MANÈGE SPIN FLY. Reprendre l’exercice

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TD 10 - Cinématique analytique - Composition des vecteurs vitesses et champ des vecteurs vitesses Page 1/4

MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 17/11/2011

Exercice 1 : MANÈGE SPIN FLY.

Reprendre l’exercice 1 du TD 09 - Cinématique analytique - Dérivation vectorielle.

Question 1 :

Déterminer

V

_D_₃_/₀ en utilisant la relation de composition des vecteurs vitesses puis la relation du champ des vecteurs vitesses d’un solide.

Exercice 2 : CAMION BENNE.

Question 1 :

Déterminer

V

_B_₂_/₀ en utilisant la relation de composition des vecteurs vitesses puis la relation du champ des vecteurs vitesses d’un solide.

Exercice 3 : BRAS MANIPULATEUR.

Question 1 :

Déterminer

V

_C_₃_/₀ en utilisant la relation de composition des vecteurs vitesses puis la relation du champ des vecteurs vitesses d’un solide.

Exercice 4 : ROBOT À PARALLÉLOGRAMME DÉFORMABLE.

Le système étudié (cf. figures) est un robot industriel destiné à la manutention de pièces lourdes. Ce robot a une structure en parallélogramme déformable qui lui permet de déplacer son poignet dans l’aire de travail.

(voir vidéos sur site du professeur pour d’autres utilisations)

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MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 17/11/2011 On associe à chaque solide i une base orthonormée directe

B

_i

( x

_i

, y

_i

, z )

Le mouvement de 1/0 est une rotation d’axe

( A , z )

; on pose 

( x

₀

, x

₁

)

( A , z )

; on pose 

( x

₀

, x

₂

)

( B , z )

; tel que

AB



L . x

₁ Le mouvement de 2/4 est une rotation d’axe

( E , z )

; tel que

EA



D . x

₂ Le mouvement de 3/4 est une rotation d’axe

( C , z )

; tel que

EC



L . x

₄ Par ailleurs :

CB



D . x

₃ et

BJ



H . x

₃

Les mouvements du robot sont commandés par 2 moteurs :

 Le solide 1 a son mouvement de rotation commandé par un moteur M1 tel que :



 



 3

,2

3 .

 Le solide 2 a son mouvement de rotation commandé par un moteur M2 tel que :



  



 ,4

4 .

Question 1 :

Selon la structure en parallélogramme, que peut-on dire sur les bases B1, B2, B3 et B4 ? En déduire les 2 figures planes définissant les 2 paramètres d’orientation.

Question 2 :

Déterminer le torseur cinématique de chaque mouvement élémentaire.

Question 3 :

En déduire les torseurs cinématiques de

 V

4/0



^et

 V

3/0



^.

Question 4 :

En déduire le vecteur vitesse

V

_J_₃_/₀.

Question 5 :

Déterminer la trajectoire

T

_J_₃_/₀ lorsque le moteur M2 est à l’arrêt et

  0

.

Question 6 :

Déterminer la trajectoire

T

_J_₃_/₀ lorsque le moteur M1 est à l’arrêt et

3  



.

Question 7 :

Tracer sur une figure la surface liée à

R

₀ dans laquelle se déplace le point J lorsque  et  varient dans les limites précédemment définies (les deux moteurs fonctionnent).

figure 1 figure 2

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Exercice 5 : RÉGULATEUR DE WATT.

(Donné en DS2 année 2005-2006)

Le régulateur de Watt a pour but de maintenir constante la vitesse de rotation  d’une turbine à vapeur.

La commande d’admission de vapeur dans la turbine est contrôlée par un robinet.

Quand la vitesse de rotation  de l’axe de la turbine 1 par rapport au bâti 0 augmente, les boules 3 et 3’ ont tendance à s’éloigner de cet axe par effet centrifuge, provoquant par l’intermédiaire de tringles, la fermeture progressive du robinet d’alimentation en vapeur de la turbine, ce qui diminue  : on obtient ainsi une stabilisation de la vitesse angulaire .

(voir vidéo sur site du professeur)

En l’absence de rotation de 1 par rapport à 0, un ressort 6 (non représenté) placé entre 1 et 5 repousse le coulisseau 5 vers une position privilégiée dite « position de repos ».

(voir vidéos sur site du professeur pour d’autres utilisations)

z

0 3’ 3

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MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 17/11/2011 Ce dispositif est constitué de 9 solides :

 Le bâti 0, de repère associé

R

₀

( O

₀

, x

₀

, y

₀

, z

₀

)

.

 L’axe de la turbine 1, de repère associé

R

₁

( O

₁

, x

₁

, y

₁

, z

₁

)

, en mouvement de rotation d’axe

)

z , O ( ) z , O

(

₀ ₀  ₀ ₁ par rapport à 0 tel que

O

₁

O

₀ et

( x

₀

, x

₁

)



( y

₀

, y

₁

)

₀₁.

 La bielle 2 (respectivement la bielle 2’), de repère associé

R

₂

( O

₂

, x

₂

, y

₂

, z

₂

)

( O

₂

, y

₁

)



( O

₂

, y

₂

)

par rapport à 1 tel que

O

₁

O

₂ 

R

₁₂

. x

₁

L

₁₂

. z

₁ et

12 2 1 2

1

, x ) ( z , z ) x

(

  .

 La boule 3 (respectivement la boule 3’), de repère associé

R

₃

( O

₃

, x

₃

, y

₃

, z

₃

)

( O

₃

, y

₂

)



( O

₃

, y

₃

)

O

₂

O

₃ 

L

₂₃

. z

₂.

 La bielle 4 (respectivement la bielle 4’), de repère associé

R

₄

( O

₄

, x

₄

, y

₄

, z

₄

)

( O

₃

, y

₂

)



( O

₃

, y

₄

)

( x

₂

, x

₄

)



( z

₂

, z

₄

)

₂₄.

 Le coulisseau 5, de repère associé

R

₅

( O

₅

, x

₅

, y

₅

, z

₅

)

, en mouvement de translation de direction

)

z , O ( ) z , O

(

₅ ₁  ₅ ₅ par rapport à 1, et, en mouvement de rotation d’axe

( O

₄₅

, y

₄

)



( O

₄₅

, y

₅

)

O

₄

O

₄₅ 

L

₄₅

. z

₄,

O

₅

O

₄₅ 

R

₄₅

. x

₅ et

( x

₁

, x

₄

)



( z

₁

, z

₄

)

₁₄.

Remarque :

L

₁₂,

R

₁₂ 

R

₄₅ et

L

₄₅ 

L

₂₃ sont des constantes.

Question 1 :

Déterminer l’expression du vecteur vitesse instantanée de rotation ₅_/₀.

Question 2 :

Déterminer l’expression littérale du torseur cinématique

 V

1/0



exprimé en

O

₁, puis du torseur cinématique

 V

2/1



exprimé en

O

₂.

Question 3 :

En déduire le torseur cinématique

 V

2/0



exprimé en

O

₂.

Question 4 :

Déterminer l’expression littérale du vecteur vitesse _O ₂_/₀

V

3_ .

Question 5 :

Déterminer l’expression littérale du vecteur accélération _O ₂_/₀

3

 .