D602 - A la recherche de la construction la plus économique
Solution
La solution la plus naturelle est de tracer deux cercles de centre A et B et de rayon 100 qui se coupent en P et Q. La droite PQ coupe AB en son milieu M. Le cercle de centre A et de rayon AM coupe la droite L en un point D symétrique de M par rapport à A. Les droites PA et QA coupent ce dernier cercle en deux points R et S tels que le droite RS coupe AD en son milieu C qui est le point recherché. Il est facile en effet de vérifier que le triangle ASR se déduit du triangle APQ par une homothétie de coefficient –1/2. Au total, il a fallu 3 cercles et 4 droites qui représentent un coût de 110 unités de travail.
Une deuxième solution consiste à n’utiliser que deux cercles. On trace deux cercles (Ca) et (Cb) de centre A et B et de même rayon (pas nécessairement égal à 100) qui se coupent en P et Q. Les droites PA et QA coupent le cercle (Ca) en R et S. La droite RS coupe la ligne L en O. Les droites OQ et PA se coupent en T tandis que la droite ST coupe la ligne L au point C recherché. En effet dans le triangle QRS, les médianes QO et RA se coupent en T. La médiane ST coupe donc en son milieu le segment OA qui est parallèle à QR. Au total, on a tracé deux cercles et cinq droites qui représentent une consommation de 85 unités de travail.
Une troisième solution revient à n’utiliser qu’un seul cercle. Elle est fondée sur la propriété étudiée dans le problème D601-Comment un cercle peut remplacer un compas et selon laquelle on peut construire en utilisant la règle seule une parallèle à une droite passant par un point donné s’il existe un cercle muni de son centre dessiné dans le plan. Se reporter à la solution de ce problème pour plus de détails.
On considère alors le cercle de centre A et de rayon AB=100 qui coupe L en un point D symétrique de B par rapport à A.
- Soit une droite quelconque D (en noir) passant par A qui coupe le cercle en un point E. 1 - On trace la droite D (en bleu clair) passant par D et E. 2
- Une droite D (en marron) passant par A et distincte de 3 D coupe 1 D en un point F. 2 - On trace la droite D (en vert) passant par F et B puis la droite 4 D (en violet) passant par 5
E et B qui coupe D en un point G. 3
- On trace la droite D (en rouge) qui passe par les points D et I et coupe 6 D en en un point 4 I.
- D’où le tracé de la droite D (en bleu vert) qui passe par E et I et est parallèle à la droite 7 L. Elle coupe D en J. Comme les triangles BDF et IEF sont semblables et que A est 3 milieu de BD, J est milieu de EI .
- La droite D (en beige) reliant les points H et J coupe la droite L en un point K qui est au 8 milieu de DA (triangles ADH et IEH semblables, J milieu de EI).
- Ce qui permet de tracer la droite D (en bleu foncé) passant par I et K qui coupe la droite 9 D en un point M. 1
- La droite D10 (en mauve) qui relie les points J et M coupe la droite L au point C
recherché qui est au milieu de KA car les triangles AKM et IEM sont semblables et J est au milieu de EI.
Au total, un cercle seulement mais dix droites ont été tracés représentant un coût global de 80 unités de travail. C’est effectivement la solution plus économique (avec des hypothèses de valorisation des droites et des cercles, on en convient, pour le moins défavorables à l’égard des cercles !).
