Physique quantique appliquée Master 1ère année Correction sommaire

Université Pierre et Marie Curie

Physique quantique appliquée Master 1

^ère

année

Correction sommaire

Moments cinétiques :

Exercice n°1 :

1-

( )

0 m 2 l

L m L

m l l m l

m l L m

L_x l ^x + =

=

= ^{+ −}

( )

0 m i l

2 L m L

l

L_y − =

= ^{+ −}

h m m l L m l

L_z = _z =

h r

m 0 0 L

L L L

z y x

=

= (L’état |lm> est bien un état propre de Lz.)

( )

²

(

²

)

²

2

x lm j(j 1) m

4 L m L l m 4 l

L m L l m 4 l

L m L

l

L + = + = + − h

= ^{+ − + − − +}

( )

²

(

²

)

²

y2 lm j(j 1) m

4 L m L l m 4 l

L m L l m 4 l

L m L

l

L = + = + − h

−

= ⁺ − ^{− + − − +}

2 2 2z

z2 lmL lm m

L = = h

2- 2 x ^{2 2} h

x

x L L j(j 1) m

L = − = + −

∆

2 h

2 2 y

y

y L L j(j 1) m

L = − = + −

∆

0 L

L

L_z = ²_z − _z ² =

∆

Exercice n°2 :

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟ =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟ =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

−

1 0 0 1 1 0

1 0 0 1 0

0 1 1 On choisit : 1

1- Ecrire la matrice des opérateurs J², J_x, J_y, J_z.

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

=

2 0 0

0 2 2

0 2 0

J 2

0 0

0 2

0

0 0

2

J _x

2 2

2 2

h h h

h

h h

h

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛−

=

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

=

h h

h h h

h

0 0

0 0 0

0 0 J

0 2 i 0

i 2 2 0

i

0 2 i 0

J_{y z}

2- Exprimer en fonction des kets propres |j m_z> les états propres communs à J² et J_x que l’on note |j m_x>_x.

dét(J_x-λ I)= ^{2 2 2}

(

^{2 2}

)

2 2

2 0

2 2

0 2

h h h

h h h

h

− λ λ

−

= λ

⎟+

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛λ − λ

−

= λ

− λ

− λ

−

Les solutions sont : λ₁=0 ; λ₂ =h ; λ₃ =−h Les vecteurs propres associés sont alors :

• 2

1 1 1 0 1

1

0 x

1

−

= −

= λ

• 2

1 1 0 1 2 1 1 1

1 x 2

+ +

= −

=

λ h

• 2

1 1 0 1 2 1 1 1

1 x 3

+

−

= −

−

−

=

λ h

Exercice n°3 :

1- _{0 1 2}

(

_{1z 2z}

)

_{1 2}

(

_{1 2}

)

_{1 2}

S 2 S

H ε ε =−ω + ε ε =−ωh ε +ε ε ε

dégénéré non

: 1

2 ,

0

dégénéré non

: 1

ence dégénéresc propre

vecteur énergie

−

− ω

+

−

− +

+ + ω

− h

h

2- H = H₀ + W

avec W = A

(

Sr1•Sr2 −3

(

Sr1•erz

)(

Sr2•erz

) ) (

=AS1xS2x +S1yS2y −2S1zS2z

)

W = ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ _{+ −} + _{− +} −

z 2 z 2 1

1 2

1 2S S

2 S S S A S

On en déduit la matrice de W :

W =

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

2 2

2

2 2

2

2 0 A

0 0

2 0 2 A

A 0

2 0 2 A

A 0

0 0

2 0 A

h h

h

h h

h

La matrice de W n’est pas diagonale. La base composée n’est pas une base de vecteurs propres.

3.a- En appliquant chaque opérateur sur la base composée, on montre directement que :

4 I S

4 I S

4 I S 3

4 I S 3

2 2 z 2 2 2

z 1

2 2 2 2 2

1

h h

r h r h

=

=

=

=

..

3.b- Sr² Sr₂² Sr₁² 2Sr₁ Sr₂

• + +

=

z 2 z 1 2 z 1 2 z 2 2

z S S 2S S

S = + +

On a donc :

W = A

( ( )( ) )

_⎟^⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ − −

− −

= −

•

•

−

• 2

S S 3 S

2 S S A S

e S e S 3 S S

2z 2 1

z 2 2 2 z

2 2 2 1 z

2 z 1 2

1 r r r r r

r

W = ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

−

+ I

S 4 3 2 I S 3 2

A ₂ ²

z

2 h2 h

On a donc

(

2 ²z

S K 2 S

W= A r −

)

avec K =3.

4- On considère la base standard {|s m>} de

E

^.

4.a- s peut prendre les valeurs 0 (= s₁-s₂) ou 1 (= s₁+s₂) La base standard est donc :

{

^{00 ; 1−1; 10; 11}

}

4.b-

( )

( )

( )

( )

(

^{S 3S}

)

^{10 A 10}

2 S A 10

H

1 2 1

1 A 1 S 3 2 S

S A 1

1 H

1 2 1

1 A 1 3

2 2 A

1 1 S 3 2 S

S A 11

H

0 0 0 S 3 2 S

S A 0

0 H

2 2z

z 2

2 2z

z 2

2 2

2

2 z 2

z

2z z 2

r h

h r h

h h

h h

h

r r

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛−ω + −

=

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛+ ω−

=

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛− ω + −

=

−

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛− ω−

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛− ω+ −

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛−ω + −

=

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛− ω + −

=