281 – Les rectangles impairs (2ème épisode) Problème proposé par Richard Riedel
Dans un rectangle de hauteur H et de largeur L (H≤ L) qui comporte HxL cases, on noircit un certain nombre d’entre elles et dans chacune d’elles on incsrit le nombre de cases noires qui ont un côté commun avec elle, incrémenté d’une unité si la dite case est elle-même noire. L’objectif est de créer un rectangle appelé « impair » dans lequel tous les nombres inscrits dans le rectangle sont impairs.
Q₁- Proposition : quels que soient H et L entiers > 0, il existe au moins un rectangle impair. Cette proposition est-elle vraie ou fausse ?
Q₂ - On généralise le problème à 3 dimensions avec des parallélépipèdes caractérisés par leur hauteur H, leur longueur L et leur profondeur P (H, L, P entiers > 0). Existe-t-il au moins un "parallélépidède impair" quels que soient H, L et P ?
Solution proposée par David Amar
Posons quelques définitions. On appellera :
- Un nœud un élément pouvant être soit blanc, soit noir
- Une relation de voisinage une relation réciproque entre deux nœuds
- Le poids d’un nœud le nombre de nœuds noirs qu’on dénombre parmi lui-même et ses voisins.
- Un système un ensemble de nœuds ainsi qu’un ensemble de relations de voisinage.
- Une configuration d’un système un ensemble de nœud dont on change la couleur
- Une configuration gagnante une configuration qui, appliquée sur un système dont tous les nœuds sont blancs, donne un poids impair sur chaque nœud
Un rectangle tel que défini par l’énoncé est un système, ainsi qu’un parallélépipède : chaque nœud est alors appelé « case » ou « cube unitaire », et chaque paire de côtés adjacents ou faces adjacentes définit une relation de voisinage.
Montrons alors un résultat beaucoup plus général : tout système admet une configuration gagnante.
Théorème : quel que soit entier, tout système comportant nœuds admet une configuration gagnante.
Démonstration : par récurrence forte.
- Pour , le seul système possible est constitué d’un seul nœud et par conséquent d’aucune relation de voisinage. Une configuration gagnante est donc d’avoir ce nœud en noir, et son poids vaut alors 1.
- Supposons que pour tout , tout système de nœuds admette une configuration gagnante. Montrons alors que tout système de nœuds admet aussi une configuration gagnante.
Soit un système quelconque comportant nœuds. On va considérer tour à tour chacun des
systèmes de nœuds qu’on peut former en excluant tour à tour un des nœuds de notre système.
D’après notre hypothèse de récurrence, on a une configuration gagnante pour chacun de ces
systèmes. Chacune d’entre elle va donc rendre impair le poids de nœuds au moins de notre système.
Plusieurs cas se présentent alors :
Cas 1 : Une de ces configurations donne aussi un poids impair au nœud exclu : c’est alors une configuration gagnante pour l’ensemble du système
Cas 2 : Aucune de ces configurations ne donne un poids impair au nœud exclu.
On remarque alors que changer la couleur d’un nœud a pour conséquence de changer la parité du poids du nœud en question et de tous ses voisins. Si on applique chacune de ces configurations à la suite, la parité du poids de chaque nœud a alors changée fois, puisque :
- La configuration qui correspond au système dont il est exclu ne change pas la parité de son poids (sinon cela nous renvoie au cas 1).
- Les configurations des systèmes dans lesquels il est inclus change la parité de son poids Cas 2.1 : est pair, changer de parité fois, donc un nombre impair de fois, revient à changer la parité tout court. En appliquant les configurations successivement, on donne donc un poids impair à chacun de nos nœuds. La combinaison de toutes ces configurations donne donc une configuration gagnante.
Cas 2.2 : est impair
Si on somme pour chaque nœud le nombre de ses voisins, on obtient le double du nombre de relations de voisinages. Par conséquent, la somme des nombres de voisins est paire. De ce fait, si chacun des nœuds avait un nombre impair de voisins, on aurait une somme d’un nombre impair de termes, tous impairs, et la somme serait alors elle-même impaire. Par conséquent, dans le cas où est impair, il existe toujours au moins un nœud ayant un nombre pair de voisins.
Considérons alors un nœud ayant un nombre pair de voisins. Considérons aussi l’ensemble de nœuds constitué par notre nœud considéré et tous ses voisins. En excluant tout à tour chaque nœud de cet ensemble pour obtenir un système à nœuds, on obtient à chaque fois une configuration qui, appliquée au système, va changer la parité du poids de tous les nœuds sauf le nœud exclu.
Notre ensemble contenant le nœud considéré et ses voisins (en nombre pair), il y a un nombre impair de configurations. La parité du poids de chaque nœud va donc changer :
- Un nombre impair de fois pour les nœuds qui ne sont pas dans l’ensemble : une fois par configuration. La parité de leur poids va donc changer.
- Un nombre pair de fois pour les nœuds de l’ensemble : pour chacun, une fois par configuration appliquée sauf celle dont il est exclu (dans le cas contraire, on aurait déjà conclu au cas 1).
En appliquant ces configurations successivement, on arrive donc à un système où tous les poids sont impairs sauf pour notre nœud considéré et pour tous ses voisins. Changer la couleur de ce nœud va changer la parité des poids de tous ces nœuds, et on aura alors une configuration gagnante. CQFD
