Quelques modèles de prix de l électricité pour la valorisation de produits dérivés

(1)

1

Quelques mod èles de prix de l’ électricit é pour la valorisation de produits d ériv és

1. Caract èristiques des prix de l’ électricit é 2. Pr étraitement des donn ées de prix à terme

3. Mod `ele factoriel gaussien

4. Quelques mod `eles avanc ´es

(2)

1. Caract éristiques des prix de l’ électricit é 2

Exemple de chronique de prix spot

◮

Donn ´ees de prix spot EEX heure par heure

(S

_t

)

_t≥0

∈ R

⁺

0 1e3 2e3 3e3 4e3 5e3 6e3 7e3 8e3 9e3

0 100 200 300 400 500

4390 4410 4430 4450 4470 4490 4510 4530 4550 4570

0 10 20 30 40 50

Du 15/09/2002 `a 00h00 au 14/09/2003 `a 23h00 Zoom sur une semaine

(3)

Caract ´eristiques du prix spot

◮

P ériodicit é multi- échelles

•

Cycle annuel

•

Cycle hebdomadaire

•

Cycle journalier

◮

Retour `a la moyenne

•

R ´eponse de l’offre `a la demande

◮

Pr ´esence d’importants pics de prix

•

Caract ère non stockable de l’ électricit é

•

Discontinuit ´e des co ˆuts de production

⇒

Pas de couverture possible sur le spot

(4)

Exemple de donn ´ees de prix `a terme

◮

Donn ´ees de prix `a terme

F (t, T, θ) t

^{fix ´e}

Platts Allemand Base (Euros/MWh) le 20 fevrier 2004

(5)

Courbe de prix `a terme

◮

Repr ésentation des donn ées de prix à terme

F (t, T, θ)

^pour

t

fix ´e

(6)

Gestion des recouvrements

◮

Suppresion des recouvrements par Absence d’Opportunit ´e d’Arbitrage

(7)

2. Pr étraitement des donn ées de prix à terme 7

Saisonnalisation de la courbe des prix `a terme

◮

Multiplication des produits par saisonnalisation

(8)

Lissage de la courbe de prix `a terme

◮

Lissage polynomial

(9)

Courbe de prix `a terme reconstruire

◮

Exemple de reconstruction au niveau horaire

(10)

3. Mod `ele factoriel gaussien 10

Evolution de la courbe de prix `a terme dans le temps

◮

Comment ´evolue la courbe entre les instants

t

₀ et

t > t

₀ ?

(11)

Structure de volatilit ´e exponentielle observ ´ee

◮

Volatilit ´e des rendements

∆ log F (t, T, θ)

en fonction de l’ ´ech ´eance

T − t

1 3 5 7 9 11 13 15

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18

Calcul empirique `a partir des donn ´ees Platts du 01/01/2001 au 15/07/2002

(12)

Description du mod `ele factoriel

◮

Lien entre prix `a terme observ ´es et prix terme horaires

F (t, T, θ) = 1 θ

θ−1

X

i=0

F (t, T + i)

[Heath-Jarrow-Morton-1987], [clewlow-Strickland-2000], [Lucia-Schwartz-2002]

◮

Mod `ele `a deux facteur horaire

(F (t, T ))

_t≥0

∈ R

⁺ ^pour

T ≥ t

 

 

 

 



F (t, T ) = F (0, T ) exp { M (t, T ) + e

^−a(T^−t)

X

_t

+ Y

_t

}

X

_t

= e

⁻^at

X

₀

+ R

t

0

σ

_c

e

⁻^a(t⁻^s)

dW

_s¹

Y

_t

= σ

_L

W

_t²

(13)

Mod ´elisation des prix SPOT ´electriques

◮

Mod `ele de prix spot : On pose

S

_t

= F (t, t)

ce qui implique

S

_t

= D

_t

e

^X^t^+Y^t avec

dX

_t

= − aX

_t

dt + σ

_c

dW

_t¹ et

Y

_t

= σ

_L

W

_t²

• D

_t

:

saisonnalit ´e de

S

_t

D

_t

= F (0, t) exp { M (t, t) }

• a :

vitesse de retour `a la moyenne

• σ

_c

:

volatilit ´e court-terme

• σ

_L

:

volatilit ´es long-terme

• (W

¹

, W

²

) :

bruit g ´en ´erateur Brownien

(14)

Structure de volatilit ´e exponentielle mod `ele

◮

Volatilit ´e des rendements

∆ log F (t, T, θ)

en fonction de l’ éch éance induite par le mod èle à deux facteurs

σ(T − t) = p

σ

_c²

e

^−2a(T^−t)

+ σ

_L²

(15)

4. Quelques mod `eles avanc ´es 15

Mod ´ele de diffusion avec sauts

◮

Mod `ele de prix spot : Partie gaussienne + Sauts

S

_t

= D

_t

e

^X^t^+Y^t avec

dX

_t

= − aX

_t

dt + σ

_c

dW

_t¹

+ dN

_t

, Y

_t

= σ

_L

W

_t² et

N

_t

:

processus de Poisson compos ´e

•

Difficult é pour estimer les param ètres de saut (fr équence et amplitude)

•

Les sauts sont bien repr ésent és mais les pics de prix sont mal repr ésent és

(16)

Mod éle à volatilit é stochastique

◮

Extension du mod `ele [Hobson-Rogers98] dans [Collet-Duwig-Oudjane-2006]

S

_t

= D

_t

e

^X^t avec

dX

_t

= − aX

_t

dt + σ(P

_t

)dW

_t ^et

Y

_t

σ

_L

W

_t et

P

_t

=

Z

+∞

0

λe

^−λu

(X

_t

− X

_t−u

)

²

du

avec

λ > 0

^et

σ(P

_t

) = p

ω + αP

_t avec

ω ≥ 0 , α ≥ 0

^et

α + ω > 0

•

Mod èle de march é complet [Hobson-Rogers98]. Version temps discret du mod èle est proche d’un mod èle GARCH (incomplet) [Jeantheau04]

•

Estimation des param `etres correcte

•

Repr ´esentation des prix m ´ediocre

(17)

Simulation de prix spot avec le mod `ele de type H&R

◮

Comparaison d’une trajectoire simul ´ee avec la chronique observ ´ee

0 1e3 2e3 3e3 4e3 5e3 6e3 7e3 8e3 9e3

0 100 200 300 400 500

0 1e3 2e3 3e3 4e3 5e3 6e3 7e3 8e3 9e3

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

Prix spot EEX Prix spot simul ´e suivant type H&R

(18)

Mod `ele de Barlow

◮

Mod `ele fond ´e sur la confrontation de l’offre et de la demande [Barlow2002] :

u

_t

(S

_t

) = d

_t

(S

_t

)

^avec

u

_t

:

fonction d’offre et

d

_t

:

fonction de demande

(19)

Mod ´ele de Barlow

◮

La demande est suppos ´ee in ´elastique au prix :

d

_t

(S

_t

) = D

_t ^avec

D

_t

:

Demande mod `elis ´ee par un Ornstein-Uhlenbeck

◮

La fonction d’offre est suppos ´ee constante :

u

_t

(x) = g(x) = a

₀

+ b

₀

x

^α

L’ ´egalit ´e

D

_t

= g(S

_t

)

+ Contrainte de prix maximum

ε

^1/α₀ implique

S

_t

=

 

 



 

 

a0−D^t b0

1/α

= (1 + αX

_t

)

^1/α ^pour

D

_t

< a

₀

− ε

₀

b

₀

ε

^1/α₀ pour

D

_t

≥ a

₀

− ε

₀

b

₀

Avec

X

_t

= OU (a, m

^′

, σ)

^si

D

_t

= OU (a, m, σ)

(20)

Simulation de prix spot avec le mod `ele de Barlow

◮

Comparaison d’une trajectoire simul ´ee avec la chronique observ ´ee

Prix spot EEX Prix spot simul ´e suivant Barlow

(21)

Mod `ele `a 1 facteur Normal inverse Gaussien

[Benth2003], [Oudjane2003]

◮

Mod `ele de prix spot / prix `a terme

S

_t

= F (t, t)

^et

F (t, T, θ) = 1 θ

θ−1

X

i=0

F (t, T + i)

◮

Mod `ele `a 1 facteur horaire

(F (t, T ))

_t≥0

∈ R

⁺ ^pour

T ≥ t

 

 

 

 



F (t, T ) = F (0, T ) exp { M (t, T ) + e

⁻^a(T⁻^t)

X

_t

}

X

_t

= e

^−at

X

₀

+ R

t

0

σ(s, t)dL

_s ^avec

σ(s, t) = σe

^−a(t−s)

L :

Processus de L ´evy Normal Inverse Gaussien

(22)

Processus de L ´evy NIG

◮

_Motivation Repr ´esentation des pics de prix pour la valorisation d’options tr `es en dehors de la monnaie

◮ L

L ´evy de type Normal Inverse Gaussien (NIG) i.e.

L

₁

∼ N IG(α, β, δ, µ) L

₁

= µ+βY + √

Y N ,

o `u

N ∼ N (0, 1) ,

et

Y ∼

^IG

(δ, γ = p

α

²

− β

²

)

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−14

−12

−10

−8

−6

−4

−2 0

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−14

−12

−10

−8

−6

−4

−2 0

Densit ´e gaussienne vs NIG Log–densit ´e gaussienne vs NIG

◮

Le logarithme de la transform ´ee de Laplace a pour expression :

Φ(u) = log( E [e

^uL

]) = uµ+δ p

α

²

− β

²

− p

α

²

− (β + u)

²

∀ | β+u | < α

(23)

Calage des r ´esidus

◮

Meilleure repr ´esentation des queues de distribution par le mod `ele NIG

−6 −4 −2 0 2 4 6

−20

−16

−12

−8

−4 0 4 8 12

−6 −4 −2 0 2 4 6

−20

−16

−12

−8

−4 0 4 8 12

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

−6 −4 −2 0 2 4 6

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1 0 1

−6 −4 −2 0 2 4 6

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1 0 1

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Log-densit ´e gaussienne Log-densit ´e NIG

(24)

Simulation de prix gaussien vs NIG

◮

Meilleure repr ´esentation des pics de prix par le mod `ele factoriel NIG

0 2e3 4e3 6e3 8e3 10e3 12e3

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0 2e3 4e3 6e3 8e3 10e3 12e3

0 40 80 120 160 200 240

Prix spot simul ´e avec bruit gaussien Prix spot simul ´e avec bruit NIG

(25)

Valorisation par absence d’opportunit ´e d’arbitrage

◮

Valorisation par absence d’opportunit ´e d’arbitrage :

Prime de l’option = moyenne des ”cash-flow” sous la probabilit ´e risque neutre

◮

On montre sous certaines hypoth èses (lorsqu’on se limite à une certaine famille de mod èle) l’unicit é de la probabilit é risque neutre pour le mod èle NIG ([Oudjane2005])

◮

Comment caract ´eriser la probabilit ´e risque neutre ?

(26)

Transformation d’Esscher

◮ L

un processus de L ´evy de type NIG i.e.

L

₁

∼ N IG(α, β, δ, µ)

◮ θ : [0, T

^∗

] → R

une fonction mesurable v ´erifiant :

| θ(t) | < α

et

| θ(t) + β | < α ∀ t ∈ [0, T

^∗

]

◮

On appelle transformation d’Esscher le changement de probabilit ´e de

P

`a

P ˜

^θ de densit ´e

Z

_t^θ

= d P ˜

_t^θ

dP

_t de la forme :

Z

_t^θ

= exp

Z

t 0

θ(s)dL

_s

− Z

t

0

Φ(θ(s))ds

∀ t ∈ [0, T

^∗

]

(27)

Condition d’existence d’une probabilit ´e risque neutre

◮ P e

^θ

∼ P

sur

[0, T

^∗

]

de densit ´e

Z

^θ

◮

Supposons que

θ

v ´erifie pour tout

T ∈ [0, T

^∗

]

et pour tout

t ∈ [0, T ]

^:

| θ(t) + σ(t, T ) + β | < α

◮

Alors les processus

(F (t, T ))

_t_∈_[0,T_] sont des martingales sous

P e

^θ, pour toute maturit ´e

T ∈ [0, T

^∗

]

, si et seulement si la condition de d érive suivante est v érifi ée :

M (t, T ) = − Z

t

0

Φ(σ(s, T ) + θ(s)) − Φ(θ(s))

ds

(28)

Etude sous la nouvelle probabilit ´e

◮

Si la fonction

θ

est constante par morceaux sur chaque heure :

∀ t ∈ [t

_n

, t

_n+1

[ θ(t) = θ

_n

◮

Alors le changement de probabilit é se traduit sur la mesure de L évy par une translation du param ètre d’asym étrie :

β −→ β + θ

_n

◮

_Conclusion _{: sous}

P ˜

^θ

L

_t_n₊₁

− L

_t_n

∼ N IG(α, β + θ

_n

, δ, µ)

(29)

Calage des param `etres du mod `ele

◮

Calage des param ètres à partir des donn ées de prix spot

•

Les param `etres

(a, σ)

sont cal ´es par moindres carr ´es

•

Les param `etres

(α, β, δ, µ)

du bruit NIG sont cal ´es par maximum de vraisemblance

◮

Calage de la condition de d érive à partir des donn ées de prix à terme et de la saisonnalit é

M (T, T ) = − log

F (0, T ) D

_T

= − Z

t

0

Φ(σ(T − s) + θ(s)) − Φ(θ(s))

ds

(30)

Calage de la condition de d ´erive

◮

_{Calage de}

θ

tel que

log

F(0,T) D^T

= R

t 0

Φ(σ(s, T ) + θ(s)) − Φ(θ(s)) ds

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

−0.4

−0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

(31)

Prix d’options europ ´eennes sur spot

◮

Comparaison avec le mod èle gaussien pour diff érents prix d’exercice et maturit és

•

Prix `a terme de 40 Euros

(32)

Smile de volatilit ´e

◮

Smile de volatilit é pour diff érentes maturit és

(33)

33

Conclusions et perspectives

◮

Conclusions

•

Difficult é de repr ésenter les pics de prix : pas de mod èle universel

•

Incompl `etude du march ´e : quel paradigme pour la valorisation ?

•

^{Impact de} l’approximation horaire de la courbe de prix `a terme ?

◮

Perspectives autour du mod `ele NIG

•

Comparaison des prix fournis par le mod èle NIG à des prix de r éf érence

•

Test sur des options de type swing en dehors de la monnaie

•

Recherche d’une couverture associ ´ee

(34)

34

R ´ef ´erences (1/2)

•

[Heath-Jarrow-Morton-1987]. D. Heath, R. A. Jarrow, A. Morton, Bond pricing and the term structure of interest rates: a new methodology, working paper, Cornell University, 1987

•

[Clewlow-Strickland-2000]. L. Clewlow, C. Strickland, Energy derivatives.

Pricing and Risk management, Lacima Publications, 2000

•

[Lucia-Schwartz-2002]. J. J. Lucia, E. S. Schwartz, Electricity prices and

power derivatives: Evidence from the Nordic Power Exchange 2002, Review of Derivatives Research, Vol. 5, pp. 5-50, 2002

•

[Hobson-Rogers-1998]. D. G. Hobson and L. C. G. Rogers, Complete Models with Stochastic Volatility, Mathematical Finance, pp. 27-48, 1998

•

[Jeantheau-2004]. T. Jeantheau, A link between complete models with

stochastic volatility and ARCH models, Finance and Stochastics, pp. 111-131, 2004

(35)

35

R ´ef ´erences (2/2)

•

[Collet-Duwig-Oudjane-2006]. J. Collet, V. Duwig, N. Oudjane, Some non-Gaussian models for electricity spot prices, PMAPS 2006

•

[Barlow-2002]. M. T. Barlow, A Diffusion Model for Electricity Prices, Mathematical Finance, pp. 287-298, 2002

•

[Benth-2003]. F. E. Benth and J. Saltyte-Benth, The normal inverse gaussian distribution and spot price modelling in energy markets, Centre of Mathematics for Applications Department of Mathematics, 2003

•

[Oudjane-2003]. N. Oudjane, Mod `elisation des prix spot ´electriques par processus hyperbolique, Note interne EDF/R&D, HI-23-02-022, 2003

•

[Oudjane-2005]. N. Oudjane, Mod èle à un facteur Normal Inverse Gaussien et probabilit é martingale, Note interne EDF/R&D HR-33-05-013/A, 2005