Les quantificateurs
- Quantificateur universel : « Pour tout... » ou « Quelque soit... »
- Quantificateur existentiel : « Il existe... » (qui signifie en fait « Il existe au moins un ... ») et « il existe un unique... »
Exemples :
« Pour tout réel x, (x +1)2
=x2+2 x +1 » est vrai. « Il existe un réel x tel que (x +1)2
=x2
+2 x +1 » est vrai aussi mais est une information beaucoup plus pauvre.
« Il existe un réel x tel que (x +1)2
=x2+1 » est vrai. (en effet, (0+1)2=02+1 ) Par contre, « Pour tout réel x, (x +1)2
=x2+1 » est faux.
Pour montrer que la dernière proposition est fausse, on montre que son contraire (sa négation) est vraie : on montrera donc qu'il existe un réel x tel que (x +1)2
≠x2+1 … (en effet, (1+1)2 vaut 4 et est différent 12 +1 qui vaut 2). On dit souvent qu'il s'agit d'un contre-exmple.
L
'implication : Condition nécessaire et condition suffisante Quatre façons d'écrire la même chose :
Soit P et Q deux propositions (deux phrases simples, avec sujet, verbe, complément). 1. Si P est vraie alors Q est vraie
2. P ⇒ Q
3. Il suffit que P soit vraie pour que Q le soit aussi. (la réalisation de P est une conditon suffisante pour que la réalisation de Q soit possible)
4. Il faut que Q soit vraie pour que P le soit aussi. (la réalisation de Q est une conditon nécessaire pour que la réalisation de P soit possible)
Exemple : reprendre ces quatre façons d'écrire en remplaçant P par « x et y sont deux nombres positifs » et Q par « le produit xy est positif ». Pour être sûr d'avoir compris, reprendre l'exemple en remplaçant P par « je peux faire un quatre-quarts » et Q par « j'ai des oeufs ».
L'implication réciproque : 1. Si Q est vraie alors P est vraie 2. Q ⇒ P
3. Il faut que P soit vraie pour que Q le soit aussi. 4. Il suffit que Q soit vraie pour que P le soit aussi.
Deux implications réciproques ne sont généralement pas vraies en même temps (il ne suffit pas que le produit xy soit positif pour pouvoir affirmer que x et y sont deux nombres positifs. Et il ne suffit pas d'avoir des œufs pour pouvoir faire un quatre-quarts...)
La contraposée :
1. Si la négation de Q est vraie alors la négation de P est vraie 2. nonQ ⇒ nonP
Deux implications contraposées sont toujours vraies et fausses en même temps (« si le produit xy n'est pas positif, alors x et y ne sont pas tous les deux positifs » est vrai au même titre que « si x et y sont deux nombres positifs alors le produit xy est positif ». Et « si je n'ai pas d'oeufs alors je ne peux pas faire de quatre-quatres » et aussi vrai que « si je peux faire un quatre-quarts alors (cela signifie que) j'ai des oeufs ».)
Utiliser la contraposée peut s'avérer très pratique pour montrer une implication (par exemple, montrer que « si n2 est un nombre pair alors n est un nombre pair. » revient à montrer que « si n est impair alors n2 est impair ».)
Les connecteurs logiques ou/et
La négation de (P ou Q) est (nonP et nonQ).
Exercice 1 :
1. Étudier si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifier les réponses. a) Si K est le milieu de [AB], alors KA=KB.
b) Si KA=KB, alors K est le milieu de [AB]. c) Si K est le milieu de [AB], alors AK+KB=AB. d) Si AK+KB=AB, alors K est le milieu de [AB]. e) Si K appartient à [AB], alors KA+KB=AB. f) Si AK+KB=AB, alors K appartient à [AB].
2. Associer chacune des phrases qui suit à une implication de la question 1, et répondre à la question posée. Toutes les phrases proposées ici sont vraies...
A) Il faut que KA=KB pour que K soit le milieu de [AB]. Est-ce une condition suffisante ? B) Il suffit que K soit le milieu de [AB] pour que AK+KB=AB. Est-ce une condition nécessaire ? C) Il suffit que AK+KB=AB pour que K appartienne à [AB]. Est-ce une condition nécessaire ? Exercice 2 : On donne ci-dessous des phrases ou des égalités . Écrire toutes les implications vraies.
Exercice 3 : Écrire à l'aide de quantificateurs les propositions suivantes : 1. Le carré de tout réel est positif.
2. Certains réels sont strictement supérieurs à leur carré. 3. Aucun entier n'est supérieur à tous les autres.
4. Entre deux réels distincts, il existe un rationnel. Exercice 4 : Raisonnement par l'absurde.
Montrer que
√
2 n'est pas un nombre rationnel. Exercice 5 : Montrer une équivalence... ou pas.1. a) Montrer que « Si un nombre est multiple de 15, alors il est multiple de 3 et multiple de 5. ». Cela revient aussi à dire que « Tout nombre multiple de 15 est à la fois multiple de 3 et de 5. » .
La démonstration commencera par : « Soit n un entier multiple de 15. »
b) Énoncer la réciproque puis en écrire une autre formulation à l'aide d'un quantificateur universel. Montrer que cette réciproque est vraie.
La démontration commencera par : « Soit n un entier multiple de 3 et de 5. »
2. a) Montrer que « Si un nombre est multiple de 24, alors il est multiple de 6 et il est multiple de 4 ». b) Énoncer la réciproque puis en écrire une autre formulation à l'aide d'un quantificateur universel.
Montrer que cette réciproque est fausse en montrant que le contraire (de la formulation avec le quantificateur) est vrai.
Exercice 6 : Pourquoi faut-il travailler par équivalence quand on résout une équation ?
1. L'implication « Si x=2 alors x2=4 » est vraie et assure l'existence d'une solution à l'équation x2 =4 . Sa réciproque est-elle vraie ?
2 est-elle l'unique solution de l'équation x2 =4 ? 2. L'implication « x+3
4 x2+5 x−21=0 ⇒ x=−3 » est vraie. Elle peut être lue : « S'il existe un nombre x tel
que x+3
4 x2+5 x−21=0 , alors ce nombre ne peut être que −3 . » Le problème de l'existence d'une solution à l'équation x+3
4 x2+5 x−21=0 n'est cependant pas résolu... Cette équation a-t-elle une solution ?
3. Résoudre une équation consiste à prouver l'existence et l'unicité des solutions (s'il y en a) et à trouver ces solutions. Dans le cas de la question 2., l'équation, de la forme A
B=0 , est équivalente au système
{
A=0B≠0 . L'accolade est dans ce cas un symoble mathématique voulant dire « et ».Résoudre l'équation x2+4 x +4 x2−1 =0 . Exercice 7 : Encore des équivalences...
On se place dans le plan muni d'un repère orthonormé (O; ⃗i , ⃗j) . Soit A (2 ;3) .
On note c le cercle de centre A et de rayon 5. Et on note s l'ensemble des points dont les coordonnées vérifient l'équation x2
+y2−4 x−6 y −12=0 . Montrer que c = s.
Remarque : Soit A et B deux ensembles. A⊂B signifie « Si e est un élément de A, alors e est aussi un élément de B », ce qui peut aussi s'écrire, bien sûr, « e ∈ A ⇒ e ∈ B » ou encore « Pour tout élément e de A, on a e ∈ B. »
Il est tout à fait possible dans ce cas qu'un élément de B ne soit pas dans A. En tout cas, le contraire n'est pas justifié par l'inclusion précédente.
Si en plus on sait que B⊂A, alors, bien entendu, on peut affirmer que A=B.
Répondre à la question de l'exercice 7 revient donc à montrer que M( x , y) ∈ c ⇔ M( x , y) ∈ s. On peut dans ce cas, soit montrer deux implications (c'est le plus prudent), soit travailler directement « par équivalence » (il faut alors être très attentif, à chaque étape, et vérifier que chaque équivalence est correcte). Attention ! Le travail « par équivalence » est risqué et n'aboutit pas toujours...
Autre remarque : Travailler « par équivalence » n'est judicieux qu'en de rares occasions (dont les exercices 6 et 7 sont des exemples). Il faut absolument éviter d'utiliser le » symobole « ⇔ » lorsque ce n'est pas
nécessaire (la plupart des raisonnements menés sont déductifs : on part d'une hypothèse pour arriver à une conclusion)
