

Q

n 1

n 1

j j

n 1

n 1

j j

Définition

Une transformation canonique est une transformation inversible des 2n variables (q_i, p_i) en 2n variables (Q_i, P_i), tel que les équations du mouvement soient encore canoniques. C’est-à-dire qu’il existe une fonction K(Q_i, P_i, t) telle que:

 













∂ =

− ∂

=

∂ =

= ∂

n 1

Q i P H

n 1

P i Q H

i i

i i

,..., ,...,

&

&

« Le hamiltonien change mais pas les équations canoniques »

Condition suffisante pour qu’une transformation soit canonique Soit F(q_i, Q_i) une fonction quelconque, et considérons la

transformation:

n 1

Q i P F

q p F

i i

i

i ; ; = ,...,

∂

− ∂

∂ =

= ∂

C’est une transformation des variables (q_i, p_i) en les variables (Q_i, P_i).

Pour qu’une telle transformation soit canonique, il suffit que l’expression suivante :

dF dQ

P dq

p _{i i} − _{i i} =

soit une différentielle exacte à t constant.

Voir démonstration

En effet :

) ,

( q _i Q _i F

{ {

i i

i i

i

P i i

p i

dQ P

dq p

Q dQ dq F

q dF F

i i

−

∂ = + ∂

∂

= ∂

−

Fonction génératrice :

La fonction est appelée fonction génératrice de la transformation canonique.

) ,

( q

_i

Q

_i

F

Le choix de la fonction F conduit à des équations implicites très simples pour la transformation canonique.

On exprime cette fonction au moyen des variables (q_i, Q_i, t) et on note cette fonction F₁(q_i, Q_i, t) qui est également une fonction

génératrice.

De façon analogue, on peut introduire les différentes fonctions suivantes:

Remarque importante

Les transformations F₁(q_i, Q_i, t), F₂(q_i, P_i, t) etc., ne génèrent pas de transformations différentes mais simplement des façons différentes de générer une transformation donnée.

Evidemment, deux fonctions F₁ différentes par exemple vont en général générer des transformations différentes.

Dans la pratique, il suffit de se donner une fonction F_i(i=1,…,4) de deux groupes de variables. Les deux premières équations expriment les nouvelles variables en fonction des anciennes, et la troisième donne le nouveau hamiltonien en fonction des nouvelles variables.

Si une transformation est engendrée par une fonction F_i, on dit que F_i est une fonction génératrice de cette transformation.

Crochets de poisson et transformations canoniques

Lorsqu’on opère sur un système une transformation canonique:

i i

i

i

Q et p P

q  →  →

Que deviennent les crochets de Poisson entre les nouvelles variables?

Théorème

Les crochets de Poisson sont indépendants du jeu de variables canoniques dans lequel ils sont exprimés, ainsi:

{ } f , g q _, p = { } f , g Q _, P

Remarque importante

Les crochets de Poisson peuvent être utilisés pour vérifier le caractère canonique d’une transformation. En effet:

Une transformation est canonique si les crochets de Poisson sont invariants par rapport à cette transformation:

{ } f , g q _, p = { } f , g Q _, P

Fiche de synthèse 2

Ce qu’il faut absolument savoir

Variables indépendantes

Fonction

génératrice Equations de transformation

t H F

Q K P F

q p F

i i

i

i

∂

+ ∂

∂ =

− ∂

∂ =

= ∂

¹

;

¹

;

¹

t H F

P K Q F

q p F

i i

i

i

∂

+ ∂

∂ =

= ∂

∂

= ∂

²

;

²

;

²

t H F

Q K P F

p q F

i i

i

i

∂

+ ∂

∂ =

− ∂

∂ =

− ∂

=

³

;

³

;

³

t H F

P K Q F

p q F

i i

i

i

∂

+ ∂

∂ =

= ∂

∂

− ∂

=

⁴

;

³

;

⁴

) ,

( q _i Q _i

) ,

( p _i P _i

) ,

( p

_i

Q

_i

) ,

( q _i P _i

) ,

1

( q

i

Q

i

F

) ,

2

( q

i

P

i

F

) ,

3

( p

i

Q

i

F

) ,

4

( p

i

P

i

F

Voir applications pédagogiques

Mise en œuvre

dF dQ

P dq

p

_{i i}

−

_{i i}

= { } f , g

q_,p

= { } f , g

Q_,P

t H F

K ∂

+ ∂

=

Condition suffisante

Nouvel Hamiltonien (Kamiltonien)

Condition nécessaire

Application pédagogique

Soit la transformation :

 



 



 

 



= 

+

=

p A q

Q

q 2 p

P 1 ^{2 2}

tan

) (

Montrer que cette transformation est canonique de

deux manières différentes. En déduire la fonction

génératrice correspondante.

) ,

( )

(

) (

q p

dF 2 pq

d 1 qdp

2 pdq 1

q p

qdp q pdq

2 p pdq 1

PdQ

pdq

^{2 2} _{2 2}

=

 

 



=  +

=

 

 





+ + −

−

=

−

2 pq q 1

p

F ( , ) =

d’où :

F est la fonction génératrice correspondante.

- Première méthode

- Deuxième méthode

[ ] ¹

p P q

P p

Q q

P Q

Q =

∂

∂

∂

− ∂

∂

∂

∂

= ∂ . .

,

En effet:

 

 



 

 





∂ =

∂

∂ =

∂ − +

∂ =

∂ = +

∂

∂

p p P q q P

q p

q p

Q

q p

p q

Q

2 2

2 2

Et maintenant, c’est à vous de jouer.

A vos dossiers pédagogiques.

Formalisme de Hamilton-Jacobi

§- 4 -

Formalisme de Hamilton-Jacobi

= 0

∂ +

∂ H

t S

EHJ

Une transformation canonique très Spéciale

Préambule

« Il s’agit d’une méthode d’intégration d’un système canonique. Jacobi avait remarqué qu’un système canonique est le système différentiel associé à une

certaine équation aux dérivées partielle du premier ordre (système appelé système caractéristique) ».

Formalisme de Hamilton-Jacobi

Soit la transformation canonique :

( q _i , p _i ) → ( Q _i , P _i )

t H F

K ∂

+ ∂

=

) , ( Q

_i

P

_i

Et soit le nouvel hamiltonien :

Principe : opérer une T.C. tel que les soient précisément 2n constantes du mouvement.

Dans ce cas on a :

 



 



=

=

⇔

∂ =

− ∂

=

=

=

⇔

∂ =

= ∂

Cte Q P

P K

Cte P Q

Q K

i i

i i

i i

i i

α β )

2 ( 0

) 1 ( 0

&

&

d’où :

 



=

=

=

=

) , , ( )

, , (

) , , ( )

, , (

t p

t P Q p p

t q

t P Q q q

j j i j

j i i

j j i j

j i i

α β

α β

Formalisme de Hamilton-Jacobi

Pour y arriver nous cherchons la fonction génératrice, ici choisie de type

donc du type que nous noterons de façon standard tel que:^F₂^(q_i^,α_i^,t)

) , ,

2(q p t

F _{i i}

) , ,

(q t

S _i α_i

0 )

, ,

( )

, ,

( =

∂ + ∂

= t

t S p q

H t

P Q

K

_{i i i i}

De cette façon K = 0 nous assure que les équations (1) et (2) seront satisfaites. La T.C. est de type F₂ et donc :

i

i

q

p S

∂

= ∂

Le but recherché est , ce sera notre équation fondamentale après remplacement des p

_i

dans H.

= 0

∂ +

∂ H

t S

Formalisme de Hamilton-Jacobi

0 )

, ,

) ( , ,

( =

∂ + ∂

∂

∂ p t

q H S

t

t q

S

i i

i

i

α

αi

C’est l’équation de Hamilton-Jacobi, une équation différentielle pour S. Cette Équation différentielle du premier ordre en n variables nécessitera n constantes d’intégration qui sont précisément les constantes .

Une fois solutionnée, c.à.d. une fois que l’on connaît S, il ne reste qu’à opérer les T.C.

 













=

=

∂

= ∂

∂

= ∂

=

∂ =

= ∂

i j

j i

i j j

i i

i

j j

i i

j j

i

t q

Q

t q

S P

Q S

t q

q p

t q

p S

β α

α β α

α α

) , ,

(

) , ,

(

) , ,

) ( , ,

(

Formalisme de Hamilton-Jacobi

Ces n équations peuvent s’inverser en

q

_i

= q

_i

( α

_j

, β

_j

, t ).

.

= 0

∂

∂ t H

) ,

( )

, ,

( q

_{i i}

t

₁

t W q

_{i i}

S α ^{= −} α ⁺ α

Une simplification apparaît lorsque

Dans ce cas, par séparations de variables, on peut écrire:

Où on identifie l’un des , ici comme valeur numérique (constante) de H:

α

_i

α

₁

α

1

= H

Comme

i i

i

i

q

p W q

p S

∂

= ∂

∂ ⇒

= ∂

Formalisme de Hamilton-Jacobi

L’équation de Hamilton-Jacobi se ramène à :

i i

i

q

q W

H = α

∂

∂ ) ,

(

C’est l’équation caractéristique de H.J pour la fonction

) ,

( q _{i i}

W α

Formalisme de Hamilton-Jacobi

Fiche de synthèse 3

Ce qu’il faut absolument savoir

= 0

∂ +

∂ H

t S

= 0

∂

∂ t Si H

) ,

( )

, ,

( q

_{i i}

t

₁

t W q

_{i i}

S α = − α + α

i i

i

q

q W

H = α

∂

∂ ) ,

(

Voir applications pédagogiques

Mise en œuvre

= 0

∂ +

∂ H

t S

EHJ

Et maintenant, c’est à vous de jouer.

A vos dossiers pédagogiques.

MERCI DE VOTRE MERCI DE VOTRE

ATTENTION ATTENTION

FIN DU CHAPITRE 5 FIN DU CHAPITRE 5

Rachid MESRAR Rachid MESRAR

Professeur de l’enseignement supérieur Bureau 37 Département de physique Faculté des sciences

Agadir

email: [email protected]