Enoncé D1846 (Diophante)
En lignes droites . . .pour le nombre π
Que j’aime à faire connaître ce nombre utile aux sages. . .
Alice (A), Benjamin (B) et Cunégonde (C) habitent le long du chemin des Matheux selon le plan ci-après
Trois routes R1, R2 et R3 des Platanes, des Séquoïas et des Merisiers se rencontrent au carrefour H du Hêtre pourpre tandis que la routeR2 et le chemin des Matheux sont perpendiculaires au carrefour de Leibniz (L).
D’un pas constant Alice parcourt la distanceACen 5 minutes et la distance AL +LH en 9 minutes. Cunégonde du même pas constant parcourt la distance CL+LH en 8 minutes.
A vol d’oiseau, les points A,B etC sont respectivement à égale distance des droites (R1, R2), des droites (R1, R3) et enfin des droites (R2, R3).
Les trois amis se promènent en couple : (A&C) ou (A&B) ou (B&C) le long des côtés des trois trianglesHACouHABouHBCdont les sommets sont le point H et leurs maisons respectives.
Déterminer le couple qui lors de sa promenade est en mesure de calculer le plus rapidement les neuf premières décimales de π par sommation de fractions rationnelles positives et négatives dont on donnera la liste.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin La vitesse de marche s’exprime par AC
5 = AL+LH
9 = CL+LH
8 , suite d’égalités qui se poursuit par = AL−CL
1 = 2AL
6 = 2CL
4 = 2LH 12 . D’où tan(HA, HL) = 1/2, tan(HL, HC) = 1/3 = tan(HA, HB), et tan(HB, HL) = 1/7.
Aucun de ces angles n’est une fraction rationnelle de π, mais on a π/4 = arctan(1/2) + arctan(1/3) = arctan(1/7) + 2 arctan(1/3).
Le développement en série arctan 1 m =
∞
X
j=0
(−1)j
(2j+ 1)m2j+1 fournit des frac- tions rationnelles, et il s’agit de voir combien de termes conserver pour obtenir les neuf premières décimales, soit une erreur inférieure à 10−9/4 pourπ/4, si on en connaît le sens, . Ces séries sont alternées, avec un reste inférieur au premier terme éliminé.
Pour m= 2, j = 14 donne 29·229>15·109; on peut se contenter de 14 termes (j= 0 à 13) et l’erreur est par défaut.
Pour m = 3, j = 9 donne 19·319 >22·109; on peut se contenter de 9 termes (j= 0 à 8) et l’erreur est par excès.
Pour m = 7, j = 5 donne 11·711 > 21·109; on peut se contenter de 5 termes (j= 0 à 4) et l’erreur est par excès.
D’où les expressions π=
13
X
j=0
4(−1)j (2j+ 1)22j+1 +
8
X
j=0
4(−1)j
(2j+ 1)32j+1 (23 fractions), avec erreur par défaut<10−9/2 (arrondir au milliardième le plus proche), et
π =
4
X
j=0
4(−1)j (2j+ 1)72j+1 +
8
X
j=0
8(−1)j
(2j+ 1)32j+1 (14 fractions), avec erreur par excès comprise entre 10−9/2 et 10−9 (tronquer la 10e décimale et au-delà).
C’est donc l’utilisation des angles (HB, HL) et (HL, HC) qui permet de réduire le nombre de fractions.
Remarque. L’indication deHA, HB, HC comme bissectrices n’est utilisée ci-dessus que pour localiser B. L’énoncé aurait pu faire un autre choix pour les données numériques : si K et M sont les carrefours du chemin des Matheux avecR1 etR3, on a
KL= 8, KH= 10, tan(HA, HL) =KL/(KH+HL),
et de mêmeLM = 4,5,HM = 7,5, tan(HL, HM) =LM/(M H+HL).