Enonc´e noE317 (Diophante) Le concours d’arithm´etique
(version o`u les concurrents savent que le nombreY a ´et´e donn´e `a Hippolyte) Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
En listant les d´ecompositions 900 =X∗Y∗ZavecX > Y > Z, on en trouve 32. Chacune produit 3 entiers Y < X+Z < X+Y, mais ces 96 entiers ne sont pas tous distincts : en en faisant la liste, on en trouve 65 seulement.
Dressons un tableau croisant les 12 valeurs que peut prendreY avec les 45 valeurs que prennent X+Z ou X+Y (20 et 25 figurent des deux cˆot´es), pour identifier les factorisations X∗Y ∗Z correspondant `a chaque couple d’entiers.
Le tableau montre que le couple d’entiers (9, 29) ne permet pas de dis- criminer deux factorisations, 25∗9∗4 et 20∗9∗5. Puisque Hippolyte et Th´eophile ont pu finalement r´epondre, c’est que les nombres qui leur ont ´et´e donn´es ne sont pas ceux-l`a. Si n´ecessaire, ils ont eu le couple (9, 34) pour la factorisation 25∗9∗4 et le couple (9, 25) pour la factorisation 20∗9∗5.
Quand une ligne (ou une colonne) de ce tableau ne contient qu’une factori- sation, le finaliste qui re¸coit le nombre correspondant identifie aussitˆot cette factorisation. Ainsi, quand les deux finalistes ont r´epondu “je ne sais pas”, un observateur ext´erieur peut supprimer du tableau ces lignes et ces co- lonnes, ainsi que celles qui deviennent vides par les suppressions d´ej`a faites, comme le couple (9, 29).
Le tableau qui en r´esulte pourY ∗Z est le suivant (le facteur X= 900/Y Z est omis pour r´eduire l’encombrement du tableau).
5 6 9 10 12 15 18 20 25
20 12∗5
23 10∗5 15∗3
25 9∗5 10∗6
27 12∗5 18∗2
28 10∗5 12∗3
35 6∗5 15∗3
37 12∗3 25∗1
61 15∗1 25∗1
65 5∗3 20∗1
Deux cas sont `a examiner, selon que le premier `a parler a ´et´e Hippolyte ou Th´eophile.
Cas 1. Hippolyte parle le premier
Premi`ere r´eponse : Hippolyte ne sait pas, donc il ne peut pas avoir le nombre 2, qui r´ev´elerait la factorisation 450∗2∗1, ni le nombre 20, qui r´ev´elerait
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la factorisation 45∗20∗1, ni le nombre 25, qui r´ev´elerait la factorisation 36∗25∗1. Son nombre est dans la liste 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18. Le nombre de Th´eophile est au moins 20 et au plus 303, car 451 et 452 sont exclus par la r´eponse de A, mais nous n’en savons rien de plus.
Deuxi`eme r´eponse : Th´eophile ne sait pas, donc il ne peut avoir qu’un des nombres 23, 25, 27, 28, 35, 37, 61, 65 (j’exclus 29 qui rendrait le probl`eme ind´ecidable). De plus, Hippolyte d´eniant avoir 20 ou 25, Th´eophile ne peut avoir 37 qui r´ev´elerait 25∗12∗3, 61 qui r´ev´elerait 60∗15∗1 ou 65 qui r´ev´elerait 60∗5∗3. Th´eophile ne peut avoir qu’un des nombres 23, 25, 27, 28, 35. Hippolyte ne peut avoir 3, 4 ou 5 car alors le nombre de Th´eophile lui aurait parmis de conclure.
Troisi`eme r´eponse : Hippolyte ne sait pas, donc il ne peut avoir qu’un des nombres 10 ou 12. Le nombre 6 r´ev´elerait 30∗6∗5, 9 r´ev´elerait 20∗9∗5, 18 r´ev´elerait 25∗18∗2, car les autres possibilit´es auraient d´ej`a permis `a Th´eophile de conclure. Le nombre 15 r´ev´elerait 20∗15∗3, Th´eophile ayant d´eni´e avoir 61.
Quatri`eme r´eponse : Th´eophile peut conclure, car 23 r´ev`ele 18∗10∗5, 26 r´ev`ele 15∗10∗6, 27 r´ev`ele 15∗12∗5, 28 et 35 r´ev`elent 25∗12∗3.
Ce cas est donc en contradiction avec l’´enonc´e qui sp´ecifie au moins cinq r´eponses n´egatives.
Cas 2. Th´eophile parle le premier
Premi`ere r´eponse : Th´eophile ne sait pas, donc il ne peut avoir qu’un des nombres 23, 25, 27, 28, 35, 37, 61, 65 (j’exclus 29 qui rendrait le probl`eme ind´ecidable). Hippolyte a l’un des nombres 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 25.
Deuxi`eme r´eponse : Hippolyte ne sait pas, donc il n’a pas 5, 6, 9, 18, 20, 25 qui r´ev´eleraient respectivement 60∗5∗3, 30∗6∗5, 20∗9∗5, 25∗18∗2, 45∗20∗1, 36∗25∗1. Il a 10, 12 ou 15. Th´eophile a un des nombres 23, 25, 27, 28, 35, 37, 61.
Troisi`eme r´eponse : Th´eophile ne sait pas, donc il ne peut avoir qu’un des nombres 23 ou 28 car 25, 27, 35, 37, 61 r´ev´eleraient respectivement 15∗10∗6, 15∗10∗6, 20∗15∗3, 25∗12∗3 et 60∗15∗1.
Quatri`eme r´eponse : Hippolyte peut conclure, car 10 r´ev`ele 18∗10∗5, 12 r´ev`ele 25∗12∗3, et 15 r´ev`ele 20∗15∗3.
Ce cas est lui aussi en contradiction avec l’´enonc´e qui sp´ecifie au moins cinq r´eponses n´egatives.
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