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Le nombre d’arêtes est alors A = S + F

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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H110 - Combien d’arêtes et de sommets?

Solution

Question n°1

L’isocaèdre de Platon à faces équilatérales comporte 20 faces qui sont des triangles équilatéraux et de chaque sommet partent cinq arêtes qui s’appuient sur les sommets de pentagones réguliers (voir figue ci-après).

La détermination du nombre d’arêtes et de sommets de ce polyèdre est fondée sur la fameuse formule d’Euler, déjà mise en évidence par Descartes. Si A est le nombre d’arêtes, S le nombre de sommets et F le nombre de faces d’un polyèdre, la relation d’Euler permet d’écrire : S + F –A = 2.

Dans le cas de l’isocaèdre à 20 faces triangulaires, on a F = 20. Il y a pour chaque face triangulaire trois sommets soit au total 3*20 points mais chacun d’eux est compté cinq fois compte tenu du nombre d’arêtes qui partent de chaque sommet. Soit 60 / 5 = 12 sommets. Le nombre d’arêtes est alors A = S + F –2 = 12 + 20 – 2 = 30. Ce résultat aurait pu être obtenu directement car chaque arête est commune à deux triangles. Comme chaque triangle a trois côtés, il y a donc 20 * 3 / 2 = 30 arêtes.

Question n°2

En tronquant l’isocaèdre de Platon au tiers de chaque arête, on supprime 12 pyramides dont les sommets sont les 12 sommets d’origine de l’isocaèdre et dont les bases sont des

pentagones réguliers. On obtient ainsi 12 faces qui sont des pentagones réguliers et sont identifiés dans la figue ci-après par les ouvertures du nouveau polyèdre. Les autres faces en nombre égal à celui des faces d’origine sont des hexagones réguliers qui résultent de la suppression de trois triangles équilatéraux d’arête 1/3 dans un triangle équilatéral d’arête 1 comme le montre le graphique ci-après :

Il y a donc 32 faces dont 20 sont des hexagones réguliers et 12 des pentagones réguliers. Le nombre d’arêtes est égal à (6*20 + 5*12)/2 = 90 et d’après la relation d’Euler le nombre de sommets est S = A-F+2 = 90-32+2 = 60.

L’objet qui a la même forme et que l’on voit très souvent sur certains terrains de jeux n’est autre que le ballon de football dont la photographie de droite confirme la parfaite similitude avec l’isocaèdre tronqué..

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Question n°3

En tronquant l’isocaèdre de Platon à la moitié de l’arête, on a toujours 12 pentagones réguliers provenant de la suppression de 12 pyramides ont pour sommets les 12 sommets d’origine. Les hexagones laissent place à des triangles équilatéraux comme le montre la figure ci-après si bien que le nouveau polyèdre a toujours 32 faces dont 12 sont des pentagones réguliers et 20 sont des triangles équilatéraux. Le nombre d’arêtes est A = (3*20+5*12)/2 = 60 et le nombre de sommets est S = A-F+2 = 60 – 32+2 = 30

Question n°4

Les faces du polyèdre sont constituées de X triangles, Y carrés et Z pentagones. D’où la relation F = X+Y+Z.

A chaque face on peut associer 3 arêtes par triangle, 4 par carré et 5 par pentagone. On a donc 2A=3X + 4Y +5Z.

D’autre part, à chaque triangle on peut faire correspondre 3 sommets et le nombre total des sommets des triangles est celui des sommets du polyèdre. On en déduit S=3X. De la même manière, on peut écrire S=5Z car le nombre total des sommets des pentagones est égal à nouveau au nombre total des sommets du polyèdre. S’agissant des carrés, chacun d’eux a deux points communs avec les deux carrés qui ont un sommet commun avec lui. On a dans ce cas 2Y=S. Il en résulte 2A=S+2S+S=4S soit A=2S

La relation d’Euler donne alors l’équation : F+S-A=2 soit S/3 + S/2 + S/5 + S – 2S = 2

31S/30 – S = 2 S/30 = 2 S=60, A=120, F = 62 avec 20 triangles équilatéraux , 30 carrés et 12 pentagones réguliers.

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