Universit´e Claude Bernard Lyon 1 PCSI L1 UE Math2
Ann´ee 2020-2021 Resp. : A. Frabetti, V. Borrelli
REP` ERES MOBILES ET CHAMPS DE VECTEURS CONVENTION STANDARD ISO 80000-2
http://en.wikipedia.org/wiki/ISO 80000-2
Coordonn´ees Coordonn´ees Coordonn´ees
cartesiennes cylindriques sph´eriques
Point P (x, y, z) x, y, z∈R (ρ, ϕ, z)
ρ≥0 ϕ∈[ 0,2π[
z∈R
(r, ϕ, θ)
r≥0 ϕ∈[ 0,2π[
θ∈[0, π]
Changement coordonn´ees
ρ=p
x2+y2
ϕ=n arctanxy six, y >0
etc sinon
z=z
x=ρ cosϕ y=ρ sinϕ z=z
x=r cosϕ sinθ y=r sinϕ sinθ z=r cosθ
r=p
x2+y2+z2 ϕ= idem
θ= arccos z px2+y2+z2
r=p
ρ2+z2 ϕ=ϕ
θ= arccos z pρ2+z2
ρ=r sinθ ϕ=ϕ z=r cosθ
Element de´
volume dx dy dz ρ dρ dϕ dz r
2sinθ dr dϕ dθ
Rep`ere enP (P;~ı,~j, ~k)
~ı = ∂
∂x
~ = ∂
∂y
~k = ∂
∂z
(P; e~ρ, ~eϕ,~k)
~ eρ= ∂
∂ρ
~ eϕ=1
ρ
∂
∂ϕ
~k = ∂
∂z
(P; e~r, ~eϕ, ~eθ)
~ er= ∂
∂r
~ eϕ= 1
rsinθ
∂
∂ϕ
~ eθ= 1
r
∂
∂θ
Changement rep`ere
~
eρ= cosϕ ~ı + sinϕ ~
~
eϕ=−sinϕ ~ı + cosϕ ~
~k =~k
~ı = cosϕ ~eρ−sinϕ ~eϕ
~ = sinϕ ~eρ+ cosϕ ~eϕ
~k =~k
~ı = cosϕsinθ ~er−sinϕ ~eϕ
+ cosϕcosθ ~eθ
~ = sinϕsinθ ~er+ cosϕ ~eϕ
+ sinϕcosθ ~eθ
~k = cosθ ~er−sinθ ~eθ
~
er= cosϕ sinθ ~ı + sinϕ sinθ ~ + cosθ ~k
~
eϕ=−sinϕ ~ı + cosϕ ~
~
eθ= cosϕ cosθ ~ı+ sinϕ cosθ ~
−sinθ ~k
~
er= sinθ ~eρ+ cosθ ~k
~ eϕ=e~ϕ
~
eθ= cosθ ~eρ−sinθ ~k
~
eρ= sinθ ~er+ cosθ ~eθ
~ eϕ=e~ϕ
~k = cosθ ~er−sinθ ~eθ
Vitesse du rep`ere sur une courbe
~˙ı(t) = 0
~˙(t) = 0
~˙k(t) = 0
~˙
eρ(t) = ˙ϕ(t)e~ϕ(t)
~˙
eϕ(t) =−ϕ(t)˙ e~ρ(t)
~˙k(t) = 0
~˙
er(t) = ˙ϕsinθ ~eϕ+ ˙θ ~eθ
~˙
eϕ(t) =−ϕ˙ sinθ ~er−ϕ˙ cosθ ~eθ
~˙
eθ(t) =−θ ~˙er+ ˙ϕcosθ ~eϕ
Vecteur
position ~x(t) x(t)~ı+y(t)~+z(t)~k ρ(t)e~ρ(t) +z(t)~k r(t)e~r(t)
Vecteur
vitesse ~x(t)˙ x(t)~˙ ı + ˙y(t)~+ ˙z(t)~k ρ(t)˙ e~ρ(t) +ρ(t) ˙ϕ(t)e~ϕ(t) + ˙z(t)~k
˙
r(t)e~r(t) +r(t) sinθ(t) ˙ϕ(t)e~ϕ(t) +r(t) ˙θ(t)e~θ(t)
Coordonn´ees Coordonn´ees Coordonn´ees cartesiennes(x, y, z) cylindriques (ρ, ϕ, z) sph´eriques (r, ϕ, θ) Champ de
vecteursA~ Ax~ı+Ay~+Az~k Aρ e~ρ+Aϕ e~ϕ+Az~k Are~r+Aϕ e~ϕ+Aθ e~θ
Gradient
−−→gradf=∇f~ ∂f
∂x~ı +∂f
∂y~+∂f
∂z
~k ∂f
∂ρ e~ρ+1 ρ
∂f
∂ϕ e~ϕ+∂f
∂z
~k ∂f
∂r e~r+ 1 rsinθ
∂f
∂ϕ e~ϕ+1 r
∂f
∂θ e~θ
Divergence
divA~=∇ ·A~ ∂Ax
∂x +∂Ay
∂y +∂Az
∂z
1 ρ
∂(ρAρ)
∂ρ +1 ρ
∂Aϕ
∂ϕ +∂Az
∂z
1 r2
∂(r2Ar)
∂r + 1
rsinθ
∂Aϕ
∂ϕ + 1 rsinθ
∂(sinθ Aθ)
∂θ
Rotationnel
∂Az
∂y −∂Ay
∂z
~ı
1 ρ
∂Az
∂ϕ −∂Aϕ
∂z
~ eρ
1 r sinθ
∂(sinθ Aϕ)
∂θ −∂Aθ
∂ϕ
~ er
−→
rotA~=∇ ×~ A~ + ∂Ax
∂z −∂Az
∂x
~ +
∂Aρ
∂z −∂Az
∂ρ
~
eϕ +1
r
∂(rAθ)
∂r −∂Ar
∂θ
~ eϕ
+ ∂Ay
∂x −∂Ax
∂y
~k +1
ρ
∂(ρAϕ)
∂ρ −∂Aρ
∂ϕ
~k +1
r 1
sinθ
∂Ar
∂ϕ −∂(rAϕ)
∂r
~ eθ
Laplacien ∂
2f
∂x2 +∂2f
∂y2 +∂2f
∂z2
1 ρ
∂
∂ρ
ρ∂f
∂ρ
+ 1 ρ2
∂2f
∂ϕ2 +∂2f
∂z2
1 r2
∂
∂r
r2∂f
∂r
+ 1
r2sin2θ
∂2f
∂ϕ2
∆f=∇ ·~ ∇f~
= div (−−→
gradf) + 1
r2cosθ
∂
∂θ
cosθ ∂f
∂θ
Laplacien
vectoriel∆A~ ∆Ax~ı + ∆Ay~+ ∆Az~k (affreux...) (horrible !)
Notations : ∇~ = ∂
∂x~ı+ ∂
∂y~+ ∂
∂z
~k ∆≡ ∇2= ∂2
∂x2 + ∂2
∂y2+ ∂2
∂z2
∇ ×~ A~ =
~ı ~ ~k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
Ax Ay Az
~
A·∇~ =Ax ∂
∂x+Ay ∂
∂y +Az ∂
∂z (A~·∇)~ B~ =Ax∂B∂xx~ı+Ay∂B∂yy~ +Az∂B∂zz ~k Propriet´es : −−→
grad (f g) = (−−→
gradf)g+f(−−→
gradg) −−→
grad (B~ ·A) = (~ B~ ·∇)~ A~+ (A~·∇)~ B~ +B~ ∧−→
rotA~+A~∧−→ rotB~ div (f ~A) = (−−→
gradf)A~+f(divA)~ div (B~ ∧A) = (~ −→
rotB~)·A~−B~ ·(−→ rotA)~
−→
rot (f ~A) = (−−→
gradf)∧A~+f (−→
rotA)~ −→
rot (B~ ∧A) = (div~ A)~ B~ −A~ (divB) + (~ A~·∇)~ B~ −(B~ ·∇)~ A~
∆(f g) =f∆g+ 2−−→
gradf ·−−→
gradg+ ∆f g Identit´es : −→
rot (−−→
gradf) =∇ ×~ (∇f~ ) =~0 div (−→
rotA) =~ ∇ ·~ (∇ ×~ A) = 0~
−→ rot (−→
rotA) =~ ∇ ×~ (∇ ×~ A) =~ ∇(~ ∇ ·~ A)~ −∆A~ =−−→
grad (divA)~ −∆A~ Lemme de Poincar´e : SurD⊂R3 simplement connexe: A~ =−−→
gradf ⇐⇒ −→ rotA~ = 0 SurD⊂R3 contractile : A~ =−→
rotB~ ⇐⇒ divA~= 0 Th´eor`eme de Stokes : SiA~=−→
rotB~ :
¨
S+
A~·dS~ =
˛
∂S+
B~ ·d`~
Th´eor`eme de Gauss : SiS+=∂Ω est une surface ferm´ee :
‹
S+
A~·dS~ =
˚
Ω
divA dx dy dz~
Corollaires : SiA~=−−→
gradf etC+ est une courbe ferm´ee :
˛
C+
A~·d`~ = 0
SiA~=−−→
gradf etC+ est une courbe qui relieP `a Q: ˆ
C+
A~·d`~ =f(Q)−f(P)
