Leçon 32 Produit d'un vecteur par un réel
Activités
tv
Construire le
point A-El
que OA=
2u Construire lepoint
B tel queOÉ: -Zi
Construire le
point
D tel gueOD: 2ç3J_ L'r
Exprimer les vecteurs
OX,OY,OZ,OT,OU &OV
enfonction
deu et
v Construire lepoint
G et H telsque oô :(- z)'(r;)
" OÈ : 4;
.Que constate-t-on ?
Le cours l. Définition:
i
Oerlgn" un vecteur nonnul
et k un réel nonnul.
Le produit du vecteur i par le
réelk
estle vecteur ti tel qué: k; et iont
même a.b.
c.
d.
e.
direction.
lnrsque
k > O:. ki et i
sont de même sens ;o
la longueurde ki
estleproduit deft
par la longueurde i
.Lorsque k
<0:
o ku
rit u sont de sens contraires ;o
la longueurde ki
est le produitde (-k)
par la longueur
de i
.La norme
de ki
est leproduit
de la norme dei
par la valeur absoluede
È: llt
ûl=lfrl"lÛl
Remarque :
Lorsque #= 0 ou k:O,
parconvention: ki:ô.
Exemple
I
:F H G
Soit
CD =u,
on a:1- r_
AB==u, 22 EF=2u, GH=-2u; IJ=-u et KL=-=u.
G
Exemple I
: Soitu
un vecteur de 4 unités.Etudier
le sens et la norme de chacun des vecteurs suivants.a. ai c. -u
4l-
b.
d.
-4u
--u
4Ir
Solution:
a.
Puisque,,4>g,
donf. le vecteur4i
amême sensqur i
et apour
nonne til4ql
:
q"ll4l
= 4 x4unites =l6unites
.b.
Puisque-4:O,
donc le vecteur- qi
estde sens contraireà i
eta pournonne,ll-4q= F4l
"ilfl
=4x4unites : l1units
.Puisque
'44 I t
O, donc le vecteurli
"même'sensqu" i
et apour
norïne
'll1dl= !"ffit=
1 x4unites=tunite
ll4ll 4 ""
4Puisque
'44 -+.0,donclevecteur -\i ."rde
senscontiaireài
etâpou,nonne
'll-ld
=l" llûl=!*qunites :runite
ll 4n 4 ""
4c.
d.
Exemple
2
:Soit
E.ABCD un pyramide deAII:a. AE=b et CE:c.
Exprimer
en fonctionde
â,E "t i l"t
vecteurs :
a- BC b. EF
Mathématique C4-148
Solution:
a.
La relation de Chasles permetd'écrire
:BC =
BA+ AE
+EC
sc =-7É +Æ -cÉ =-à*É-,
l- I -
b. EF=EA+AF/AF='AB-'a
22
EF =
-7Ë *7F : -u *!à )
Exemple 3 :
Montrer
que dans un triangle :-
la droitequi
passe par lesmilieux
de deux côtés estparallèle
au troisièmecôté
et la longueur du segment quijoint
ces deuxmilieux
est égale à lamoitié
de lalongueur du troisième côté.Solution:
Soit ABC un
triangle.
M est lemilieu ae lnletN,
lemilieu aeldCl.
On va montrer
que
:- la droite
(MN)
est parallèle au pôtéAC
;-
MN=:- AC
I2
La relation de Chasles permet
d'écrire
:Puisque
") : l-
>0,
les vecteursMN et AC
sont colinéaires donc la droite(luIN)
est parallèle aucôté AC.
1l-r
IEt lMNl | | : -lACl 2t r- siedfie MN
=-
2AC .Exemple 4 : Soit un
triangle
ABC.AD, BE
et CF sont les médianes respectives issues deA,
B et C.Lr
Montrer que
AD+
BE+CF =0
BN BC
-\ l-
+
BC)=:- AC
2
Dlaprès
la
figure, la relation de Chasles permetd'écriig : '
t_
. AD=AB+BD=AB+:BC
2
.
EÉ=Eô +d =fr *!d
2
.eF =d+E =cÀ*!Æ
.2
Donc Æ+ nn+cF =Æ +L7 222 +ft +!d*cÀ*!n
?- ?- ?_
-1AB+=BC+BC+1CA
22'2
?_
p-:-r4u4-l
2
=1(^+ft+cA)=}(n *cA)
Mathématique C4-150
2.
3.
Exercices
l.
Soiti
un vecteur. Exprimer lesvecteurs y et w
enfonction de
u .a. 3u-2v
= vb.2u*w:2w+5u
Soit deux
vecteurs
eti
non colinéaires et'deux vecteurs#t
etI
tels quei
= (o ++t)i
+(za
+ b +r)i, i :
(a + 2a +z)i
+ (2.a- 3b- t) ;
.Trouver les réels a et b tel que
3i = 2i
.Sur la figure ci-contre,
ABCD
est un parallélogramme de centre E.Les égalités suivantes sont-elles vraies ?
A- v=w
c. 2; -; =;
e. AE =w*s
Sur la figure ci-contre
X
et Y sont lesmilieux
respectifs a,eI,eol
et[CF] ;t
GZ=-GF.
I 3Tel
que a =AIl,
b: AD,
c =AH
Exprimer les vecteurs'
AX
, AZ,EY a .Y
en fonction de;,6,;.
t
u
C
t
D w
t
A
V-b. DB =uIv d. 2AE =u*v
f, Æ=!-, 22
4.
5.
Sur la figure ci-contre, P est le milieu
ae l,enl.Montrer
querlll Lu.] tl[, oP ::lO,l+ oBl
2\ |
6.
Sur la
figureci-contre, G
est le centrede
gravité dutriangle ABC.
CalculerGA+GB+GC.
t
s
,
7.
Soit le
segment [,q51.C
est unpoint ae f,eï) tel que AB:CD:m:n. O
estun point
situé àl'extérieur
aef,ln].Sachant qu" ù:i
,OÉ: i
, montre,qu" ôZ : -]-Ç; m+n' * ^i\.
Soit un cané
ABCD. M
e(N
sont lesmilieux
respectifs des côtésBC
et CD. Tel que; =m et i
=d
,montrer
que* =:; 33 -?;,
Sur le quadrillage ci-dessous, construire les vecteurs suivants : 8.
9.
l.u )-
3
G
2. 2v )-
3. 1u+2v
3
4. 1u-2v )-
3
Mathématique C4-1,52