Enoncé A2839 (Diophante) Commutations à la chaîne Deux polynômes P et Q d’une seule variable x sont dits « commutables » si P(Q(x)) = Q(P(x)). On s’intéresse ci-après aux polynômes commutables P

Enoncé A2839 (Diophante) Commutations à la chaîne

Deux polynômes P etQd’une seule variablex sont dits « commutables » si P(Q(x)) =Q(P(x)).

On s’intéresse ci-après aux polynômes commutables P_k(x) dont le coef- ficient du monôme de degré le plus élevé k est égal à 1, par exemple P1(x) =x etP2(x) =x²−1.

Q₁ Démontrer qu’il existe un entier naturel a >0 et un polynôme P₃(x) de degré 3 tel que P2(x) =x²−aetP3(x) sont commutables.

Q₂ Avec la valeur de a ainsi trouvée dans Q₁, démontrer que pour tout entier k≥4, il existe un seul polynômeP_k(x) de degrékcommutable avec P2(x) =x²−a.

Application numérique : déterminer les coefficients des quatre monômes de degrés les plus élevés de P₂₀₂₁(x).

Q₃ Pour les plus courageux : démontrer que dans la suite des polynômes P₁, P₂, P₃, . . . , P_k ainsi obtenus, tous les polynômes P_i et P_j pris deux à deux sont commutables, 2≤i≤k,2≤j≤k, i6=j .

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Question 1

Par hypothèse,P3(x²−a) =P3(P2(x)) =P2(P3(x)) = (P3(x))²−a.

Dans le développement du premier membre,xne figure qu’avec des expo- sants pairs ; pour que ce soit vrai du membre de droite, les exposants des termes deP3(x) doivent être de même parité, etP3(x) =x³−cx.

Identifiant les deux développements, on a les conditions 2c= 3a, 3a²−c=c²,a=a³−ac.

La solutiona= 0 =cest exclue, on aa= 2 etc= 3.

AinsiP₂(x) =x²−2,P₃(x) =x³−3x.

Question 2

Le même argument de parité qu’à la question 1 conduit à écrire P_k(x) = P

mc_mx^k−2m, et la commutabilité donne (^P_mc_mx^k−2m)²−2 =^P_mc_m(x²−2)^k−2m.

L’égalité des termes enx^2k−2n fait intervenir dans le premier membre les coefficients c₀ = 1 à c_n, et dans le second membre les coefficients c₀ à c_bn/2c. Cela détermine les c_m de proche en proche, de façon univoque, en identifiant à partir des plus hauts degrés.

Application àP_k =x^k−ex^k−2+f x^k−4−gx^k−6+. . . (x^k−ex^k−2+f x^k−4−gx^k−6+. . .)²−2 =

(x²−2)^k−e(x²−2)^k−2+f(x²−2)^k−4−g(x²−2)^k−6+. . . A partir du degré 2k,

1 = 1,−2e=−2k,e²+ 2f = 2k(k−1)−e,−2f−2g=−8C_k³+ 2e(k−2), d’oùe=k,f =k(k−3)/2,g=k(k−4)(k−5)/6.

Numériquement pourk= 2021,

P2021(x) =x²⁰²¹−2021x²⁰¹⁹+ 2039189x²⁰¹⁷−1369655952x²⁰¹⁵+. . .

Question 3

Observons que P2(u+ 1/u) =u²+ 1/u²,P3(u+ 1/u) =u³+ 1/u³. Soit donc S_k = u^k+ 1/u^k. Cette expression s’exprime comme polynôme P_k(u+ 1/u), que l’on peut expliciter en résolvant le système

X

m<j/2

C_j^mSj−2m= (u+ 1/u)^j−(C_j^j/2) pour 1≤j≤k, le dernier terme du second membre n’étant conservé que pour j pair.

Ce polynôme commute avecP2, car avecu=x/2±^px²/4−1,x=u+1/u, P_k(P₂(x)) =P_k(P₂(u+ 1/u)) =P_k(u²+ 1/u²) =u^2k+ 1/u^2k=

(u^k+ 1/u^k)²−2 =P₂(P_k(u+ 1/u)) =P₂(P_k(x)).

Par l’unicité établie à la question 2, les polynômesPk définis par

P_k(u+ 1/u) =u^k+ 1/u^k sont les mêmes que ceux définis par la propriété de commutation avec P₂. Il en résulte que

Pij(u+ 1/u) =u^ij+ 1/u^ij =Pi(u^j+ 1/u^j) =Pi(Pj(u+ 1/u)) = Pj(uⁱ+ 1/uⁱ) =Pj(Pi(u+ 1/u)).

La propriété de commutation des P_k est donc générale.