IU T SRC1 TD sur les fonctions Fonctions
TD2 de mathématiques - Fonctions.
Exercice 1 : révision du vocabulaire
Soient les fonctions f :x7→2x+32,g:x7→ −x2 +12, eth:x7→ √1x. 1. Ces fonctions sont-elles affines ? Linéaires ? Justifiez.
2. Sur quels ensembles de définition peut-on définir ces trois fonctions ? 3. Quelle est l’image de -1 parf? et parg? Quelle est l’image de 2 parh? 4. Calculez le ou les antécédents de 2 parf, puis parg, puis parh.
5. Montrez queh(x) =√xx.
6. Etudiez la fonctionf, puis tracez sa courbe représentative. Même question pourg.
7. SoitI= [2; 4]; quel est l’intervalleg(I)?
8. Montrez quef est bijective deRsurR; notonsf−1la fonction réciproque def. Quel est l’ensemble de définition def−1? Sans faire de calcul, dites quelle est l’image de2parf−1.
9. Donnez l’expression de f−1 (f−1(x) =?), et tracez sa courbe représentative sur le même graphe que celui où vous aviez tracé la courbe représentative def.
Exercice 2 : étude de f : x 7→ x − x
21. Evaluez les images de 0, 12 et 1 par f. Quel est l’ensemble de définition def? 2. Trouvez, s’ils existent, le ou les antécédents de 1 parf, puis de -1 parf.
3. Calculez la dérivée def. Etudiez la fonctionf surR(tableau de variation, courbe représentative).
4. Prouvez que pour toutx∈R,x(1−x)≤ 14. 5. Que vaut l’intervallef([0; 1])?
6. f est-elle une bijection deRsurR? Et deRsur]− ∞;14]? Trouvez deux intervalles I et J tels qu’il soit vrai que f est une bijection de I sur J.
7. (plus dur, facultatif !) Donnez alors l’expression def−1.
8. (Travail personnel) Sous matlab, tracez la courbe représentative, avecplot, dex7→x(1−x)pourx∈[0; 10].
Voit-on bien le fait que f possède un maximum en x = 12? Changez l’intervalle sur lequel vous avez tracé f pour bien voir cette propriété. Définissez maintenant u = [−1; 1] et faites, sur un même graphe (hold on), plot(u,u.*(1-u)) et plot(u.*(1-u),u),’r’. La deuxième courbe, en rouge, correspond à la réciproque de la première fonction, en bleu (les deux courbes sont symétriques par rapport à y = x). Est-ce une fonction ? Recommencez, mais avec u= [12,2], intervalle sur lequelf est bien bijective...
Exercice 3 : utilisation des propriétés de ln
1. Etudiez la fonctionf :x7→2x−xlnx(domaine de définition, variation..) 2. Montrez quef(x2) =x(2f(x)−2x).
