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Julien Waeytens

To cite this version:

Julien Waeytens. Contrôle des calculs en dynamique : bornes strictes et pertinentes sur une quan- tité d’intérêt. Autre. École normale supérieure de Cachan - ENS Cachan, 2010. Français. �NNT : 2010DENS0051�. �tel-00561476�

CACHAN

ENSC-2010/2011

TH `ESE DE DOCTORAT

DE L’ ´ECOLE NORMALE SUP ´ERIEURE DE CACHAN

Pr´esent´ee par

Julien Waeytens

pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L’ ´ECOLE NORMALE SUP ´ERIEURE DE CACHAN

Domaine

M ´ECANIQUE - G ´ENIE M ´ECANIQUE - G ´ENIE CIVIL

Sujet de la th`ese

Contrˆole des calculs en dynamique :

bornes strictes et pertinentes sur une quantit´e d’int´erˆet

Soutenue `a Cachan le 10 d´ecembre 2010 devant le jury compos´e de :

Marc Bonnet Directeur de recherche, Ecole Polytechnique Pr´esident du jury Arnaud Deraemaeker Directeur de recherche, Universit´e Libre de Bruxelles Rapporteur Pedro D´ıez Professeur, Universitat Polit`ecnica de Catalunya Rapporteur

Luc Gonidou Ing´enieur, CNES Examinateur

Bing Tie Charg´ee de recherche, Ecole Centrale Paris Examinateur Ludovic Chamoin Maˆıtre de conf´erences, ENS de Cachan Examinateur

Pierre Ladev`eze Professeur, ENS de Cachan Directeur de th`ese

LMT-Cachan

ENS Cachan / CNRS / UPMC / PRES UniverSud Paris

Je tiens en premier lieu `a exprimer ma profonde gratitude `a mon directeur de th`ese Pierre Ladev`eze pour m’avoir accord´e sa confiance en me permettant de travailler sur ce sujet.

J’ai vraiment ´eprouv´e un grand plaisir `a travailler avec Ludovic Chamoin. Sa sympathie, sa disponibilit´e et ses comp´etences m’ont permis de r´ealiser la th`ese dans les meilleures conditions. En plus d’ˆetre un excellent encadrant, c’est un tr`es bon ami. Merci de m’avoir fait d´ecouvrir le vin d’Irancy et le stade bourguignon de l’Abb´e-Deschamps !

Je suis sensible `a l’honneur que m’ont fait M. Bonnet, M. Deraemaeker, M. D´ıez, M.

Gonidou et Mme Tie en acceptant d’ˆetre dans mon jury.

Au cours de ma scolarit´e, j’ai eu le privil`ege de travailler avec Theofanis Strouboulis.

Je tiens `a le remercier de m’avoir accueilli `a Texas A&M University et de m’avoir initi´e au calcul d’erreur.

Je n’oublierai jamais ma premi`ere conf´erence internationale `a Bruxelles ; studieuse la journ´ee et festive la nuit. Un grand merci `a Eric, pilier de l’´equipe erreur, ainsi qu’`a Aur´elie et Tanguy !

A mes amis de la 211, j’exprime de chaleureux remerciements pour tous les bons moments pass´es au bar du labo `a discuter d’agriculture biologique avec Thomas, du mol avec Matthieu, des night clubs de l’ˆıle de Rhodes avec Gr´egory, des diff´erentes recettes de brioche avec Chlo´e, d’IP over pigeon avec Augustin, de sp´ecialit´es culinaires `a base de biscottes avec Pierre-Etienne et des DJ nic¸ois avec Nathan.

Je souhaite remercier Franc¸oise et Lydia pour leur aide concernant les formalit´es administratives et Am´elie pour la recherche d’articles.

J’ai beaucoup appr´eci´e ces ann´ees pass´ees au DGM en tant que moniteur et au LMT.

Malgr´e l’absence du soleil et des cigales, c’est un endroit convivial o`u il fait bon vivre ! Merci `a tous pour cette bonne humeur permanente.

Bien sˆur, je n’oublie pas mes coll`egues footballeurs de l’ENS avec qui j’ai jou´e tout au long de ma scolarit´e. Je les remercie pour leur accueil et pour leurs innombrables conseils footballistiques.

Enfin, je ne remercierai jamais assez ma Caro.

Table des mati`eres

Table des mati`eres i

Table des figures v

Liste des tableaux ix

Introduction 1

1 Etat de l’art sur l’estimation d’erreur 7

1 Probl`eme de r´ef´erence . . . 8

1.1 La visco´elasticit´e . . . 8

1.2 D´efinition du probl`eme . . . 9

1.3 R´esolution du probl`eme . . . 10

2 Estimateur d’erreur globale . . . 12

2.1 Erreur de discr´etisation en espace . . . 12

2.2 Erreur de discr´etisation en temps . . . 24

2.3 Erreur de discr´etisation en espace et en temps . . . 30

3 Les estimateurs d’erreur locale . . . 36

3.1 Les premiers travaux . . . 37

3.2 M´ethodes utilisant un probl`eme adjoint . . . 38

3.3 M´ethodes bas´ees sur l’erreur en relation de comportement . . . . 45

2 La m´ethode de calcul des bornes garanties sur une quantit´e d’int´erˆet 49 1 Probl`eme de r´ef´erence . . . 51

1.1 D´efinition du probl`eme . . . 51

1.2 R´esolution du probl`eme . . . 52

2 Erreur en dissipation . . . 54

3 Quantit´e d’int´erˆet . . . 55

4 Probl`eme adjoint . . . 56

5 Obtention de bornes strictes sur une quantit´e d’int´erˆet . . . 57

5.1 Majoration avec l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz . . . 57

5.2 Majoration avec l’in´egalit´e de Legendre-Fenchel . . . 59

6 Exemples num´eriques . . . 66

6.1 R´esolution du probl`eme de r´ef´erence . . . 67

6.2 Erreur en dissipation du probl`eme de r´ef´erence . . . 68

6.3 Etude de la quantit´e d’int´erˆet n˚1 . . . 70

6.4 Etude de la quantit´e d’int´erˆet n˚2 . . . 75

3 La technique de construction de champs admissibles en dynamique 81 1 Notion de champs admissibles en dynamique . . . 83

1.1 Cas de l’erreur au sens de Drucker . . . 83

1.2 Cas de l’erreur en dissipation . . . 84

2 Reconstruction des champs admissibles pour l’erreur en dissipation . . . 85

2.1 D´emarche g´en´erale . . . 86

2.2 Une technique de construction d’une contrainte admissible . . . . 87

2.3 Autres m´ethodes de construction d’une contrainte admissible . . . 90

3 Reconstruction optimis´ee des champs admissibles . . . 93

4 Exemples num´eriques . . . 95

4.1 Sch´ema des acc´el´erations lin´eaires . . . 95

4.2 Sch´ema des acc´el´erations moyennes . . . 98

4 Am´elioration de la pertinence des bornes d’erreur garanties 101 1 Raffinement global du probl`eme adjoint . . . 103

1.1 Etude de la quantit´e d’int´erˆet n˚1 . . . 104

1.2 Etude de la quantit´e d’int´erˆet n˚2 . . . 109

2 Raffinement local du probl`eme adjoint . . . 114

2.1 Champs admissibles pour des maillages non-conformes . . . 115

2.2 Erreur en dissipation et obtention des bornes . . . 119

3 Encadrement prenant en compte le terme d’´energie cin´etique . . . 121

3.1 D´emarche . . . 121

3.2 Exemples num´eriques . . . 129

5 Calcul de bornes d’erreur garanties pour des quantit´es ponctuelles 137 1 Fonctions ´el´ementaires . . . 139

1.1 Equation d’onde . . . 139

1.2 Elastodynamique . . . 144

1.3 Visco´elastodynamique . . . 149

2 Bornes sur une quantit´e d’int´erˆet ponctuelle . . . 152

2.1 Probl`eme adjoint et sa r´esolution . . . 152

2.2 Reconstruction des champs admissibles pour le probl`eme adjoint . 156 2.3 Obtention de l’encadrement de la quantit´e d’int´erˆet ponctuelle . . 158

3 Exemples num´eriques . . . 160

3.1 Quantit´e d’int´erˆet ponctuelle en espace et moyenn´ee en temps . . 160

3.2 Vers des quantit´es d’int´erˆet ponctuelles en espace et en temps . . 168

Conclusion 171

A Lien entre les diff´erentes repr´esentations de la visco´elastict´e 175

Table des mati`eres iii

B Analyse du param`etre de viscosit´e 179

C Obtention du probl`eme adjoint 185

D Preuve du r´esultat fondamental 189

E D´etermination du pas de temps critique 193

F Solution de Green en visco´elastodynamique 195

Bibliographie 201

Table des figures

1 Validation et v´erification . . . 2

1.1 Probl`eme de r´ef´erence . . . 9

1.2 Patchs d’´el´ements pour la m´ethode SPR . . . 15

1.3 Une premi`ere proc´edure de maillage adaptatif . . . 31

1.4 Probl`emes de r´ef´erence et adjoint en ´elastodynamique 1D . . . 39

1.5 Solution approch´ee du probl`eme d’´elastodynamique 1D . . . 40

1.6 Erreur sur la quantit´e d’int´erˆet en 1D . . . 41

2.1 Fonctions de pond´eration - Legendre-Fenchel . . . 66

2.2 Probl`eme de r´ef´erence . . . 67

2.3 D´eform´ee et d´eplacement approch´es de la structure en L . . . 68

2.4 Contrainte approch´ee de la structure en L . . . 69

2.5 Cartes d’erreur du probl`eme de r´ef´erence . . . 69

2.6 Extracteur (Q.I n˚1) . . . 70

2.7 Chargement du probl`eme adjoint (Q.I n˚1) . . . 71

2.8 D´eplacement approch´ee pour le probl`eme adjoint (Q.I n˚1) . . . 72

2.9 Contrainte approch´ee (Q.I n˚1) . . . 72

2.10 Cartes d’erreur du probl`eme adjoint (Q.I n˚1) . . . 73

2.11 Erreurs en dissipation pond´er´ees (Q.I n˚1) - Legendre-Fenchel . . . 75

2.12 Zone d’int´erˆet et extracteur (Q.I n˚2) . . . 76

2.13 Cartes d’erreur du probl`eme adjoint (Q.I n˚2) . . . 76

2.14 Erreurs en dissipation pond´er´ees (Q.I n˚2) - Legendre-Fenchel . . . 78

2.15 Fonctions de pond´eration pour des q.i. ind´ependantes de l’histoire . . . . 79

3.1 Reconstruction classique des champs admissibles - Sch´ema des acc. lin. . 86

3.2 Noeud int´erieur d’un maillage avec des quadrangles `a 4 noeuds . . . 88

3.3 Reconstruction de la contrainte admissible . . . 90

3.4 Cartes d’erreur - Sch´ema des acc. lin. . . 95

3.5 Erreur en dissipation en fonction de h - Meth. 1 - Sch´ema des acc. lin. . . 96

3.6 Erreur en dissipation en fonction de h - Meth. 2 - Sch´ema des acc. lin. . . 97

3.7 Erreur relative en fonction de h - Meth. 1 - Sch´ema des acc. lin. . . 98

3.8 Erreur en dissipation - Reconstruction optimis´ee . . . 99

4.1 Les grandes ´etapes pour obtenir les bornes sur la quantit´e d’int´erˆet . . . . 103

4.2 Extracteur (Q.I n˚1) . . . 104

4.3 D´efinition des diff´erentes zones d’int´erˆet (Q.I n˚1) . . . 108

4.4 Influence du param`etre de viscosit´e (Q.I n˚1) . . . 109

4.5 D´eform´ee et contrainte pour une structure fortement visqueuse . . . 109

4.6 Zone d’int´erˆet et extracteur (Q.I n˚2) . . . 110

4.7 Bornes sur la Q.I n˚2 - Raffinement du probl`eme adjoint - Cauchy-Schwarz 111 4.8 Influence du param`etre de viscosit´e (Q.I n˚2) . . . 114

4.9 Zone de raffinement local en espace . . . 115

4.10 Construction des densit´es pour des maillages incompatibles . . . 116

4.11 Densit´es pour des maillages incompatibles . . . 119

4.12 Influence de la zone de raffinement en espace . . . 120

4.13 Influence du maillage dans la zone de raffinement . . . 121

4.14 Fonctions de pond´eration - Legendre-Fenchel et Legendre-Fenchel Brun . 128 4.15 Chargements du probl`eme de r´ef´erence sur[0,2T] . . . 129

4.16 Chargement du probl`eme adjoint bis (Q.I n˚2) . . . 130

4.17 Cartes d’erreur en dissipation (au carr´e) du probl`eme adjoint bis (Q.I n˚2) 131 4.18 Probl`eme de r´ef´erence de type “choc” . . . 133

4.19 Cartes d’erreur des 3 probl`emes (Q.I n˚2) - Exemple n˚2 . . . 135

5.1 Contours d’int´egration dans le plan complexe . . . 142

5.2 Solution de Green en 1D - Equation d’onde . . . 143

5.3 Solutions de Green en 2D et 3D - Equation d’onde . . . 144

5.4 Onde longitudinale et onde transversale . . . 148

5.5 Solution de Green 1D - Equation d’onde avec amortissement . . . 150

5.6 Solutions de Green 2D contraintes planes - Elasto et visco´elastodynamique 152 5.7 D´efinition des sous-domaines et point d’int´erˆet . . . 154

5.8 D´ecomposition des densit´es sur le bord∂2Ω . . . 158

5.9 Evolution temporelle des extracteurs pour les quantit´es d’int´erˆet A et B . 161 5.10 Probl`eme de r´ef´erence et probl`eme adjoint . . . 161

5.11 Domaines et fonction de pond´eration pour la structure carr´ee . . . 162

5.12 Cartes d’erreur en dissipation pour le probl`eme de r´ef´erence . . . 163

5.13 Solution de Green g´en´eralis´ee 2D contraintes planes - Chargement rampe 163 5.14 Cartes d’erreur en dissipation du probl`eme adjoint (Q.I. A) . . . 164

5.15 Solution de Green g´en´eralis´ee 2D contraintes planes - Chargement ´echelon 166 5.16 Influence de la zone d’enrichissement (Q.I A) . . . 167

A.1 Mod`ele de Kelvin-Voigt . . . 175

A.2 Solution d’un essai de fluage avec le mod`ele de Kelvin-Voigt . . . 176

A.3 Mod`ele de Maxwell . . . 177

A.4 Solution d’un essai de relaxation avec le mod`ele de Maxwell . . . 177

B.1 Mod`ele de Kelvin-Voigt . . . 180

B.2 Amortissement en fonction de la pulsation propre - Mod`ele de Kelvin-V. . 181

B.3 Mod`ele de Maxwell . . . 181

Table des figures vii

B.4 Amortissement en fonction de la pulsation propre - Mod`ele de Maxwell . 182 B.5 Quelques valeurs du facteur d’amortissement . . . 183

Liste des tableaux

1.1 Param`etres utilis´es pour l’exemple d’´elastodynamique 1D . . . 39

2.1 Termes des bornes sur la quantit´e d’int´erˆet exacte - Legendre-Fenchel . . 67

2.2 Bornes sur la quantit´e d’int´erˆet exacte n˚1 - Cauchy-Schwarz . . . 74

2.3 Bornes sur la quantit´e d’int´erˆet exacte n˚1 - Legendre-Fenchel . . . 74

2.4 Bornes sur la quantit´e d’int´erˆet exacte n˚2 - Cauchy-Schwarz . . . 77

2.5 Bornes sur la quantit´e d’int´erˆet exacte n˚2 - Legendre-Fenchel . . . 78

3.1 Erreur en dissipation avec les m´ethodes 1 et 2 - Sch´ema des acc. lin. . . . 98

4.1 Bornes sur la Q.I n˚1 - Raffinement probl`eme adjoint - Cauchy-Schwarz . 105 4.2 Bornes sur la Q.I n˚1 - Raffinement probl`eme adjoint - Legendre-Fenchel 106 4.3 Influence de la zone d’int´erˆet temporelle (Q.I n˚1) . . . 107

4.4 Influence de la zone d’int´erˆet spatiale (Q.I n˚1) . . . 108

4.5 Bornes sur la Q.I n˚2 - Raffinement probl`eme adjoint - Legendre-Fenchel 112 4.6 Comparaison des bornes sur la Q.I n˚2 - Raffinement du probl`eme adjoint 112 4.7 Influence du temps d’int´erˆet (Q.I n˚2) . . . 113

4.8 Bornes sur la Q.I n˚2 - Legendre-Fenchel Brun . . . 132

4.9 Influence du chargement sur(T,2T)(Q.I n˚2) - Legendre-Fenchel Brun . 133 4.10 Bornes sur la Q.I n˚2 avec Legendre-Fenchel - Exemple n˚2 . . . 136

4.11 Bornes sur la Q.I n˚2 avec Legendre-Fenchel Brun - Exemple n˚2 . . . 136

5.1 Param`etres utilis´es pour la structure carr´ee . . . 161

5.2 Bornes sur les quantit´es d’int´erˆet A . . . 165

5.3 Influence de la viscosit´e (Q.I A) . . . 167

5.4 Influence des temps d’int´erˆet . . . 169

Introduction

Dans les ann´ees 70, la m´ecanique a connu un changement majeur avec le d´eveloppement de l’outil informatique. Des solutions dites “approch´ees” de probl`emes complexes ont alors pu ˆetre calcul´ees sur ordinateur. Le “virtual testing”, i.e. la simu- lation du r´eel, est devenu un nouvel enjeu. Ainsi est n´ee dans l’industrie une r´eelle volont´e de remplacer au maximum les essais exp´erimentaux coˆuteux par des simulations num´eriques. Ceci a en particulier permis un fort d´eveloppement dans le domaine de la dynamique, notamment pour le dimensionnement de structures (´etude des impacts, probl`emes de fissuration, etc). Par exemple, bien que les prototypes physiques soient toujours utilis´es pour valider le respect des diff´erentes normes de crash, l’industrie automobile a de plus en plus recours `a des simulations num´eriques, ceci permettant de faire face aux contraintes de temps et de coˆut. N´eanmoins, est-ce que le r´esultat de la simulation num´erique repr´esente la r´ealit´e ? En d’autres termes, peut-on faire confiance

`a la simulation ? Afin de r´epondre `a cette question et de pouvoir prendre des d´ecisions

`a partir des simulations, les ing´enieurs ont besoin de contrˆoler la qualit´e des calculs num´eriques. En effet, une mauvaise maˆıtrise de l’outil num´erique peut avoir de lourdes cons´equences ; on peut citer l’exemple de l’accident de la plate-forme p´etroli`ere Sleipner [Jakobsen et Rosendahl, 1994], qui a coul´e en 1991 suite `a une sous-estimation de 50%

des contraintes de cisaillement issues d’un calcul par la m´ethode des ´el´ements finis.

L’´evaluation de la fiabilit´e des solutions num´eriques est l’objet des th´ematiques de recherche de “validation” et de “v´erification” (V&V). La validation a pour but d’estimer l’erreur commise entre le r´eel et le mod`ele math´ematique, tandis qu’en v´erification, on cherche `a estimer l’erreur entre le mod`ele num´erique et le mod`ele math´ematique, i.e. l’er- reur de discr´etisation. Une synth`ese de ces deux notions est propos´ee sur la Figure 1 ex- traite de [Babuska et al., 2007]. Il est important de souligner qu’en v´erification, le mod`ele math´ematique est pris comme r´ef´erence. Dans ce domaine, des estimateurs de l’erreur globale ont d’abord ´et´e introduits dans les ann´ees 70 ; ils correspondent `a la fl`eche n˚1 de la Figure 1. On peut distinguer d’une part les estimateurs a priori, d´etermin´es `a partir du chargement, de la m´ethode de r´esolution approch´ee, des propri´et´es de la solution exacte, etc... mais ceux-ci sont inadapt´es pour la conception robuste. Ils sont utilis´es en pratique pour v´erifier la convergence de la m´ethode d’approximation. D’autre part, il existe des es- timateurs a posteriori, qui sont calcul´es uniquement `a partir de la solution approch´ee du probl`eme ; ces estimateurs sont les plus utilis´es `a pr´esent. On peut distinguer trois grandes familles d’estimateur d’erreur globale a posteriori :

1. ceux bas´es sur la non-v´erification des ´equations d’´equilibre. Deux sous-familles ont

´et´e d´evelopp´ees :

– les estimateurs explicites [Babuska et Rheinboldt, 1978], qui sont d´etermin´es ex- plicitement `a partir des r´esidus d’´equilibre `a l’int´erieur et sur la fronti`ere des

´el´ements, ainsi que des param`etres de discr´etisation ;

– les estimateurs implicites [Babuska et Rheinboldt, 1978; Bank et Weiser, 1985], qui n´ecessitent la r´esolution de probl`emes locaux suppl´ementaires ;

2. ceux bas´es sur les d´efauts de r´egularit´e [Zienkiewicz et Zhu, 1987]. Dans la m´ethode des ´el´ements finis en d´eplacement, il est bien connu que le vecteur contrainte est discontinu entre deux ´el´ements. L’id´ee de cette famille d’estimateurs consiste donc `a mesurer l’erreur entre la contrainte approch´ee et une contrainte dite

“liss´ee”. Les diff´erentes m´ethodes se distinguent alors par le proc´ed´e de lissage employ´e ;

3. ceux bas´es sur la non-v´erification de la relation de comportement [Ladev`eze, 1975].

L’id´ee g´en´erale est de consid´erer la relation de comportement comme la moins fiable des ´equations du probl`eme. Pour cela, une ´etape de reconstruction de champs admissibles, qui est un point cl´e de la m´ethode, est n´ecessaire. Ces champs sont obtenus `a partir de la solution approch´ee du probl`eme et v´erifient les ´equations de liaison, les ´equations d’´equilibre et les conditions initiales. L’estimateur consiste alors en une mesure de la non-v´erification de la relation de comportement.

Lorsque l’estimateur d’erreur majore l’erreur r´eelle, on dit que l’estimateur d’erreur est “garanti”. Peu de travaux permettent d’obtenir un estimateur d’erreur globale garanti pour les probl`emes lin´eaires [Ladev`eze, 1975; Strouboulis et al., 2000a;

Cottereau et al., 2009]. En fait, ces derniers suivent une mˆeme d´emarche qui peut s’exprimer sous la forme de l’erreur en relation de comportement. La diff´erence entre les m´ethodes est dans la technique de construction des contraintes admissibles

`a partir de la solution ´el´ements finis [Ladev`eze et Pelle, 2004; Par´es et al., 2006;

Ladev`eze et al., 2010].

Reality Model

Mathematical Computational Model

Prediction

(output) Decision

Validation Verification

(1) (2)

FIG. 1: Validation et v´erification dans le processus de d´ecision `a partir d’une solution num´erique

Pour les probl`emes d´ependant du temps, une premi`ere approche introduite dans [Zienkiewicz et al., 1988] consiste `a utiliser les outils d´evelopp´es en statique lin´eaire pour estimer l’erreur `a chaque piquet de temps. Cependant, cette m´ethode ne permet

Introduction 3

pas de prendre en compte l’erreur de discr´etisation en temps. Concernant le contrˆole de l’erreur en temps, les travaux de [Park et Underwood, 1980] ont ´et´e parmi les premiers

`a proposer un crit`ere de choix pour le pas de temps dans le cas du sch´ema de New- mark des diff´erences centr´ees grˆace au calcul de la plus haute fr´equence sollicit´ee lors du chargement. Ces travaux ont ´et´e ´etendus aux sch´emas de Newmark implicites dans [Bergan et Mollestad, 1985]. D’autres approches ont ´et´e envisag´ees pour estimer l’er- reur de discr´etisation en temps. On peut comparer des solutions num´eriques obtenues avec diff´erentes discr´etisations temporelles [Gear, 1971] ou obtenues avec des sch´emas d’int´egration de diff´erents ordres [Thomas et Gladwell, 1988]. On peut aussi approximer la solution exacte pr´esente dans l’expression de l’erreur sur un pas de temps `a l’aide d’un d´eveloppement de Taylor [Zienkiewicz et Xie, 1991] ou d’une solution “post-process”

[Wiberg et al., 1992].

Enfin, il existe dans la litt´erature des m´ethodes permettant de prendre en compte si- multan´ement les deux sources d’erreur (espace et temps). La m´ethode bas´ee sur la non- v´erification de l’´equilibre s’´etend aux probl`emes de dynamique [Hughes et Hulbert, 1988;

Aubry et al., 1999] `a condition d’utiliser une formulation variationnelle en espace et en temps pour r´esoudre le probl`eme. Dans le cadre des approches plus classiques bas´ees sur une m´ethode des ´el´ements finis en espace et un sch´ema d’int´egration en temps, les estimateurs d’erreur en relation de comportement suivants peuvent ˆetre utilis´es :

– “erreur au sens de Drucker” [Ladev`eze, 1985] ; pour appliquer cet esti- mateur il est n´ecessaire que le mat´eriau soit stable au sens de Dru- cker [Drucker, 1964]. Il a ´et´e ´etudi´e pour les probl`emes de (visco)plasticit´e [Ladev`eze et al., 1986; Gallimard et al., 1996; Ladev`eze, 2000], les probl`emes de dynamique [Combe et al., 1999] et les probl`emes avec contact et frottement [Louf, 2003] ;

– “erreur en dissipation” [Ladev`eze, 1989] ; cet estimateur est bas´e sur la non- v´erification de la loi de comportement dissipative. Il a ´et´e appliqu´e `a des probl`emes de (visco)plasticit´e dans [Ladev`eze et Mo¨es, 1997]. Contrairement `a l’erreur de Drucker, une relation entre l’erreur en solution et cet estimateur peut ˆetre ´etablie, ce qui apporte le caract`ere garanti de l’estimateur.

Bien que tous ces estimateurs de l’erreur globale fournissent une premi`ere in- formation sur la qualit´e de la solution, celle-ci s’av`ere souvent insuffisante pour l’ing´enieur. De ce fait, des estimateurs d’erreur sur des quantit´es d’int´erˆet locales, e.g. la contrainte de Von Mis`es dans une zone de la structure, ont ´et´e d´evelopp´es. Ils correspondent `a la fl`eche n˚2 de la Figure 1. Notons que l’erreur de discr´etisation dans la zone d’int´erˆet d´epend aussi de l’erreur de discr´etisation dans la zone compl´ementaire, cette notion d’ “erreur de pollution” ayant ´et´e introduite et ´etudi´ee dans [Babuska et al., 1995]. Dans la litt´erature, la majorit´e des m´ethodes pour l’esti- mation d’erreur locale repose sur la r´esolution d’un probl`eme adjoint. On peut citer les travaux de [Paraschivoiu et al., 1997; Ladev`eze et al., 1999; Strouboulis et al., 2000a;

Becker et Rannacher, 2001; Oden et Prudhomme, 2001] pour les probl`emes de sta- tique lin´eaire et [Schleupen et Ramm, 2000; Houston et S¨uli, 2002; Ladev`eze, 2008b;

Fuentes et al., 2006; Tie et Aubry, 2010] pour les probl`emes de dynamique. Cette tech- nique pr´esente l’avantage de r´eemployer les estimateurs d’erreur globale afin d’´evaluer l’erreur locale. Grˆace aux estimateurs d’erreur locale, l’ing´enieur dispose d’un outil permettant de quantifier l’erreur commise sur des quantit´es d’int´erˆet cruciales pour le dimensionnement de structures. Ceci est possible `a condition que l’estimateur d’erreur locale soit “pertinent”, i.e. l’estimateur repr´esente correctement l’erreur r´eelle.

De surcroˆıt, l’utilisation d’un estimateur d’erreur globale garanti permet d’obtenir un estimateur d’erreur locale garanti dans le cas lin´eaire. En ce qui concerne les probl`emes non-lin´eaires et les probl`emes de dynamique, des hypoth`eses simplificatrices sont couramment utilis´ees comme la lin´earisation du comportement. Par cons´equent, `a notre connaissance, les estimateurs d’erreur locale propos´es dans la litt´erature ne sont pas garantis en non-lin´eaire et en dynamique.

Derni`erement, une m´ethode a ´et´e propos´ee dans [Ladev`eze, 2008b] afin d’obtenir des bornes garanties sur une quantit´e d’int´erˆet locale pour les probl`emes de dynamique et les probl`emes non-lin´eaires. Celle-ci est bas´ee sur la r´esolution d’un probl`eme adjoint et sur l’estimateur d’erreur en relation de comportement appel´e “erreur en dissipation”. Dans cette th`ese, on s’int´eresse `a la mise en place de la m´ethode pour des probl`emes lin´eaires de dynamique transitoire [Ladev`eze et Waeytens, 2009].

Pour les probl`emes de visco´elasticit´e, l’erreur en dissipation a permis d’aboutir `a des bornes `a la fois garanties et pertinentes notamment grˆace `a une r´esolution fine du probl`eme adjoint en profitant du caract`ere local de la solution [Chamoin et Ladev`eze, 2007;

Chamoin et Ladev`eze, 2008]. Cette id´ee ne fonctionne a priori qu’en quasi-statique. Par cons´equent, un ´el´ement important de ce travail est de mettre en place une technique permettant d’aboutir `a une r´esolution fine du probl`eme adjoint. Pour cela, des techniques de raffinement du maillage sont introduites et une approche exploitant les solutions

´el´ementaires en milieu infini sont envisag´ees.

De plus, on rappelle qu’il est n´ecessaire de reconstruire des champs admissibles afin de calculer l’estimateur d’erreur bas´e sur “l’erreur en dissipation”. La technique de recons- truction de champs admissibles d´evelopp´ee pour l’erreur de Drucker [Combe et al., 1999;

Ladev`eze et Pelle, 2004] n’´etant pas adapt´ee, une nouvelle strat´egie est propos´ee dans ce travail.

Dans [Ladev`eze, 2008b], diff´erentes techniques d’encadrement de la quantit´e d’int´erˆet ont ´et´e d´evelopp´ees. La premi`ere m´ethode, qui est la plus simple `a mettre en oeuvre, utilise l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz. Dans la deuxi`eme m´ethode, l’encadrement est obtenu `a partir de l’in´egalit´e de Legendre-Fenchel et d’une fonction de pond´eration ayant pour but d’´eviter des surmajorations de l’erreur locale. La derni`ere approche est une variante de la m´ethode pr´ec´edente exploitant le th´eor`eme de Brun [Bui et Tanaka, 1992].

Notre objectif est donc de mettre en œuvre ces m´ethodes et de proposer une d´emarche permettant de s´electionner celle qui est la plus adapt´ee pour obtenir des bornes pertinentes suivant le probl`eme de r´ef´erence et la quantit´e d’int´erˆet ´etudi´es.

Introduction 5

Un dernier point de l’´etude concerne l’extension de bornes garanties et pertinentes `a des quantit´es d’int´erˆet ponctuelles. Dans ce cas, on est confront´e `a la r´esolution d’un probl`eme adjoint pr´esentant des singularit´es. Afin de les prendre en compte, on utilise les fonctions ´el´ementaires (fonctions de Green) de dynamique en milieu infini. A la question

”peut-on obtenir des bornes pertinentes pour des quantit´es ponctuelles en espace et en temps ?”, on apporte des ´el´ements de r´eponse `a la fin du manuscrit.

Ce travail sur l’obtention de bornes garanties et pertinentes sur des quantit´es d’int´erˆet en dynamique transitoire est divis´e en cinq chapitres :

– le premier comporte un ´etat de l’art sur les estimateurs d’erreur globale et les estimateurs d’erreur locale pour les probl`emes de statique et de dynamique ; – le deuxi`eme est un rappel de la m´ethode de calcul des bornes d’erreur garanties sur

une quantit´e d’int´erˆet en dynamique. Des exemples num´eriques sont propos´es afin d’illustrer la m´ethode ;

– le troisi`eme chapitre traite de la technique de reconstruction des champs admis- sibles pour le calcul de l’estimateur d’erreur en relation de comportement appel´e

“erreur en dissipation”. Le comportement de cet estimateur est ensuite ´etudi´e ; – le quatri`eme volet pr´esente plusieurs techniques pour am´eliorer la pertinence des

bornes. Dans un premiers temps, des m´ethodes bas´ees sur une meilleure r´esolution du probl`eme adjoint sont d´evelopp´ees. Ensuite, une variante de l’encadrement bas´e sur l’in´egalit´e de Legendre-Fenchel exploitant le th´eor`eme de Brun est pr´esent´ee ; – le cinqui`eme volet est une extension des bornes garanties et pertinentes `a des

quantit´es d’int´erˆet v´eritablement ponctuelles en espace et en temps.

Chapitre 1 Etat de l’art sur l’estimation d’erreur

Dans cette partie, un ´etat de l’art est r´ealis´e pour les estimateurs d’erreur globale et les estimateurs d’erreur locale. On s’int´eresse plus particuli`erement aux probl`emes de

statique et de dynamique avec amortissement.

Sommaire

1 Probl`eme de r´ef´erence . . . . 8 1.1 La visco´elasticit´e . . . 8 1.2 D´efinition du probl`eme . . . 9 1.3 R´esolution du probl`eme . . . 10 2 Estimateur d’erreur globale . . . . 12 2.1 Erreur de discr´etisation en espace . . . 12 2.2 Erreur de discr´etisation en temps . . . 24 2.3 Erreur de discr´etisation en espace et en temps . . . 30 3 Les estimateurs d’erreur locale . . . . 36 3.1 Les premiers travaux . . . 37 3.2 M´ethodes utilisant un probl`eme adjoint . . . 38 3.3 M´ethodes bas´ees sur l’erreur en relation de comportement . . . 45

1 Probl`eme de r´ef´erence

Pour illustrer les diff´erents estimateurs d’erreur globale et locale, un probl`eme de visco´elastodynamique est consid´er´e. On le qualifie de “probl`eme de r´ef´erence”. Avant de le d´efinir, un rappel succinct sur la notion et la mod´elisation de la visco´elasticit´e est r´ealis´e.

1.1 La visco´elasticit´e

Newton fut le premier `a d´efinir le param`etre de viscosit´e comme ´etant le coefficient de proportionnalit´e entre la contrainte et la vitesse de d´eformation. La r´eponse d’une structure visco´elastique d´epend donc de la vitesse du chargement. Deux ph´enom`enes ca- ract´eristiques ont ´et´e mis en ´evidence :

– `a d´eformation constante la contrainte d´ecroˆıt au cours du temps, c’est la relaxa- tion. Par exemple, dans les assemblages boulonn´es, on constate une diminution de l’effort de serrage au cours du temps ;

– `a contrainte constante la d´eformation croˆıt progressivement jusqu’`a atteindre un palier, c’est le fluage. Par exemple, dans le domaine du g´enie civil, une d´eformation excessive provenant du fluage du b´eton peut entraˆıner la pr´esence de fissures dans le bˆatiment.

Ces ph´enom`enes ne sont pas toujours des inconv´enients. En effet, la visco´elasticit´e peut s’av´erer utile pour d’autres applications telles que les appareils auditifs [Lakes, 1999].

Concernant la mod´elisation de ces ph´enom`enes, une th´eorie 3D isotrope visco´elastique a ´et´e introduite par Maxwell, Kelvin, Voigt et Boltzmann au X IX`eme si`ecle. Ensuite, Volterra l’a ´etendue au cas anisotrope en 1909. Le d´eveloppement des mat´eriaux polym`eres a suscit´e un int´erˆet croissant pour la visco´elasticit´e.

On peut distinguer trois approches pour caract´eriser la visco´elasticit´e lin´eaire : – utilisation d’une relation de comportement :

ainsi, le lien entre la contrainte et la vitesse de d´eformation est exprim´e `a l’aide d’une int´egrale :

σi j(t) =R_{i jkl}(t)εkl(0) + Z t

0

R_{i jkl}(t−

T

d

T

T

T

o`u R_{i jkl} repr´esente le tenseur de relaxation.

Par analogie, la d´eformation est li´ee `a la d´eriv´ee de la contrainte par : εi j(t) =C_{i jkl}(t)σkl(0) +

Z t 0

C_{i jkl}(t−

T

d

T

T

T

(σi j(t) =R_{i jkl}(t)εkl(0) +R_{i jkl}⊗^dεdT^kl

εi j(t) =C_{i jkl}(t)σkl(0) +C_{i jkl}⊗^dσ_dT^kl (1.3)

Probl`eme de r´ef´erence 9

– utilisation d’une ´equation diff´erentielle :

la contrainte et ses d´eriv´ees sont li´ees `a la d´eformation par une ´equation diff´erentielle de la forme :

P(D)σi j(t) =Q(D)εi j(t) (1.4)

avec :











P(D) =

∑

p_kD^k Q(D) =

∑

q_kD^k

(1.5)

o`u D repr´esente l’op´erateur de d´erivation.

– utilisation de variables internes

on distingue les variables ´elastiques des variables visqueuses. Des relations sont

´etablies entre ces variables.

Dans l’annexe A, ces trois approches sont illustr´ees sur les mod`eles rh´eologiques 1D de Kelvin-Voigt et Maxwell.

1.2 D´efinition du probl`eme

On consid`ere une structure qui `a l’instant initial t = 0 occupe le domaine Ω, sa fronti`ere est not´ee∂Ω. Les conditions initiales en d´eplacement et en vitesse sont prises nulles. Cette structure est encastr´ee sur une partie de sa fronti`ere, on la note∂1Ω. Elle est aussi soumise `a :

– des efforts surfaciques F_d sur la fronti`ere∂2Ωv´erifiant∂1Ω∪∂2Ω=∂Ωet

∂1Ω∩∂2Ω=Ø ;

– des efforts volumiques f

d sur l’ensemble du domaineΩ.

Une illustration du probl`eme est fournie sur la Figure 1.1.

FIG. 1.1: Probl`eme de r´ef´erence

Concernant le comportement mat´eriau, on se place en visco´elasticit´e lin´eaire. Dans cette partie, on privil´egie l’´ecriture de la relation de comportement `a l’aide d’une ´equation diff´erentielle. On s’int´eresse aux probl`emes de dynamique transitoire sous l’hypoth`ese des petites perturbations. Le probl`eme est donc d´efini par :

Trouver le champ de d´eplacement u(x,t)et le champ de contrainteσ(x,t), avec t∈[0,T]et x∈Ω, qui v´erifient :

•Equations de liaison :

u∈

U

•Equation d’´equilibre : σ∈

S

Z

Ωσ:ε(u^∗)dΩ+ Z

Ω f

d.u^∗dΩ+ Z

|∂2ΩF_d.u^∗dS= Z

Ωρ¨u.u^∗dΩ,

∀u^∗∈

U

(1.8)

•Relation de comportement :

σ|t=

A

, ∀x∈Ω, ∀t∈[0,T] (1.9)

•Conditions initiales :

u(t=0) =0, u(t˙ =0) =0, σ(t=0) =0

U

U

U

U

S

A

caract´erise le comportement visco´elastique du mat´eriau. ρ est la masse volumique du mat´eriau.

1.3 R´esolution du probl`eme

Pour r´esoudre ce probl`eme de dynamique il existe deux types de m´ethode :

1. la plus classique consiste `a employer la m´ethode des ´el´ements finis en es- pace et un sch´ema d’int´egration temporelle. Il est aussi possible d’utiliser une m´ethode de d´ecomposition de domaine avec des sch´emas d’int´egration et des pas de temps diff´erents sur chaque sous-domaine [Combescure et al., 2003;

Mahjoubi et al., 2009] ;

2. une autre approche consiste `a utiliser une formulation variationnelle en espace et en temps. Ainsi :

– lorsque les fonctions de base sont continues en espace et en temps, on parle de

“Space-Time Galerkin method” ;

Probl`eme de r´ef´erence 11

– lorsque les fonctions de base sont continues en espace et discontinues en temps, on parle de “Time discontinous Galerkin method”. Cette formulation a ´et´e intro- duite dans [Hughes et Hulbert, 1988] ;

– lorsque les fonctions de base sont discontinues en espace et continues en temps, on parle de “Space discontinous Galerkin method”. Pour plus de d´etails, on peut se reporter `a [Falk et Richter, 1999; Grote et al., 2006] ;

– enfin, lorsque les fonctions de base sont discontinues en espace et en temps, on parle de “Space-Time discontinous Galerkin method”. Pour plus de d´etails, on peut se reporter `a [Monk et Richter, 2005].

Dans la suite, on s’int´eresse principalement `a la premi`ere m´ethode bas´ee sur la m´ethode des ´el´ements finis et un sch´ema d’int´egration temporelle.

Dans un premier temps, une discr´etisation en espace est utilis´ee. Le probl`eme `a r´esoudre est alors discret en espace et continu en temps, il est commun´ement appel´e “probl`eme semi-discret”. De mani`ere g´en´erale, il peut s’´ecrire sous la forme :

M.U¨(t) +C.U˙(t) +K.U(t) =F(t),∀t∈]0,T[

U(0) =0,U˙(0) =0 (1.10)

U repr´esente le vecteur des inconnues nodales en d´eplacement, F est le vecteur des ef- forts g´en´eralis´es, M, C et K correspondent aux matrices de masse, d’amortissement et de raideur.

L’utilisation d’un sch´ema d’int´egration temporelle permet ensuite d’obtenir le probl`eme compl`etement discret. Les sch´emas de Newmark [Newmark, 1959] sont une des familles les plus utilis´ees :







U_n+1=U_n+∆t ˙U_n+∆t² 2

(1−2β)U¨_n+2βU¨_n+1 U˙_n+1=U˙_n+∆t

(1−γ)U¨_n+γU¨_n+1 (1.11)

o`u(γ,β)sont les param`etres caract´eristiques du sch´ema. Suivant les param`etres choisis, le sch´ema est inconditionnellement ou conditionnellement stable. En injectant l’expression de la vitesse et du d´eplacement dans le probl`eme semi-discret au temps t_n+1, on a :

(M+γ∆tC+β∆t²K)U¨_n+1=F_n+1−C(U˙_n+ (1−γ)∆t ¨U_n)−K

U_n+∆t ˙U_n+∆t²

2 (1−2β)U¨_n

(1.12) Connaissant l’ensemble des quantit´es au temps t_n, on obtient l’acc´el´eration au temps t_n+1 en r´esolvant le syst`eme lin´eaire (1.12). Le d´eplacement et la vitesse au temps t<sub>n+1</sub> sont ensuite d´etermin´es `a l’aide des formules du sch´ema (1.11).

On distingue deux types de sch´ema :

– sch´ema explicite ; l’acc´el´eration ¨U_n+1 peut ˆetre calcul´ee directement `a partir des quantit´es cin´ematiques `a l’instant n. Ceci est le cas lorsque les param`etres du

sch´ema de Newmark sont(γ=0,β=0)et que la matrice de masse est remplac´ee par une matrice de masse diagonalis´ee :

U¨_n+1=M⁻¹

diag

F_n+1−C(U˙_n+∆t ¨U_n)−K

U_n+∆t ˙U_n+∆t² 2 U¨_n

(1.13) Il est tr`es utilis´e pour les calculs de dynamique rapide, e.g. les chocs ;

– sch´ema implicite ; le calcul de l’acc´el´eration ¨U_n+1 n´ecessite la r´esolution de syst`emes lin´eaires. Cependant, si le pas de temps est constant, il est pr´ef´erable de calculer une seule fois l’inverse de la matrice du membre de gauche de (1.12) plutˆot que de r´esoudre le syst`eme lin´eaire `a chaque piquet de temps. Il est particuli`erement utilis´e pour les probl`emes de dynamique lente, qui ne n´ecessitent pas l’utilisation de petits pas de temps.

2 Estimateur d’erreur globale

Le but de la v´erification est d’estimer l’erreur commise entre la solution exacte, qui est tr`es souvent inconnue, et la solution approch´ee du probl`eme. Pour l’´evaluer, on utilise des estimateurs a priori, qui sont calcul´es `a partir des donn´ees du chargement et des pro- pri´et´es de la solution exacte ou des estimateurs a posteriori qui sont calcul´es `a partir de la solution approch´ee du probl`eme. Ici, on s’int´eresse aux estimateurs d’erreur a posteriori.

Les sources d’erreur principales sont : l’erreur de discr´etisation en espace et l’erreur de discr´etisation en temps. Pour les autres sources d’erreur telles que les erreurs d’arrondi, de g´eom´etrie, etc... elles sont n´eglig´ees. Dans un premier temps, les m´ethodes pour estimer l’erreur de discr´etisation en espace sont ´etudi´ees. Ensuite, on s’int´eresse aux m´ethodes permettant d’estimer l’erreur de discr´etisation en temps. Enfin, les techniques prenant en compte ces deux sources d’erreur sont pr´esent´ees.

2.1 Erreur de discr´etisation en espace

Dans cette partie, on se limite `a la pr´esentation des estimateurs d’erreur en espace pour un probl`eme de statique. De ce fait, le terme d’acc´el´eration n’est pas pris en compte et la relation de comportement est purement ´elastique.

Il faut savoir que l’estimation de l’erreur de discr´etisation en espace est aujourd’hui bien maˆıtris´ee ; elle a ´et´e l’objet de nombreuses publications et on peut se reporter aux

´etats de l’art [Ainsworth et Oden, 1997; Verf¨urth, 1999; Gr¨atsch et Bathe, 2005].

Dans ce manuscrit, on pr´esente trois grandes familles d’estimateurs d’erreur globale bas´ees respectivement sur :

– le lissage des contraintes ;

– la non-v´erification de l’´equation d’´equilibre ;

Estimateur d’erreur globale 13

– la non-v´erification de la relation de comportement.

On introduit l’erreur r´eelle de discr´etisation entre la solution exacte et la solution approch´ee :

e=u_ex−u_h (1.14)

La norme ´energ´etique de l’erreur est alors :

||e||^u,Ω= r_Z

Ωε(e):

K

K

Celle-ci peut aussi s’´ecrire sous la forme :

||e||u,Ω= r_Z

Ω[σ_ex−σ_h]:

K

La contrainte exacte ´etant inconnue, on ne peut donc pas d´eterminer la norme

´energ´etique de l’erreur ||e||^u,Ω. L’id´ee est d’approximer la contrainte exacte par une contrainte dite “liss´ee” not´ee σ^∗. Celle-ci est calcul´ee `a partir de la contrainte ´el´ements finis. On introduit alors l’estimateur d’erreur heuristiqueηh:

E_h²= Z

Ω[σ^∗−σ_h]:

K

Estimateur ZZ1 Le premier choix de contrainte liss´ee a ´et´e propos´e dans [Zienkiewicz et Zhu, 1987]. On exprime la contrainte liss´ee `a l’aide des fonctions de base φiutilis´ees pour le d´eplacement approch´e u_h:

σ^∗=

∑

φiσ^∗_i (1.18)

o`uσ<sup>∗</sup><sub>i</sub> repr´esente les inconnues nodales associ´ees `a la contrainte liss´ee.

Afin de d´eterminer ces inconnues nodales, on minimise l’´ecart au sens des moindres carr´es entre la contrainte liss´ee et la contrainte approch´ee.

minσ^∗_i

Z

ΩTrh

(σ^∗−σ_h)²i

dΩ (1.19)

Ce qui revient `a r´esoudre un syst`eme lin´eaire de la forme :

∑

Z

ΩφiφjdΩσ^∗_i = Z

Ωσ_hφjdΩ, j=1, ...,N (1.20)

Une fois qu’on a d´etermin´e la contrainte liss´ee, on peut d´eterminer un estimateur d’erreur sur chacun des ´el´ements K :

E_h,K² = Z

K[σ^∗−σ_h]:

K

E_h=r

K

∑

E_h,K² (1.22)

Estimateur ZZ2 Pour certains types d’´el´ements, le d´eplacement est superconvergent aux noeuds et la contrainte est superconvergente aux points de Gauss [Zlamal, 1980;

Mackinnon et Carey, 1989; Zienkiewicz et Taylor, 1989; Babuska et al., 1996]. L’id´ee est donc de s’appuyer sur ces points de superconvergence pour construire la contrainte liss´ee σ^∗. Cette m´ethode est appel´ee “Superconvergent Patch Recovery” (SPR) [Zienkiewicz et Zhu, 1992], les diff´erentes ´etapes sont les suivantes :

1. comme pr´ec´edemment, la contrainte liss´ee a le mˆeme degr´e d’interpolation que le d´eplacement approch´e ´el´ements finis :

σ^∗=

∑

φiσ^∗_i (1.23)

2. on se place sur un patch d’´el´ementsωn:

– une contrainte liss´ee “bis” est d´efinie sur le patch. Elle a le mˆeme degr´e d’inter- polation que la contrainte liss´ee. On la note :

σ^∗∗(x) =

∑

a_kP_k(x) (1.24)

o`u P_k repr´esente les N polynˆomes d’interpolation et a_k sont les coefficients des polynˆomes ;

– pour d´eterminer la contrainte liss´ee “bis”, on minimise l’´ecart au sens des moindres carr´es aux points de Gauss de l’ensemble des ´el´ements du patch :

mina_k

∑

i∈PG

Tr

h(σ_h(x_i)−σ^∗∗(x_i))²i!

(1.25) o`u P_Gest l’ensemble des points de Gauss du patch ;

– apr`es avoir d´etermin´e la contrainte liss´ee “bis”, on en d´eduit les valeurs nodales de la contrainte liss´ee pour les n_int noeuds int´erieurs du patch :

σ^∗_i =σ^∗∗(x_i), i=1, ...,n_int (1.26) Les noeuds int´erieurs au patch sont illustr´es sur la Figure 1.2 extraite de [Zienkiewicz et Zhu, 1992] ;

Estimateur d’erreur globale 15

FIG. 1.2: Diff´erents patchs d’´el´ements pour la m´ethode SPR.△ points de superconver- gence pour la contrainte ;•noeuds int´erieurs au patch, les valeurs nodales de la contrainte

liss´ee sont d´etermin´ees en ces points pour le patchωn

3. on r´ep`ete cette op´eration sur l’ensemble des patchs de la structureΩ. La contrainte liss´ee est alors obtenue ;

4. on calcule l’estimateur d’erreur sur chaque ´el´ement ainsi que l’estimateur d’erreur sur l’ensemble de la structure `a l’aide de (1.21) et (1.22).

Lorsque les points de surperconvergence sont inconnus, une autre m´ethode appel´ee “Recovery by Equilibrium in Patches” (REP) a ´et´e introduite dans [Boroomand et Zienkiewicz, 1997]. Elle est bas´ee sur la reconstruction d’une contrainte

´equilibr´ee [Ladev`eze et Leguillon, 1983] dans un patch d’´el´ements. La construction d’une contrainte satisfaisant l’´equilibre est l’objet du chapitre 3.

De mani`ere g´en´erale, des ´etudes [Babuska et al., 1994] ont montr´e que la m´ethode

“SPR” est plus performante que la m´ethode “REP”. Il est important de souligner que les estimateurs pr´esent´es pr´ec´edemment sont heuristiques, ils ne repr´esentent pas une borne sup´erieure garantie de la norme ´energ´etique de l’erreur.

N´eanmoins, dans [D´ıez et al., 2007], une d´emarche bas´ee sur la m´ethode SPR et la m´ethode REP a ´et´e propos´ee afin d’obtenir une borne sup´erieure garantie pour les probl`emes de statique. Lorsque la contrainte liss´ee σ<sup>∗</sup> est statiquement admissible sur chaque patchωn, c’est `a dire :

−div(σ^∗) = f

d, surωn

σ^∗.n=F_d, sur∂2Ω∩∂ωn

(1.27)

l’estimateur d’erreur E_h, d´efini en (1.17), v´erifie alors :

||e||²u,Ω≤E_h² (1.28)

De plus, pour une contrainte liss´ee continue et ne v´erifiant pas l’´equilibre sur chaque patch, les auteurs ont d´emontr´e un r´esultat similaire :

||e||²u,Ω≤E_h²−2 Z

Ωe.s dΩ (1.29)

s repr´esentant le d´efaut d’´equilibre d´efini par : s=−(div(σ^∗) + f

d), surΩ (1.30)

Le membre de droite de (1.29) n’´etant pas enti`erement calculable, le second terme est major´e `a l’aide de l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz. Apr`es la r´esolution d’un probl`eme aux valeurs propres, on obtient un estimateur d’erreur qui majore la norme ´energ´etique de l’erreur r´eelle :

||e||u,Ω≤E_h,G= q

E_h²+α²+α (1.31)

le scalaire α d´ependant du d´efaut d’´equilibre et de la solution du probl`eme aux valeurs propres.

Bien que cet estimateur E_h,G soit garanti, des applications num´eriques ont montr´e qu’il

´etait peu pertinent.

2.1.2 Estimateur bas´e sur les r´esidus d’´equilibre

Cet estimateur a pour but de quantifier la non-v´erification de l’´equation d’´equilibre.

Dans cette famille on distingue :

– les estimateurs explicites : ils sont d´etermin´es explicitement `a partir des r´esidus d’´equilibre et des caract´eristiques du maillage ;

– les estimateurs implicites : ils n´ecessitent la r´esolution de petits probl`emes locaux dont le chargement provient des r´esidus d’´equilibre.

Dans les deux cas, une formulation variationnelle du probl`eme de statique est em- ploy´ee :

B(u,v) =L(v), ∀v∈

U

avec







B(u,v) = Z

Ω

K

Z

Ωf

d.vdV+ Z

∂2ΩF_d.vdS

(1.32)

On cherche une solution approch´ee du probl`eme v_h∈

U

U

B(u_h,v_h) =L(v_h), ∀v_h∈

U

B(e,v) =R(v),∀v∈

U

On remarque que le terme de r´esidu est nul lorsque v appartient `a

U

“propri´et´e d’orthogonalit´e de Galerkin” :

B(e,v_h) =0, ∀v_h∈

U

Estimateur d’erreur globale 17

Estimateurs explicites Les estimateurs d’erreur explicites ont ´et´e introduits dans [Babuska et Rheinboldt, 1978]. On pr´esente ici un estimateur d’erreur explicite qui ma- jore la norme ´energ´etique de l’erreur e d´efinie par :

||e||²u,Ω=B(e,e) (1.36)

Dans un premier temps, on r´e´ecrit le terme de r´esidu R(v)de (1.34) sous la forme : R(v) =

∑

K⊂P Z

Kr.vdV+

∑

γ⊂∂P Z

γR.vdS, ∀v∈

U

– r repr´esente le r´esidu d’´equilibre `a l’int´erieur des ´el´ements

r=div(σ_h) + f (1.38)

– R repr´esente le r´esidu d’´equilibre sur la fronti`ere des ´el´ements

R=







F_d−σ_h.n, sur∂K∩∂2Ω 0, sur∂K∩∂1Ω

−¹₂[|σ_h.n|]ailleurs

(1.39)

avec[| • |]repr´esentant le saut de la quantit´e au niveau de∂K.

En utilisant l’´equation aux r´esidus (1.34), le r´esidu (1.37) et la propri´et´e d’orthogona- lit´e de Galerkin (1.35), on a :

B(e,v) =

∑

K⊂P Z

K

r.(v−Πhv)dV+

∑

γ⊂∂P Z

γR.(v−Πhv)dS, ∀v∈

U

U

Grˆace `a l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, on peut majorer le second membre de (1.40).

B(e,v)≤

∑

K⊂P

||r||L₂(K)||v−Πhv||L₂(K)+

∑

γ⊂∂P

||R||L₂(γ)||v−Πhv||L₂(γ) (1.41) D’apr`es [Clement, 1975], on a :

(||v−Πhv||L2(K)≤Ch_K|v|H1(K)

||v−Πhv||L₂(γ)≤Ch^1/2_K |v|H₁(K)

(1.42) o`u C est une constante d´ependant de v et de la taille des ´el´ements h_K.

Enfin, sachant que :

|v|^H1 ≤ ||v||u,Ω (1.43)

une majoration de la norme ´energ´etique de l’erreur de discr´etisation en espace est obte- nue :

||e||²u,Ω≤C

∑

K⊂P

h²_K||r||²L₂(K)+1

2hK||R||²L₂(∂K)

(1.44) Except´ee la constante C, toutes les quantit´es de la borne sup´erieure de l’erreur sont explicitement calculables. Pour la constante C, soit on la majore mais dans ce cas la per- tinence des bornes est d´egrad´ee, soit on la d´etermine en r´esolvant des probl`emes aux valeurs propres.

De plus, les estimateurs explicites peuvent ˆetre utilis´es pour estimer l’erreur par ´el´ement, ce qui est utile pour le maillage adaptatif.

Estimateurs implicites Dans la partie pr´ec´edente, on a vu que les estimateurs explicites permettaient de majorer la norme ´energ´etique de l’erreur. L’avantage des estimateurs implicites est qu’ils ne d´ependent pas d’une constante g´en´erique C. Par contre, ils n´ecessitent la r´esolution de petits probl`emes sur des ´el´ements ou des patchs d’´el´ements.

On peut distinguer trois approches diff´erentes. La m´ethode la plus r´epandue consiste `a construire des flux ´equilibr´es afin que les probl`emes locaux soient bien pos´es. Cependant, d’autres m´ethodes permettent d’´eviter la construction de ces densit´es. Enfin, on pr´esente une approche bas´ee sur une approche duale.

1. M´ethode des r´esidus avec des densit´es ´equilibr´ees

Le point de d´epart est la relation v´erifi´ee par l’erreur sur l’´el´ement K not´ee e_K : BK(e_K,v) =

Z

K

r.vdV+ Z

∂K∩∂2ΩR.vdS+ Z

∂K−∂K∩∂2Ω(σ.n−σ_h.n).vdS, ∀v∈

U

(1.45) o`u :

– r est le r´esidu d’´equilibre `a l’int´erieur de l’´el´ement K :

r=div(σ_h) + f (1.46)

– R est le r´esidu d’´equilibre des efforts surfaciques sur la fronti`ere∂2Ω:

R=F_d−σ_h.n (1.47)

Ces deux r´esidus sont enti`erement calculables. Par contre, le troisi`eme terme du membre de droite de (1.45) est inconnu. On utilise alors l’approximation suivante :

σ.n≈σ¯_h.n= 1 2(σ_h

|K+σ_h

|J).n (1.48)

J est l’´el´ement adjacent `a l’´el´ement K.

Estimateur d’erreur globale 19

Le probl`eme (1.45) devient alors : On chercheη_K∈

U

Z

Kr.vdV+ Z

∂K∩∂2ΩR.vdS+ Z

∂K−∂K∩∂2Ω(σ¯_h.n−σ_h.n).vdS, ∀v∈

U

(1.49) L’estimateur d’erreur associ´e `a l’´el´ement K est d´efini par :

EK=||η_K||^u,K (1.50)

Apr`es avoir r´esolu ce probl`eme sur chaque ´el´ement K, on en d´eduit l’estimateur d’erreur sur l’ensemble de la structureΩ:

E=r

K

∑

||η_K||²u,K (1.51)

L’inconv´enient majeur de cette m´ethode est que l’existence et l’unicit´e de la solu- tion des probl`emes locaux (1.49) ne sont pas assur´ees. Pour pallier ce probl`eme, on construit des flux ´equilibr´es sur la fronti`ere des ´el´ements∂K. Ce point est d´etaill´e dans le chapitre 3.

De plus, les probl`emes locaux ne pouvant ˆetre r´esolus exactement, on cherche une solution approch´ee η_h,K ∈

U

“p”. Apr`es l’avoir calcul´ee, on en d´eduit l’estimateur d’erreur surΩnot´e E_h: E_h=r

K

∑

||η_h,K||²u,K (1.52)

Il est important de souligner que l’estimateur E_h construit `a partir de la solution approch´ee des probl`emes locaux n’est pas une borne sup´erieure garantie de la norme ´energ´etique de l’erreur.

Dans [Babuska et al., 1999; Strouboulis et al., 2000b], il a ´et´e prouv´e qu’on pouvait cependant obtenir une borne sup´erieure garantie E^U_h sur la norme ´energ´etique de l’erreur r´eelle. Son expression est la suivante :

||e||u,Ω≤E^U_h =r

(E_h^IMPL)²+

∑

K⊂P

(E_h^{EX PL})² (1.53) o`u :

– E_h^IMPLest l’estimateur d’erreur implicite ;

– E_h^{EX PL} est un estimateur d’erreur explicite sur l’´el´ement K. Pour le calcul des constantes C, on doit r´esoudre des probl`emes aux valeurs propres.