Commande Backstepping d’une machine asynchrone sans capteur de vitesse

Université de Batna

Faculté des Sciences de l’Ingénieur

Département d’Electrotechnique

MEMOIRE

Pour l’Obtention du diplôme de

Magister en Electrotechnique

Option : Commande

Présenté par :

Mr CHEBBI Azeddine

Ingénieur d’État en Électrotechnique de l’Université de Batna

Thème:

Commande Backstepping d’une machine

asynchrone sans capteur de vitesse

Soutenu le 03 /02/ 2011

Devant le Jury :

Fatiha ZIDANI Professeur Université de Batna Président

Souad CHAOUCH Maître de conférence Université de M’sila Rapporteur

Mohamed Saïd NAIT-SAÏD Professeur Université de Batna Rapporteur

Abdessalam MAKOUF Professeur Université de Batna Examinateur

Ce travail a été effectué sous la direction du docteur Souad CHAOUCH, maître de conférence à l’université de M’SILA et sous la co-direction du docteur Mohamed Saïd NAIT SAÏD, professeur à l’université de Batna que je tiens à remercier vivement pour les conseils et aides apportés durant la réalisation de ce mémoire.

Je tiens à remercier également :

Mme Fatiha ZIDANI, professeur à l’université de Batna, qui me fait l’honneur de présider le jury du présent mémoire.

Mes remerciements vont également vers Mr Abdessalam MAKOUF, professeur à l’université de Batna et Mr Arezki MENASSEUR, maître de conférence à l’université de Biskra pour l’honneur qu’ils me font en examinant ce travail. Comme je tiens à remercier tous ceux qui m’ont aider durant la réalisation de ce mémoire.

SOMMAIRE

Sommaire...

I

Notations et symboles...

V

Introduction générale...

1

Chapitre I

Aspect théorique du principe du Backstepping

I.1 Introduction...4

I.2 Principe de l’approche du Backstepping...4

I.2.1 Application du Backstepping pour les systèmes du deuxième ordre...4

I.2.2 Application du Backstepping pour les systèmes du troisième ordre...7

I.3 Procédure générale de conception...9

I.4 Résultats de simulation...10

I.5 Conclusion...15

Chapitre II

Commande par Backstepping de la machine à induction

II.1 Introduction...16

II.2 Modélisation de la machine à induction...16

II.2.1 Hypothèses simplificatrices...16

II.2.2 Modélisation triphasée de la machine... .17

II.2.2.1 Equations électriques...17

II.2.2.3 Equation mécanique...19

II.2.3 Transformation dePark...19

II.2.3.1 Modèle de Park de la machine...21

II.2.3.2 Expression du couple électromagnétique...23

II.2.4 Choix du référentiel...23

II.2.5 Mise en équations d’états...24

II.2.6 Simulation de la MAS...26

II.3 Commande par Backstepping de la MAS...28

II.3.1 Modèle de la MAS basé sur le control vectoriel...28

II.3.2 Application du Backstepping à la commande de la MAS...30

II.3.3 Résultats de simulation...34

II.3.3.1 Fonctionnement nominal...36

II.3.3.2 Fonctionnement lors de l’inversion de la vitesse...37

II.3.3.3 Fonctionnement lors de la variation de la charge...38

II.3.3.4 Fonctionnement lors de la variation de la résistance rotorique...39

II.3.3.5 Fonctionnement lors de la variation de la résistance statorique...40

II.4 Conclusion...41

Chapitre III

Différentes techniques d’estimation et d’observation

III.1 Introduction...42

III.2 Structure générale de la commande sans capteurs...42

III.3 Méthode à base d’estimateur en boucle ouverte...43

III.3.1 Estimation du flux rotorique...44

III.3.2 Estimation de la vitesse...44

III.4 Observateur de Luenberger...46

III.4.1 Détermination de la matrice de gains K...47

III.4.2 Représentation d’état de l’observateur de Luenberger...49

III.4.3 Estimation de la vitesse...50

III.5 Technique MRAS...52

III.6 Résultats de simulation...55

III.6.3 Fonctionnement lors de la variation de la charge ...60

III.6.4 Fonctionnement lors de la variation de la résistance rotorique...62

III.6.5 Fonctionnement lors de la variation de la résistance statorique ...64

III.7 Les performances des trois techniques d’estimation...66

III.8 Conclusion...67

Chapitre IV

Commande de la MAS avec

Observateur Backstepping

IV.1 Introduction...68

IV.2 Etude de l’alimentation de la MAS...68

IV.3 Observateur basé sur le principe du Backstepping...71

IV.3.1 Observateur à base du Backstepping...72

IV.3.2 Observateur associant les techniques Backstepping et MRAS...75

IV.4 Résultat de simulation...76

IV.4.1 Alimentation sans onduleur...77

IV.4.1.1 Fonctionnement nominal...77

IV.4.1.2 Fonctionnement avec inversion de la vitesse...78

IV.4.1.3 Fonctionnement avec variation de la charge...79

IV.4.1.4 Fonctionnement avec variation de la résistance rotorique...80

IV.4.1.5 Fonctionnement avec variation de la résistance statorique...81

IV.4.2 La MAS est alimentée par un onduleur à MLI...82

IV.4.2.1 Fonctionnement nominal...82

IV.4.2.2 Fonctionnement lors de l’inversion de la vitesse...83

IV.4.2.3 Fonctionnement lors de la variation de la charge...84

IV.4.2.4 Fonctionnement lors de la variation de la résistance rotorique...85

IV.4.2.5 Fonctionnement lors de la variation de la résistance statorique...86

IV.5 Etude comparative des deux techniques...87

Annexe……….….…..

91

NOTATIONS ET SYMBOLES

MAS: Machine asynchrone.

c b

a ,, : Indices correspondants aux trois phases statoriques ou rotoriques.

sc sb sa V V V , , : Tensions statoriques rc rb ra V V V , , : Tensions rotoriques sc sb sa i i i , , : Courants statoriques rc rb ra i i i , , : Courants rotoriques sc sb sa    , , : Flux statoriques rc rb ra    , , : Flux rotoriques s s l

R , : Résistance et inductance propre d’une phase statorique

r

r l

R , : Résistance et inductance propre d’une phase rotorique

s

m : Inductance mutuelle entre deux phases du stator

r

m : Inductance mutuelle entre deux phases du rotor

 

Lss : Matrice d’inductances statoriques

 

Lrr : Matrice d’inductances rotoriques sr

m _: Inductance mutuelle maximale entre une phase statorique et une phase rotorique

sr

M : Inductance mutuelle entre une phase statorique et une phase rotorique

s

L : Inductance cyclique propre statorique

r

L : Inductance cyclique propre rotorique

M : Inductance mutuelle cyclique entre stator et rotor : Angle électrique entre rotor et stator



,



: Axes fixés au stator

 

d,q : Axes fixés au champ tournant

 

P : Matrice de transformation de PARK

s

 : Vitesse électrique (pulsation) statorique

r

 : Vitesse électrique rotorique

: Vitesse électrique du rotor par rapport au stator

r

f : Coefficient de frottement

J: Moment d’inertie

P: Nombre de paires de pôles

s

T : Constante de temps statorique

r

T : Constante de temps rotorique

 : Coefficient de dispersion (de Blondel).

: Vitesse mécanique

ˆ: Estimation de la vitesse mécanique

d

 : Composante directe du flux roptorique

q

 : Composante en quadrature du flux rotorique

d

ˆ : Estimation de la composante directe du flux rotorique BO: Boucle ouverte

INTRODUCTION GENERALE

Généralités

La MAS de part sa simplicité de conception et d’entretien, sa robustesse ainsi que son faible coût, tient une place de choix dans le domaine industriel. Toute fois, à la différence de la machine à courant continu, où il suffit de faire varier la tension de l’induit pour varier la vitesse, le moteur asynchrone nécessite l’emploi d’alimentation à tension et fréquence variables. C’est pour cela que la MAS a été longtemps utilisée à vitesse constante et il fallait attendre l’apparition de composants modernes de puissance (transistor IGBT, thyristor GTO,…) qui ont permis la conception d’onduleurs à modulation d’impulsion performants [1], [2], [3]. Et avec le développement des méthodes modernes de commande, comme le contrôle vectoriel à flux orienté, la DTC et les techniques non linéaires, des pas considérables ont été franchis et on a pu atteindre des objectifs qui étaient loin d’être réalisés auparavant [4], [5], [6], [7], [8].

Problématique

Le modèle de la MAS est non linéaire et hautement couplé présentent une commande assez complexe. Les progrès réalisés en commande non linéaire et les avancés technologiques considérables, tant dans le domaine de l'électronique de puissance que dans celui de la microinformatique, ont rendu possible l'implantation de commandes performantes de la machine à induction, faisant d'elle un concurrent redoutable dans les secteurs de la vitesse variable et du contrôle rapide du couple. Cependant, il demeure que cette machine reste un sérieux candidat pour l'automatique non linéaire.

Les lois de commande classiques, par PI ou PID par exemple, quoique encore très utilisées, peuvent s'avérer insuffisantes ou peu adaptées. On élabore alors des lois de commande par retour d'état, leurs utilisation nécessite néanmoins la mesure du vecteur d'état. Or, dans de nombreux cas, on ne dispose pas de capteurs de mesure sur toutes les grandeurs physiques, essentiellement pour des raisons de coût. Un observateur, qui est un objet mathématique, permet de reconstituer ce vecteur d'état à partir des seules mesures physiques disponibles. Dans ce contexte, on proposera l'utilisation de la technique du Backstepping, qui est une méthode de commande récursive et représentant un outil pour l'étude de la stabilité dynamique. On abordera ensuite les observateurs et en particulier ceux issus de la théorie du Backstepping.

Objectifs généraux

Dans ce travail, on s’intéresse à l’étude de la commande de la MAS par l’application du Backstepping qui est une technique relativement récente pour les systèmes non linéaires [11]. Elle est combinée avec le principe de la commande vectorielle à flux rotorique orienté pour concevoir les lois de commande de la machine. Les grandeurs d’états de la MAS nécessaires à sa commande sont supposées mesurées par des capteurs en premier lieu, puis, estimées par différents algorithmes. Une comparaison de performances est établit pour sortir avec des conclusions générales et en particulier en ce qui concerne l’utilisation du Backstepping pour estimer les grandeurs d’état de la machine pour la commander ultérieurement par cette même technique.

Organisation générale du mémoire

Le présent travail est organisé en quatre chapitres:

 Le premier chapitre est consacré à la présentation théorique de la technique du Backstepping

avec application aux systèmes du second et du troisième ordre et justifiée par des simulations.

 Le deuxième chapitre sera consacré, en premier lieu, à la modélisation de la MAS donnée en

modèle d’état, avec présentation des résultats de simulation pour le fonctionnement à vide et en charge nominale de la machine. Ensuite, il sera présenté le principe de la commande vectorielle à flux rotorique orienté qui sera combiné à la méthode du Backstepping en vue de commander la machine. Des résultats de simulation seront présentés en fin du chapitre illustrant la robustesse de la technique de commande et cela pour différents régimes de fonctionnement de la machine.

 Dans le troisième chapitre, on abordera la commande de la MAS sans capteurs. Différentes

techniques d’estimation de flux rotorique et de vitesse seront présentées tel que l’estimateur en boucle ouverte, l’observateur de Luenberger et la technique MRAS. Les grandeurs estimées seront utilisées dans la commande Backstepping de la machine. Pour chaque technique d’estimation, des résultats de simulation sont établis montrant ses performances.

 Le quatrième chapitre est consacré à l’étude de l’alimentation de la MAS par onduleur à MLI

sinus-triangle, suivi de l’étude de deux méthodes d’estimation des grandeurs de la machine à savoir le flux rotorique et la vitesse à base de la technique du Backstepping. La première méthode repose sur l’usage de la technique du Backstepping seule pour l’estimation des grandeurs de la machine et la deuxième méthode combine les techniques Backstepping et MRAS pourl’estimation de ces grandeurs. Les grandeurs ainsi estimées serviront à

l’établissement de la commande par Backstepping de la machine. Finalement, des résultats de simulation où la machine est soumise à différents tests de robustesse seront exposés avec et sans l’association MAS-convertisseur statique.

A la fin, ce travail sera clôturé par une conclusion générale à travers laquelle et à la lumière des résultats obtenus, nous présenterons les remarques et les perspectives.

ASPECT THEORIQUE DU PRINCIPE

DU «BACKSTEPPING»

I.1 Introduction

La technique du Backstepping est une méthode de commande relativement récente des systèmes non linéaires. Elle permet, de manière séquentielle et systématique, par le choix d’une fonction de Lyapunov, de déterminer la loi de commande du système.

Son principe est d’établir d’une manière constructive la loi de commande du système non linéaire en considérant quelques variables d’état comme étant des commandes virtuelles et leurs concevoir des lois de commande intermédiaires [9], [10], [11], [12], [13].

Dans ce chapitre, il sera question d’exposer le principe de la technique du Backstepping avec application aux systèmes du second et du troisième ordre afin de se familiariser avec cette technique en vue de l’appliquer à la commande de la machine à induction.

I.2 Principe de l’approche du Backstepping

L’idée de base du Backstepping est de stabiliser au départ le premier sous système par une fonction stabilisante connue via une fonction de Lyapunov choisie, ensuite d’ajouter à son entrée un intégrateur. On procède de même pour le prochain sous système augmenté et ainsi de suite pour les sous-systèmes successifs pour aboutir enfin à une fonction de Lyapunov globale donnant la loi de commande globale qui stabilise le système.

Dans cette partie, l’idée principale de la technique du Backstepping est démontrée par son application à travers deux exemples, du deuxième et du troisième ordre

I.2.1 Application du Backstepping pour les systèmes du second ordre

Considérons le système suivant:

1 2 1 1 1 2 1 ( ) . x y u x x x x T         Où : u : L’entrée de commande 1

 : Vecteur paramétrique connu

 

x

 : Vecteur de fonction non linéaire





 

0 0



(I.1) (I.1.a)

(I.1.b) (I.1.c)

y: La sortie du système

Le schéma bloc du système est donné par la figure (I.1).

Figure (I.1) : schéma bloc du système du deuxième ordre

L'objectif de la commande est d'atteindre la convergence des erreurs vers zéro réalisant ainsi la stabilité et l'équilibre du système ce qui permet à sa sortie y de suivre une référencey_r  y_r(t).

Le système étant du 2ème ordre, la conception par le backstepping est exécuté en deux étapes.

Etape 1

Pour le premier sous-système (I.1.a), on choisit l’étatx comme étant l'entrée virtuelle de ₂ l’étatx ,₁

On définit l’erreur de poursuite e tel que:₁

r

y x

e₁  ₁ (I.2) Et la fonction stabilisante suivante choisit de manière à éliminer la non linéarité du

sous-système: ₁(_x1)_{k1e1 }₁(_x1)T.₁ (I.3) ₁( ₁ ) ₁( ₁)T.₁ r x y x k     Où : 1 k gain >0.

Cette solution est conçue pour stabiliser le premier sous-système et puisque ce n’est pas le cas, On définie la deuxième erreur par:

r y x x e₂  ₂ ₁( ₁)  (I.4) 1 x   yx1 u x2



1  ) ( 1 1 x T  2 x



X

On choisit la première fonction de Lyapunov :

2 1 1 2 1 e v  (I.5) Sa dérivée est : 1 1 1 ee v   (I.6) Par arrangement des équations (I.2), (I.3), (I.4), on obtient l’équation:

2 1 1 1 ke e

e   (I.7)

Et l’équation (I.6) devient:

2 1 2 1 1 1 k e ee v   (I.8)

Le terme e₁e₂ sera éliminé dans l'étape suivante ou on abordera le deuxième sous-système.

Etape 2

La dérivée de e est exprimée par:₂

r y x e₂  ₂ ₁  _{r r} r y y y x x x           1 1 1 1 2   (I.9)



 



_{r r} r T _{y y} y x x x u           1 1 1 1 2 1 1    

Prenons la fonction de Lyapunov suivante :

2 2 2 1 2 ₂ 1 2 1 e e v   (I.10) La dérivée de v est :₂ 2 2 1 1 2 ee e e v     _                  _{r r} r T _{y y} y x x x e u e e k 1   1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 ( ( ) . )    

La commande u est choisie tel que v₂ 0 (condition de stabilité de Lyapunov). Nous obtenons : r r r T _{y y} y x x x e e k u             1 1 1 2 1 1 1 2 2 ( ( ) . )     _{r r} r y y y x x e e k             1 1 1 1 1 2 2   Avec k gain >0₂

Dans ces conditions: 2 0

2 2 2 1 1 2 ke k e  v . (I.13) Ce qui réalise l'équilibre et le système est stable.

(I.11)

L’équation (I.9) prend la forme : 2 2 1 2 e k e e   (I.14)

Le système (I.1) en boucle fermée peut être formulé en utilisant les nouvelles coordonnées en e : AE E₁  _(I.15) Avec:           2 1 1 1 k k A , _E



_{e e}



T 2 1 

La solution est donnée par: E E(0)exp(A.t) (I.16) Avec un bon choix des gains k et₁ k (méthode de placement de pôles), la solution donnée par ₂ (I.16) donne bien une convergence des erreurs vers zéro, donc la sortie du systèmey x₁ suit la référencey ._r

I.2.2 Application du Backstepping pour les systèmes du troisième ordre

Considérons le système du troisième ordre suivant:





u x x x x x x x x T T      3 2 2 1 2 3 2 1 1 1 2 1 , . ) (        (I.17) Avec : y x₁ Et : 1

 et  : vecteurs de paramètres connus.₂



1 2



2 x , x

 : Vecteur de fonction non linéaire



₂

 

0,0 0



.

Le système étant du 3èmeordre, la conception par le Backstepping est exécuté en trois étapes

Etape 1

Pour le premier sous-système, l’état x est choisit comme commande virtuelle de ₂ l’état x . On considère l’erreur entre la variable₁ x et la grandeur de référence ₁ y :_r

r

y x

e₁  ₁ (I.18) La première fonction de Lyapunov est :

2 1 1 2 1 e v  (I.19) Sa dérivée est :

D’où : 2 1 2 1 1 1 k e ee v   (I.21) Avec : e₁ k₁e₁e₂ Etape 2

Considérons l’erreur e définie par l’équation:₂

e₂ x₂ ₁(x₁)y_r (I.22) Sa dynamique est donnée par:

r

y x

e₂  ₂₁ (I.23)

Prenons x comme la commande virtuelle du deuxième sous-système et définissons la ₃ nouvelle erreur e₃ comme:



x x



yr

x

e₃  ₃_{2 1}, ₂  (I.24)

Où ₂



x₁, x₂



la fonction stabilisante donnée par l’équation:



1 2



1 2 2 2 2 1

2 ,   

 _{x x} _e _{k e}  T   _(I.25)

En tenant compte des équations (I.16), (I.22), (I.23), (I.24), l'équation (I.22) devient:

3 2 2 1 2 e k e e e    (I.26)

La fonction de Lyapunov candidate est :

2 2 2 1 2 2 1 2 1 e e v   (I.27) La dérivée de v est::₂ 2 2 1 1 2 ee e e v     (I.28) 2 _{2 3} 2 2 2 1 1e k e e e k    

Le terme e₂e₃ dans (I.27) sera éliminé dans l’étape suivante.

Etape 3

C’est l’étape finale. La dérivée de l’erreur e est donnée par :₃

r

y x

e₃  ₃₂ 

u₂y_r

On choisit la fonction de Lyapunov suivante:

2 2 2 1 1 1 e e e v    . (I.30) (I.29)

Sa dérivée : 3 3 2 2 1 1 3 ee e e e e v       (I.31) ke k e2 e₃



e₂ u ₂ y_r



2 2 2 1 1 

Pour que v₃ 0, il faut choisir la commande u tel que :

r y e e k u _{3 3} ₂₂ (I.32) Dans ce cas : 0 2 3 3 2 2 2 2 1 1 3 ke k e k e  v (I.33) Où : k gain >0₃

Alors, l’équation (I.27) devient :

3 3 2

3 e k e

e   (I.34)

La dynamique de toutes les erreurs données sous forme matricielle est donnée par: AE E₁  _(I.35) Avec :                 3 2 1 1 0 1 1 0 1 k k k A , E



e₁ e₂ e₃



T

La solution de (I.33) est:

) . exp( ) 0 ( At E E (I.36)

L’équation (I.35) donne une convergence des erreurs vers zéro par un bon choix des gains k₁, k₂ et k et la sortie du système suit sa référence₃

I.3 Procédure générale de conception

Dans cette partie, on essayera de généraliser l’application de l’approche du Backstepping pour des systèmes d’ordre n :

1 1 1 2 1 x  (x )T. x   2 2 1 2 3 2 x  (x ,x )T. x   . (I.37) . .   T _{n n} n n x x x x  ( ₁, ₂,..., ) g(x₁,x₂,...,x_n)u.

En général, la conception, par le principe du Backstepping, de la loi de commande u est exécutée en n étapes. A la ième étape, un sous système du ième ordre est stabilisé par rapport à une fonction de Lyapunov v par la conception d’une fonction stabilisante_i  . La loi de _i commande est alors établie à l’étape finale [11].

L’algorithme global du Backstepping est donné par :

Par convention, on définit: e₀ 0, ₀ 0, e₁ x₁y_r.

 1 1      i r i i i x y e  _i e_i1k_ie_i _i Où : ₁ w₁, _{ }  j r i j rj i j i j j i i i y y x x w





               1 1 1 1 1 1 1 1    , 2in _{w1 }₁T_1,





j T j i j j i i T i i x w  



          1 1 1 _{, 2in}



 n



r n y g u 1   E  AE_. Avec :                              n k k k k k A             0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 4 3 2 1 , E=



e₁ e₂ e₃ e₁  e_n



T E E

   

0 exp At

L’équilibre du système s’exprime par :

lim

 

0lim



 



 



0

  

 E t t y t yr t

t , la sortie du système y

 

t suit sa référenceyr

 

t .

I.4 Résultats de Simulation

Exemple 1

On considère le système :

 

1 1 2 1 x cos x x   u x₂  Premier cas

La référence est constante:y_r 1, k₁ 10, k₂ 15. Les conditions initiales : x₁

 

0  x₂

 

0 0.

La loi de commande est: 151 25 25 cos sin 2sin ₁cos ₁ 151

1 1 2 1 1 1 2 1        x x x x x x x u   

Les résultats de simulation obtenus montrent, dans les cas de la référence constante et de la référence variable et avec la variation du paramètre  un excellent suivi de la référence ₁ y_r par la sortie y. Les erreurs convergent rapidement vers zéro. Figures (I.2), (I.3).

a): Paramètre ₁ b): Signaux x et ₁ y_r

c): Commande u d): Erreurs e et ₁ e₂

Figure (I.2): Commande par Backstepping d’un système non linéaire du second ordre lors d’une référence constante 1 x r y 1 e 2 e

Deuxième cas

La référence est variable: y_r cos( t5 )

Les gainsk₁ 10, k₂ 15 et les conditions initiales: x₁(0)0, x₂(0)0. La loi de commande: ) 5 cos( 126 ) 5 sin( 125 cos sin sin cos 25 25 151x₁ x_{2 1} x_{1 1}x₂ x_{1 1}2 x₁ x₁ t t u       

a): Paramètre ₁ b): Signaux x et ₁ y_r

c): Commande u d): Erreurs e et ₁ e₂

Figure (I.3): Commande par Backstepping d’un système non linéaire du second ordre lors d’une référence sinusoïdale 1 x r y 1 e 2 e

Exemple 2

Nous avons le système :





u x x x x x T    2 1 1 2 1 2 1 2   



11 12



1     Premier cas

La référence y_r 2. Les conditions initiales: x₁

 

0 2, x₂

 

0 1. Les gains k₁ 12,k₂ 16.  u 193 28 (48 4 ) 2 (6 28 ) 2 3 2 _{11 1 2} 386. 1 2 11 2 1 1 1 12 11 2 12 1 2 12 12 2 1          x x   x  x    x  x  x x

Pour cet exemple, même remarque, que l’exemple précèdent concernant les résultats de simulation obtenus.

a): Paramètres  et ₁₁ ₁₂ b): Signaux x et ₁ y_r

c): La commande u d): Les erreurs e et ₁ e₂

Figure (I.4): Commande par Backstepping d’un système non linéaire du second ordre avec un

r y 1 x 12  11  1 e 2 e

Deuxième cas

 

t

y_r sin10 , x₁

 

0 0, x₂

 

0 0 12

1 

k , k₂ 16 et les conditions initiales:x₁(0)0, x₂(0)0. La loi de commande est:

). 10 cos( 280 ) 10 sin( 93 2 2 ) 28 6 ( 2 ) 4 48 ( 28 193 3 _{11 1 2} 1 2 11 2 1 11 12 1 1 2 12 1 2 12 12 2 1 t t x x x x x x x x u                    

a): Les paramètres  et ₁₁ ₁₂ b): Les signaux x et ₁ y_r

c): La commande u d): Les erreurs e et ₁ e₂

Figure (I.5): Commande par Backstepping d’un système non linéaire du second ordre avec un signal de référence sinusoïdal

1 e 2 e 12  11  r y 1 x

I.5 Conclusion

Ce chapitre a été consacré à l’étude de la technique du Backstepping appliquée aux systèmes du deuxième ordre et du troisième ordre et puis, généralisée au système d’ordre n.

Etape par étape, une commande est conçue et une analyse de stabilité est établie. A l’étape finale, une loi de commande globale assurant la stabilité en boucle fermée du système est construite via une fonction de Lyapunov, les erreurs convergent vers zéro et la sortie du système suit sa référence. Les résultas de simulation obtenus en fin du chapitre montrent la robustesse de cette technique

L’application de la technique du Backstepping combinée au contrôle vectoriel à la commande de la machine à induction modélisée sous forme d’équations par la transformation de Park sera l’objet du prochain chapitre.

COMMANDE PAR «BACKSTEPPING» DE

LA MACHINE A INDUCTION

II.1 introduction

La machine ou le moteur asynchrone (MAS) est largement répandue actuellement pour ses qualités bien connues, toute fois, sa commande est par contre plus difficile à réaliser que pour d’autres machines électriques à cause de l’absence de découplage naturel entre flux et couple.

La modélisation de la machine asynchrone est une phase essentielle pour l’élaboration de sa commande; le modèle, peut être obtenu par l’application de la transformation de PARK ou par l’utilisation de la notation complexe (modélisation vectorielle).

Dans ce chapitre sera présenté la modélisation issue de la transformation de PARK de la machine à induction, ensuite, il sera présenté l’application de l’approche du Backstepping à la commande de la machine à induction basée sur le principe de l’orientation du flux rotorique dont l’objectif est l’élimination des régulateurs classiques PI.

II.2 Modélisation de la machine à induction

La mise en ouvre d’une commande performante pour la machine à induction nécessite l’utilisation d’un modèle représentant fidèlement son comportement dynamique. En effet, les commandes modernes de la machine à induction nécessitent la connaissance à tout instant du module et de l’argument du flux rotorique, estimés à l’aide du modèle dynamique de la machine. Cette machine devra fonctionner à flux constant pour assurer un bon rendement énergétique et un contrôle dynamique aisée du couple et de la vitesse.

II.2.1 Hypothèses simplificatrices

La modélisation d’une machine électrique permet la connaissance et l’étude de ses comportements statiques et dynamiques d’où un apport précieux pour l’étude de sa commande car elle permet d’une part de restituer une image de ce que l’on peut observer expérimentalement et d’autre part, de prévoir des comportements de la machine plus variés de ceux observés expérimentalement. La modélisation de la MAS triphasée réelle constitue en son remplacement par une machine biphasée fictive mais magnétiquement équivalente. L'étude de la modélisation sera faite dans le contexte habituel d'hypothèses simplificatrices [5], [14], [15], [16], [17], [18]:

 Entrefer constant.

 Effet d’encochage négligé.  Saturation négligée.

 Phénomène d’hystérésis, courants de Foucault et effet de peau négligés.  Résistance des enroulements constante.

 Le régime homopolaire est nul (charge équilibrée).

II.2.2 Modélisation triphasée de la machine

Les enroulements des trois phases statoriques et rotoriques peuvent être représentés comme indiqué sur la figure (II-1). Les phases rotoriques sont court-circuitées sur elle-mêmes.

Figure (II.1) : Représentation des enroulements d’une MAS triphasée

: ) ( ), ( ), ( a b b c c a R S R S R

S Axes de phases statoriques(rotoriques) .

:

 Angle électrique entre l’axe de la phase Sa statorique et la phase Ra rotorique

II.2.2.1 Equations électriques

En tenant compte des hypothèses simplificatrices précédentes, l’étude physique conduit aux équations de tensions suivantes données sous forme matricielle:

c R b R ra V rb V sb V c S b S  a S a R  sc V rc V sa V

    

 

 

  

 

         r s r r s s s s dt d I R V dt d I R V   . . (II.1) Avec :



sa sb sc



s V V V V ]

[ : Vecteur tensions statoriques.



ra rb rc



r V V V

V ]

[ : Vecteur tensions rotoriques .



sa sb sc



s i i i

I ]

[ : Vecteur courants statoriques

  

Ir  ira irb irc



: Vecteur courants rotorique.

  

s  sa sb sc



: Vecteur flux statoriques.

  

r  ra rb rc



: Vecteur flux rotoriques .

           s s s s R R R R 0 0 0 0 0 0 ] [ ,

 

           r r r r R R R R 0 0 0 0 0 0 Où: s

R : Résistance d’une phase du stator.

r

R : Résistance d’une phase du rotor .

II.2.2.2 Equations magnétiques

Dans le même contexte, les équations du flux sont données par:

       

        

        s T sr r rr r r sr s ss s I M I L I M I L . . .   (II.2) Avec:                                r s r s r s r s r s r s r s r s r s rr ss l m m m l m m m l L ] [ ,

 

                                      cos ) 3 2 cos( ) 3 4 cos( ) 3 4 cos( cos ) 3 2 cos( ) 3 2 cos( ) 3 4 cos( cos sr sr m M (II.3)

 

_r :

s l

l Inductance propre d’une phase statorique (rotorique).

   

L_ss



L_rr



: Matrice d’inductances statoriques (rotoriques).

 

_r :

s m

m Inductance mutuelle en deux phases du stator (du rotor). :

sr

m Inductance mutuelle maximale entre une phase statorique et une phase rotorique. :

sr

M Inductance mutuelle entre une phase statorique et une phase rotorique.

II.2.2.3 Equation mécanique

L’équation mécanique est donnée par:

     r f Cr Ce dt d J (II.4) Avec:   . . p dt d p    (II.5) Où:

Ce : Couple moteur de la machine (électromagnétique). Cr : Le couple résistant

r

f : Le coefficient de frottement.

: Vitesse mécanique de rotation du rotor

p: Nombre de paires de pôles de la machine.  : Vitesse électrique du rotor par rapport au stator.

II.2.3 Transformation de PARK

L’équation (II.2) ainsi obtenue, est à coefficients variables entraînant la complexité de résolution du modèle défini par (II.1) en vue de la commande.

On peut réaliser un changement de base sur les grandeurs physiques (tension, flux et courant) qui conduit à une relation matricielle indépendante de l’angle. Le changement de base est appelé transformation de PARK. Cette transformation repose sur l’utilisation de deux axes (u,v) (système biphasé) au lieu de trois axes statoriques et rotoriques (système triphasé). Figure (II.2).

a

 : L’angle de transformation de PARK entre la phase de l’axe S et l’axe_a u .

r

a  

   (II.6)

a

 : Vitesse angulaire de rotation du système (u,v) par rapport au système d’axes triphasé Le passage d’une représentation triphasée à une représentation biphasée, en utilisant la matrice de transformation

 

P de PARK représentée ci-dessous, repose sur la conservation des puissances.

 

                            2 1 2 1 2 1 ) 3 4 sin( ) 3 2 sin( ) sin( ) 3 4 cos( ) 3 2 cos( cos 3 2 a a a a a a P       (II.7) b S a  r   a  v u c R b R a R c S a S

La matrice inverse

 

1

P est donnée par :

 

                             2 1 ) 3 4 sin( ) 3 4 cos( 2 1 ) 3 2 sin( ) 3 2 cos( 2 1 ) sin( ) cos( 3 2 1 a a a a a a P       (II.8)

Le passage du système triphasé au système diphasé est définit par le système d’équations suivantes :

 

                     c b a v u x x x P x x x 0

 

                      0 1 x x x P x x x v u c b a Avec :

x : Grandeur statorique ou rotorique (représente le vecteur tension , courant ou flux).

0

x : La composante homopolaire choisie nulle pour un système équilibré.

II.2.3.1 Modèle de PARK de la machine

L’application de la transformation de PARK au système d’équation (II.1) donne :

 

   

 

                                             0 1 0 1 0 1 s sv su s sv su s s sv su P dt d i i i P R V V V P    (II.10)

En multipliant les deux membres de l’équation par

 

P et après développement on obtient :

 

                                                      0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 s sv su a s sv su s sv su s s sv su dt d i i i R V V V        (II.11) (II.9)

Pour le rotor, on effectue les mêmes opérations que pour le stator et après développement on aura l’équation suivante:

 

                                                       0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 ) ( r rv ru a r rv ru r rv ru r r rv ru dt d i i i R V V V         (II.12)

Puisque le neutre n’est pas relié, la composante homopolaire est nulle, d’où les équations suivantes : Pour la tension :                                         sv su a a sv su sv su s s sv su dt d i i R R V V       0 0 0 0 (II.13)









                                          rv ru a a rv ru rv ru r r rv ru dt d i i R R V V         0 0 0 0 (II.14)

Pour les flux :

                                                                       rv ru rv ru r r rv ru sv su sv su s s sv su i i M M i i L L i i M M i i L L 0 0 0 0 0 0 0 0     (II.15) Où : s s s l m

L   : Inductance cyclique propre statorique.

r r

r l m

L   : Inductance cyclique propre rotorique.

sr

m M

2 3

 : Inductance mutuelle cyclique entre stator et rotor.

Le développement des équations matricielles (II-11) et (II.12) donne le système suivant:



a



rv ru ru r ru su a sv sv s sv sv a su su s su d dt d i R V dt d i R V dt d i R V                      (II.16)

Le modèle biphasé de la machine asynchrone dans le repère ( vu, )est donné par la figure (II.3).

Figure (II.3) : Modèle généralisé biphasé de la MAS dans le repère

 

u,v .

II.2.3.2 Expression du couple électromagnétique

Le couple électromagnétique est donné par l’équation: ) ( _sui_{sv sv}i_su P Ce   = ( _{ru sv rv su}) r i i L PM _{ }

II.2.4 Choix du référentiel

La position du système d’axes ( vu, )peut être fixée suivant les objectifs de l’application :

 Référentiel immobile par rapport au stator _a 0 : étude des grandeurs statoriques (système

d’axes (,)).

 Référentiel immobile par rapport au rotor  _a _r : étude des grandeurs rotoriques (système

d’axes ( yx, )).

 Référentiel lié au champs tournant  _a _s : étude de la commande (système d’axes ( qd, ))

s

 : Pulsation de synchronisme

Notre choix est orienté vers la représentation dans le système d’axes (, ) qu’on peut utiliser pour l’observation.

v sv V M (Rr,Lr) (Rr,Lr)

u

0 (Rr,Lr) su V ru V M (Rs,Ls) rv V (II.17)

II.2.5 Mise en équations d’états

Afin de permettre la simulation de la MAS, elle est mise sous forme d’équation d’états de la forme: (II.18) Avec:

 

A Matrice d’évolution. .

 

B Matrice de commande.

 





T S s V V U    0 0 : Vecteur de commande.

En choisissant les variables d’état is,ron obtient le vecteur

 

X :

 





T r r s s i i X       : Vecteur d’état.

Le système d’équations (II.16) devient:

dt d i R V s s s s       dt d i R V_s  _{s s}  s       r r r r r dt d i R V          r r r r r dt d i R V    Avec :      0 0   r r V V

rotor en court circuit (II.20)

Et le système (II.15) des flux aura la forme:

               r s s s r s s s Mi i L Mi i L (II.21)                s r r r s r r r Mi i L Mi i L (II.22)

 

X 

     

A.X  B.U (II.19)

En remplaçant i et r irde (II.22) dans le système (II.21), le système ainsi obtenu

donnant _s et _s est remplacé dans le système (II.19), nous obtenons l’équation matricielle suivante:                                                                                                   s s s s r s r s r r s s r r r r s s s s i i L M L L M L dt d i i T T M T T M R R V V 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (II.23)

Et qui peut se mettre sous la forme :

 

Z V V s s              0 0                       r r s s i i +

 

L dt d                     r r s s i i (II.24) Avec :

 

Z =                     r r r r s s T T M T T M R R 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0   et

 

L                    1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 r s r s L M L L M L   Où : S rL L M2 1 

 : Coefficient de dispersion (coefficient de Blondel)

r r r

R L

T  : Constante de temps rotorique.

s s s

R L

T  : Constante de temps statorique.

     

A L 1 Z =                                                         r r r r r r s r r S T T M T T M MT M T T M MT T T 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1                   (II.25) Et:

   

_{B  L}1₌                     1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1     r s s r s s L L M L L L M L (II.26

L’équation mécanique est donnée par:

dt d J f C i i L PM r r s r s r r       ) (    (II.27)

II.2.6 Simulation de la MAS

La MAS est simulée après sa mise sous forme d’état. L’objectif de cette section est d’établir un schéma bloc à partir duquel la MAS est directement alimentée par le réseau triphasé (220/380V, 50Hz). La MAS utilisée est à cage d’écureuil, ses paramètres sont donnés en annexe. Les tensions d’alimentation sont sinusoïdales, d’amplitudes constantes et dont les valeurs instantanées sont données par les équations :





. sin 2V t V_sa  _eff _res (II.28) . 3 4 sin 2       _  V  t  V_{sc eff res} Où : eff

V : Valeur efficace de tension. f res   2 : Pulsation du réseau. . 3 2 sin 2       _  V  t  V_{sb eff res}

Les résultats de simulation sont obtenus pour un fonctionnement à vide (Cr=0N.m) et en

charge nominale (Cr=5 N.m) appliquée à t=2s.

Pour le fonctionnement à vide (Cr=0N.m), la vitesse et le couple atteints, après passage

par un régime transitoire court, respectivement une vitesse proche du synchronisme (157rad/s) et un couple nul. L’amplitude du flux est presque constante (1.2 Wb)

En charge, la valeur de vitesse diminue, le couple se stabilise à celle du couple résistant (Cr=5N.m) et l’amplitude du flux diminue légèrement tandis que l’amplitude du courant

statorique augmente par suite de l’augmentation de la charge de la machine. Figure (II.4).

Les résultats obtenus montrent l’existence de fluctuation des modules du flux rotorique et de la vitesse lors de variation de la charge car le fonctionnement de la machine est en boucle ouverte. Le fonctionnement en boucle fermée permet de diminuer ces fluctuations comme on le verra ultérieurement dans ce présent travail.

Figure (II.4) : Résultats de simulation pour le fonctionnement en charge Appliqué à l’instant t=2s.

e

c

r

II.3 Commande par Backstepping de la MAS

La recherche sur le développement des techniques de commande de la MAS s’est multiplier dans ces dernières décennies, on en trouve actuellement plusieurs techniques présentes dans la littérature tel que la commande scalaire, la commande vectorielle, la DTC, les commandes non linéaires comme le Backstepping et la commande par mode glissant.

L’application de la technique du Backstepping à la commande de la MAS consiste à établir une loi de commande de la machine via une fonction de Lyapunov choisie, garantissant la stabilité globale du système. Elle présente l’avantage d’être robuste vis-à-vis des variations paramétriques de la machine ainsi qu’une bonne poursuite des références.

L’association de la technique du Backstepping au contrôle vectoriel confère à la commande de la machine à induction des qualités de robustesse intéressantes, et consolide encore plus la robustesse du Backstepping. [4], [7], [9].

II.3.1 Modèle de la MAS basé sur le contrôle vectoriel

La MAS pose des problèmes difficiles pour sa commande, son modèle dynamique dans le système ( ,  ) donné par (II.19) est non linéaire et hautement couplé dû à l’absence de découplage naturel entre l’inducteur (stator) et l’induit (rotor) ce qui rend sa commande plus complexe que celle d’une machine à courant continu.

La commande vectorielle, connue aussi sous le nom de contrôle par orientation du flux est apparue avec les travaux de Blaschke en 1972 est a pour objectif d’aboutir à un modèle simple de la MAS qui permet de commander indépendamment le flux et le couple de la machine. Avec ce découplage la MAS se comporte alors comme une machine à courant continu à excitation indépendante ou il y a un découplage naturel entre la grandeur commandant le flux (courant d’excitation) et celle commandant le couple (courant d’induit) permettant, ainsi, d’obtenir de hautes performances [6].

Son principe est basée sur le choix d’un système d’axes tournant biphasé (d,q) orienté suivant le flux qu’on désire orienter (statorique, rotorique ou flux d’entrefer) permettant ainsi de découpler le flux et le couple. Dans notre cas on s’intéresse à orienter le flux rotorique suivant la direction de l’axe d par conséquent la composante du flux rotorique  est nulle, le couple _rq électromagnétique est découplé avec le flux.

Le vecteur courant statorique est dissocié en deux composantes dans le repère tournant, l’une sur l’axe direct pour contrôler le flux orienté de la machine, et l’autre calée sur l’axe en

quadrature pour contrôler le couple.

Considérons le modèle de la machine asynchrone dans le système d’axe ( ,  ) et qui inclut les dynamiques électrique et mécanique de la machine:

J C J f i i JL PM dt d _{r r} s r s r r       ) (_{ } _{ }     _{ }  s r r r r r r r _Mi L R P L R dt d          _{ }  s r r r r r r r Mi L R P L R dt d      (II.29)            s s s r s s r r r r s r r s r s _V L i L L R L R M L L PM L L MR dt di 1 2 2 2 2                        s s s r s s r r r r s r r s r s _V L i L L R L R M L L PM L L MR dt di ₁ 2 2 2 2            

La position du rotor est définie par l’angle  donné par :_s

            r r s arctan (II.30)

La transformation entre les systèmes



,



et

 

d,q se fait comme suit :

                          x x x x s s s s q d ) cos( ) sin( ) sin( ) cos( (II.31)

Où le paramètrex peut être courant i, flux  ou tension V .

L’application de cette transformation au système (II.29) conduit au nouveau modèle de la machine dans le repère ( qd, ) donné par :

J C J f i J dt d _{r r} sq d     _ sd d d _Mi dt d _{ } sd s d sq sq d sd sd _V L i M i P i dt di          2  1   (II.32) sq s d sd sq sd d sq sq V L i i M i P P i dt di             1  

Avec: d rd    , _rq 0 r L PM   , r r L R   , ₂ 2 2 r s s r r L L R L R M    et r sL L M   

Après l’application du processus du flux orienté, le système d’équation (II.1) obtenu présente une structure simplifiée et peut être décomposé en deux sous systèmes découplés. Le premier est un sous système de vecteur d’état



,i_sq



et dont la commande est V_sq, le second avec



_d,i_sd



comme états et V Comme commande. Cette structure va permettre une _sd application aisée de la technique du Backstepping à la MAS ce qui sera l’objet de la partie

suivante [4], [7], [8].

II.3.2 Application du Backstepping à la commande de la MAS

Dans cette partie, on se propose d’éliminer les régulateurs PI classiques dans le schéma de la commande vectorielle de la machine donné par la figure (II.8) et de les remplacer par des lois de commande par Backstepping.

Figure (II.5) : Schéma de principe du contrôle vectoriel de la MAS

) ( _d Régulateur sq i d   ref    , s i -e e -+ + e e -sd i   _{r ,} 

PI

PI

ref   s V MAS dq  sd V  s V

PI

PI

dq  + sq V sqref i sdref i ) ( Régulateur Régulateur(i_sq) ) (i_sd Régulateur s  s 

Etape 1

L’objectif de cette étape est l’élimination des deux régulateurs de vitesse et de flux.

On définit les erreurs e et ₁ e représentant respectivement l’erreur entre le vitesse réelle ₂

 et la vitesse de référence _ref et l’erreur entre le module de flux  et sa référence _d  ._ref

    _ref e₁ (II.33) d ref e₂  

Et leurs dynamiques sont données par :

J C J f i J e r r sq d ref ref           ₁ (II.34) sd d ref d ref Mi e_      2

La première fonction de Lyapunov est choisi tel que :

) ( 2 1 2 2 2 1 1 e e v   (II.35) Sa dérivée est : 2 2 1 1 e e e e v     ₁( r r) ₂( _{ref d sd}) sq d ref e Mi J C J f i J e            _(II.36)

Les objectifs de poursuite sont réalisé (v₁0) en choisissant les références des composantes du courant qui représentent les fonctions stabilisantes comme suit :

    _{  }  J C J f e k J i r r ref d ref sq 1 1  1 ) (   (II.37)



ref d



ref sd k e M i        2 2 1 ) (

Où : k₁,k₂ : des constantes positives.

La dérivée de la fonction de Lyapunov devient : 0 2 2 2 2 1 1 1 k e k e  v (II.38) Alors,

 

i_{sd ref} et

 

ref sq

i dans (II.37) sont asymptotiquement stables.