HAL Id: hal-00880839
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To cite this version:
Denis Roegel. A reconstruction of Ulbrich’s table of factors (1791-1800). [Research Report] 2013.
�hal-00880839�
Ulbrich’s table of factors
(1791–1800)
(volume 1)
Denis Roegel
2013
(last version: 6 november 2013)
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1800 in Korneuburg [1, 2].
1
He took the name Florian when entering the orders.
2
Ulbrich entered Klosterneuburg in 1758. From 1773 to 1791, he was the abbot
of Höflein [105, p. 15], [24, p. 164], [56, pp. 164–165]. In 1791, he became abbot at
Klosterneuburg, and in 1793 he switched for Korneuburg.
2
Ulbrich’s table (ca. 1791–1800)
During the last nine years of his life, Ulbrich worked on a table of factors.
3
At the
beginning of the 1790s, the most extensive table of factors published was that of Felkel
which reached 408000 [34, 35, 36, 37]. Schenmark’s table had reached one million, but
had not been published [100]. This must have led Ulbrich to try to do better, especially
since Felkel’s table was very difficult to use and contained errors. Ulbrich may indeed
have been the first to produce a table of factors going beyond one million [103].
4
The
aim of Ulbrich’s table was to give the full decompositions of all integers not divisible by
2, 3, or 5, up to a certain limit. According to his obituary, Ulbrich had already obtained
all decompositions up to 753031 only two years
5
after having started [1, p. 195] and in
September 1799, he had reached 1 million 500000, although it isn’t clear if that was
supposed to be the end. Ulbrich’s biographical notices express some pride in that an
Austrian man was able, alone, to compute in the last nine years of his life more than all
foreign Academies for a whole century [1, 68, 5].
Cajetano’s account of Ulbrich’s work is certainly the most interesting one, as Cajetano
(1726–1796) was a very gifted clockmaker, who developed means to obtain complex gear
ratios, and was intimate with Ulbrich’s work [14, pp. 41–44]. Cajetano writes that Ulbrich
had planned to have his tables (including the auxiliary ones) printed. Cajetano died in
1796, so he can’t have been behind Ulbrich’s obituary. Perhaps the obituary was written
by Wilhelm Bauer (1742–1825) who was incidentally also a teacher of Felkel.
Ulbrich’s table is split in two volumes. The first volume covers the first million,
whereas the second volume covers the second million and the beginning of the third
million. Surprisingly, the structure of the table is very similar to that used by Burckhardt
1
Some of the references, in particular Cajetano [14], were provided by Rudolf Fritsch in an unpublished
biographical notice of Ulbrich written in 2012.
2
Source: Short biography appended to Ulbrich’s table of factors. This biography gives Ulbrich’s death
as 22 April 1800. Most of the biographical notes are very sketchy [1, 68, 5] and reproduce the obituary
published on 17 May 1800 in the Wiener Zeitung.
3
Ulbrich was certainly interested in mathematics before he arrived in Klosterneuburg, and Darbaut et
al.
write that he had been working on a table of logarithms in 1781, this table being kept as a manuscript,
but this is likely to be a confusion with Ulbrich’s table of factors [24, p. 105].
4
Ulbrich’s table of factors is kept at the Austrian National Library (Österreichische
Nationalbiblio-thek) under the shelf numbers Cod. 10684 and 10685. We have examined it on the 8th and 9th August
2013.
5
This strange assertion is entailed by Cajetano’s book which refers to that value being known as
prime from Ulbrich’s table [14, p. 41]. 753031 appears in the decomposition of an astronomical period
taken as example by Cajetano. In fact, all that can be deduced from Cajetano’s text is that Ulbrich had
reached at least 753031.
covers a range of 3600 integers. The first page starts with 1, the second page starts with
3601, the third page starts with 7201, and so on. Each page contains twelve columns.
Burckhardt also considers only the integers not divisible by 2, 3 or 5, but only gives the
smallest factor of the decompositions, and hence can pack more columns on each page,
with 30 columns and 9000 integers.
Ulbrich’s table is very simple to use. The number of hundreds is given at the top of the
columns, on the line marked “N.” On the fifth page, for instance, the first column covers
the hundreds 144.., 145.. and 146.., that is the integers from 14401 to 14699. The tens and
units are given in the column on the left, so that one can readily find the decomposition
of, say, 14413 = 7 ·29·71. Factors are given in full, and not with their multiplicity. Prime
numbers are shown with three dots. The decompositions are sometimes (but not always)
given with a trailing dot. We have decided to drop this erratic dot, and all our dots are
vertically centered.
Ulbrich’s table is not totally manuscript. The grids were printed in advance and later
filled. The pages are not numbered, but the columns are, except for those of the first
four pages. The columns of the first volume range from 0 to 3333, covering 278 pages.
The columns of the second million (part of the original second volume) range from 3333
to 6666 (also 278 pages), and those of the third million from 6666 to 7145 (40 pages).
There do not seem to be any numbering errors. The column numbers are split in two
parts, the hundreds are shown at the upper left, and the tens and units are shown over
each column, outside the grids. When the column number is a multiple of 100, it is given
in full over the corresponding column.
The pages are filled on both sides and the table starts on a right-hand page. The
second and third millions are separated by two empty grid pages.
The first pages of the second and third millions, as well as the last pages of the first
and second millions contain several empty columns (reproduced here).
From the integer 57601 on, many (but not all) pages have asterisks in the left and
right margins of the tables, on the lines corresponding to the suffixes 31, 61, 91 (upper
parts), 21, 51, 81 (middle parts) and 11, 41, 71 (lower parts). We have always reproduced
these asterisks in our reconstruction. For a certain number of pages before the integer
57601, these asterisks were added by hand. After 1244701, the asterisks are also seldom
printed. We can therefore observe that there have been at least two different printings of
the grids.
In a few rare cases, a factor is repeated in the left margin when it could be misread
within the grids.
The pages of Ulbrich’s table have the approximate size 25 cm × 41 cm. The contents
of the cells are flush left.
Ulbrich’s table contains no introduction, although a short summary was added by
Anton Herrmann in 1819 and is currently inserted in the second volume.
divisible by 2, 3, or 5 up to 2143799, but in fact the decompositions are only complete
up to 1071899.
6
Starting with 1071901 there are many empty cells, and none filled with
three dots, so that the empty cells were not yet known to be primes or not. For instance,
between 1071901 and 1071997, the following numbers were not known to be composite:
1071913, 1071929, 1071947, 1071953, 1071971, 1071989 and 1071997. For the hundred
2136801 to 2136899, the decompositions are only given for 2136827, 2136841, 2136869
and 2136883. For the last hundred of the table, the decompositions are only given for
2143729, 2143757, 2143771 and 2143799.
For 1073339, the only factor given is 41. 47 and 557 are not given. It appears that,
except in rare cases, the decompositions are only given after 1971900 when the smallest
factor is 7 or 11. Some exceptions are 1118981 = 1009 · 1109, 1183711 = 41 · 28871,
1219709 = 41 · 71 · 419 and 1221103 = 13 · 29 · 41 · 79. The multiples up to 37 seem to
have been given up to 1075400, that is one page more.
At the end of the second volume, there is an inserted leaflet with the title “Anmerk
über die in Msc hinterlassenen Factoren-Tafeln des Sel. Hrn. Florian Ulbrich regul. Chorh.
des Stiftes Klostern. gest. als Stadtpf. in Korneub. 22 Apr. 1800” According to this
de-scription, three pages were left incomplete at the beginning of the table. It is assumed
that four pages were dirty, and only one of the four was reconstituted by Ulbrich. We
haven’t seen any empty page at the beginning of the table, but the same note states that
the first 112 pages of the table (28 Bögen) were lent on 3 February 1819 to Anton
Her-rmann, lieutenant and professor of military geography in Vienna,
7
and that Herrmann
filled these three empty grids. He returned these pages on 28 February 1819. This
in-troduction also states that the table is complete only up to 1071800, but it is actually
complete up to 1071900.
Anton Herrmann reported a number of errors, based on comparisons with the tables
of Vega (1797) and Felkel (1776). The following 13 erroneous decompositions were given:
6
Since only very few people seem to have examined Ulbrich’s tables, it should not be surprising that
some of the descriptions of the tables are inaccurate. Ulbrich’s obituaries write that he computed a
table of factors up to 1500000 [1, 2] and this was repeated by other authors such as Wurzbach [106] and
Černík [17]. In 1793, Cajetano had written that Ulbrich would shortly complete the table of factors to
2 millions.
7
“Lieutenant und Professor der Militär-Geographie bey dem Löbl. K.K. Bombardiers-Corps zu Wien.”
It is possible that this is Anton Herrmann (1784–18??) who was professor of agriculture in Rastatt. He
published several books between 1809 and 1818, and perhaps later. One of his books was an introduction
to mathematics published in Vienna in 1818 [51]. For biographical notices, see [50, pp. 45-46] and [49,
p. 145].
39871
13 · 3007
13 · 3067
40567
113 · 159
113 · 359
43289
73 · 793
73 · 593
58553
11 · 3523
11 · 5323
60877
17 · 3561
17 · 3581
60911
17 · 3563
17 · 3583
67571
7 · 7 · 7 · 179 7 · 7 · 7 · 197
73531
23 · 23 · 739
23 · 23 · 139
75151
223 · 637
223 · 337
85463
7 · 29 · 521
7 · 29 · 421
87601
17 · 51 · 53
17 · 5153
101861
37 · 2453
37 · 2753
Based on the comparison of Ulbrich’s table with those of Vega, Lindner had provided
the following corrections to Vega’s table:
Number
Error
Correction
27293
7 · 7 · 547
7 · 7 · 557
43921
197 · 263
167 · 263
57103
17 · 3959
17 · 3359
82943
7 · b · b · 41 7 · c · c · 41
90983
67 · 2459
37 · 2459
93137
11 · 8487
11 · 8467
In addition, Herrmann found that the following prime numbers were missing in Vega’s
table: 148303, 148669, 168559, 168677, 173309, 177347, 189913, 194167, 216569, 232103,
235003, 242639, 247609, 326119, 330509, 331921, 336437, 339671, 357817, 357883, 371299,
and 397427.
Finally, the following numbers were incorrectly given as prime by Vega (and Felkel):
148363, 148699, 168647, 168859, 173279, 177377, 194107, 210473, 216599, 232163, 235303,
242939, 247669, 326419, 331927, 336467, 339971, 357853, 358837, 359741, 371269, and
397457.
4
Ulbrich’s methods and auxiliary tables
Ulbrich’s obituary stresses the accuracy of Ulbrich’s methods which enabled him to move
on very quickly and to detect any error [1]. Ulbrich explained his methods to Cajetano, a
famous clockmaker-priest, and to Johann Wilhelm Bauer (1742–1825), who was professor
of mathematics at the University of Vienna and one of Felkel’s teachers.
Attached to Ulbrich’s table of factors, there is a four-page list of calculations,
num-bered XIV, which is probably part of the set of auxiliary tables computed by Ulbrich.
This list gives about 800 numbers from 1070551 = 41 · 26111 to 2164349 = 11 · 41 · 4799.
It is divided in four parts:
• numbers ending with 53: 1067353 to 2157953
• numbers ending with 57: 1069157 to 1815357
All these numbers are in fact multiples of 41, so that Ulbrich actually considers all
multiples of 41 ending with 49, 51, 53 and 57 in the above ranges. From one multiple of
41 ending with 49 to the next one, there is exactly a difference of 41 × 100 = 4100. An
excerpt of Ulbrich’s list for terminal 49s therefore is:
1947049 47489
= 13 · 13 · 281
511
5
552
6
= 103 · 463
593
7
= 7 · 6827
634
8
675
9
= 37 · 1297
. . .
. . .
2164349 52789
= 11 · 4799
From this we can get a glimpse of Ulbrich’s methods. For each prime number such
as 41, Ulbrich has probably considered its multiples ending with 01, 03, 07, 09, 11, etc.
Part of these lists are straightforward. The left column is constructed by increments of
4100 and the middle column (the quotient of the first column by the prime number 41) by
increments of 100. Then, using the parts of the table already completed, or another table,
one would identify prime factors or composite numbers. Prime factors were marked by
striking the factor out. Eventually, once all composite numbers were placed in the table,
the remaining cells could be identified as prime numbers. Interestingly, the composite
numbers of the above four pages of which we gave an excerpt had not yet been copied
in the main table, which is somewhat odd, and suggests that either Ulbrich died in the
middle of his work, or that he at some point gave up his table of factors.
Of course, one does not need to fill the entire table with composite numbers in order
to identify the prime numbers. For instance, since Ulbrich completed his table up to
1071899, he actually only needed to have all multiples of primes up to 1033, and each set
of multiples only needed to be started at its square. For instance, the multiples of 41 are
only needed from 41
2
= 1681
on, those of 1033 are only needed from 1033
2
= 1067089
on, and so on.
Moreover, it is possible that Ulbrich also used other methods. He may have used
stencils for the multiples of small primes, as Kulik would do later on [58].
It has been claimed that Ulbrich computed auxiliary tables up to 20 millions [2]. If
this is true, then these tables are probably tables of multiples, such as the above one. On
the other hand, Ulbrich apparently had plans to publish auxiliary tables, and publishing
such tables of multiples seem of little interest. Moreover if Ulbrich’s auxiliary tables went
to 20 millions, this must also mean that his (distant) plans were to produce a table of
factors up to 20 millions. Now, what multiples would Ulbrich have needed to reach that
planned to reach 100000000, does not seem to have considered multiples beyond 8389 [58].
5
Structure of the table and reconstruction
In our reconstruction, we have split the second volume in two, but have only extended
the third million as far as Ulbrich had computed it.
all items of this list are mentioned in the text, and the sources which have not been seen
are marked so. We have added notes about the contents of the articles in certain cases.
[1] Anonymous. Des Hrn. Florian Ulbrich’s regulirten Chorherrn und Stadtpfarrer zu
Korneuburg in Niederöstreich. Archiv für Geographie und Statistik, ihre
Hilfswissenschaften u. Litteratur, 1(3):194–196, 1800.
[obituary, reproduced from the
Wiener-Zeitung of 17 May 1800]
[2] Anonymous. (Obituary of Florian Ulbrich). Annalen der österreichischen
Literatur, 28:217, 1802.
[3] Anonymous. (On errors in Felkel’s and Vega’s tables). Oesterreichischer
Beobachter, 52:251–252, 1820.
[See [66] for a critical answer.]
[4] Anonymous. (Support for Crelle’s computation of the primes in the fourth
million). Abhandlungen der Königklichen Akademie der Wissenschaften in Berlin
aus dem Jahre 1833, 1835.
[p. iv mentions Crelle’s work on the fourth million]
[5] Anonymous. Ulbrich, Florian. In Johann Jakob Heinrich Czikann and Franz
Gräffer, editors, Oesterreichische National-Encyklopädie, oder alphabetische
Darlegung der wissenswürdigsten Eigenthümlichkeiten des österreichischen
Kaiserthumes, etc., volume 5, page 464. Wien: Friedr. Beck’schen
Universitäts-Buchhandlung, 1836.
[6] Raymond Clare Archibald. Mathematical table makers: Portraits, paintings,
busts, monuments; bio-bibliographical notes. New York: Scripta Mathematica,
1948.
[contains sections on Dase and Glaisher]
[7] Karl Christian Bruhns. Burckhardt, Johann Karl. In Historische Kommission bei
der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, editor, Allgemeine Deutsche
Biographie, volume 3, pages 571–572. Leipzig: Duncker & Humblot, 1876.
[8] Maarten Bullynck. Factor tables 1657–1817, with notes on the birth of number
theory. Revue d’histoire des mathématiques, 16(2):133–216, 2010.
[9] Review of Burckhardt’s Table des diviseurs etc. The Monthly Review,
84(2):542–544, 1817.
[review of [12]]
8
Note on the titles of the works:
Original titles come with many idiosyncrasies and features (line
splitting, size, fonts, etc.) which can often not be reproduced in a list of references. It has therefore
seemed pointless to capitalize works according to conventions which not only have no relation with the
original work, but also do not restore the title entirely. In the following list of references, most title
words (except in German) will therefore be left uncapitalized. The names of the authors have also been
homogenized and initials expanded, as much as possible.
The reader should keep in mind that this list is not meant as a facsimile of the original works. The
original style information could no doubt have been added as a note, but we have not done it here.
[11] Johann Karl Burckhardt. Table des diviseurs pour tous les nombres du troisième
million, etc. Paris: Vve Courcier, 1816.
[reconstructed in [77]]
[12] Johann Karl Burckhardt. Table des diviseurs pour tous les nombres des 1
er
, 2
e
et
3
e
million, etc. Paris: Vve Courcier, 1817.
[13] Johann Karl Burckhardt. Table des diviseurs pour tous les nombres du premier
million, etc. Paris: Vve Courcier, 1817.
[reconstructed in [75]]
[14] Fr. David à S. Cajetano. Praktische Anleitung für Künstler, alle astronomische
Perioden durch brauchbare bisher noch nie gesehene ganz neue Räderwerke mit
Leichtigkeit vom Himmel unabweichlich genau auszuführen sammt Erweiterung
der Theorie des neuen Rädergebäudes. Wien: Johann David Hörlingischen
Buchhandlung, 1793.
[15] Moritz Cantor. Crelle, August Leopold. In Historische Kommission bei der
Bayerischen Akademie der Wissenschaften, editor, Allgemeine Deutsche
Biographie, volume 4, pages 589–590. Leipzig: Duncker & Humblot, 1876.
[16] Moritz Cantor. Dase, Johann Martin Zacharias. In Historische Kommission bei
der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, editor, Allgemeine Deutsche
Biographie, volume 4, page 759. Leipzig: Duncker & Humblot, 1876.
[17] Berthold Otto Černík. Die Schriftsteller der noch bestehenden
Augustinerchorherrenstifte Österreichs von 1600 bis auf den heutigen Tag. Wien:
Heinrich Kirsch, 1905.
[pp. 223–225 on Ulbrich]
[18] Ladislaus Chernac. Cribrum arithmeticum sive, tabula continens numeros primos,
a compositis segregatos, occurrentes in serie numerorum ab unitate
progredientium, usque ad decies centena millia, et ultra haec, ad viginti millia
(1020000). Numeris compositis, per 2, 3, 5 non dividuis, adscripti sunt divisores
simplices, non minimi tantum, sed omnino omnes. Deventer: J. H. de Lange,
1811.
[reconstructed in [78]]
[19] August Leopold Crelle. Rechentafeln, welche alles Multipliciren und Dividiren mit
Zahlen unter Tausend ganz ersparen, bei grösseren Zahlen aber die Rechnung
erleichtern und sicherer machen. Berlin: Maurerschen Buchhandlung, 1820.
[2
volumes, reconstructed in [79]]
[20] August Leopold Crelle. Auszug der Primzahlen in den ersten 6 Millionen aus den
vorhandenen Factoren-Tafeln, 1842.
[manuscript at the Archives of the Berlin Academy of
Sciences, Nachlass Crelle, number 55, reconstructed in [95]]
[21] August Leopold Crelle. Abhandlung über die Mittel, eine Tafel der Primfactoren
der Zahlen bis zu beliebiger Höhe möglichst leicht und sicher aufzustellen. Bericht
über die zur Bekanntmachung geeigneten Verhandlungen der Königl. Preuss.
Akademie der Wissenschaften zu Berlin, pages 272–279, 1853.
[summary of [22]]
reine und angewandte Mathematik, 51(1):61–99, 1855.
[article supplemented by five
plates; a summary is given in [21]]
[23] August Leopold Crelle. Factor tables for the fourth, fifth, and sixth million, ca.
1840.
[3 manuscript volumes, Berlin, not located]
[24] Vincenz Darnaut, Aloys Edem von Bergenstamm, and Aloys Schützenberger.
Kirchliche Topographie von Österreich: Ein Beytrag zur Kirchen-, Staats- und
Culturgeschichte des Landes. Wien: Anton Strauß, 1819.
[25] Johann Martin Zacharias Dase. Der Kreis-Umfang für den Durchmesser 1 auf 200
Decimalstellen berechnet. Journal für die reine und angewandte Mathematik,
27:198, 1844.
[26] Johann Martin Zacharias Dase. Tafel der natürlichen Logarithmen der Zahlen.
Wien: Leopold Sommer, 1850.
[27] Johann Martin Zacharias Dase. Zacharias Dase. Aufschlüsse und Proben seiner
Leistungen als Rechenkünstler. Mitgetheilt von ihm selbst aus seinem Album.
Berlin: Z. Dase, 1856.
[28] Johann Martin Zacharias Dase. Factoren-tafeln für alle Zahlen der siebenten
Million etc. Hamburg: Perthes-Besser & Mauke, 1862.
[reconstructed in [82]]
[29] Johann Martin Zacharias Dase. Factoren-tafeln für alle Zahlen der achten Million
etc. Hamburg: Perthes-Besser & Mauke, 1863.
[reconstructed in [80]]
[30] Johann Martin Zacharias Dase and H. Rosenberg. Factoren-tafeln für alle Zahlen
der neunten Million etc. Hamburg: Perthes-Besser & Mauke, 1865.
[reconstructed
in [81]]
[31] Dase Stiftung. (On the publication of Dase’s tenth million). Bericht erstattet vom
Vorstande der Mathematischen Gesellschaft in Hamburg, page 4, 1878.
[the notice
appears at the end of an introductory notice dated March 4, 1878]
[32] Ignaz de Luca. Das gelehrte Oesterreich. Ein Versuch, volume 1. Wien: von
Ehelenschen, 1776.
[biographical notice on Felkel on pages 122–124]
[33] W. E. Obituary of James Glaisher. Monthly Notices of the Royal Astronomical
Society, 64(4):280–287, February 1904.
[34] Anton Felkel. Tafel aller einfachen Factoren der durch 2, 3, 5 nicht theilbaren
Zahlen von 1 bis 10 000 000. I. Theil. Enthaltend die Factoren von 1 bis 144000.
Wien: von Ehelenschen, 1776.
[There is also a Latin edition [35] of this first part.]
[reconstructed in [83]]
Wien: A. Gheleniana, 1777.
[Latin version of [34].] [not seen] [reconstructed in [83]]
[36] Anton Felkel. Tabula factorum. Pars II. Exhibens factores numerorum ab 144001
usque 336000. Wien: A. Gheleniana, 1777?
[reconstructed in [83]]
[37] Anton Felkel. Tabula factorum. Pars III. Exhibens factores numerorum ab 336001
usque 408000. Wien: A. Gheleniana, 1777?
[reconstructed in [83]]
[38] Franz Anton de Paula Gaheis. Spazierfahrten in die Gegenden um Wien. 1794.
[not seen]
[39] Carl Friedrich Gauss. Werke, volume 2. Göttingen: Königlichen Gesellschaft der
Wissenschaften, 1863.
[40] James Glaisher. Factor table for the fourth million etc. London: Taylor and
Francis, 1879.
[reconstructed in [85]]
[41] James Glaisher. Factor table for the fifth million etc. London: Taylor and Francis,
1880.
[reconstructed in [84]]
[42] James Glaisher. Factor table for the sixth million etc. London: Taylor and
Francis, 1883.
[reconstructed in [86]]
[43] James Whitbread Lee Glaisher. Report of the committee on mathematical tables.
London: Taylor and Francis, 1873.
[Also published as part of the “Report of the
forty-third meeting of the British Association for the advancement of science,” London: John
Murray, 1874. A review by R. Radau was published in the Bulletin des sciences mathématiques
et astronomiques, volume 11, 1876, pp. 7–27]
[44] James Whitbread Lee Glaisher. On factor tables, with an account of the mode of
formation of the factor table for the fourth million. Proceedings of the Cambridge
Philosophical Society, 3(4):99–138, 1878.
[45] James Whitbread Lee Glaisher. Table, mathematical. In Hugh Chisholm, editor,
The Encyclopædia Britannica, 11th edition, volume 26, pages 325–336.
Cambridge, England: at the University Press, 1911.
[46] B. Goldberg. Primzahlen- und Factoren-Tafeln von 1 bis 251647. Leipzig: Nies,
1862.
[reconstructed in [96]]
[47] B. Goldberg. Tables des nombres primitifs et des facteurs des nombres de 1 à
251647. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences,
54:792–793, janvier-juin 1862.
[48] Jørgen Pedersen Gram. Rapport sur quelques calculs entrepris par M. Bertelsen
et concernant les nombres premiers. Acta mathematica, 17:301–314, 1893.
Schriftsteller, volume 18. Lembo: Meyerschen Hof-Buchhandlung, 1821.
[50] Theodor Konrad Hartleben, editor. Statistisches Gemälde der Residenzstadt
Karlsruhe und ihrer Umgebungen. Karlsruhe: Gottlieb Braun, 1815.
[51] Anton Herrmann. Abhandlungen über die wahre Natur des Positiven und
Negativen etc. Wien: Carl Gerold, 1818.
[52] H. P. Hollis. Glaisher, James. In Sidney Lee, editor, Dictionary of National
Biography, volume II (second supplement), pages 117–119. London: Smith, Elder
& Co., 1912.
[53] Julian L. Hunt. James Glaisher FRS (1809-1903) — Astronomer, meteorologist
and pioneer of weather forecasting: ‘A Venturesome Victorian’. Quarterly Journal
of the Royal Astronomical Society, 37:315–347, 1996.
[54] William Woolsey Johnson. Mr. James Glaisher’s factor tables and the distribution
of primes. The Annals of Mathematics, 1(1):15–23, 1884.
[55] Jiří Kaván. Factor tables giving the complete decomposition into prime factors of
all numbers up to 256,000. London: Macmillan and co., 1937.
[This table was
reconstructed in [87].]
[56] Historische und topographische Darstellung von Klosterneuburg und seiner
Umgegend diesseits der Donau, mit besonderer Rücksicht auf Pfarren, Stifte,
Klöster, milde Stiftungen und Denkmäler. Wien: Anton Doll, 1824.
[57] Jakob Philip Kulik. Divisores numerorum decies centena millia non excedentium
etc. — Tafeln der einfachen Faktoren aller Zahlen unter Einer Million etc. Graz:
Miller, 1825.
[reconstructed in [89]]
[58] Jakob Philipp Kulik. Magnus Canon Divisorum pro omnibus numeris per 2, 3 et 5
non divisibilibus, et numerorum primorum interjacentium ad Millies centena
millia accuratius ad 100330201 usque, ca. 1825–1863.
[7 manuscript volumes deposited
in the Library of the Academy of Sciences, Vienna] [reconstructed in [88]]
[59] Johann Heinrich Lambert. Zusätze zu den Logarithmischen und
Trigonometrischen Tabellen zur Erleichterung und Abkürzung der bey Anwendung
der Mathematik vorfallenden Berechnungen. Berlin: Haude und Spener, 1770.
[reconstructed in [90]]
[60] Adrien Marie Legendre. Essai sur la théorie des nombres. Paris: Courcier, 1808.
[on pages 61–62 of the appendix (second edition, February 1816), Legendre mentions how he
used Chernac’s table and how Burckhardt’s tables can be used to check his evaluations of the
number of primes]
[61] Adrien Marie Legendre. Théorie des nombres, volume 1. Paris: Firmin Didot
Frères, 1830.
[The tables of Vega, Chernac and Burckhardt are mentioned on page 6.]
[63] Derrick Norman Lehmer. Factor table for the first ten millions containing the
smallest factor of every number not divisible by 2, 3, 5, or 7 between the limits 0
and 10017000. Washington, D.C.: Carnegie Institution of Washington, 1909.
[reconstructed in [91]]
[64] Derrick Norman Lehmer. List of prime numbers from 1 to 10,006,721.
Washington, D.C.: Carnegie Institution of Washington, 1914.
[reconstructed in [92]]
[65] Ignaz Lindner. Logarithmisches und logarithmisch-trigonometrisches Taschenbuch.
Wien: Joseph Geistinger, 1812.
[not seen]
[66] Ignaz Lindner. (On errors in Vega’s table). Oesterreichischer Beobachter, 86:422,
1820.
[This is a critical answer to [3].]
[67] Francis Maseres. The doctrine of permutations and combinations, being an
essential and fundamental part of the doctrine of chances. London: B. and
J. White, 1795.
[68] Johann Georg Megerle von Mühlfeld. Memorabilien des Österreichischen
Kaiserstaates, etc. Wien: J. P. Sollinger, 1825.
[pp. 319–321 on Florian Ulbrich]
[69] Ernst Meissel. Ueber einige Fehler der Burckhardt’schen Factorentafeln.
Mathematische Annalen, 23:600, 1884.
[70] Johann Heinrich Rahn. Teutsche Algebra oder Algebraische Rechenkunst. Zurich:
Johann Jacob Bodmer, 1659.
[English extended translation in [71].]
[71] Johann Heinrich Rahn. An introduction to algebra. London, 1668.
[Translated
from [70] and extended by Thomas Brancker and John Pell. Brancker’s table contained in this
volume was reconstructed in [74].] [not seen]
[72] Denis Roegel. A construction of Edward Sang’s projected table of nine-place
logarithms to one million (1872). Technical report, LORIA, Nancy, 2010.
[This
construction is based on the specimen pages [99].]
[73] Denis Roegel. A reconstruction of Edward Sang’s table of logarithms (1871).
Technical report, LORIA, Nancy, 2010.
[This is a reconstruction of [98].]
[74] Denis Roegel. A reconstruction of Brancker’s Table of incomposits (1668).
Technical report, LORIA, Nancy, 2011.
[This is a recalculation of Brancker’s table in [71].]
[75] Denis Roegel. A reconstruction of Burckhardt’s table of factors (first million,
1817). Technical report, LORIA, Nancy, 2011.
[This is a reconstruction of the table
in [13].]
[76] Denis Roegel. A reconstruction of Burckhardt’s table of factors (second million,
1814). Technical report, LORIA, Nancy, 2011.
[This is a reconstruction of the table
in [10].]
in [11].]
[78] Denis Roegel. A reconstruction of Chernac’s Cribrum arithmeticum (1811).
Technical report, LORIA, Nancy, 2011.
[This is a reconstruction of [18].]
[79] Denis Roegel. A reconstruction of Crelle’s Rechentafeln (1820). Technical report,
LORIA, 2011.
[This is a reconstruction of [19].]
[80] Denis Roegel. A reconstruction of Dase’s table of factors (eighth million, 1863).
Technical report, LORIA, Nancy, 2011.
[This is a reconstruction of the table in [29].]
[81] Denis Roegel. A reconstruction of Dase’s table of factors (ninth million, 1865).
Technical report, LORIA, Nancy, 2011.
[This is a reconstruction of the table in [30].]
[82] Denis Roegel. A reconstruction of Dase’s table of factors (seventh million, 1862).
Technical report, LORIA, Nancy, 2011.
[This is a reconstruction of the table in [28].]
[83] Denis Roegel. A reconstruction of Felkel’s tables of primes and factors (1776).
Technical report, LORIA, 2011.
[This is a reconstruction and an extension of Felkel’s
tables [34, 35, 36, 37].]
[84] Denis Roegel. A reconstruction of Glaisher’s table of factors (fifth million, 1880).
Technical report, LORIA, Nancy, 2011.
[This is a reconstruction of the table in [41].]
[85] Denis Roegel. A reconstruction of Glaisher’s table of factors (fourth million, 1879).
Technical report, LORIA, Nancy, 2011.
[This is a reconstruction of the table in [40].]
[86] Denis Roegel. A reconstruction of Glaisher’s table of factors (sixth million, 1883).
Technical report, LORIA, Nancy, 2011.
[This is a reconstruction of the table in [42].]
[87] Denis Roegel. A reconstruction of Kaván’s table of factors (1937). Technical
report, LORIA, 2011.
[This is a reconstruction of [55].]
[88] Denis Roegel. A reconstruction of Kulik’s “Magnus Canon Divisorum”
(ca. 1825–1863): Introduction. Technical report, LORIA, Nancy, 2011.
[This is a
reconstruction of [58].]
[89] Denis Roegel. A reconstruction of Kulik’s table of factors (1825). Technical
report, LORIA, Nancy, 2011.
[This is a reconstruction of [57].]
[90] Denis Roegel. A reconstruction of Lambert’s table of factors (1770). Technical
report, LORIA, Nancy, 2011.
[This is a reconstruction of [59].]
[91] Denis Roegel. A reconstruction of Lehmer’s table of factors (1909). Technical
report, LORIA, Nancy, 2011.
[This is a reconstruction of [63].]
[92] Denis Roegel. A reconstruction of Lehmer’s table of primes (1914). Technical
report, LORIA, Nancy, 2011.
[This is a reconstruction of [64].]
[94] Denis Roegel. A reconstruction of Vega’s table of primes and factors (1797).
Technical report, LORIA, Nancy, 2011.
[This is a partial reconstruction of [104].]
[95] Denis Roegel. A reconstruction of Crelle’s table of primes (1842). Technical
report, LORIA, Nancy, 2012.
[This is a reconstruction of [20].]
[96] Denis Roegel. A reconstruction of Goldberg’s table of factors (1862). Technical
report, LORIA, Nancy, 2013.
[This is a reconstruction of [46].]
[97] Floridus Röhrig and Herbert Fasching. Stift Klosterneuburg und seine
Kunstschätze. Verlag Niederösterreichisches Pressehaus, 1984.
[not seen]
[98] Edward Sang. A new table of seven-place logarithms of all numbers from 20 000
to 200 000. London: Charles and Edwin Layton, 1871.
[Reconstruction by D. Roegel,
2010 [73].]
[99] Edward Sang. Specimen pages of a table of the logarithms of all numbers up to
one million...: shortened to nine figures from original calculations to fifteen places
of decimals, 1872.
[The specimen pages were used to construct [72].]
[100] Nils Schenmark. Tabula, numerorum primorum et pro minimis divisoribus
compositorum, ad octo millia ultra millionem expedite inveniendis, ca. 1780.
[Copies of the manuscript at the library of the Institut in Paris, at the Royal Swedish Academy
of Sciences in Stockholm, and probably in St. Petersburg.] [reconstructed in [93]]
[101] Paul Peter Heinrich Seelhoff. Geschichte der Factorentafeln. Archiv der
Mathematik und Physik, 70:413–426, 1884.
[102] Stadt Linz. Historisches Jahrbuch der Stadt Linz. Archiv der Stadt Linz, 1978.
[103] Florian Ulbrich. Factorentafeln, 1791–1800.
[manuscript, two volumes, Österreichische
Nationalbibliothek]
[104] Georg Vega. Logarithmisch-trigonometrische Tafeln nebst andern zum Gebrauch
der Mathematik eingerichteten Tafeln und Formeln. Leipzig: Weidmannischen
Buchhandlung, 1797.
[2 volumes] [partial reconstruction in [94]]
[105] Verzeichniß der Domstifter und Pfarrer im Erzherzogthume Oesterreich. Wien:
Joseph Edlen von Kurzbeck, 1791.
[106] Constant von Wurzbach. Ulrich [sic], Florian. In Biographisches Lexikon des
Kaisertums Österreich, volume 49, pages 15–16. Wien: k. k. Hof- und
Staatsdruckerei, 1884.
0 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 N. 0 . . 3 . . 6 . . 9 . . 12 . . 15 . . 18 . . 21 . . 24 . . 27 . . 30 . . 33 . . 01 · · · 7 · 43 · · · 17 · 53 · · · 19 · 79 · · · 11 · 191 7 · 7 · 7 · 7 37 · 73 · · · · 07 · · · 17 · 71 11 · 137 13 · 139 7 · 7 · 43 29 · 83 · · · 31 · 97 · · · 11 · · · 13 · 47 · · · 7 · 173 · · · 7 · 11 · 43 13 · · · 11 · 83 · · · 17 · 89 7 · 7 · 37 · · · 19 · 127 · · · 23 · 131 · · · 17 · · · 7 · 131 · · · 37 · 41 23 · 79 29 · 73 · · · 11 · 13 · 19 7 · 431 31 · 107 19 · · · 11 · 29 · · · 23 · 53 7 · 7 · 31 17 · 107 13 · 163 41 · 59 · · · · 23 · · · 17 · 19 7 · 89 13 · 71 · · · 11 · 193 · · · 7 · 389 · · · · 29 · · · 7 · 47 17 · 37 · · · 11 · 139 31 · 59 · · · 7 · 347 · · · 13 · 233 · · · ∗ 31 · · · 7 · 7 · 19 · · · 11 · 13 · 17 · · · 7 · 433 · · · ∗ 37 · · · 7 · 7 · 13 · · · 29 · 53 11 · 167 · · · 7 · 17 · 23 · · · 47 · 71 41 · · · 11 · 31 · · · 17 · 73 23 · 67 7 · 263 · · · 13 · 257 43 · · · 7 · 7 · 7 · · · 23 · 41 11 · 113 · · · 19 · 97 · · · 7 · 349 13 · 211 17 · 179 · · · 47 · · · 29 · 43 7 · 13 · 17 · · · 19 · 113 · · · 41 · 67 11 · 277 · · · 49 7 · 7 · · · 11 · 59 13 · 73 · · · 43 · 43 7 · 307 31 · 79 · · · 17 · 197 53 · · · 7 · 179 · · · 17 · 109 · · · 11 · 223 · · · 43 · 71 7 · 479 59 · · · 7 · 137 · · · 11 · 13 · 13 17 · 127 · · · 31 · 89 7 · 19 · 23 · · · ∗ 61 · · · 19 · 19 · · · 31 · 31 13 · 97 7 · 223 · · · 23 · 107 11 · 251 · · · ∗ 67 · · · 23 · 29 · · · 7 · 181 · · · 11 · 197 · · · 7 · 13 · 37 71 · · · 7 · 53 11 · 61 · · · 31 · 41 · · · 13 · 167 7 · 353 17 · 163 37 · 83 · · · 73 · · · 7 · 139 19 · 67 11 · 11 · 13 · · · 41 · 53 · · · 47 · 59 7 · 439 · · · 77 7 · 11 13 · 29 · · · 19 · 83 · · · 7 · 311 · · · 17 · 181 11 · 307 79 · · · 7 · 97 11 · 89 · · · 37 · 67 7 · 397 · · · 31 · 109 83 · · · 7 · 269 37 · 59 13 · 191 11 · 11 · 23 · · · 17 · 199 89 · · · 13 · 53 23 · 43 · · · 7 · 227 · · · 11 · 199 19 · 131 · · · · ∗ 91 7 · 13 17 · 23 · · · 37 · 43 31 · 61 7 · 313 47 · 53 · · · 11 · 281 · · · ∗ 97 · · · 17 · 41 · · · 7 · 271 13 · 13 · 13 11 · 227 · · · 19 · 163 43 · 79 N. 1 . . 4 . . 7 . . 10 . . 13 . . 16 . . 19 . . 22 . . 25 . . 28 . . 31 . . 34 . . 01 · · · 7 · 11 · 13 · · · 31 · 71 41 · 61 · · · 7 · 443 19 · 179 03 · · · 13 · 31 19 · 37 17 · 59 · · · 7 · 229 11 · 173 · · · 29 · 107 41 · 83 07 · · · 11 · 37 7 · 101 19 · 53 · · · 23 · 109 7 · 401 13 · 239 · · · 09 · · · 7 · 11 · 17 · · · 23 · 83 47 · 47 13 · 193 53 · 53 · · · 7 · 487 13 · · · 7 · 59 23 · 31 · · · 13 · 101 · · · 7 · 359 29 · 97 11 · 283 · · · 19 7 · 17 · · · 19 · 101 7 · 317 11 · 229 · · · 13 · 263 ∗ 21 11 · 11 · · · 7 · 103 · · · 17 · 113 · · · 7 · 13 · 31 · · · 11 · 311 ∗ 27 · · · 7 · 61 · · · 13 · 79 · · · 41 · 47 17 · 131 7 · 19 · 19 11 · 257 53 · 59 23 · 149 31 · · · 17 · 43 · · · 11 · 11 · 11 7 · 233 · · · 23 · 97 · · · 19 · 149 31 · 101 47 · 73 33 7 · 19 · · · 31 · 43 23 · 71 · · · 7 · 11 · 29 17 · 149 · · · 13 · 241 · · · 37 · · · 19 · 23 11 · 67 17 · 61 7 · 191 · · · 13 · 149 · · · 43 · 59 · · · 7 · 491 39 · · · 13 · 103 11 · 149 7 · 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