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Équation de Schrödinger dans un potentiel uniforme par morceaux

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Équation de Schrödinger dans un potentiel uniforme par morceaux

PC Lycée Dupuy de Lôme

(2)

1 Dualité onde-corpuscule Pour la lumière Ondes de matière

2 Description de l’état quantique Interprétation de Born Densité de probabilité Normalisation

Inégalité d’Heisenberg Principe de superposition

(3)

Recherche des solutions Postulat

Forme générale des solutions

Dans chaque domaine où le potentiel est uniforme ( et indépendant du temps), on recherche des solutions stationnaires

Ψ(x, t) =ϕ(x).e−i.E.th̵

On doit vérifier en tout pointla continuité de la fonction d’onde ainsi que de sa dérivée spatiale.

Équation de Schrödinger pour un état stationnaire

ϕ(x) devant vérifier l’équation de Schrödinger, il en résulte b − h̵2

2.m.∂2ϕ(x)

∂x2 +V(x)(x) =E.ϕ(x)

(4)

Puits de potentiel infini Pulsations propres

x V(x)

E>0

0 a

E<<V0

ÐÐÐ→

x V(x)

→∞ →∞

E>0

0 a

Régions interdites

Dans les régions de l’espace où le potentiel est infini, la probabilité de présence de la particule quantique est nulle.

b ϕ(∣x∣) ⩾a=0

(5)

Puits de potentiel infini Pulsations propres

Proposer la forme générale pourϕ(x) Exploiter les CAL

En déduire les modes possibles Normaliser la fonction d’onde

Fonction d’onde pour un puits infini b Ψ(∣x∣ <a=

√2

a.e−i.Enh̵ t.sinn.π.x

a avec En=n2. π2.̵h2 2.m.a2 L’énergie dans un puits de potentiel infini est donc quantifiée.

(6)

Puits de potentiel infini Pulsations propres

Proposer la forme générale pourϕ(x) ϕ=A.coskx+B.sinkx Exploiter les CAL ϕ(0) =ϕ(a) =0

En déduire les modes possibleskn=n.π a Normaliser la fonction d’onde∫0aϕ2.dx=1 Fonction d’onde pour un puits infini

b Ψ(∣x∣ <a=

√2

a.e−i.Enh̵ t.sinn.π.x

a avec En=n2. π2.̵h2 2.m.a2 L’énergie dans un puits de potentiel infini est donc quantifiée.

(7)

Puits de potentiel infini Similitudes avec la corde

Similitudes...

Les CAL imposent une quantification des nombres d’onde

Il existe des nœuds où la densité de probabilité de présence sera nulle On peut voir la solution comme une superposition d’ondes planes se propageant dans les deux sens opposés

... et différences

Les énergies possibles de la particule quantique sont quantifiées, ce n’est pas le cas pour la corde

(8)

Puits de potentiel infini Énergie minimale Mode fondamental

Au vu de l’étude précédente, les modes associés à une particule sont tels que En=n2. π2.̵h2

2.m.a2

Énergie minimale

Le mode fondamental correspond au niveau d’énergie minimum pour une particule quantique dans un puits infini de potentiel.

b Emin= π2.̵h2 2.m.a2

(9)

Puits de potentiel infini Énergie minimale Conséquence de l’inégalité

Ψn(x, t)peut être décrite comme l’association de 2 OPPH se propageant

Ces deux ondes correspondent à desqté de mouvementÐpnet Pour un mode n,px⟩ =

On a alors∆px=

Selon l’inégalité d’Heisenberg, comme ∆x= ,∆px⩾ Alors Ec,min

Énergie minimale dans un puits de potentiel infini

D’après l’inégalité d’Heisenberg, toute particule quantique placée dans un puits de potentiel infini aura une énergie minimale

= ̵h2

(10)

Puits de potentiel infini Énergie minimale Conséquence de l’inégalité

Ψn(x, t)peut être décrite comme l’association de 2 OPPH se propageanten sens opposé

Ces deux ondes correspondent à desqté de mouvementÐpnet −Ðpn Pour un mode n,px⟩ = 0

On a alors∆px=√

∣⟨p2x⟩ − ⟨px2∣ =√

p2x⟩ Selon l’inégalité d’Heisenberg, comme ∆x=a

2,∆px⩾ ̵h a Alors Ec,min⩾ ̵h2

2.m.a2

Énergie minimale dans un puits de potentiel infini

D’après l’inégalité d’Heisenberg, toute particule quantique placée dans un puits de potentiel infini aura une énergie minimale

(11)

Puits de potentiel infini Densité de probabilité pour 1 mode

Un mode propre est caractérisé par sa fonction d’onde

Ψ(x, t) =

√2

a.sinn.π.x

a .e−i.En.t/̵h

A ce mode correspond une densité de probabilité de présence

Pn(x) = 2

a.sin2n.π.x a

Propriétés

La densité de probabilité de présence est indépendante du temps pour un mode propre

La densité de probabilité de présence a les symétries du potentiel V(x)

Les symétries du potentiel entrainent par conséquent des propriétés de

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