Soit un triangle ABC dont les sommets ont pour coordonnées A(1,8), B(0,0) et C(10,0) dans le plan orthonormé Oxy.
On trace un point D de coordonnées (4,3), son symétrique E par rapport à BC, puis le point P dont la somme des distances aux points A,B,C et D est minimale et enfin le point Q dont la somme des distances aux points A,B,C et E est minimale.
Déterminez la distance PQ. Justifiez votre réponse.
Plus généralement, soit un quadrilatère XYZT, M un point du plan et
f(M)=MX+MY+MZ+MT la somme des distances aux points X, Y, Z et T. Comme MX=(MX2)1/2 , soit la racine du carré scalaire, nous pouvons calculer le gradient grad(f(M))=u(MX)+u(MY)+u(MZ)+u(MT), où u(MX) est le vecteur unitaire colinéaire au vecteur MX, etc...
Or la somme de quatre vecteurs unitaires ne peut être nulle que si les vecteurs sont opposés deux à deux, ce qui n’est le cas qu’à l’intersection des diagonales, si le quadrilatère est convexe. Sinon, la valeur minimale de f est obtenue en l’un des quatre sommets : si X est intérieur au triangle YZT, XZ+XT<YZ+YT donc f(X)<f(Y), et de même pour Z et T : le minimum de f pour un quadrilatère non convexe est obtenu au sommet de l’angle rentrant.
Ici, le point P coïncide avec D, tandis que Q est à l’intersection de AE et BC, de coordonnées (35/11, 0) ; donc PQ2=(9/11)2+9=1170/121 et PQ=3,11
