Fonction exponentielle : définitions et propriétés

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Fonction exponentielle : définitions et propriétés

I/ Définition, propriétés

II/ Transformer une expression comportant des exponentielles III/ Représentation de t ⟼ e^{k t}

IV/ Situations concrètes décrites par une croissance ou une décroissance exponentielle

Les démonstrations sont dans le chapitre «

Fonction exponentielle : les démonstrations ».

I/ Définition, propriétés

Définition : la fonction exponentielle est la fonction f telle que - la fonction exponentielle est égale à sa dérivée

- par la fonction exponentielle, l’image de 0 est 1.

Cette fonction est définie et dérivable sur IR, strictement positive et strictement croissante.

Propriété : exp ( a + b ) = exp ( a ) × exp ( b ), pour tout a  IR, pour tout b  IR.

On dit que l’exponentielle transforme une somme en produit.

On en déduit que exp ( - x ) = 1 / exp ( x ) pour tout x  IR.

(2)

Définition : l’image de 1 par la fonction exponentielle s’appelle e.

exp ( 1 ) = e.

e  2,718.

Propriété : exp ( x ) = e^x pour tout x  IR.

Toutes les propriétés des puissances restent vérifiées : e⁰ = 1

e¹ = e

e^{x + y} = e^x × e^y e^{- x} = 1

e^x

e^{n x} = (e^x

)

ⁿ

pour tout x  IR, pour tout y  IR, pour tout n  Z.

II/ Transformer une expression comportant des exponentielles e²  e⁴ = e^{2 + 4} = e⁶

e e

2 3

5





= e e

1

6 = e^{- 7}

( e^x + e^{- x} )² =

 

^e^x ²⁺

 

^e^^x ²^{+ 2  e}^x^{ e}^{- x}^{= e}^{2 x}^{+ e}^{- 2 x}^{+ 2  e}^{x - x}

= e^{2 x} + e^{- 2 x} + 2  e⁰ = e^{2 x} + e^{- 2 x} + 2

e

5 4

 3

 

 = e³

5

4

= e

15 4

(e^x + 1 ) (e^^x - 1 ) =

 

^e^x ²^{- 1}²⁼^e²^x^{- 1}

(3)

III/ Représentation de t ⟼ e^{k t}

Résumé : k est un réel strictement positif.

La fonction t ⟼ e^{k t} est strictement croissante ;

lim

xe^{k t} = 0 ;

lim

x e^{k t} = + .

t -  0 +  +  e^{k t} 1

0

La fonction t ⟼ e^{- k t} est strictement décroissante ;

lim

xe^{- k t} = +  ;

lim

x e^{- k t} = 0.

t -  0 +  +  e^{- k t} 1

0

Voici la représentation de la fonction exponentielle f : x ⟼ e^x.

On a aussi représenté la tangente au point d’abscisse 0, de pente e⁰ = 1.

(4)

Voici la représentation de la fonction g : x ⟼ e^{2 x}.

g est la fonction composée de la fonction exponentielle et de la fonction affine x ⟼ a x + b donc g’ : x ⟼ 2 e^{2 x} donc g’ ( 0 ) = 2.

La tangente au point d’abscisse 0 a pour pente 2.

Voici la représentation de la fonction h : x ⟼ e ^x

1 2 . h’ ( 0 ) = 1

2 ; la tangente au point d’abscisse 0 a pour pente 1 2^.

(5)

Voici la représentation de la fonction i : x ⟼ e^{- x}.

i’ ( 0 ) = -1 ; la tangente au point d’abscisse 0 a pour pente - 1.

Voici la représentation de la fonction i : x ⟼ e^{- 2 x}.

(6)

Voici la représentation de la fonction i : x ⟼ e^ ^x

1 2 .

IV/ Situations concrètes décrites par une croissance ou une décroissance exponentielle k est un nombre strictement positif.

Si une quantité évolue comme e^{k t}, on parle de croissance exponentielle.

Si une quantité évolue comme e^{- k t}, on parle de décroissance exponentielle.

On rencontre une croissance exponentielle dans le cas d’évolutions successives à taux constant, par exemple l’évolution d’un avoir qui augmente de 3 % par an.

Je prête 10.000 euros. Ce prêt me rapporte 3 % par an.

t est la durée de ce prêt en années.

f est la valeur de mon avoir à l’instant t.

f ( 0 ) =10.000

f ( 1 ) =10.000 × 1,03 = 10.300 f ( 2 ) =10.000 × 1,03² = 10.609 f ( t ) =10.000 × 1,03^t.

Il existe un nombre k tel que f ( t ) = 10.000 e^{k t}. En terminale, vous pourrez calculer que k  0,0296.

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Un bon exemple de décroissance exponentielle est la décroissance radioactive.

La quantité de carbone 14 présente dans un morceau de bois décroit exponentiellement avec k = 1,22  10^{- 4} où le temps est compté en années.

Si au moment où l’arbre est abattu cette quantité de carbone 14 est f ( 0 ) = 1, alors la quantité de carbone 14 contenue dans le morceau de bois est e – 0,000122 × t

.

On constate par exemple que cette quantité diminue de moitié en 5700 ans.