Sorbonne Universit´e Pr´epa agreg 2018-19
TD d’analyse 3 : exercices d’int´ egration
Exercice 1. Vrai ou faux ?
On note (X,A, µ) un espace mesur´e quelconque. On munira toujoursRde sa tribu bor´elienne et de la mesure de Lebesgue.
(a) Si (An)n∈N est une suite d´ecroissante d’´el´ements de la tribuA, alors µ(∩n∈NAn) = lim
n→+∞µ(An).
(b) Soit f :X→R+ une fonction mesurable positive telle que Z
X
f dµ= 0. Alors f = 0 µ-presque partout.
(c) Soitf :R+→R+ une fonction continue et int´egrable. Alors lim
x→+∞f(x) = 0.
(d) Soit (fn) une suite de fonctions int´egrables sur R telle que (fn) tend vers 0 presque partout. Alors lim
n→∞
Z
R
fn(x)dx= 0.
(e) Soit (fn) une suite de fonctions mesurables surXqui converge presque partout vers une fonction f et telle que la suite (kfnkLp) est born´ee pour un certain p≥1. Alors f d´efinit un ´el´ement de Lp.
Exercice 2. Soient (E1,B1) et (E2,B2) deux espaces mesurables. On consid`ere l’espace produit (E,B) avec E=E1×E2 etB=B1⊗ B2. On pose
B10 ={B×E2 / B∈ B1}.
(a) Montrer queB10 est une sous-tribu de B.
(b) Soit F :E1×E2 → R une fonction B-mesurable. Montrer que la fonction F estB10-mesurable si et seulement s’il existe une fonction mesurablef :E1 →R telle que F(x1, x2) =f(x1).
Exercice 3. On se place surR, muni de la tribu bor´elienne, et on consid`ere deux mesures sur cette tribu : la mesure de Lebesgueλet une mesure de probabilit´eµ.
Pour tout r´eel t, on note ˆµ(t) = Z
R
eixtdµ(x).
(a) Montrer que ˆµ est bien d´efinie et continue sur R. (b) Montrer que, pour tout r´eel T >0, on a 1
2T Z T
−T
ˆ
µ(t)dλ(t) = Z
R
σ(T x)dµ(x), o`u σ(x) = sinx
x si x6= 0 etσ(0) = 1.
(c) En d´eduire l’existence et la valeur de lim
T→+∞
1 2T
Z T
−T
ˆ
µ(t)dλ(t).
(d) V´erifier le r´esultat en traitant le cas o`uµest la mesure de Dirac en 0.
1
2
Exercice 4.
(a) Montrer que la fonction x7→ sinx
x n’est pas int´egrable sur ]0,+∞[.
(b) Soit a >0. Prouver l’identit´e Z a
0
sinx x dx=
Z +∞
0
Z a
0
e−xtsinxdx
dt.
(c) Montrer que l’int´egrale Z +∞
0
sinx
x dxest convergente. Combien vaut-elle ?
Exercice 5. La fonction Γ est d´efinie par la formule Γ(x) = Z +∞
0
tx−1e−tdt pour x >0. Montrer que Γ est convexe sur R∗+
Exercice 6. On se place dans l’espace euclidien (Rn,||.||), muni de sa mesure de Lebesgue λn, et on se propose de calculer le volumeVn de la boule unit´e.
(a) D´emontrer la formule Z
Rn
e−||x||2dλn(x) =πn2.
(b) Montrer que si f est une fonction mesurable positive surRn, alors Z
Rn
f dλn= Z +∞
0
λn({x∈Rn/ f(x)> t})dt . (c) En d´eduire :
Z
Rn
e−||x||2dλn(x) =Vn Z 1
0
(−lnt)n2dt . (d) Montrer queVn= πn2
Γ(n2 + 1). En d´eduire, pour tout entierk≥0, les formules : V2k= πk
k! etV2k+1 = 2k+1πk 1·3·5· · ·(2k+ 1).
Exercice 7. On note h., .i le produit scalaire canonique surRn. Montrer que si A est une matrice sym´etrique d´efinie positive, alors
Z
Rn
e−hAx,xi dx= r πn
detA.
Exercice 8. Pourt >0 etx∈R, on d´efinit le noyau de la chaleur :Kt(x) = e−x
2 4t
2√ πt. Etant donn´ee une fonctionf continue et born´ee surR, on consid`ere la convolution u(t, x) = (Kt∗f)(x), pourx∈Ret t >0.
(a) Montrer queu v´erifie surR∗+×Rl’´equation de la chaleur ∂tu=∂xxu.
(b) Montrer que, pour toutx∈R,u(t, x) tend versf(x) quandt tend vers 0.
(c) Montrer que la convergence est uniforme sur les compacts.
