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ki:ô. i ki i ki o ki o o i . ki

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Leçon 32 Produit d'un vecteur par un réel

Activités

tv

Construire le

point A-El

que OA

=

2u Construire le

point

B tel que

OÉ: -Zi

Construire le

point

D tel gue

OD: 2ç3J_ L'r

Exprimer les vecteurs

OX,OY,OZ,OT,OU &OV

en

fonction

de

u et

v Construire le

point

G et H tels

que oô :(- z)'(r;)

" : 4;

.

Que constate-t-on ?

Le cours l. Définition:

i

Oerlgn" un vecteur non

nul

et k un réel non

nul.

Le produit du vecteur i par le

réel

k

est

le vecteur ti tel qué: k; et iont

même a.

b.

c.

d.

e.

direction.

lnrsque

k > O:

. ki et i

sont de même sens ;

o

la longueur

de ki

estle

produit deft

par la longueur

de i

.

Lorsque k

<0:

o ku

rit u sont de sens contraires ;

o

la longueur

de ki

est le produit

de (-k)

par la longueur

de i

.

La norme

de ki

est le

produit

de la norme de

i

par la valeur absolue

de

È

: llt

ûl=lfrl

"lÛl

Remarque :

Lorsque #= 0 ou k:O,

par

convention: ki:ô.

(2)

Exemple

I

:

F H G

Soit

CD =

u,

on a:

1- r_

AB==u, 22 EF=2u, GH=-2u; IJ=-u et KL=-=u.

G

Exemple I

: Soit

u

un vecteur de 4 unités.

Etudier

le sens et la norme de chacun des vecteurs suivants.

a. ai c. -u

4

l-

b.

d.

-4u

--u

4

Ir

Solution:

a.

Puisque,,4>

g,

donf. le vecteur

4i

amême sens

qur i

et a

pour

nonne til4ql

:

q

"ll4l

= 4 x4unites =

l6unites

.

b.

Puisque

-4:O,

donc le vecteur

- qi

estde sens contraire

à i

eta pour

nonne,ll-4q= F4l

"ilfl

=

4x4unites : l1units

.

Puisque

'44 I t

O, donc le vecteur

li

"même'sens

qu" i

et a

pour

norïne

'll1dl= !"ffit=

1 x4unites

=tunite

ll4ll 4 ""

4

Puisque

'44 -+.0,donclevecteur -\i ."rde

senscontiaire

ài

etâpou,

nonne

'll-ld

=

l" llûl=!*qunites :runite

ll 4n 4 ""

4

c.

d.

Exemple

2

:

Soit

E.ABCD un pyramide de

AII:a. AE=b et CE:c.

Exprimer

en fonction

de

â

,E "t i l"t

vecteurs :

a- BC b. EF

Mathématique C4-148

(3)

Solution:

a.

La relation de Chasles permet

d'écrire

:

BC =

BA+ AE

+

EC

sc =-7É +Æ -cÉ =-à*É-,

l- I -

b. EF=EA+AF/AF='AB-'a

22

EF =

-7Ë *7F : -u *!à )

Exemple 3 :

Montrer

que dans un triangle :

-

la droite

qui

passe par les

milieux

de deux côtés est

parallèle

au troisième

côté

et la longueur du segment qui

joint

ces deux

milieux

est égale à la

moitié

de lalongueur du troisième côté.

Solution:

Soit ABC un

triangle.

M est le

milieu ae lnletN,

le

milieu aeldCl.

On va montrer

que

:

- la droite

(MN)

est parallèle au pôté

AC

;

-

MN

=:- AC

I

2

La relation de Chasles permet

d'écrire

:

Puisque

") : l-

>

0,

les vecteurs

MN et AC

sont colinéaires donc la droite

(luIN)

est parallèle au

côté AC.

1l-r

I

Et lMNl | | : -lACl 2t r- siedfie MN

=

-

2AC .

Exemple 4 : Soit un

triangle

ABC.

AD, BE

et CF sont les médianes respectives issues de

A,

B et C.

Lr

Montrer que

AD+

BE

+CF =0

BN BC

-\ l-

+

BC)=:- AC

2

(4)

Dlaprès

la

figure, la relation de Chasles permet

d'écriig : '

t_

. AD=AB+BD=AB+:BC

2

.

=Eô +d =fr *!d

2

.eF =d+E =cÀ*!Æ

.2

Donc Æ+ nn+cF =Æ +L7 222 +ft +!d*cÀ*!n

?- ?- ?_

-1AB+=BC+BC+1CA

22'2

?_

p

-:-r4u4-l

2

=1(^+ft+cA)=}(n *cA)

Mathématique C4-150

(5)

2.

3.

Exercices

l.

Soit

i

un vecteur. Exprimer les

vecteurs y et w

en

fonction de

u .

a. 3u-2v

= v

b.2u*w:2w+5u

Soit deux

vecteurs

et

i

non colinéaires et'deux vecteurs

#t

et

I

tels que

i

= (o +

+t)i

+

(za

+ b +

r)i, i :

(a + 2a +

z)i

+ (2.a

- 3b- t) ;

.

Trouver les réels a et b tel que

3i = 2i

.

Sur la figure ci-contre,

ABCD

est un parallélogramme de centre E.

Les égalités suivantes sont-elles vraies ?

A- v=w

c. 2; -; =;

e. AE =w*s

Sur la figure ci-contre

X

et Y sont les

milieux

respectifs a,e

I,eol

et

[CF] ;t

GZ=-GF.

I 3

Tel

que a =

AIl,

b

: AD,

c =

AH

Exprimer les vecteurs

'

AX

, AZ,

EY a .Y

en fonction de

;,6,;.

t

u

C

t

D w

t

A

V

-b. DB =uIv d. 2AE =u*v

f, Æ=!-, 22

4.

5.

Sur la figure ci-contre, P est le milieu

ae l,enl.Montrer

que

rlll Lu.] tl[, oP ::lO,l+ oBl

2\ |

6.

Sur la

figure

ci-contre, G

est le centre

de

gravité du

triangle ABC.

Calculer

GA+GB+GC.

t

s

,

(6)

7.

Soit le

segment [,q51.

C

est un

point ae f,eï) tel que AB:CD:m:n. O

est

un point

situé à

l'extérieur

ae

f,ln].Sachant qu" ù:i

,

OÉ: i

, montre,

qu" ôZ : -]-Ç; m+n' * ^i\.

Soit un cané

ABCD. M

e(

N

sont les

milieux

respectifs des côtés

BC

et CD. Tel que

; =m et i

=

d

,

montrer

que

* =:; 33 -?;,

Sur le quadrillage ci-dessous, construire les vecteurs suivants : 8.

9.

l.u )-

3

G

2. 2v )-

3. 1u+2v

3

4. 1u-2v )-

3

Mathématique C4-1,52

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