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Dans les deux cas le nombre de placesn est r´eduit de 1, le nombre d’auditeurs plac´es au hasard restant k

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Academic year: 2022

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Enonc´e noG122 (Diophante)

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Je traite d’embl´ee le cas g´en´eral :nauditeurs dont leskpremiers se placent au hasard.

La probabilit´e demand´ee est 1/(k+ 1) d`es lors que n > k.

En effet, cette probabilit´e est la mˆeme qu’il y ait en tout n auditeurs ou n−1, sin−1> k.

Je num´erote les places selon le rang d’arriv´ee des auditeurs. Si l’auditeur k+ 1 peut occuper la place k+ 1, il s’y installe et tout se passe comme si cette place ´etait neutralis´ee ; s’il ne peut pas l’occuper, l’auditeur qui l’occupe (un deskpremiers) la neutralise et c’est l’auditeur k+ 1 qui prend sa place comme auditeur se pla¸cant au hasard. Dans les deux cas le nombre de placesn est r´eduit de 1, le nombre d’auditeurs plac´es au hasard restant k.

Lorsquen=k+ 1, la place qui reste libre quandk auditeurs se sont plac´es au hasard a une chance surk+ 1 d’ˆetre la placek+ 1, car aucune place n’est privil´egi´ee dans ce processus.

Sik= 3 etn≥4, la probabilit´e est 1/4.

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