D1954 Le brocard de Zig :
Puce trace à main-levée dans un triangle acutangle ABC les projections P,Q et R de l’orthocentre H sur les trois médianes AI,BJ et CK puis il trace les cercles circonscrits aux triangles ABP,BCQ et CAR. Zig se moque de lui car sa construction est approximative et les trois cercles ne passent pas par un même point. Justifier le brocard de Zig.
Figure ci-dessus : Un triangle acutangle ABC, son cercle circonscrit (Ω), la médiane AI,
l'orthocentre H, qui appartient au cercle (Ω') symétrique du précédent par rapport par rapport à la droite BC, ( ou bien par rapport au milieu I de BC ), La médiane AI coupe ce cercle (Ω') en deux points : T qui se situe entre A et M, et I' qui est le symétrique de A par rapport à I . De même la hauteur AN coupe (Ω') en H et en N' symétrique de A par rapport à N.
Puissance de A par rapport à (Ω') = AH.AN' = AT.AI' = AH.(2AN) = AT.(2AI).
Donc AH.AN = AT.AI, le quadrilatère HNIT est inscriptible, angles : (TH,TI)=(NH,NI)=Π/2 Le point T n'est autre que la projection orthogonale de l'orthocentre H sur la médiane AI : c'est le point P de l'énoncé.
De même que BHPC sont cocyliques sur (Ω') , CHQA sont cocyliques sur (Ω'') , AHRB sont cocyliques sur (Ω''') . Si Puce avait tracé les cercles ABR, BCP, CAQ, il aurait du leur trouver un point commun, précisément en H ! Mais l'énoncé concerne d'autres cercles : ABP, BCQ, CAR.
Evaluons l'angle (PA,PB)= (PA,PH)+(PH,PB)= Π/2+(CH,CB) = Π/2+(CH,BA)+(BA,BC).
(PA,PB) = Π/2+ Π/2+(BA,BC), (PA,PB)= (BA,BC)
De même (PA,PB)= (BA,BC), on a (QB,QC)= (CB,CA) et (RC,RA)=(AC,AB) Soit V le second point commun aux cercles ABP et BCQ,
(VA,VB)=(PA,PB)=(BA,BC), (VB,VC)=(QB,QC)=(CB,CA)
et en ajoutant (VA,VC)=(VA,VB)+(VB,VC)=(BA,BC)+(CB,CA)=(AB,AC)=(RA,RC) De (VA,VC)=(RA,RC) on déduit que V appartient aussi au cercle CAR.
Les cercles circonscrits aux triangles ABP,BCQ et CAR ont un point commun.
(VA,VB)=(BA,BC) implique que le cercle VAPB est tangent en B au côté BC, de même les cercles VBCQ et VCAR sont respectivement tangents en C à CA et en A à AB.
V est un point de BROCARD du triangle ABC, et ZIG le savait.
… / ...
Chacun des cercles en trait discontinu est tangent en un sommet , à un côté du triangle, ils ont en commun le point V.
Les cercles tracés en trait continu sont les cercles (Ω'), (Ω''), (Ω'''), ils passent par deux sommets et l'orthocentre H du triangle ABC.
P,Q,R sont sur le cercle de diamètre HG qui est tracé en pointillés.
