ECG-1 ) Classe préparatoire ECG-1 Lycée Paul Cézanne 2021/2022
Mathématiques appliquées Programme de colle n° 8 Semaine Q4A – Du 15 au 19 novembre
■ Objectifs et savoir-faire
Chapitre C – Sommes et produits Reprise intégrale du chapitre C.
Chapitre D – Ensembles et applications Reprise intégrale du chapitre D.
Chapitre E – Systèmes linéaires et calcul matriciel Généralités sur les systèmes linéaires
Ï Maîtriser les notions d’équations linéaires et de système d’équa- tions linéaires
Ï Maîtriser le vocabulaire associé : coefficients du système, seconds membres, solutions d’un tel système.
Ï Maîtriser la notion de système homogène et de système homogène associé à un système quelconque.
Ï Savoir qu’un système homogène a toujours au moins une solu- tion : la solution nulle.
Ï Maîtriser la notion de système échelonné et être capable de les re- connaître avec leur forme « en escalier ».
Ï Maîtriser la notion de système échelonné et réduit et être capable de les reconnaître avec « à l’œil ».
Ï Savoir résoudre un système échelonnée « en partant de la fin ».
Ï Savoir résoudre un système échelonnée et réduit en faisant passer à droite du symbole d’égalité les inconnues secondaires (qui sont libres de varier dansRtout entier.)
Opérations élémentaires et algorithme du pivot de Gauss
Ï Connaître la description des trois types d’opérations élémentaires.
Ï Connaître les notations Li←→Lj, Li←−Li+λLjet Li←−αLi. Ï Connaître la notion de systèmes équivalents et en particulier le fait
que deux systèmes équivalents ont le même ensemble de solution.
Ï Connaître l’algorithme du pivot de Gauss présenté en cours à
l’aide des deux exemples suivants :
(S1) :
2x+2y− z= −3
−2x− y+3z=12 x+ y− z= −4
(S2) :
−t+2x+5y+3z=2
−t+ x+2y+ z=1 4t− x+3y+3z=0 Ï Savoir résoudre un système linéaire en le transformant préalable-
ment en un système échelonné voire échelonné et réduit.
■ Exercices à savoir refaire
Exercices des chapitres C et D.
Dans le chapitre E, aucun exercice n’a été corrigé, mais les exercices E1 et E2, d’application directe du cours peuvent être demandés en colles en tant que « nouvel exercice ».
■ Questions de cours exigibles (énoncé précis et démonstration)
Q15. Formule de Pascal –Pour (k,n)∈N2avec 1ÉkÉnon a : µ n
k−1
¶ +
µn k
¶
= µn+1
k
¶ .
Q16. Formule du binôme de Newton –Pour (a,b)∈R2etn∈N∗on a : (a+b)n= n X k=0
µn k
¶ akbn−k.
Q17. Caractérisation de la bijectivité –Une application f : E→F est bijective si et seulement s’il existe une applicationg : F→E telle que f◦g=IdFetg◦f =IdE. Dans ce casgest la réciproque def.
Identique à la question de coursQ7qui n’est rien d’autre que le théorèmeI.3.5du chapitreB.
Q18. Exercice D5
1. La composée de deux fonctions injectives est injective.
2. La composée de deux fonctions surjectives est surjective.
3. La composée de deux fonctions bijectivesf etgest bijective. Dans ce cas la réciproque deg◦fest¡ g◦f¢−1
=f−1◦g−1.
Mathématiques appliquées - Programme de colle n° 8 Semaine Q4A Du 15 au 19 novembre
