Licence Informatique S2
Contrôle Continue 1 (Logique, 2019-2020)
Durée : 2 heures. Documents non autorisés.
N.B. : Le barème est donné à titre indicatif.
Exercice 1 Question de cours (4 points)
1. Quel est la taille de la table de vérité d’une formule construite sur 1 variable propositionnelle ? Combien existe t-il de formules non équivalentes construites sur 1 variables propositionnelle ? (Justifier avec la table de vérité)
2. Donner une formule équivalente à p → q avec comme seuls connecteurs ¬ et ∨. (Justifier avec la table de vérité)
3. Si la formule A est une tautologie, que peut-on dire de la formule ¬A ? 4. Qu’est-ce que le raisonnement?
Solution :
1.La taille de la table de vérité d’une formule construite sur 1 variable propositionnelle : 2
Le nombre des formules non équivalentes construites sur 1 variables propositionnelle : 2^2 = 4
2.p → q = ¬ p ∨ q
3. ¬A est une contradiction
4.A vous de développer. L’idée de base est que, le raisonnement est une activité de la pensée allant de ce qu’on connaît à ce qu’on ne connaît pas.
Exercice 2 (6 points)
Montrer la séquence suivante en appliquant les raisonnements basés sur la déduction naturelle, la table de vérité, et l’arbre de décomposition :
p → (q → r) ⊢ (p ∧ q )→ r Solution :
(1) Raisonnement basé sur la déduction naturelle 1.p → (q → r) prémisse
2.p ∧ q hypothèse
p A
0 *
1 *
p A1 A2 A3 A4
0 0 0 1 1
1 0 1 0 1
3.p ∧E 2 4.q → r M.P.1+3 5.q ∧E 2 6.r M.P.4+5 7.(p ∧ q )→ r
(2) Raisonnement basé sur la table de vérité
Ecrire la table de vérité de la formule (p → (q → r)) → ((p ∧ q )→ r) et montrer elle est une tautologie.
(3) Raisonnement basé sur l’arbre de décomposition Supposons que (p → (q → r)) → ((p ∧ q )→ r) est fausse :
r=0 et r=1, contradiction, donc (p → (q → r)) → ((p ∧ q )→ r) ne peut pas être faux, elle est alors tautologie.
Exercice 3 (4 points)
Montrer que {¬, →} est suffisant pour exprimer toute formule logique (Ici, il suffit de montrer que l’on peut représenter ∧ et ∨ par {¬, →}).
Solution :
Montrer soit par équivalences des formules : p ∧ q = ¬¬(p∧q) = ¬(¬p ∨ ¬q) = ¬(p → ¬q) p ∨ q = ¬¬ p ∨ q = ¬p → q
Soit par la table de vérité.
Exercice 4 (6 points)
Une personne cherche un trésor dans 3 coffres numérotés de 1 à 3. Un seul de ces coffres contient le trésor. Sur chaque coffre il y a une instruction :
(1) Le trésor est dans ce coffre.
(2) Le trésor n’est pas dans ce coffre.
(3) Le trésor n’est pas dans le coffre 1.
Questions.
On introduit des variables propositionnelles P1 pour représenter le fait que le trésor est dans le coffre 1 et P2 pour représenter le fait que le trésor est dans le coffre 2.
1.Donner une formule qui utilise les variables P1 et P2 et qui est vraie exactement lorsque le trésor est dans le coffre 3.
2.Donner une formule qui utilise les variables P1 et P2 et qui représente le fait que le trésor est exactement dans un des coffres.
3.Sachant qu’une seule des instructionsest vraie, en déduire dans quel coffre est caché le trésor.
Solution : Noter :
P1 : le trésor est dans le coffre 1;
P2 : le trésor est dans le coffre 2;
Trois instructions : (1) p1
(2) ¬p2 (3) ¬p1
Questions : 1.¬P1 ∧ ¬P2.
2.Plusieurs formules équivalentes sont possibles : (P1 ∧¬P2)∨(¬P1 ∧P2)∨(¬P1 ∧¬P2)
Ou ¬(P1 ∧ P2)
3. Deux raisonnements possibles Prémisses :
1. p1 ⊕ ¬p2⊕¬p1 (une seule des instructions est vraie) 2. ¬(P1 ∧ P2) (un seul des coffres contient le trésor)
Attention : les prémisses représentent la condition nécessaires pour le raisonnement
Preuve 1 (Déduction naturelle) Case 1
1.P1 = 0, P2 = 0 (le trésor est dans le coffre 3) 2.¬p1
3.¬p2
4.Deux instructions sont vraies
5.le trésor ne peut pas être dans le coffre 3
Case 2
1.P1 = 0, P2 = 1 (le trésor est dans le coffre 2) 2.¬p1
3.Une seule instructions sont vraies 4.le trésor peut être dans le coffre 2
Case 3
1.P1 = 1, P2 = 0 (le trésor est dans le coffre 1) 2.p1
3.¬p2
4.Deux instructions sont vraies
5.le trésor ne peut pas être dans le coffre 3
En tenant compte de trois cases, le trésor est dans le coffre 2.
Preuve 2 (La table de vérité)
Le trésor est dans le coffre 2.
p1 p2 ¬p1 ¬p2 p1 ⊕ ¬p2⊕¬p1 ¬(P1 ∧ P2)
0 0 1 1 0 1
0 1 1 0 1 1
1 0 0 1 0 1
1 1 0 0 1 0
