Sur certains ensembles normaux

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

J.-P. B

OREL

Sur certains ensembles normaux

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

1, n

o

_{1 (1989),}

p. 67-79

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1989__1_1_67_0>

© Université Bordeaux 1, 1989, tous droits réservés.

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Sur

certains ensembles

normaux

par J-P. BOREL

Résumé 2014 A étant une suite de nombres _réels, soit B(A) l’ensemble normal

associé. Pour A C _R, nous étudions la _{question :} existe-t-il une suite A à

valeurs dans un intervalle borné I telle _que A = _B(A)? Dans _{l’affirmative,}

nous cherchons alors à minimiser la _longueur de l’intervalle I. Dans les cas

les _{plus simples,} où A C Z, ce _problème se ramène à minimiser le _degré de Q ~ _R[X], avec la _{contrainte "PQ} a tous ses coefficients _{positifs", pour des}

polynômes P de _type très _particulier associés aux ensembles A.

Abstract - Let A be a _sequence of real numbers and _B(A) the associated

normal set, i.e. the set of all real numbers x such that x039B is uniformely distributed modulo one. Our main _problem is the _{following :} for a _given

A C R, does there exist a bounded _sequence A such that A _{= B(039B) ?} In

some particular _cases, when A C Z, we _give an estimate of the minimal

length of a bounded subinterva,l I of R in which A can be taken. We prove

that to obtain such an _estimate, we have to _study the following problem

on _{polynomials :} for a _{given polynomial} P with no _{positive root,} find the

minimal _{degree 03B4Q} of those polynomials Q such that the _{product P.Q} has only positive coefficients.

1. Le

_problème

considéré

1.1. Une suite A est

_{équirépartie}

modulo 1

_lorsque

les

_propriétés

si

vantes

_{équivalentes}

sont satisfaites

_(Àl

_désigne

la

_probabilité

uniforme s

l’intervalle

_{~0,1~) :}

qui

sont trois

_façons

de traduire la _convergence étroite vers

Il

de la suite

de mesures

1.2. Mendès France a introduit en 1968 la notion d’ensemble normal

associé à la suite

_A,

donné _{par :}

B(A) := lx

E R

_/

xA

_{équirépartie}

modulo

_1}

Exemples

1.3. A C R est

_appelé

ensemble normal s’il existe une suite A telle _que

A =

B(A).

Ces ensembles _ont été caractérisés

par

Rauzy

(1970, [12]) :

THÉORÈME

_(RAUZY).

A C R est ensemble normal si et seulement si :

(iii)

A est élémentaire.

1.4. De

_façon

_similaire,

A C R est

_appelé

ensemble b-normal s’il existe

une suite A bornée telle _que A =

B(A).

On _pose alors :

M(A)

:=

inf{M

&#x3E; 0

_/

_3A,

A =

B(A)

_et A à valeurs dans

[0,M]}

Deux

_{problèmes :}

qualitatif

A b-normal ??

quantitatif

évaluer

_{(encadrer ?)}

_M(A)

que l’on peut aflîner :

est-ce que

M(A)

est atteinte ?

est-ce que toute suite A à valeurs dans

_{[0, M(A)],}

telle _que A =

B(A),

_a

une mesure de

répartition

(qui

est alors déterminée _par

_{A...) ?}

2. Les résultats obtenus

Dress,

Mendès France

_{(1970, [8])}

Liardet, Rauzy

(non

publié,

19??)

où l’on note :

qui

conduit à la

_{conjecture :}

(version

faible)

A b-normal A vérifie

_(i)

et

_(ii)

et

d(A)

o0

(version forte)

A vérifie

_(i)

et

_(ii)

~

_{M(A) Cd(A)}

avec une

constante absolue C.

2.2. Il ressort des travaux effectués sur les ensembles normaux _que l’on

a :

c’est le

_principe

du

_"mixage

de

_{Dress", qui}

conduit à :

Mendès France

_(1970,

_[10])

_A1,A2

b-normaux ~

_Al

U

_A2

_{b-normal ;}

il

montre _que si la série des inverses _{converge :}

est b-normal

2.3. Parmi la famille des

_parties

de R satisfaisant

_(i)

et

_(ii),

la sous-famille des ensembles b-normaux est aussi stable _par inclusion. Le théorème et ses

THÉORÈME 1. Si A’ C A vérifient

_(i)

et

_(ii),

on a :

M(A~) 2M(A).

La constante 2

_peut

être enlevée dans certains "bons" _{cas, que} l’on

précisera. Question

ouverte : M est-elle une fonction croissante ?

COROLLAIRE 1.

COROLLAIRE 2.

(1)

tous les

_An

sont

_{b-normaux ;}

(2)

A est b-normal si et seulement si

_M(An)

est

_{borné ;}

(3)

alors :

M(A)

_{2 lim inf}

M(An).

n n--oo

Résoudre le

_problème

_qualitatif

_pour A revient à résoudre le

_problème

quantitatif

pour les

An.

COROLLAIRE 3. A vérifiant

_(i)

et

_(ii)

est b-normal si et seulement si il

existe une

_{probabilité y}

à

_support

borné telle s’annule en tout

_point

de A.

2.4. Le second

_type

de résultats concerne la

_comparaison

de

_M(A)

avec

les

_quantités

_d,

_d,

_d,

s

(respectivement

lim _sup, lim

inf, lim,

_sup de

4(x»

associées à A. D est à noter _que

_d(A)

existe dès _que la série des inverses

_{yt 1}

converge, mais que ce n’est _pas le cas en

_général,

même

_lorsque

A C Z*

(Besicovitch,

1935,

[1]).

Il existe donc des ensembles b-normaux

_n’ayant

pas de densité

asymptotique

d(A).

THÉORÈME 2. Soit A

_{vérifiant (i)}

et

_(ii).

Alors :

et la constante dans

_(v)

ne

_peut

être inférieure à

1,1594...=80/69.

COROLLAIRE. La

_conjecture

forte est fausse.

Cela

_provient

de ce _que l’on sait construire des ensembles de

_multiples

2T

tels _que l’on ait à la fois :

(en

fait,

d(AT) =

(log T)-c5+o(l)

avec b =

0, 0860 ... ,

Tenenbaum,

1987,

[13]).

2.5.

_{L’hypothèse}

_M(Al

U

_A2)

=

M(Al)

₊

M(A2)

lorsque

Ai

_et

A2

_sont

disjoints

et vérifient

_(i)

et

_(ii)

_permettrait

alors de construire un contre

exemple

à la

_conjecture

faible.

_Cependant,

cette

_hypothèse

est fausse.

2.6. Soient yl 12 ... _7x des

_entiers,

_{et posons :}

P est donc un

polynôme

de

degré

d ° P =

md(A) -

1.

On notera :

P &#x3E; 0

_lorsque

tous les coefficients de P sont

_positifs

ou

nuls ;

P &#x3E; 0

_lorsque

tous les coefficients de

X d

dans

_P,

0 d

_d’P,

sont strictement

_{positifs ;}

et on _{pose :}

THÉORÈME.

_(Meissner,

_1911,

si et seulement si P

n’a _pas de racine réelle

_positive

ou

nulle,

et le

_{polynôme Q}

_peut

être choisi à coefficients

_positifs

ou nuls.

THÉORÈME 3.

_(voir

_[2J)

Soit P associé à l’ensemble A

_(notations

précéden-tes).

On a alors :

(1) si

P &#x3E;

_0,

_M(A)

=

d(A)

(2)

dans le cas

_général,

(b+P

peut

être en fait

_remplacé

_par une

quantité

inférieure

b*P, plus

dif-ficile à évaluer d’un

_point

de vue

numérique).

Cela donne le bon ordre de

_grandeur

de

_M(A),

_puisque

l’on a

_{toujours :}

COROLLAIRE.

_{(voir (4~).}

Si _{les yt} sont deux à deux

_premiers

entre _eux, on

a :

B 2.7. D’un

_point

de vue

numérique,

si les _yi sont

_{supposés premiers}

entre

eux dans leur

_ensemble,

on a :

si k = 1 ou 2, P &#x3E; 0 ;

si k =

3,

P &#x3E; 0 et des coefficients nuls

apparaissent ;

pour k &#x3E; 4,

des coefficients

_négatifs

_apparaissent

_(suivant

les

_-yi).

Par

_{exemple, pour}

=

4,

2,

_{y2 -}

3,

_{y3 -}

5,

_{y4 -}

_7,

le calcul montre

que l’on a :

2.8. Il est

_possible

de donner des estimations

_{quantitatives}

de bP et

b+P,

générales

ou

spécifiques

aux

polynômes

de la forme

(vi)

qui

interviennent

au théorème 3.

THÉORÈME

4.

_{(voir (4~~.}

Soit P E

_R[X],

et

₆₁

_e]0,7r]

_l’argument

_positif

minimal des racines de P. On a alors :

Pour les

_polynômes

_(vi),

il _ya

_plusieurs

_façons

d’estimer ôP et

6+P.

Je ne

donnerai ici _que des estimations ne faisant intervenir _que le

_degré

d°P.

THÉORÈME

5.

_{(voir ~4J).}

Pour des

_polynômes

P de la forme

_{(vi) :}

et il existe des

_polynômes

de

_degré

aussi

_grand

_que I’on

_veut,

tels _{que :}

3.1. On notera

_II(A)

l’ensemble

_(non

vide car A est

_bornée)

des

proba-bilités adhérentes au sens de la _convergence étroite à la suite des mesures :

Si

_H(A)

= on dit _que A est

_{ti-répartie.}

3.2. Toutes ces

probabilités

sont à

_support

borné. Leur transformée de

Fourier ji

est donc une fonction entière. On notera :

3.3. A l’aide du théorème de Paul

_Lévy,

il est facile de _{montrer que :} LEMME 1. Soit A une suite bornée. Alors

B(A)

Application

1. Soit A un ensemble b-normal. A C

_0[p]

avec p, entière,

donc A est discret dans R. D’où son écriture

Application 2. y

E

_II(A)

est à

_support

dans

_{[0, M],}

ce

qui

entraîne :

En,

utilisant le lemme de

_Jensen,

on obtient alors :

d’où

_{s(A) 2eM(A).}

En centrant le

_support

de y en

_0,

on

_peut

_supprimer

le facteur 2. Pour

_remplacer

e _par

1, 8,

il reste à tenir

_compte

du fait _que A vérifie la

_propriété

_(ii).

La

_majoration

annoncée de

_d(A)

s’obtient à

_partir

du lemme de

_Jensen,

_par une sommation à la Abel.

Application

3. Pour _M

_{probabilité donnée,}

à

_support

_borné,

il existe une

suite A bornée et

_{y-répartie : prendre}

_par

_exemple

_~n

:=

F-1({n f ~),

où

Alors

_B(A)

=

B[p].

Le lemme 1

_permet

d’obtenir le corollaire 3 du

théorème 1.

LEMME 2.

_{Soit y uneprobabilité}

telle _{que a E}

_{Alors M}

est absolument

continue,

et sa densité

_f

vérifie 0

f

a

Lebesgue-presque

sûrement.

Si

_B(A)

est non

vide,

les

probabilités

adhérentes à A sont donc

absolu-ment

_continues,

de densités

_majorées

_par a =

fl R+)

4. Stabilité par inclusion

4.1. L’ensemble b-normal A est donc dénombrable

_(si

_{A ~}

_{~ô ... ),}

donc il en est de même _pour A - A’. L’idée

_générale

de la démonstration du théorème 2 est donc de montrer _que l’on

_peut

_légèrement

_perturber

une mesure _y adhérente à

A,

de

façon

_que le nouveau

B[p]

soit

égal

à

l’ancien,

privé

de

_~~t~.

On recolle les

_B[pt]

_par un

mixage

de

Dress,

t décrivant l’ensemble

_{B~~~ -}

A’

_qui

est fini ou dénombrable.

4.2. Soit v une

probabilité

à

_support

borné,

_{et ti}

:=,Xi

* v

(a~

désignant

la

probabilité

uniforme sur l’intervalle

~0, x~).

Alors 1 E La

_réciproque

de ce résultat est

_{"presque vraie",}

dans le sens suivant.

Posons,

pour N E N* :

PROPOSITION 1.

_{Soit y}

une

probabilité

à

_support

borné,

telle _{que 1 E}

Alors,

pour tout N &#x3E;

1,

wN est facteur de convolution de y.

Si y

est à

_support

dans l’intervalle

_{[0, M~,}

on

_peut

donc

_écrirey

= _wN*vN,

où vN est absolument

continue,

de densité bornée presque

sûrement,

con-centrée dans l’intervalle

_{0 M -}

1

1 .

Deux _remarques

_{importantes :}

~ _vN n’a _pas de raison d’être

_{positive :}

cela interdit donc un _{passage à}

la limite sur

_{N ;}

. la densité de _{vN est}

_positive

sur les intervalles

4.3.

_{Lorsque y =}

_Ai

et t =

_1,

la

perturbation

de ~

indiquée

_au 4.1 _est

facile à réaliser.

E &#x3E; 0. Il existe une

probabilité M

= _g continue sur

[0,1],

telle _{que :}

Il suffit

_de.prendre

_g(x)

= 1 ₊ 2a _{avec :}

4.4. Une

_{probabilité y}

absolument continue sera dite vraiment

_positive

s’il existe

_Ml

_M2

tels _que la densité

_{f de ~}

vérifie

_{(Lebesgue-presque}

sûrement) :

PROPOSITION 3. Soit _y une

probabilité

vraiment

positive,

concentrée sur

telle _que 1 E

_B[p].

Soit q

&#x3E; 0

_quelconque.

Alors il existe une

probabilité

v vraiment

positive

telle _{que :}

(1/Z*

désigne

l’ensemble des inverses des entiers non

nuls).

La

technique

de construction de v est la suivante :

· · ·

- *

· x ·

d apres

la

_proposition

_1,

_IL wN *Pl

(N

fixé,

N

&#x3E;

où K est l’ordre

77

du zéro 1 de la fonction entière

_{ji) .;}

· _M2

:=,Xl

* _{~1 * ~} est vraiment

_{positive ;}

. _M3 := _~1

où g

est définie dans la

_Proposition

_2,

associée au c

associé

à N 1

dans la définition

_{de y}

vraiment

_positive.

La

_{proposition provient}

de l’étude des zéros de

_~3.

Le

_{principal problème}

est de montrer que ~3 est vraiment

_positive.

Si K =

1,

on

_peut

_prendre

v = _{M3 ;}

sinon,

_on itère h’ fois _ce mécanisme.

4.5. Soit A un ensemble

b-normal,

E &#x3E; 0

_quelconque.

Il existe

_alors

vraiment

_positive,

à

_support

dans

_{~0, 2M(A)}

+

c],

telle que A c

_B[p].

Si

t E

_A’,

il existe

_{(proposition 3)}

_Mt vraiment

_positive,

concentrée dans

_{[0, 2M(A)}

+

_2c],

telle _{que :}

Le

_principe

du

_mixage

de

_Dress,

_appliqué

aux suites

A’

(t

décrivant

l’ensem-ble fini ou dénombrable étant une suite arbitraire

lit-répartie),

donne une suite A à valeurs dans

[0, 2M(A)

+

_2e],

telle _que

Cela montre le théorème 1.

Les résultats annoncés dans ce

_paragraphe

sont établis dans

_[3].

5. LecasACa

5.1. En

_reprenant

les notations introduites en

_{2.6, soit y}

la

probabilité :

Alors

_0[p]

=

A,

et y

est concentrée sur l’intervalle

[0,d(A)].

Si y

est

po-sitive

_{(i.e.P &#x3E; 0),}

on en déduit _que

M(A) d(A).

Sinon,

il suffit de

convoler _/~ avec une autre

_{probabilité,}

_pourvu

_{qu’il n’apparaisse}

_pas de zéro

_{supplémentaire}

"mal

_placé".

Cela est

_possible

dès _que

_PQ

&#x3E;

_0,

car

alors on

_peut

_placer

les zéros de

_Q

en dehors du cercle unité. D’où la

majoration

du théorème 3.

5.2. La minoration

_provient

du résultat suivant.

_{Soit y}

une

_probabilité

concentrée sur l’intervalle

_[0,M].

On considère alors les

_{probabilités :}

et le

_{polynôme :}

THÉORÈME

6.

_(voir

_[2])

Soit deux

_entiers,

A une suite à valeurs dans

Ce résultat

_provient

essentiellement du fait _{que si} X est une variable

aléatoire réelle de loi J-L, est la loi de la variable Y

:= 1 rraX.

m

Tn

En

_apppliquant

ce théorème avec b =

yt(1

i

k)

et _m = _on

obtient donc :

Cela donne

_(presque)

la minoration du théorème 3. 6. Evaluations des

_{quantités b}

et

6+

6.1. Il est clair _que si P a une racine dans

_{R+ (resp R+),}

alors 6P = _+oo

(resp.

b+P

=

+oo).

Les

réciproques

de ces résultats sont vraies. La

démonstration,

ainsi que les

_majorations

de 6P et

6+ P

_connues,

_reposent

sur la factorisation :

où tous les coefficients sont

_positifs,

et avec

_4bz

&#x3E;

ai .

On a alors :

Il est alors

_possible

de

_préciser

exactement la

_{plus petite}

valeur de n telle

que

(1

+

_{X)"(XZ -}

aX +

_b)

&#x3E;

_{0 ;}

la meilleure

_majoration

de

6+

_que

_je

connaisse

_provient

d’une autre méthode :

LEM M E 3. et si on _{pose :}

alors

_{Pn &#x3E;}

_0,

et

_Pn

est

_multiple

de

X2 -

_{2p cos (JX}

-f-

p2.

On en déduit _{que si} 0

_{81 92 ~ ~ ~ 9,. ~}

est la suite des

_arguments

des racines de P dans le

_demi-plan

_{R(z) &#x3E;}

_0,

on a :

6.2. Dans le cas étudié en

_2.6,

si on note

Pk

:= P et le

_polynôme

associé à _{y1, y2 , ... ,} on a une relation

(cf. [2]) :

où

_{0. (X) :}

:=

(xn -

1) / (X - 1),

P’ est

_analogue

au

polynôme P,

et a

et _q sont définis _{par :}

C’est cette relation

_qui

est à la base du corollaire du théorème

_3,

des

esti-mations

_numériques

citées en

_2.7,

et du théorème 5.

Additif

_{(décembre 88)}

Le théorème de Meissner cité en 2.6

_permet

de donner une forme

plus

générale

au corollaire 3 du théorème 1. Une _{mesure IL} finie à

_support

borné sera dite

"positive

aux bords" s’il existe des réels

M,

M’

_{et rl}

&#x3E; 0 tels _{que :}

y est concentrée sur l’intervalle

[M,

M’] ;

y est

positive,

non

_nulle,

sur chacun des intervalles

_[M,

M +

_q]

et

[M’ -

9, Mi].

COROLLAIRE 3’. A vérifiant

_(i)

et

_(ii)

est b-normal si et seulement si il

existe une _{mesure y}

_finie,

à

_support

_borné,

_positive

aux

bords,

telle _{que :}

ji s ’annule

en tout

_point

de A

ji n ’a

pas de zéro

imaginaire

pur.

Il suffit en effet de trouver une mesure finie à

_support

borné v telle _que

J.L * v

soit

positive.

On

peut

donc se ramener au cas

où y

est absolument

continue,

de densité

_f

continue. Dans ce _cas, la

positivité

aux bords est

alors

_équivalente

_(cf.

_[5])

à l’existence d’un

_{polynôme P}

et de T &#x3E; 0 tels que :

Il existe donc un

_polynôme

à coefficients

_positifs

_{Q = E}

tels _que

PQ &#x3E;

0,

et donc la mesure suivante est

_{positive :}

(l’existence

de v

_peut

aussi s’obtenir à

_partir

d’un résultat de Diamond et

RÉFÉRENCES

[1]

A.S. Besicovitch, On the density of certain _{sequences of integers,} Math. Annalen

110

_(1934),

336-341.

[2]

J.-P. Borel, Suites de longueur minimale associées à un ensemble normal _donné,

Israel J. of Math. 64 _(1988), 229-250.

[3]

J.-P. Borel, Parties d’ensembles b-normaux, Manuscripta Math. 62 _(1988), 317-335.

[4]

J.-P. _{Borel, Polynômes} à _{coefficients positifs multiples} d’un _{polynôme donné,}

ex-posé au _colloque 50 ans sur les _{polynômes, (mai 1988, I.H.P.).} à _paraître.

[5]

J.-P. _Borel, Produits de convolution _positifs, Publ. du _dép. de Math. Université de Limoges 11 _(1989). à _paraître

[6]

H.G. Diamond et M. Essen, Functions with non-négative convolutions, J. of Math. Analysis and Applications 63 _(1978), 463-489.

[7]

F. Dress, Intersection d’ensembles normaux, J. of Number Theory 2

_(1970),

352-362.

[8]

F. Dress et M. Mendès France, Caractérisation des ensembles normaux dans _Z, Acta Arith. 17 _(1970), 115-120.

[9] P. _Erdôs, Note on a _{sequence of integers} none _of which is divisible _{by anyother,}

J. London Math. Soc. 10 _(1935), 126-128.

[10]

M. Mendès France, La réunion des ensembles normaux, J. of Number Theory 2

(1970), 345-351.

[11]

E. Meissner, Über positive Darstellung von _Polynomen, Math. Annalen 70 (1911),

223-235.

[12]

G. _Rauzy, Caractérisation des ensembles _normaux, Bull. Soc. Math. France 98

(1970),

401-414.

[13]

G. _Tenenbaum, Un _problème de _probabilité conditionnnelle en arithmétique, Acta

Arith. 49 _(1987), 165-187.

Mo ts clefs : Ensembles normaux, Répartition modulo 1 1980 Mathematics subject classifications: 11K06.

Université de _Limoges

123, avenue Albert Thomas