Algorithmes temporels rapides à point fixe pour la séparation aveugle de mélanges convolutifs et/ou sous-déterminés.

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Algorithmes temporels rapides à point fixe pour la séparation aveugle de mélanges convolutifs et/ou

sous-déterminés.

Johan Thomas

To cite this version:

Johan Thomas. Algorithmes temporels rapides à point fixe pour la séparation aveugle de mélanges convolutifs et/ou sous-déterminés.. Astrophysique [astro-ph]. Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2007. Français. �tel-00268239�

Ecole Doctorale MITT UFR PCA Math´ematiques, Informatique, T´el´ecommunications Physique-Chimie-Automatique

Algorithmes temporels rapides ` a point fixe pour la s´ eparation aveugle de m´ elanges

convolutifs et/ou sous-d´ etermin´ es

TH` ESE

pr´esent´ee et soutenue publiquement le 12 d´ecembre 2007 pour l’obtention du

Doctorat de l’Universit´ e de Toulouse

d´ elivr´ e par l’Universit´ e Toulouse III – Paul Sabatier

(sp´ecialit´e traitement du signal)

par

Johan Thomas

Composition du jury

Pr´esident : Jean-Fran¸cois Cardoso Directeur de Recherche CNRS LTCI–ENST, Paris

Rapporteurs : Christian Jutten Professeur GIPSA–UJF, Grenoble

Dinh-Tuan Pham Directeur de Recherche CNRS LJK, Grenoble Examinatrice : Christine Joblin Directrice de Recherche CNRS CESR, Toulouse

Directeurs : Yannick Deville Professeur LATT–UPS, Toulouse

Shahram Hosseini Maˆıtre de Conf´erences LATT–UPS, Toulouse

Laboratoire d’Astrophysique de Toulouse-Tarbes — UMR 5572

Remeriements

En premier lieu, je tiens à remerier tout partiulièrement Yannik

Deville et Shahram Hosseini pour m'avoir proposé d'eetuer ma thèse dans

leur équipe de séparation de soures. Leurs qualités sientiques et humaines

ainsi que leur expériene dans le domaine de la reherhe ont représenté de

réels atouts durant es trois années de thèse.

MesremeriementsvontaussiàChristineJoblinetOlivierBernéduCentre

d'Etude Spatiale des Rayonnements pour la oopération quenous avons mise

en plae pendant ma thèse et qui a permis l'appliation de ertaines de nos

méthodes deséparationde souresàl'étudedes nuagesdepoussièresinterstel-

laires.

Je remerie M. Jean-François Cardoso, Mme Christine Joblin, M. Chris-

tian Jutten et M. Dinh-Tuan Pham pour avoiraepté d'être les membres de

mon jury de soutenane ainsi que pour leurs remarques qui ont ontribué à

l'améliorationde la qualité de e rapport.

J'exprime toute ma reonnaissane à mes parents pour m'avoir enouragé

etsoutenutout au long de mes études.

Messalutationsàmes ollèguesde bureauRima,MatthieuetHihamave

qui il a été très agréable de travailler. Mes sentiments amiaux vont égale-

ment à tous les membres de l'équipe S2I : Ali, Chahinez, Christophe, Denis,

Eri, Guilhem,Hervé,Jean, Jean-François,Jean-Louis, José-Philippe,Karine,

Laurent, Olivier, Paul, Rima, Sébastien, Sylvie etTruswin.

Je remerie tous les membres du LATT, permanents, dotorants ou sta-

giaires qui m'ont permis de travailler dans un ontexte de travail idéal, ainsi

queleservieinformatiquedulaboratoirepoursoneaitéetsadisponibilité

pour répondre aux attentes des herheurs.

Mes remeriementsauxdéveloppeurs deslogiiels libresFedoraCore, Tex-

maker, SAOImage DS9, et de la lasse Thloria qui m'ont été d'une grande

utilité.

JeremerieennleThéâtrenationalduCapitole,lavilledeToulouse,ainsi

quelesstationsde skietrefuges pyrénéens pour m'avoirpermis de menermes

études dans un environnementidéal.

Développe entoi l'indépendaneà tout moment, ave bienveillane, simpliité et modestie.

Mar Aurèle

Table des gures ix

Liste des tableaux xi

Notations xiii

Introdution générale 1

I Mélanges onvolutifs (sur-)déterminés 9

1 Mélanges onvolutifs : état de l'art 11

1.1 Introdution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Hypothèses etritères de séparation . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.1 Statistiques roiséesd'ordre supérieur. . . . . . . . . 17

1.3.2 Lavraisemblane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.3 L'informationmutuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.4 Lanon-gaussianité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.5 Statistiques roiséesdu seond ordre . . . . . . . . . 25

1.3.6 Laparimonie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3.7 Lapositivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.4 Classiation des méthodes de SAS onvolutives . . . . . . . 30

1.4.1 Lesméthodes fréquentielles . . . . . . . . . . . . . . 30

1.4.2 Lesméthodes temporelles . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.5 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 ExtensiondesméthodesdeSASbaséessurlanon-gaussianité 35

2.1 Introdution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3 Approhes existantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4 Nouvelles méthodes pour extraire un proessus d'innovation 39 2.5 Reformulation du mélangesous formelinéaireinstantanée . 44 2.6 Performanes atteignablesparlemodèle linéaireinstantané sous-déterminé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.7 Méthode globalede SAS proposée . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.8 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3 Résultats expérimentaux 51 3.1 Introdution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2 Séparation de signaux de téléommuniations . . . . . . . . 51

3.3 Séparation de signaux audio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.4 Tests statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.5 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

II Mélanges sous-déterminés 65 4 Mélanges sous-déterminés : état de l'art 67 4.1 Estimation de lamatrie de mélange . . . . . . . . . . . . . 68

4.2 Reonstrution des soures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.3 La séparation diérentiellede soures . . . . . . . . . . . . . 71

5 Méthode de SAS diérentielleproposée pour les mélanges instantanés 73 5.1 Introdution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.2 Un nouveau ritère de SAS basé sur le kurtosis diérentiel . 73 5.3 Résumé des méthodes proposées. . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.4 Preuves de onvergene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.5 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6 Méthode de SAS diérentielleproposée pour les mélanges

onvolutifs 83

6.2 Utilisation du kurtosis diérentieldans le as onvolutif. . . 83

6.3 Résumé de la méthode proposée . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.4 Reformulation du mélangesous formelinéaireinstantanée . 90

6.5 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7 Résultats expérimentaux 93

7.1 Introdution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.2 Séparation de mélanges linéairesinstantanés de signaux té-

léoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.3 Séparationde mélanges linéairesinstantanésde signauxaudio 96

7.4 Séparation de mélanges onvolutifs de signaux téléoms . . . 98

7.5 Tests statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.6 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

III Mélanges linéaires instantanés ontenant un grand

nombre d'éhantillons 107

8 Algorithmes rapides optimisés pour les mélanges linéaires

instantanés 109

8.1 Introdution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.2 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.3 Un algorithme optimisérapidepourla SAS(sur-) déterminée111

8.3.1 Prinipes etlimitationsde l'approhe standard . . . 111

8.3.2 Unenouvelleapprohe pour optimiserle kurtosis . . 112

8.3.3 Résuméde laméthode proposée . . . . . . . . . . . . 115

8.4 Un algorithme optimisérapide pour la SASsous-déterminée 115

8.4.1 Prinipe etlimitationsde notre approhe DFICA . . 115

8.4.2 Unenouvelleapprohepouroptimiserlekurtosisdif-

férentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

8.4.3 Résuméde laméthode proposée . . . . . . . . . . . . 118

8.5 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

9 Résultats expérimentaux 121

9.2 Appliation àl'astrophysique . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

9.3 Tests statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

9.4 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Conlusion générale 131

Annexes 137

Annexe A : Blanhiment 139

Annexe B : Estimation des ontributions des soures 143

Annexe C : Dénitions des ritères

SIR

out^,

SIR

in^,

SIRI

^et

SNR

in ¹⁴⁵

Annexe D : Gradient du kurtosis diérentiel 147

Annexe E : La orrélation diérentielle 149

AnnexeF: Dénitionsdes ritères

SIR

out^,

SIR

in ^et

SIRI

^pour

les méthodes de séparation partielle 151

Annexe G : Choix de la famille de veteurs d'extration 153

Bibliographie 155

Publiations de l'auteur 173

1.1 Illustration d'unmélangeonvolutifaoustique à 3soureset3

apteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Shéma-blo du proessus de mélange. . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Shéma-blo d'un dispositifde séparation diret. . . . . . . . . . 14

1.4 Shéma-blo d'un dispositifde séparation réurrent. . . . . . . . 15

1.5 Kurtosis non-normaliséet normalisé. . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1 Shéma-blo du proessus de déation. . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2 Shéma-blo du proessus de blanhiment onvolutif. . . . . . . 40

3.1 Soures utilisées 1et 2orrespondantà des signaux binaires. . . 52

3.2 Résultats de séparation d'un mélangeonvolutif de signaux bi- naires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3 Soures utilisées 1 et 2 orrespondant à des signaux téléoms AM à4 états. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.4 Résultats de séparation d'un mélange onvolutif de signaux AM. 55 3.5 Réponses impulsionnelles de la matrie de ltres de mélange utilisée orrespondant aux azimuts 15et-30(ordre=256). . . . 56

3.6 Résultats de séparationd'un mélangeonvolutifde signaux au- dio (1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.7 Réponses impulsionnelles des ltres de mélange utilisés orres- pondant auxazimuts 10et 60(ordre=256). . . . . . . . . . . . 58

3.8 Résultats de séparationd'un mélangeonvolutifde signaux au- dio (2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.9

SIR

out ^{des soures extraites en fontion de}

Q

^{pour des soures} olorées artiielles dans le as de proessus d'innovation uni- formes eten utilisantle ritère du kurtosis. . . . . . . . . . . . . 61

3.10

SIR

_out ^{des soures extraites en fontion de}

Q

^{pour des soures} olorées artiiellesdans leas de proessusd'innovationlapla- iens et en utilisantle ritèrede lanéguentropie. . . . . . . . . . 61

3.11

SIR

out ^{des soures utiles extraitesen fontiondu}

SNR

^{d'entrée. 63} 3.12 Tempsd'extrationmoyendupremierproessusd'innovationen fontion de

Q

^{pour une} optimisation de type Tugnait-Newton et pour notre optimisation de type point xe. . . . . . . . . . . 63

4.1 Shéma du priniped'estimationdes souresà partirde lama-

trie de mélangeen onsidérant qu'une seule soure (elle d'in-

die

3

^{) est ative à l'instant}

n

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69}

4.2 Shéma du priniped'estimationdes souresà partirde lama-

trie de mélangepar la méthode du trajet le plus ourt. . . . . . 70

7.1 Résultats de séparation d'un mélange linéaire-instantané de si-

gnaux téléoms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.2 Résultats de séparation d'un mélange linéaire-instantané de si-

gnaux audio.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.3 Soures utilisées 1 et 2 orrespondant à des signaux téléoms

AM démodulés à 4états. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.4 Résultats de séparation d'un mélangeonvolutif de signaux té-

léoms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.5

SIR

_out^{obtenusavelesversionsàdéationdeFastICAetDFICA}

en fontion du

SNR

^{d'entrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101}

7.6

P erf

^et

SIR

out ^{obtenus ave les versions} symétriques de Fas- tICA et DFICA en fontion du

SNR

^{d'entrée. . . . . . . . . . . 101}

7.7

SIR

out ^{obtenusave C-FICAetC-DFICA enfontiondu}

SNR

d'entrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7.8

SIR

out ^{obtenus ave C-DFICA en fontiondu nombred'éhan-}

tillons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7.9 Temps d'extration moyen du premier proessus d'innovation

en fontionde

Q

^pourune optimisationde typeNewtonetpour notre optimisation de type point xe(algorithme C-DFICA). . . 104

9.1 Image de la nébuleuse NGC2023 prise par le télesopeHubble

à la longueur d'onde

λ

1^{=474 nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . 124}

9.2 Image de la nébuleuse NGC2023 prise par le télesopeHubble

à la longueur d'onde

λ

2^{=631 nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . 124}

9.3 Image séparée 1 obtenue ave l'algorithme FastICAen 115 se.

et ave l'algorithmeO-FICA en 4.5 se. . . . . . . . . . . . . . . 125

9.4 Image séparée 2 obtenue ave l'algorithme FastICAen 115 se.

et ave l'algorithmeO-FICA en 4.5 se. . . . . . . . . . . . . . . 125

9.5 Rapport

t

^′

/t

^{des temps de alul en fontion du nombre}

T

d'éhantillons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

9.6 Indie de performanes

P erf

^{en fontiondu temps de alul. . . 129}

1 Shéma-blo des étages de blanhiment etde normalisation. . . 140

2 Shéma-blo du proessus de blanhiment et de normalisation. . 140

1.1 Tableaude synthèse des équations de mélange etde séparation. 16

1.2 Tableau réapitulatif des avantages et inonvénients respetifs

des méthodes de séparation temporelles etfréquentielles [150℄. . 34

-SAS:SéparationAveugledeSoures(BSS : Blind Soure Separation en anglais).

-ACI:AnalyseenComposantesIndépendantes(ICA : Indep. ComponentAnalysis).

-

x(n)

^{: veteur olonne omposé de signaux} d'observation

x

i

(n)

^.

-

X(z)

^: transformée en

Z

^{du veteur}

x(n)

^.

-

A

^{:matriedemélangeinstantanéomposéedeoeientssalairesréels}

a

ij^.

-

G

^{: matriede} performanes dénie par leproduit des matriesde mélange etde séparation (

G

^{est omposée de oeients}

g

_ij^).

-

M

^{t : matrietransposée de lamatrie}

M

^.

-

A(z)

^{: matriede mélangeonvolutif omposée de ltres}

A

ij

(z)

^.

-

H(z)

^{:matrie de ltres modélisantlaolorationdes proessus}d'innovation des soures et lemélange onvolutif des soures.

-

N

^{: nombre de soures présentes dans lemélange.}

-

P

^{: nombre} d'observations du mélange.

-

T

^{: nombre} d'éhantillons de haque observation.

-

Q

^{: ordre de la matriede ltres}

H(z)

^.

-

corr

_xy

(n)

^{: oeient de orrélationdes signaux}

x

^et

y

^{à l'instant}

n

^.

-

Dcorr

xy

(n)

^{:oeient de orrélation}diérentielle des signaux

x

^et

y

^entre

lesinstants

n

1 ^et

n

2^.

-

R

x

(n)

^{: matrie}d'autoorrélation du veteur

x

^{à l'instant}

n

^.

-

DR

x

(n

1

, n

2

)

^{: matrie}d'autoorrélationdiérentielle du veteur

x

^{entre les}

instants

n

1 ^et

n

2^.

-

r

xy

(n)

^{: veteur}d'interorrélation des signaux

x

^et

y

^{à l'instant}

n

^.

-ltreRIF:ltreàréponseimpulsionnellenieoultreà moyenne ajustée (MA).

-ltre RII :ltre àréponse impulsionnelleinnie;ltre autorégressif(AR) ou

ltre autorégressif àmoyenne ajustée (ARMA).

-

δ(n)

^{: symbole de Kroneker, déni par}

δ(0) = 1

^et

δ(n 6= 0) = 0

^.

-

∗

^{: opérateurde} onvolution.

-

SIR

^{: Rapport signalà} interférenes (Signalto Interferene Ratio).

-

SIRI

^: améliorationdu

SIR

^{(Signal to} Interferene Ratio Improvement).

-

SNR

^{:Rapport signal à bruit (Signalto NoiseRatio).}

-

E {y(n)}

^{:espérane du signal}

y(n)

^.

-

kurt

y

(n)

^{: kurtosis} non-normalisédu signal

y

^àl'instant

n

^.

-

Dkurt

y

(n

1

, n

2

)

^{: kurtosis diérentiel du signal}

y

^{entre les instants}

n

1 ^et

n

2^.

-

kurt

^nor_y

(n)

^{:kurtosis normalisé du signal}

y

^àl'instant

n

^.

-

Dkurt

^nor_y

(n

1

, n

2

)

^{: kurtosis normalisédiérentieldu signal}

y

^entre

n

1 ^et

n

2^.

-

pow

y

(n)

^{:puissane du signal}

y

^{à l'instant}

n

^.

-

Dpow

_y

(n

₁

, n

₂

)

^:puissanediérentielledusignal

y

^{entreles instants}

n

₁ ^et

n

₂^.

- i.i.d. :indépendant etidentiquement distribué.