Remarques sur la cohomologie des groupes kählériens nilpotents

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Remarques sur la cohomologie des groupes kählériens nilpotents

Benoît Claudon

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Benoît Claudon. Remarques sur la cohomologie des groupes kählériens nilpotents. 2009. �hal-

00394872�

kählériens nilpotents

Benoît Claudon

14juin 2009

Résumé

Dansettenote,nousmontronsquelaohomologie desgroupeskäh-

lériens (virtuellement)nilpotentsportent unestruturedeHodgemixte

naturelle,lesmorphismesdeHopfdevenantdesmorphismesdestrutures

deHodgemixtes.Nous illustronsephénomènesurlesexemplesonnus

degroupeskählériensnilpotents(nonabéliens).

Remarks on the ohomology of Kähler groups

Abstrat

Inthisnote,weshowthattheohomologygroupsof(virtually)nilpo-

tentKählergroupsarenaturallyendowedwithamixedHodgestruture.

ThesestruturesmaketheHopfmorphismsintomixedHodgestrutures

morphisms. Weillustratethis fatwiththe studyofknownexamplesof

non-abeliannilpotent Kählergroups.

1 Introdution

SoitX^unevariétékählérienneompatedegroupefondamentalΓ =π1(X)^.

Laohomologiedeesdeuxobjetsest reliépardesmorphismesnaturels:

H^k(Γ,C)−→H^k(X,C),

dont l'existene est due à Hopf. Pour les petits degrés, on peut bien sûr être

pluspréis;endegré0et1,esmorphismessontdesisomorphismes.En degré

2,ondisposedeplusd'unesuiteexateourte:

0−→H²(Γ,C)−→H²(X,C)−→H²(X,e C),

oùXe ^{estlerevêtementuniverselde}X ^{etlemorphisme}H²(X,C)−→H²(X,e C)

étanteluiinduitparlaprojetionnaturelleXe −→X^.Enpartiulier,H²(Γ,C)

est dedimensionnie.

Ilest ommunément admis que laohomologie des groupes kählériens de-

vrait seomporterd'unefaçonsimilaire àelle desvariétés. En partiulier,la

onjeture suivante est attribuée àCarlson et Toledo (relayée notammentpar

Kollár[Kol95℄):

LegroupeH²(Γ,C)^{est toujoursnon-nul(pour} Γ ^{ungroupekählérien inni).}

Cependant,onnesaitpastropqu'elledevraitêtrelaformedesénonésendegré

plusélevé;eneet,ontrairementàelledesvariétésompates,laohomologie

desgroupesn'estpasnéessairementdedimensionnieendegré≥3^(lepremier

exemple degroupedeprésentationnie dontlaohomologie est dedimension

innieestdûàStallings 1

[Sta63℄;pourlesexempleskählériens,voir[DPS09℄).

Indépendammentdesavoirsilaréponse àlaonjeture1.1est armative,

laquestionsuivanteest asseznaturelle :

Question 1.1

lesous-espaevetorielH²(Γ,C)^est-ilunesous-struturedeHodgedeH²(X,C)^?

En d'autrestermes,ondoitvérierl'égalité:

H²(Γ,C) = H²(Γ,C)∩H^2,0(X,C)

⊕ H²(Γ,C)∩H^1,1(X,C)

⊕ H²(Γ,C)∩H^0,2(X,C) .

Dans sa plus grande généralité, laquestion 1.1 semble hors de portée des

tehniques atuelles(ou du moins néessiter une idée nouvelle). En revanhe,

dans le as des groupes nilpotents (voir la setion 4.2 pour les exemples de

groupeskählériensnilpotents),nousallonsonstaterquelaréponseestarma-

tive.

Théorème 1.1

SoitX ^unevariétékählérienneompatedegroupefondamentalΓ^{virtuellement}

nilpotents.Lesgroupes de ohomologie H^k(Γ,C) ^{(dedimension nie) sontna-}

turellement munis de strutures de Hodge mixtes (fontorielles). De plus, les

morphismes naturels

H^k(Γ,C)−→H^k(X,C)

sont desmorphismesde shm.

En degré2,onpeutmême êtrepluspréis.

Théorème 1.2

Souslesmêmeshypothèsesquei-dessus,la shmsurH²(Γ,C)^{estpure(depoids}

2)et ona:

H²(Γ,C) = Im H¹(X,C)∧H¹(X,C)−→H²(X,C)

= Im

H²(Alb(X),C)−→^α∗ H²(X,C) .

Enpartiulier, laonjeture1.1estvraiepourlesgroupeskählériensnilpotents.

Enutilisant[Del06℄, ilsut parexemplede supposerque legroupefonda-

mental deX ^{estrésoluble.}

Théorème 1.3

Silegroupefondamentald'unevariétékählérienneompate estrésoluble,alors

il estvirtuellement nilpotent.

1

legroupedéniparlaprésentation

ha, b, c, x, y|[x, a],[x, b],[y, a],[y, b],[a⁻¹x, c],[a⁻¹y, c],[b⁻¹a, c]i

aungroupedeohomologiededimensionininieendegré3.

2.1 Groupes nilpotents

Soit G ^{un groupe (de type ni) et} Cⁱ(G) ^{sa suite entrale desendante}

dénie par C¹(G) = G ^et Cⁱ⁺¹(G) = [Cⁱ(G), G] ^pour i ≥ 1^{. On notera} Gi=G/Cⁱ⁺¹(G)^lesquotients(nilpotents)orrespondants.Lesélémentsd'ordre ni de Gi ^{forment un} sous-groupe ni aratéristique noté Tor(Gi) ^et G^∗_i = Gi/Tor(Gi)^{estdonungroupenilpotentsanstorsion. Onpeutdonluiappli-}

querappliquerlapropositionsuivante.

Proposition2.1 (Mal£ev,[Mal49℄)

Soit N ^{un groupe de type ni, nilpotent et sans torsion. Il existe un unique}

groupedeLienilpotent(dénisurQ^{)etsimplementonnexe}N_R^{etuneinjetion} N ֒→ N_R ^{qui réalise} N ^{omme un réseau oompat de} N_R^{. On notera} L(N)

l'algèbrede Liede N_R^.

Cettepropositionmontrequ'onpeutassoieraugroupeG^unetourd'extensions entrales:

. . .−→ Li+1(G)−→ Li(G)−→. . .−→ L1(G)−→0,

oùl'onanoté Li(G) :=L(G^∗_i)^{.Lalimiteprojetivedeette suiteestnotée} L(G) := lim←−Li(G)

etestappeléelaomplétiondeMal£evdeG^(siG^{estnilpotent,lasuiteestnie}

et L(G) =L(G/Tor(G))^{estunealgèbredeLienilpotentededimensionnie).}

2.2 Cohomologie des groupes

SoitG ^ungroupeet M ^unG^{-module (on serasurtout onernéparle as}

du module trivial). L'assignation F : M 7→ M^{G qui aun}G^{module assoie le}

sous-module de ses éléments G-invariants est un fonteur de la atégorie des

G^{-modules verselle desgroupesabéliens, qui est deplusexat àgauhe. On}

dénitalorslaohomologiedeG^{àvaleursdans}M ^{ommelefonteurdérivéde} F ^:

∀k≥0, H^k(G, M) = R^kF(M).

C'est aussilaohomologie duomplexe(C^•(G, M), d) ^oùC^k(G, M) ^{est onsti-}

tuée des appliations de G^{k dans} M ^{(par onvention,} C⁰(G, M) = M^{) et la}

diérentielleétantdonnéepar:

df(g1, . . . , gk+1) =g1·f(g2, . . . , gk+1)+

Xk

j=1

(−1)^jf(g1, . . . , gj−1, gjgj+1, . . .) + (−1)^k+1f(g1, . . . , gk).

Dans le as des groupes nilpotents sans torsion, la ohomologie se alule

failementgrâeàlaomplétiondeMal£ev.

Théorème 2.1 (K.Nomizu[Nom54℄,voir aussi [Rag72℄)

Si G^{est ungroupe nilpotent (detype ni)sans torsiond'algèbre de Lie} L(G)^,

on disposedesisomorphismes suivants:

∀k≥0, H^k(G,C)≃H^k(L(G),C).

Enpartiulier, H^k(G,C)^{estde dimension niepour tout}k≥0^.

Remarque 2.1

Laohomologied'unealgèbredeLie(L,[·,·])^{est elleduomplexe desformes}

alternéesΛ^•L^∗,ladiérentielleétantdéniommel'ationdualedurohetde Lie[·,·] :L ∧ L −→ L^.

Pour nir, mentionnons un outil très utile en ohomologie des groupes :

l'opération detransfert. Soit H ≤ G ^unsous-grouped'indie ni de G^{. L'in-}

lusion H ֒→ⁱ G ^{induit unmorphisme}i^∗ : H^•(G, M)−→ H^•(H, M)^{mais, fait}

remarquable,il existeaussiunmorphisme 2

allantdansladiretionopposée:

VH→G=V :H^•(H, M)−→H^•(G, M)

et quivérie:V ◦i^∗= [G:H]Id^.Onadon:

Proposition2.2 (voirprop. 10.4,p. 85[Bro82℄)

Si la multipliation par [G:H] ^estun automorphisme de M^, l'appliation i^∗ : H^•(G, M)−→H^•(H, M)^{estinjetive.Side plus}H ^estunsous-groupe normal deG^{,laohomologie de}G^{s'identieàlapartieinvariantesousl'ationde}G/H

de la ohomologie de H ^:

H^•(G,C)−→^∼ H^•(H,C)^G/H.

Remarque 2.2

L'existene de l'appliation V : Gab −→ Hab ^{avait d'abord été observée par}

Shur;letransfertfutensuitegénéraliséauxautresgroupesdeohomologiepar

Ekmann[Ek53℄.

L'interprétation géométrique des opérations de transfert peut se faire omme

suit:soitX^(resp.Y^)unK(G,1)^(resp.unK(H,1)^{)etsupposonspoursimplier}

que X ^et Y ^{ontune topologie}raisonnable.L'inlusion H ֒→G ^orrespondà

unrevêtementnip:Y −→X^;letransfert

VH→G:H^•(Y,C)≃H^•(H,C)−→H^•(G,C)≃H^•(X,C)

n'est autre que le morphisme d'intégration dans les bres (ou morphisme de

Gysin)

p∗:H^•(Y,C)−→H^•(X,C).

Aveetteinterprétation,onretrouvebienlefaitmentionnéi-dessus,àsavoir

V ◦i^∗=p∗◦p^∗= deg(p)Id = [G:H]Id.

2.3 Critère de 1-formalité

Danse paragraphe,nousrappelonslanotionde1-formalité d'unealgèbre

diérentiellegraduée(adgdanslasuite).Pourunedisussionplusomplètede

ettenotion,nousrenvoyonsà[GM81℄.

Dénition2.1

Une adg(M, d)^{estdite 1-minimalesi}

2

lanotationV ^{provientdel'allemand}Verlagerung.

(ii) M^{peuts'érireommeunesuite}d'extensionélémentaire(ditedeHirsh)

C=M0⊂ M1⊂ M2⊂. . .

'est-à-dire Mi+1≃ Mi⊗V

(Vi)^oùVi ^{estplaé endegré 1.}

(iii) d^est déomposable :auours de haqueextensionélémentaire, d ^envoie Vi ^dansM⁺_i ∧ M⁺_i ^,M⁺_i ^{désignantles élémentsde degrépositif de} Mi^.

Unmorphisme (d'adg) ρ:M −→ A^{est un 1-modèleminimalpour} (A, d)

si(M, d)^{est1-minimale etsi}ρ^∗:H^∗(M)−→H^∗(A) ^induitunisomorphisme en degré0et1et estinjetif endegré2.

Un desintérêtsdeettedénitionrésidedanslaproposition suivante.

Proposition2.3 (Sullivan,voir[DGMS75℄)

Toute adgadmet (àisomorphisme près)ununique 3

1-modèle minimal.

Expliitons la onstrution dans le as qui va nous intéresser, à savoir elui

de l'algèbre de De Rham E^•(X) ^{d'une variété} diérentiable X^{. On souhaite}

onstruire indutivementun1-modèle minimalM_X⁽¹⁾ −→ E^•(X)^{qui donneun}

isomorphismeendegré0et1etunmorphismeinjetifendegré2.Onommene

donparposer:

M_X⁽¹⁾(1) =^

(H¹(X,C))

munideladiérentielled1 ^{nulle,lemorphisme}

ρ1:M_X⁽¹⁾(1)−→ E^•(X)

orrespondantàunhoixdereprésentantsdeslassesdeH¹(X,C)^xéunefois

pourtoute.Onabienunisomorphismeendegré0et 1mais,endegré2,ona:

ρ^∗₁:H²(M_X⁽¹⁾(1)) =

^2

H¹(X,C)−→H²(X,C).

Onposedon

V2= Ker(ρ^∗₁) = Ker(

^2

H¹(X,C)−→H²(X,C))

et ononsidèrel'extension

M_X⁽¹⁾(2) =M_X⁽¹⁾(1)⊗^ (V2)

et d2 ^{est dénie sur} V2 ^{omme l'injetion naturelle} V2 ֒→ V

(H¹(X,C)) = M_X⁽¹⁾(1)^.Pourdénir

ρ2:M_X⁽¹⁾(2)−→ E^•(X),

onledénitsurV2^.Unélémentv^deV2^{,vuomme2-lasse,estexate:}v=du^.

Onposealorsρ2(v) =u^{(ànouveauenfaisantunhoixde}primitive).Examinons l'eet deetteextension auniveauohomologique. CommelesélémentsdeV2

3

parler d'uniiténéessited'introduire lesnotions depointsbases etd'homotopies entre

adgpourlesquellesnousrenvoyonsunefoisenoreà[GM81℄.

ne sontpasfermés (pourd2^{),onne hangepaslaohomologie endegré1.En}

degré2,onasuppriméledéfaut d'injetivitéprovenantdunoyaude

^2

H¹(X,C)−→H²(X,C)

maisonaéventuellementintroduitdenouveauxélémentsde

V3= Ker

ρ^∗2:H²(M_X⁽¹⁾(2))−→H²(X,C) .

Laonstrutionseproduit donindutivementenposant

M_X⁽¹⁾(i+ 1) =M_X⁽¹⁾(i)⊗^

(Vi+1) ^ave Vi+1= Ker

ρ^∗_i :H²(M_X⁽¹⁾(i))−→H²(X,C)

etenonstruisantdi+1 ^etρi+1 ^{ommenousl'avonsfaitpourpasserde}M_X⁽¹⁾(1)

àM_X⁽¹⁾(2)^{.Le1-modèleminimalde}E^•(X)^{estalorsobtenueenprenantlalimite}

indutivedeettesuited'extension:

M_X⁽¹⁾=[

i≥1

M_X⁽¹⁾(i).

Ceimènenaturellementàladénitionsuivante.

Dénition2.2

Une variété diérentiable X ^{est dite 1-formelle si son algèbre de De Rahm} (E^•(X), d) ^l'est, 'est-à-dire si (E^•(X), d) ^et (H^•(X), d) ^{ont même 1-modèle}

minimal.

Pournir,signalonsleritèresuivantde1-formalité(dûàMorgan)portant

uniquementsurlegroupefondamental.

Théorème 2.2 (th.9.4, p. 198[Mor78℄)

Une variété diérentiable X ^{(dont le groupe} fondamental est de présentation nie)est1-formellesietseulementsil'algèbredeLieL(π1(X))^{estdeprésenta-}

tionquadratique.Ceiestégalementéquivalentàlasurjetivitédel'appliation:

H²(L1(π1(X)),R)−→H²(L(π1(X)),R).

Eneet,laorrespondaneexistanteentre1-modèleminimaldeE^•(X)^etom-

plétiondeMal£evdugroupefondamentalestunesimpledualité.

Théorème 2.3 (Sullivan,voirependant[DGMS75℄)

SoitX ^unevariétédiérentiabledontlegroupefondamentalestdeprésentation nie.Le1-modèle minimal de l'algèbre deDe RhamE^•(X)

M_X⁽¹⁾(1)⊂ · · · ⊂M_X⁽¹⁾(i)⊂M_X⁽¹⁾(i+ 1). . .

etla omplétionde Mal£evde π1(X)

. . .−→ Li+1(π1(X))−→ Li(π1(X))−→. . .−→ L1(π1(X))−→0

sont duauxl'unde l'autre.

Remarque 2.3

Lefaitqueladiérentiellevéried²= 0^{setraduitexatementparl'identitéde}

Jaobiauniveaududual.

3.1 Formalité et groupes nilpotents

Les résultats de lasetion préédente s'applique pleinement à la atégorie

desvariétéskählériennesompatesommelemontrelerésultat suivant(dont

ladémonstrationestuneonséquenediretedulemme dudd^c).

Théorème 3.1 ([DGMS75℄)

Toute variété kählérienne ompate X ^{est formelle; plus} préisément, les al- gèbres (E^•(X), d) ^et (H^•(X),0) ^sont équivalentes via l'algèbre (E_d^•c(X), d) ^des

formesd^{c-fermées.En}partiulier,unevariétékählérienneompateest1-formelle.

Rappelonsla

Dénition3.1

Une adg (A, d) ^{est dite formelle sielle est} équivalente àsa propre algèbre de ohomologie (ave diérentielle nulle); 'est-à-dire si il existe une haîne de

quasi-isomorphismes :

(A, d)←−(C1, d1)−→(C2, d2)←−. . .←−(Cn, dn)−→(H^•(A),0).

UnevariétédiérentiableX^{estditeformellesisonalgèbredeDeRham}(E^•(X), d)

l'est.

Nouspouvonsdès àprésentdémontrer lethéorème 1.2grâe au ritèrede

quadratiité.

Démonstration du théorème1.2 :

Soit X ^{une variété} kählérienne ompatedont le groupe fondamental est nilpotentsanstorsion.Lethéorème2.1s'applique etona:

∀k≥0, H^k(π1(X),R)≃H^k(L(π1(X)),R).

Or,d'aprèslesthéorèmes2.2et3.1,onsaitquelaèhenaturelle

H²(π1(X)ab,R)≃H²(L1(π1(X)),R)−→H²(L(π1(X)),R)≃H²(π1(X),R)

est surjetive.Or,ommelegroupedegauheest aussi

H²(π1(X)ab,R)≃H¹(X,R)^

H¹(X,R),

onabien :

H²(π1(X),R) = Im

H¹(X,R)^

H¹(X,R)−→H²(X,R) .

Dansleasgénéral(π1(X)virtuellementnilpotent),onsaitqueX ^admetun

revêtementgaloisienniY −→X ^{degroupedeGalois}G=π1(X)/π1(Y)^ettel

queπ1(Y)^{estnilpotentsanstorsion.Onpeutappliquerladisussionpréédente}

àY ^{etonobtientdonunmorphismesurjetif:}

H²(π1(Y)ab,R)−→H²(π1(Y),R).

En onsidérant leséléments G-invariantsdees deux espaes(G ^agitnaturel-

lement sur π1(Y)ab^{) et en appliquant la} proposition 2.2, on obtient la même onlusionpourH²(π1(X),R)^.

Touteimontre enpartiulierqueH²(π1(X),C)^estunesous-struturede Hodge de H²(X,C) ^{(omme image d'un morphisme de struture de Hodge).}

Enn,lefaitque

Im

H¹(X,C)^

H¹(X,C)−→H²(X,C) 6= 0

(pourune variétékählérienneompate) estune onséquene diretedu théo-

rème de Lefshetz diile et du fait que H¹(X,C) ^{est lui-même non nul (un}

groupenilpotentinniadmetdesquotientsabéliensinnis).

Remarque 3.1

La démonstrationi-dessus nenéessiteen réalitéque la1-formalité(et le a-

ratèrenilpotentdugroupefondamental)deX^.

3.2 Exemples non-kählériens

Nous venons de montrer dans la setion préédente que, pour un groupe

kählériennilpotentΓ^,l'appliationnaturelle

H²(Γab,C)−→H²(Γ,C)

étaitsurjetive.Pournousonvainrequeeiestbienspéiqueauaskählérien

(aumoinsauasdesvariétés1-formelles),voiiquelquesexemples.

Exemple 3.1

SoitG^{legroupedeHeisenbergréel,}Γ^{leréseaudesélémentsde}G^àoeients

dans Z ^{et onsidérons la variété}diérentiableX = G/Γ^{. Le groupe} Γ ^s'érit

donommeuneextensionentrale

1−→Z−→Γ−→Γab≃Z²−→1.

Cettedéompositioninduitune suiteexate

0−→H¹(Z)−→H²(Γab)−→H²(Γ).

Pourdesraisonsdedimension,ononstateimmédiatementquelaèhe

H²(Γab)−→H²(Γ)

estidentiquementnullealorsqueH²(Γ)^{nel'estpas.En eet,omme}X ^estun K(Γ,1)^{,ladualitédePoinaréentraîne :}

H²(Γ)≃H²(X)≃H¹(X)^∗≃H¹(Γ)^∗6= 0.

Exemple 3.2

Pourobtenirunexempledevariétéomplexe(plusprohedelasituationkählé-

rienne),onreprendl'exemplepréedentmaisaveettefoisdesoeientsom-

plexes.SoitdonG^{legroupedeHeisenbergomplexe,}Γ^{leréseaudeséléments}

deG^{àoeientsdans}Z[i]^{etonsidéronslavariétéomplexe}(non-kählérienne)

X =G/Γ^.CommeΓab≃Z^4,legroupeH²(Γab)^{est dedimension6.Or,}X ^est

à nouveau unK(Γ,1) ^{et ona don} H²(Γ) ≃H²(X) ^{et il est bien onnu que} b2(X) = 8^.LaèheH²(Γab)−→H²(Γ)^{nepeutdonpasêtresurjetive.}

4.1 La shm de Morgan

Lethéorème1.1estenfaitune réérituredesrésultatsdeMorgan[Mor78℄.

En eet, d'après [Mor78℄, on peut munir le 1-modèle minimal d'une variété

kählérienne ompate d'une struture de Hodge mixte (shm 4

dans la suite)

fontorielle.Pluspréisément,siX ^{estunevariété}kählérienneompate,notons

ρX:M_X⁽¹⁾−→ E^•(X)^{le1-modèleminimaldesonalgèbredeDeRham.Comme} X ^{est formelle (théorème 3.1),} (E^•(X), d) ^et (H^•(X),0) ^{ont même 1-modèle}

minimalet ondispose d'unmorphisme

σX :M_X⁽¹⁾−→H^•(X).

Théorème 4.1

Avelesnotationsi-dessus, l'algèbre(M_X⁽¹⁾, d⁽¹⁾)^{possède une shm} fontorielle vériant :

(1) la diérentielled^{(1) et leproduit dansl'algèbre} M_X^{(1) sont desmorphismes}

de shm.

(2) l'appliation σX :M_X⁽¹⁾ −→H^•(X,C) ^{estunmorphismede shm.}

La ltration par le poids W• ^de M_X^{(1) est donnée par la desription de} M_X⁽¹⁾

omme l'union roissante des sous-algèbres M_X⁽¹⁾(n) ^{(et est don duale de la}

suiteentraledesendante,ladualitéétantfournieparlethéorème2.3).Lal-

trationdeHodgeF^{• provientelledeellede}H¹(X,C)^.

Commementionnéi-dessus,lethéorème1.1onsistemaintenantàréinter-

préterlesrésultatsdeMorganentermesdeohomologiedugroupeπ1(X)^(dans

leasnilpotent).

Démonstration du théorème1.1 :

SoitdonX ^{dontle groupe}fondamental est(dansunpremier temps)nil- potent sans torsion. D'après les théorèmes 2.1 et 2.3, on dispose des isomor-

phismes:

H^∗(π1(X),C)≃H^∗(L(π1(X)),C)≃H^∗(M_X⁽¹⁾).

Onpeutalorsappliquerlethéorème4.1;ommeM_X^{(1) admetuneshmqui fait}

deladiérentielleunmorphismedeshm,ette struturepasseenohomologie

eteproédénouspermetdondedéniruneshmsurlaohomologiedeπ1(X)^.

D'autrepart,ommelemorphisme

σX :M_X⁽¹⁾−→H^∗(X,C)

est àla foisun morphismed'algèbres et unmorphismede shm, lemorphisme

induit

σ^∗_X:H^∗(π1(X),C)≃H^∗(M_X⁽¹⁾)−→H^∗(X,C)

est bienunmorphismedeshm.

Siπ1(X)^{estseulementsupposé}virtuellementnilpotent,onsait qu'iladmet unsous-grouped'indieninilpotentsanstorsion.SionnoteY −→X^lerevête-

mentétaleni(galoisien)orrespondantàesous-groupe,ladisussioni-dessus

4

pourlesnotionsonernantlesshm,nousrenvoyonsà[PS08℄.