Abaques pour le calcul du ressaut classique dans un canal horizontal de toutes formes Application à des cas particuliers

LA HOUILLE BLANCHE/N°

ABAQUES

POUR LE CALCUL DU RESSAUT CLASSIQUE DANS UN CANAL HORIZONTAL DE TOUTES FORMES

Application

à des cas particuliers

PAR L. LEVIN * ET J. SICARD **

13 largeur au fond pour les profils rectan- gulaire et trapézoïdal;

a - -.-Eh pour le profil trapézoïdal.

m _G

h

INDICES

c caractérise l'écoulement critique;

l caractérise la section en amont du ressaut;

II caractérise la section en aval du ressaut.

Il. - Rappel

J

de l'équation du ressaut ~ Le fond du canal étant horizontal et si l'on né- glige les frottements dus àla rugosité, l'équation du ressaut s'écrit:

Sn- SI= 0

En négligeant les coefficients correctifs dus à la répartition non uniforme de la vitesse et à la cour- bure des filets dans une section, on a :

S= -Q2 +O"ZiG go"

0" surface de la section;

ZiG hauteur d'eau au-dessus du centre de gravité de la section.

D'après la figure 1 on a :

ZiG. 11 ZG

J'li !!...-

^dh facteur d'inertie de la sec-

Jo

^{O"e b}e

lion;

paramètre de la parabole pour profils parabolique et biparabolique;

pente des berges dans les profils trian- gulaire et trapézoïdal;

tgal

+

^{tga2 .}

2 '

e

p

m

1. - Notatio,n. employées

~

S impulsion de la veine pour une section donnée;

Q débit du canal;

0" surface de la section du canal;

h hauteur d'eau dans le canal;

_ Q2 _

3'c - - - - O"e = facteur cinéti- gO"c2h e - he (oO"/oh)e

que ou nombre de Reech-Froude à l'état critique;

~

_0"(;

=

facteur de remplissao'e'_{. . . . . ..... ·b ,}

* Chef du Département Hecherches de la Sté B.V.S. _ Chargé de COU1'S à l'Ecole Nationale Supéricure des .Mines de Saint-Etienne.

* * De l'Ecole Nationale Supérieure des .Mines de Saint-

Etienne. 1/

Article published by SHF and available at http://www.shf-lhb.org or http://dx.doi.org/10.1051/lhb/1964047

k, 1et p étant des constantes,

ne modifie pas les propriétés ci-dessus et permet d'avoir un abaque d'un emploi plus commode.

l'équation (2) pour l'écoulement défini par §ie; la droite (D) étant issue du point (0, §i).

REMAHQUE:

Une transformation affine de la forme:

r 1

fah

ZG=-0" 0

d'où:

Q2

lh

S = -_go"

+

₀ ^O"dh

l'équation du ressaut s'écrit alors:

x'=kx y' - PU

+

^lx

V. - Application aux

..4

différentes formes de canaux~ 1. PIWFIL HECTANGULAIHE (fig. 2)

On a ^0"= Bh d'où:

Q2 1

falill

^{Q2 1 .10'711}

---- +

^O"dh

= - - +

^{O"dh (1)}

9 O"u 0 9 0"1 0

III. - Equation homogène

~

En divisant (1) par he X O"e' he et O"e étant la hau- teur d'eau et la surface de la section pour l'écou-

lement critique, on obtient: xr=r YI'= _{- 1 ' -}1 ')

2

Soit, en posant:

2. PHOFIL PAHABOLIQUE (fig. 3)

Si Pest le paramètre de la parabole, on a : y²= 2pz

soit :

4 •

r---

0"=

3 V

2P h³/2

d'où:

Yr=

ce qui s'écrit sous la forme de déterminant: 3. PnoFIL TIUANGULAIHE (fig. 4) :

1 _ Yr=- 2 ri)

tS.ⁱ al

+

^{tg a2}

avec ln = --... 2 v

:rr= 1'2

d'où:

61i = -1

Oc 2

Z2

=

2PY 4. PHOFIL IlIPAHABOLIQUE (fig. 5) :

Si p est le paramètre de la parabole, on a : On a:

\2)

= ( )

1

YI' -

e

^(l') <Il(l')

Oc61i

°

C'est l'équation homogène d'une droite (D). Elle passe par les points:

XI'=

e

^(l')

et

soit:

Xr · ..1'3

0"=_l_Hl

i3p

Les facteurs §i",

e,

<Il sont sans dimensions.

en posant:

La hauteur critique étant définie par(aS/oh)

=

0,

en éliminant Q2/g entre§i" et aS/oh, on obtient: 5. PROFIL THAPÉZOÏDAL (fig. 6) : En posant:

tgal

+

^tga,)

111- v v -

2 on a :

1'3(a

+

^{l') (3 a}

+

^2l')

yI'

= -

^b(a

+

¹⁾²

lv. -

^Abaque

~

Les propriétés ci-dessus permettent la construc- tion d'un abaque d'emploi facile.

La courbe (C) d'équation ^(XI'Yr) étant tracée et graduée en fonction de l', l'intersection de (D) avec

on a:

0"= Bh

+

^{mh2 avec (l = - -B}

mil"

824

LA HOUILLE BLANCHE/N° 7-1964

h 2/

1/

z

l'

h

fh-,..,l,..,~-t-!---'--...y

6. PnoFIL CIHCULAIHE (fig. 7) :

Deux cas peuvent se produire: amont et aval à ciel ouvert ou amont à ciel ouvert et aval en charge.

a) A mont et aval CL ciel Ollvert :

11= R(l - cosa) cr= R2(a - sinacos a) on en déduit:

b) A /Jal en charge (fig. 8) :

XI"

= ----;---

a" - sinaecos a"

(a-sin acos a)[sina -(sinaaj:i)a - 2cos a]

YI"=

(al.' - sin a_ecosa)Z (1 - cosa,)

··;'>""~>':t...., ~~...;&~ ~~~):-:~~

L'angle a", correspondant au régime critique, est fonction du nombre N

=

(Q2jgR5).

ae - sin a_ecos ae

2sin ae(l - cos a_{e )} a -sinacosa fJic

=

h

r

3/

4/

mR

z

5/

y

8/

A l'aval la quantité de mouvement de la veine est alors:

avec:

p=mR m = nombre sans dimension.

6/

D'où:

a_{e -} sin al'cosa_e

11l7tZ

(a" - sina_ccosa)Z(l - cosa,) ce sont les équations de la courbe (c) pour a> 7t.

825

VI. - Abaques

~

L'emploi des abaques est des plus simples: les hauteurs conjuguées rI et ru sont obtenues par in- tersection de la droite (D) issue du point (0,§ie) correspondant avec la courbe (C).

EXEMPLES:

1. Canal triangulaire (abaque n° 1); on a :

§ie = 0/2).

Pour rI

=

0,54, on a immédiatement _{r n}

=

1,56;

d'où:

~= ^{1,56 =2,H} hl 0,54

2. Profil trapézoïdal (abaque n° 2); on a :

B=2 m

ln

=

O,S nl

he

=

1,25m hn

=

3 m on trouve:

ru -

~

^{= 3,y}

=

2,4 he 1,~;)

a-~= 2 _') mh_e O,S X 1,25 - -

L'abaque n° 2 donne immédiatement: Tl= 0,3 : hl

=

Tlhe

=

0,3 X 1,25

=

^{0,375 m}

3. Profil circulaire (voir abaques nOS 3, 4 et 5);

on a:

R

=

1,S5111 Q= 12,5 m:³/s

Il nous faut maintenant déterminer deux gran- deurs :

le demi-angle au centre (I.e de l'abaque n° 4;

- le facteur cinétique §ie de l'abaque n° 5.

On calcule pour cela :

Q2 1')52

N

=

gR5

= _9,Sl~1,S55 =

0,73 L'abaque n° 4 donne:

L'abaque n° 5 donne:

§ie - 0,79

Avecces deux valeurs, l'abaque n° 3 donne fina- lement (suivre les flèches) :

(l.n •145°

LA HOUILLE BLANCHE/N° 7-1964

/

v -

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Il

rI=0,54

Abaque 1/ Profil « eXJlonentiel ». E.t'ponential section.

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^{0,9 0,8}

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2

a a

3

Abaque 2/

Profil trapézoïdal. l'rapezoidal section.

828

LA HOUILLE BLANCHE/N° 7-1964

c i 1

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15 l:5 ~ l:5

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50

180

<X 100 0,7

o

<XI=60

<Xn⁼145 150

Abaque 3/ Profil circulaire. Circulai' section.

50 80

<X c=90°

Abaque 4/ Canal il profil circulaire. Circu!al'-section cana!.

~N= Q ^{~-- 1}

gR⁵

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10

10 0,73

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cf"c

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1

-+--+---+-+---+--+--+-+---+--+-+---+--+---1

- - - - --- ---+---1-1+--1

'fc=

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c(1-cos <Xc)

3,51---+--+--1----!---j--t--+--j--t---!---j--t--+--t--+--+-+-t---+1

3

2,51---+--j--1----!---j--t--+--j--t--+--j--t--+--t--+----l-_+_--+

1

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2

j--+- .._ ..

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1,5I---+--j-~I----!---j--t--+--j--t--+--j--t--+--+-/-++--+--+---t/

/

Abaque 5/ Profil circulaire.

\ ~

0,5l---l----'---'-l--.l....---:5Q-J..----.i.. -'---l. ..+--l...l.00-.-..J...--i.-...J- l - - -

l50^l--.-l...-J....:..lt..

1ao-..l...-...

Olc"90°

Circu!al' sec/ion.