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Submitted on 25 Feb 2008
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Analyse des algorithmes d’Euclide : une approche dynanique
Benoît Daireaux
To cite this version:
Benoît Daireaux. Analyse des algorithmes d’Euclide : une approche dynanique. Autre. Université de Caen, 2005. Français. �tel-00258776�
Universit´ e de Caen Basse-Normandie
U.F.R. Sciences Ecole doctorale SIMEM´
D´epartement d’Informatique
Analyse des algorithmes d’Euclide : une approche dynamique
TH` ESE
pr´esent´ee et soutenue publiquement le 22 juin 2005 pour l’obtention du
Doctorat de l’Universit´ e de Caen
(arrˆet´e du 25 avril 2002)
Sp´ecialit´e Informatiquepar
Benoˆ ıt Daireaux
Composition du jury
Rapporteurs :
Michael DRMOTA, Professeur, Universit´e de Vienne
Jean-Michel MULLER, Directeur de Recherche CNRS, ENS Lyon
Examinateurs :Marie-Pierre B´ EAL, Professeur, Universit´e de Marne-la-Vall´ee
Jean MAIRESSE, Charg´e de Recherche CNRS, LIAFA
V´eronique MAUME-DESCHAMPS, Maˆıtre de Conf´erences, Universit´e de Dijon Jean-Michel MULLER, Directeur de Recherche CNRS, ENS Lyon
Bruno SALVY, Directeur de Recherche INRIA, Rocquencourt Brigitte VALL´ EE, Directrice de Recherche, GREYC (Directrice)
Groupe de Recherche en Informatique, Image, Automatique et Instrumentation de Caen CNRS UMR 6072
Ces remeriements s'adressent en premier lieu à Brigitte Vallée. Ces années passées sous
sadiretion resteront pour moi omme une expériene enrihissante à tous niveaux, aussi bien
sientiques qu'humains. J'ai pu proter de son impressionnant savoir sientique et appréier
sonenthousiasmeommuniatif, sadisponibilité(malgré unagenda deministre) et sonextrême
gentillesse. Cettethèse luidoit beauoup, et pour toutes esraisons je laremerie.
Je suiségalement trèsreonnaissant auxdiversreleteursde emanusrit, à ommenerpar
mestroisrapporteurs, MihaelDrmota,JeanMairesseetJean-MihelMuller.Leursnombreuses
remarqueset suggestionsm'ont ététrès utiles, et l'attention qu'ilsontportéeà montravail m'a
partiulièrement touhée.
J'ai eu la hane de travailler à plusieurs reprises ave Véronique Maume-Deshamps, et de
proterdesesgrandesonnaissanesensystèmesdynamiques.Sareletureattentivedeshapitres
2,4 et surtout 5ena grandement amélioréles ontenus.Je suis trèsheureux qu'ellefassepartie
demonjury.
Enn, Marie-Pierre Béal et Bruno Salvyme font l'honneur d'assister àma soutenane. J'en
suistrès atté.
MareonnaissanevabienévidemmentàtouslesoupantsdubureauS2-302,sansexeption.
Jean-Marie,dontl'innie sagesseproteraj'ensuis surà plusd'undotorant,et Philippe,vieux
ompagnon sans qui ommener une thèse n'est pasraisonnablement envisageable, ont réussi à
fairedeebureauunlieuoù labonnehumeurn'ad'égaleque... labonnehumeur.Leurprésene
haque jour futgarante d'un environnement detravail à lalimite delaperfetion.
Les(ex)loatairesdubureauvoisinnesontpasenreste:jepenseà(dansledésordre)Jérémie,
Régis, Bertrand, Lu et à tous eux qui un jour ou l'autre seront amenés à poser leur aaires
entreesquatremurs.Maisd'unemanièregénérale,'estl'ambianeparmilesdotorants(etles
autres)de l'équipequi fût appréiable,et Bruno, Guillaume,Ali,Mar, Fabien, Aline (un petit
P
pour toutes es années), Céline,ont largement ontribué à l'atmosphère détendue qui règne
auGrey.
Il ya heureusement une vie extra-universitaire. Outre ertaines personnes déjà mentionnées
plushaut,jetiensàremerierpourlesmomentsdedétenteOlive,Chinois,Gaelle,JF(etSimon),
Bartok,Pouig,lesLaurents,Fred(dy),J.andJ.Marie,Bob,Elvis,Vine,labandedeFlip(K-ro,
Raf,Béné, et...), et que les oubliés m'exusent. Tout e petit monde rend les hoses bien plus
supportablesparfois...
Enn, ungrandmeriàmafamille.Àmesparents, dont lesoutientonstantau oursdees
annéesd'étude m'estallé droit au oeur,et àma soeur Émilie.
Sigrun, livet mitter rikere etterat jeg møtte deg.Takk,for dette ogfor altannet.
Bonneleture...
Introdution
Chapitre 1
Algorithmes Eulidiens
1.1 Formalismegénérique desalgorithmes eulidiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Les algorithmeseulidiens surlespolynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Les algorithmesMSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 L'algorithme d'Eulide
E
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.2 Les algorithmes d'Eulideinterrompus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.3 Quelques variantesde l'algorithmed'Eulide . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.4 Les algorithmes
α
-EulidiensE
α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Les algorithmesLSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Les algorithmesMixtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.1 Les algorithmes pseudo-eulidiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.2 Les algorithmes Binaire,Plus-Moins et leurs généralisations . . . . . . . . 19
1.6 Étude probabilistedesalgorithmes Eulidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.1 Modèleprobabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6.2 Paramètres d'intérêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.7 Résultats onnus surles algorithmes eulidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.8 Résultats de lathèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.9 Conlusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Chapitre 2 Modélisation en Systèmes Dynamiques 2.1 Les SystèmesDynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.1 Dénition et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.2 Évolution desdensités,mesureinvariante et entropie . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Modélisationd'algorithmes eulidiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Modélisations desalgorithmes MSB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.1 Systèmes
S
E,S
C etS
X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3.2 Systèmes
S
Eα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.4 Modélisations desalgorithmes LSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5 Modélisations desalgorithmes Mixtes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5.1 Systèmesdynamiques
S
B etS
PM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.5.2 Systèmesdynamiques pseudo-eulidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.6 Étude probabiliste desystèmes dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.7 Résultats onnus sur
S
E,S
C etS
X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.8 Résultats deette thèse pour
S
Eα etS
L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.9 Conlusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Chapitre 3 Séries Génératries 3.1 Sériesgénératries pour l'analyse endistribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.1.1 Sériesgénératries desmomentset théorème desquasi-puissane . . . . . 58
3.1.2 Sériesgénératries bivariées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 Sériesgénératries pour l'analyse enmoyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3 Extration desoeients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4
Ω
ouΩ
e? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.5 Conlusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Chapitre 4 Opérateurs de Transfert 4.1 L'opérateur transformateur de densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.1.1 Expressiondesdiérents opérateur dePerron-Frobenius . . . . . . . . . . 68
4.2 Constrution desopérateurs de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2.1 Génération destailles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2.2 Génération desoûts dénissur lesquotients . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2.3 Forme nale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3 Propriétés génératriesdes opérateurs detransfert . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3.1 Sériesgénératries deDirihlet et opérateurs detransfert. . . . . . . . . . 76
4.3.2 Sériesgénératries desmomentset opérateursde transfert . . . . . . . . . 83
4.4 Conlusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Chapitre 5 Résultats et Preuves 5.1 Propriétés spetrales desopérateurs : généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.1.1 Propriétés de l'opérateur de Perron-Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.1.2 Perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.1.3 Dernière étape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.2 Analyse dynamiquedesalgorithmes
α
-eulidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.2.1 Analyse fontionnellepour l'opérateur Gs,w . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.2.2 Théorèmes 5.22, 5.23et 5.24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.2.3 Le as
α = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.2.4 Disussion desrésultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.3 Analyse dynamiquede l'algorithmeLSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.3.1 Analyse fontionnellepour l'opérateur Ks,w . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.3.2 Théorèmes 5.31et 5.32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.3.3 Analyse fontionnellepour l'opérateur Ls,t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.3.4 Théorèmes 5.40, 5.42et 5.42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.3.5 Disussion desrésultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.4 Analyse dynamiquedesalgorithmes interrompus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.4.1 Nombre d'itérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.4.2 Complexité en bits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.4.3 Évolution desdistributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.4.4 Disussion desrésultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.5 Conlusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Chapitre 6 Appliation à l'Algorithme de Lehmer-Eulide 6.1 Desription de l'algorithme
LE
µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1466.2 Analyse probabiliste del'algorithme
LE
µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.3 Preuve duthéorème 6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.4 Conlusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Conlusion
Bibliographie 159
L'objetde etravailestl'étude lafamille desalgorithmes dealul depgd,désignésdansle
titreparalgorithmesd'Eulide,etplusgénéralement dansettethèseparalgorithmeseulidiens.
Onpeut sepenher suresalgorithmes a priorisimplespourde nombreuses raisons.
Il y a tout d'abord un évident intérêt historique. Dérit dans le Livre 7 des Éléments aux
alentours de 300 avant J.C.(et probablement déjà onnu deuxsièlesauparavant), l'algorithme
d'Eulideestd'aprèsKnuth [Knu98 ℄legrandpèredetouslesalgorithmes:We might all it the
granddaddyofallalgorithms,beauseit istheoldestnon-trivialalgorithmthathassurvivedtothe
present day. C'est probablement lepremier algorithme àavoir étépréisément étudié,en 1845
parG.Lamé,qui,demanièreprophétique,aaupassageexhibélapremièreappliationdelasuite
de Fibonai à l'informatique théorique. Pourtant, la ompréhension de sonomportement est
longtempsrestéepartielle:en'estquetrèsréemmentqueDougHensley,puisBrigitteValléeet
VivianeBaladiontmontréquelenombre d'itérations de l'algorithmesuivaitune loigaussienne.
Beauoupde paramètres restent à étudier surles algorithmeseulidiens.
Mais 'est peut-être dans l'omniprésene du alul de pgd en arithmétique que réside la
prinipale motivation pour de telles analyses.On peut iter entreautres lealul frationnaire,
laryptographieà lépublique, lealul d'inversesmodulaires oude bases de Gröbner(d'après
TudorJebelean[Jeb95 ℄,lealuldepgdoupe60
%
dutempsdealuld'unebasedeGröbner),et...
L'importane du alul de pgd dans es appliations pose la question de l'eaité de ses
diérentes tehniques de alul. Il est surprenant de noter qu'il existe très peu d'algorithmes
signiativementpluseaesquel'algorithmed'Eulide(parsigniativement onentendquela
omplexitéenbitsdanslepiredesasn'estplusquadratique,maissous-quadratique).Etenore,
esalgorithmes ne lesont vraiment quelorsque lataille de l'entrée dépasse quelquesmilliers de
bits,enpartiulierparequ'ilstirent partide lamultipliationrapide,ellemêmeeaeàpartir
d'un ertain rang. Les autres algorithmes sont tous de omplexité au moins quadratique, et la
bonneapprohepourlesomparer, omplémentaire desexpérimentationspratiques,estl'analyse
enmoyenne.
L'analyse usuelle d'algorithmes, qui onsiste à exhiber l'entrée qui maximise le temps de
alul de l'algorithme n'est ii que peu instrutive. Il est plus pertinent d'étudier le ompor-
tement moyen de l'algorithme, 'est-à-dire d'eetuer une étude probabiliste sur l'ensemble de
sesentrées.Cettethèsesesituedondansleadregénéraldel'analyseenmoyenned'algorithmes.
Cettebranhedel'informatique,initiéeparKnuthdanslesannées60,estsouventuneanalyse
pertinente :
elle est réaliste, dans lamesure où elle dérit leomportement réel des algorithmes, tel
qu'observéen pratique,
elle apporte une ompréhension ne de l'algorithme, puisquel'analyse requiert une étude
très préise desméanismessous-jaentsà l'algorithme.
