Devoir de synthèse N°01 Durée 02 h

08 Décembre 2010 ***

E ns ei gn an t : A bd es sa tta r E l- F al eh

Devoir de synthèse N°01 Durée 02 h

i

j

1 x

1 y

( C _f)

( C _g ) O

Lycée Secondaire Classe :

Ali Zouaoui 4^ème Sciences

EXERCICE N° 01 (4 pts) -I-

Dans le repère



^{O i j, , }



ci-dessous on a tracer les courbes représentatives de deux fonctions f et g

Répondre par vrai ou faux 1- a) D_f 

 

0,1

b) D_g  



,0



c)

  

^0,1



^1,0

g f   4  d) ^lim

   

¹

x g f x

  

2- g f est décroissante sur



^0,



3- L’équation

 

¹

g f x  2 admet une unique solution 

 

0,1 -II-

1- Soit le nombre complexe z 2e^i6 alors : a) arg ¹

 

2

6

  z

     b) arg ^{1 5}

 

2

6

  z

    

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c)

 

¹arg 2 6

   z

    

2- L’ensemble des points d’affixes le nombre complexe z tel que : z    2 i z 1 3i est : a) La médiatrice du segment



AB



avec A



 2 i



et 1 3B



 i



b) La médiatrice du segment



AB



avec A



2i



et 1 3B



 i



c) La médiatrice du segment



AB



avec A



2i



et B



 1 3i



EXERCICE N° 02 (5 pts)

Soit

 

 

2

cos si 1 1

2 si 1

x x

x x h x

x x x x

  

 

     



1- Calculer ^lim

 

x h x

 . ^{(0,75 pt)}

2- a) Montrer que  x 1 , on a : ¹

 

¹

1

x h x

x

  

 . ^{(0,75 pt)}

b) En déduire lim

 

x h x

 . ^{(0,5 pt)}

3- Montrer que h est continue sur . ^{(1 pt)}

4-a) Montrer que l’équation h x

 

0admet au moins une solution 1,0 2

 

  

 . ^{(1 pt)}

b) En déduire que ^sin

 

^{   12} . ^{(1 pt)}

EXERCICE N° 03 (6 pts) Soit

 

³



^2cos

  

²



^{1 2 cos}

^{ } 

^{; 0,}

z z i z i z i 2

          ^ ^ 1- a) Vérifier que i est une solution de l’équation 

 

z 0. ^{(1,5 pts)}

b) En déduire alors les deux autres solutions de l’équation 

 

z 0. (1,5 pts)

2- Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct



^{O u v, , }



, on considère les points ^{A i}

 

^{, B e}

 

^{i et C e}

 

^i

a) Déterminer le réel ₀pour lequel le quadrilatèreOABC est un parallélogramme.(1,5 pts)

b) Vérifier que le parallélogramme ainsi obtenu est un losange. ^{(1,5 pts)}

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EXERCICE N° 04 (5 pts)

Soit

 

^{1 ;}



^1,



2

x x x

    

1- Justifier que  est croissante sur



^{ 1,}



. (0,5 pt)

2- Soit

 

u_{n n} la suite définie par

 

0

1

1

; 2

n n

u n

u _ u

  

  



 a) Montrer que pour tout n , on a : 0u_n u_n1 1 (1 pt)

b) En déduire que

 

^u_{n n} est convergente. ^{(0,5 pt)}

c) Montrer que pour tout n , on a : ₁ 1 ¹ 1

n 2 n

u _   u  . (1 pt)

d) En déduire que pour tout n , on a : 1 1 ₀ 1 2

n

un     u 

  ^{. (1 pt)}

e) En déduire lim _n

n_u . (1 pt)

Bon Travail

^…..



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