Relations binaires
1 Produits cart´ esiens et graphes
1.1 Produit cart´ esien E × F
SoientE et F deux ensembles non vides.
E×F ={(x;y)/ x∈E ety∈F} Si E=F, E×F=E2 (carr´e cart´esien) Soit (a;b)∈E×F.
aest la premi`ere coordonn´ee du couple (a;b) b est la deuxi`eme coordonn´ee du couple (a;b) ((x;y); (x0;y0))∈(E×F)2
(x;y) = (x0;y0)⇐⇒x=x0 ety=y0 (x;y)6= (x0;y0)⇐⇒x6=x0 ouy6=y0
1.2 Graphe dans E × F
On appelle graphe dansE×F tout sousensemble deE×F exemple:
E={1; 2; 3}
F ={a;b}
G={(1;a); (2;a)} est un graphe dansE×F
2 Relations binaires
2.1 D´ efinition
SoientE et F deux ensembles non vides.
On ´etablit une relation binaire not´eeRdeE dansF en ´enon¸cant une propri´et´e que v´erifie ou non un couple quelconque (x;y)∈E×F
La relation binaire Rest donc une fonction `a valeurs bool´eennes sur E×F. On peut aussi la d´efinir comme un triplet (E;F;G) o`u Gest un graphe dans E×F.
exemple:
E=F =R
R: xest le double dey
∀(x;y)∈R2, xRy⇐⇒x= 2y
R: ≤
∀(x;y)∈R2, xRy⇐⇒x≤y
2.2 Graphe d’une relation binaire
SoitRune relation binaire surE×F.
Le graphe de la relation binaireRestGR={(x;y)∈E×F / xRy}
GR⊂E×F donc tout graphe de relation binaire est un graphe.
SoitGun graphe. G⊂E×F D´efinissonsRpar:
∀(x;y)∈E×F, xRy⇐⇒(x;y)∈G
Par d´efinition G est le graphe de la relation binaireR, donc tout graphe est un graphe de relation binaire.
Conclusion: un graphe caract´erise une relation binaire.
3 Relations binaires remarquables
3.1 Qualit´ es possibles d’une relation binaire de E dans E
3.1.1 R´eflexive
Rest r´eflexive⇐⇒ ∀x∈E, xRx {(x;x)/ x∈E} ⊂GR
3.1.2 Sym´etrique
Rest sym´etrique ⇐⇒ ∀(x;y)∈E2, xRy=⇒yRx 3.1.3 Transitive
Rest transitive si et seulement si pour tout (x;y;z)∈E3, xRy
yRz
=⇒xRz
3.1.4 Antisym´etrique
Rest antisym´etrique si et seulement si pour tout (x;y)∈E2, xRy
yRx
=⇒x=y
remarque: siR est sym´etrique, antisym´etrique et de graphe non vide, Rest une relation d’´egalit´e.
3.2 Relation d’´ equivalence
3.2.1 D´efinition
Une relation d’´equivalence surEest une relation binaire deEdansEr´eflexive, sym´etrique et transitive.
3.2.2 Classe d’´equivalence Soita∈E.
La classe d’´equivalence deaest ˙a={x∈E / aRx}
∀x∈a˙ on dit quexest ´equivalent `aa, ou quexest un repr´esentant de ˙a.
3.2.3 Propri´et´es des classes d’´equivalence propri´et´e 1: ∀a∈E, a˙ 6=∅cara∈a˙ (par r´eflexivit´e) propri´et´e 2: sib∈a, alors ˙˙ a= ˙b
D´emonstration : b∈a˙ doncaRb
∀x∈a, aRx˙ doncxRapar sym´etrie
xRaet aRb doncxRbpar transitivit´e, et doncx∈b˙ On a donc: ∀x∈a, x˙ ∈b, on en d´˙ eduit: ˙a⊂b˙ On d´emontre de mˆeme que ˙b⊂a, et donc que ˙˙ a= ˙b 3.2.4 Th´eor`eme
Soit R une relation d’´equivalence sur E non vide. L’ensemble des classes d’´equivalence deRforme une partition de E.
D´emonstration:
De la propri´et´e 1, on d´eduitE= [
a∈E
˙ a
De la propri´et´e 2, on d´eduit ˙a6= ˙b=⇒a˙ ∩b˙=∅ exemple:
E=Z Soitn∈N∗
∀(x;y)∈Z2, xRy⇐⇒x≡y[n]
Rest la relation de congruence modulon.
˙0 ={x∈Z/ x≡0 [n]}
˙0 = ensemble des multiples dendansZ
˙1 ={x∈Z/ x≡1 [n]}
˙1 = ensemble des entiers relatifs qui ont pour reste 1 dans la division euclidienne parn.
Ensembles des classes ={˙0;. . .; ˙ n[−1}
3.2.5 R´eciproque
Etant donn´ee une partition (Ei)i∈I de E 6= ∅, il existe une unique relation d’´equivalenceRsurE dont les classes d’´equivalences sont exactement les Ei. D´emonstration:
Si une telle relation d’´equivalence existe, alors on a n´ecessairement:
∀(x;y)∈E2, xRy⇐⇒ ∃i∈I tel que (x;y)∈Ei2
L’unicit´e est donc assur´ee, il faut maintenant montrer que l’on a bien d´efini une relation d’´equivalence.
∀x ∈ E, ∃ i ∈ I tel que x ∈ Ei car les (Ei)i∈I forment un recouvrement deE.
On a doncxRxpour toutxdeE. Rest bien r´eflexive.
La sym´etrie deRd´ecoule directement de la sym´etrie de sa d´efinition.
SupposonsxRy etyRz.
∃i∈I tel que (x;y)∈Ei2
∃j∈I tel que (y;z)∈Ej2
On a doncy∈Ei et y∈Ej. Or lesEi sont disjoints, donci=j On en d´eduit xRz, et donc la transitivit´e deR.
Rest r´eflexive, sym´etrique et transitive: c’est bien une relation d’´equivalence.
3.2.6 Ensemble quotient
SoitE6=∅et Rune relation d’´equivalence surE.
L’ensemble quotient deE parRestE/R={a / a˙ ∈E}= ensemble des classes d’´equivalence.
exemple:
E=R
∀(x;y)∈R2, xRy⇐⇒x2+x=y2+y
La relation R est r´eflexive, sym´etrique et transitive, c’est bien une relation d’´equivalence.
∀x∈R, x˙ ={y∈R/ x2+x=y2+y}
˙
x={y∈R/(x−y)(x+y+ 1) = 0}
˙
x={y∈R/ y=xouy=−1−x}
˙
x={x;−1−x}
E/R ={{x;−1−x}/ x∈R}
3.3 Relation d’ordre
3.3.1 D´efinition
Une relation d’ordre surE 6=∅ est une relation binaire deE dans E r´eflexive, transitive et antisym´etrique. On dit alors queEest ordonn´e.
exemples:
≤est une relation d’ordre surR.
<n’est pas une relation d’ordre surR(non r´eflexive).
3.3.2 Ordre total et ordre partiel SoitRune relation d’ordre surE.
Rest une relation d’ordre total surE si et seulement si deux ´el´ements quelcon- ques deE sont comparables parR.
⇐⇒ ∀(x;y)∈E2, xRyouyRx
Si Rn’est pas une relation d’ordre total, on dit que c’est une relation d’ordre partiel.
≤est une relation d’ordre total surR.
⊂est une relation d’ordre partiel surP(R).
Si R est une relation d’ordre total sur E, E est dit totalement ordonn´e par R.
SiRest une relation d’ordre partiel surE,E est dit partiellement ordonn´e par R.
3.3.3 Vocabulaire
R,≤ E,R
segment [a;b] {x∈R/ a≤xet x≤b} {x∈E / aRxetxRb}
]a;b[ [a;b]− {a;b} [a;b]− {a;b}
M = majorant deA A⊂R, M ∈R A⊂E, M ∈E
∀x∈A, x≤M ∀x∈A, xRM
m= minorant deA m∈Ret∀x∈A, m≤x m∈E et∀x∈A, mRx
maximum deA M ax(A)∈A M ax(A)∈A
M ax(A) ∀x∈A, x≤M ax(A) ∀x∈A, xRM ax(A)
minimum deA M in(A)∈A M in(A)∈A
M in(A) ∀x∈A, M in(A)≤x ∀x∈A, M in(A)Rx
N = ´el´ement maximal N∈A N∈A
∀x∈A, (N≤x=⇒x=N) ∀x∈A, (NRx=⇒x=N)
n= ´el´ement minimal n∈A n∈A
∀x∈A, (x≤n=⇒x=n) ∀x∈A, (xRn=⇒x=n)
borne sup´erieure de A ∀x∈A, x≤Sup(A) ∀x∈A, xRSup(A) Sup(A) ∀y∈Rtel que∀x∈A, x≤y ∀y∈E tel que∀x∈A, xRy
on a Sup(A)≤y on aSup(A)Ry
borne inf´erieure de A ∀x∈A, Inf(A)≤x ∀x∈A, Inf(A)Rx Inf(A) ∀y∈Rtel que∀x∈A, y≤x ∀y∈E tel que∀x∈A, yRx
on ay≤Inf(A) on ayRInf(A)
remarques:
M ax(A), s’il existe, est un majorant deAappartenant `a A M in(A), s’il existe, est un minorant deAappartenant `aA Sup(A), s’il existe, est le plus petit des majorants deA Inf(A), s’il existe, est le plus grand des minorants deA Sup(A) et Inf(A) peuvent exister sans appartenir `aA exemples:
E=R2
(a;b)R(c;d)⇐⇒(a≤c) et (b≤d) Rest une relation d’ordre partiel surR2 A1=
0;14
×3
4; 1 A2=3
4; 1
× 0;14 A=A1∪A2
A⊂R2 etA6=∅
(2; 2) est un majorant deA (−1;−1) est un minorant de A An’a ni minimum, ni maximum.
1 4; 1
et 1;14
sont les ´el´ements maximaux deA 0;34
et 34; 0
sont les ´el´ements minimaux deA
3.3.4 Propri´et´es:
SoitE6=∅ordonn´e parR SoitA⊂E,A6=∅
propri´et´e 1: le maximum deA, s’il existe, est unique.
D´emonstration:
Supposons qu’il existeaet a0 deux maxima.
aest un maximum eta0∈A, donca0Ra a0 est un maximum eta∈A, doncaRa0 a0RaetaRa0, donca=a0
propri´et´e 2: le minimum deA, s’il existe, est unique.
D´emonstration similaire.
propri´et´e 3: si la borne sup´erieure deAexiste, elle est unique D´emonstration:
Supposons qu’il existeaet a0 deux bornes sup´erieures.
a0 est un majorant etaest une borne sup´erieure, doncaRa0 aest un majorant eta0 est une borne sup´erieure, donca0Ra a0RaetaRa0, donca=a0
propri´et´e 4: si la borne inf´erieure deAexiste, elle est unique D´emonstration similaire.
propri´et´e 5: siM ax(A) existe, alorsSup(A) existe etM ax(A) =Sup(A) D´emonstration:
M ax(A) est un majorant deA SoitM un majorant quelconque deA M ax(A)∈A, doncM ax(A)RM
M ax(A) est bien le plus petit des majorants, doncSup(A) existe et Sup(A) =M ax(A)
propri´et´e 6: siM in(A) existe, alorsInf(A) existe etM in(A) =Inf(A) D´emonstration similaire.
propri´et´e 7: siM ax(A) existe, c’est l’unique ´el´ement maximal de A D´emonstration:
M ax(A)∈A
Soitx∈Atel queM ax(A)Rx
x∈A, doncxRM ax(a). On aM ax(A)Rxet xRM ax(a) doncx=M ax(A) M ax(A) est donc bien un ´el´ement maximal.
Soity un autre ´el´ement maximal de A. yRM ax(A), doncy=M ax(A) propri´et´e 8: siM in(A) existe, c’est l’unique ´el´ement minimal deA D´emonstration similaire.
propri´et´e 8: siA est fini, etRest une relation d’ordre total, alors M ax(A), Sup(A),M in(A) etInf(A) existent etM ax(A) =Sup(A),M in(A) =Inf(A)
