E544. Passage au vert
Pour passer du rouge au vert, la couleur d’un entier doit changer un nombre impair de fois. Pour 1, la seule possibilité est de choisir 1.
Pourm62010,soitEml’ensemble des entiersn62010 tels que gcd{n, m}>1.
Pourppremier, nous montrons queEp2q =Epq,de sorte que la couleur dep2q est la même que celle de pq : cela permet de n’étudier que les nombres non divisibles par le carré d’un premier, donc de la forme
j
Y
i=1
pi. Appliquons alors l’algorithme suivant
– n= 2010 – Tant que n >1
– décomposern=
j
Y
i=1
pqii (produit de facteurs premiers)
– si tous les qi = 1 ET si le nombre de multiples de n choisis est pair, alors choisirn
– décrémenternd’une unité – Fin
– Choisir 1
Le fonctionnement de cet algorithme repose sur le principe d’inclusion-exclusion : le nombre de fois où la couleur de
j
Y
i=1
pi sera inversée est impair puisqu’il s’ex- prime à l’aide d’une somme (signée) de 2j−1 termes impairs par construction.
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