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'W,

DOUZE TABLES

LE CALCUL DES RÉDUCTIONS STELLA! RES.

DOUZE TABLES

LE CALCUL DES RÉDUCTIONS STELLAIRES,

F.

FOLIE,

AtlMlMSTRATEUB-INSPECTEUttDE LUNIVERSITEDE LIEGE,-

DIHECTEUKDE l'iNSTITUT ASTRONOMIQUEYANNEXÉ,CHARGÉ DES COURS d'aSTRONOMIE ET nv.GÉODÉSIE, MEMBRE DE l'aCADÉMIE ROYALE DEBELGIQUE.

Mémoirea de la Socièlc royaledes sciences deLiège, au ï

Siipplémciil au Tome X.

BRUXELLES,

F. IIAYEZ,

I.MPRFMEUR DE I/ACADÉMIE ROYALE DE BELGIQUE,

RUE DE LOUVAIN,

108.

1883

620782

^^

\^^

v^ V,

AVANT-PROPOS.

AI. P. Van Hiiml)éeck, ministre de l'Instruction pnlilique, a bien v'oulu, sur ma proposition, doter l'Université de Liège d'un Obser- vatoire, dont la construction, aujourd'hui terminée, lui assure la reconnaissance du monde savant.

En ^{attendant que} je puisse m'y livrer aux observations,

j'ai

consacré mes loisirs à un travail qui sera fort utile aux astronomes.

L'Observatoire national de Washington a publié

(')

une table destinée à ^faciliter le calcul de la précession. Cette table a pour argument l'ascension droite exprimée en temps. Malheureusement

l'accroissement de l'argument y ^est uniformément de io% ce qui rend l'interpolation assez laborieuse, et surtout assez peu précise, dans la plus grande étendue de la table.

Aussi une nouvelle table plus complète était-elle vivement désirée des astronomes, aujourd'hui surtout que la publication du catalogue de la Société astronomique fournira foccasion fréquente de calculer très exactement un grand nombre de précessions.

Qu'aucun astronome n'ait entrepris récennnent ce travail, ce

fait

peut être attribué ])rincipalement à deux difficultés matérielles

:

d'une

j)art,

le temps fort long qu'exigeait le calcul hii-même,

si

fou devait rcntrepronch-c sans aide; d'autre part, les Irais assez considérables

(')

Washington,

Astron.obs., vol. III, i853.

de riiujiression, qui ne peuvent pas être couverts par la vente de l'ouvrage.

Ces deux diillcultés m'ont été épargnées

:

la première, grâce à l'aide oblio-eante de quelques ^{élèves et} au concours d'un copiste que le

département de l'Instruction publique a bien voulu mettre à ma

disposition

;

la seconde, grâce à la libéralité de la Société royale des Sciences de Liège, qui a bien voulu ordonner l'impression de ces Tables dans ses Mémoires.

Par cet heureux concours de circonstances,

j'ai

pu, sans trop me

distraire de mes autres travaux, réaliser le projet que j'avais conçu, lors d'une ^{visite faite} en 1880, à différents observatoires de l'Alle-

magne.

Ce projet m'avait été tout particulièrement recommandé, à Gotha, par mon excellent ami, M. le professeur D^ A. Krueger, actuelle-

ment directeur de fObservatoire royal de ^Kiel, qui m'a initié,

il

y

a quelque vingt ans, sous la direction d'Argelander, à

la

pratique des observations astronomiques.

Tous ceux qui ont bien voulu prêter leur concours à cette œuvre ont droit, je crois pouvoir ^{l'affirmer sans} crainte, à ^la reconnaissance des astronomes;

^ils

ont droit surtout à la mienne.

Mes ^meilleurs remercîments donc à mon ami A. Krleger, dont

les judicieux ^conseils m'ont été très utiles pour la composition des principales tables

;

A M. J. Sauveur, ^{secrétaire général} au département de l'Instruc- tion publique, dont ^le bienveillant concours n'a jamais

fait

défaut à aucun travail scientifique;

A MM. ^les docteurs P. Ubaghs, L. de Ball _{et J.} De Ruyts, qui ont entrepris, avec le plus grand empressement, ^{le calcul} de la table IV,

et

ont bien voulu se charger de maintes vérifications

_;

A tous mes amis de la Société royale des Sciences, enfin, qui ont

libéralement voté l'impression des Tables dans les Mémoires de

la

Société.

INTRODUCTION

Le présent volume renferme douze

t.ibles

destinées

à faciliterdiflërents calculs

de réductions astronomiques

: les tablesI

à V

celui

de

la

précession,

les tailles

VI

à

X

^celui

^de

^la

^nutation,

^lestables

XI

et

XII

celui

de quelques autres réductions

usuelles.

La

tableI est celle

des précessions annuelles.

La

table II, c]ui

complète

la

première, renferme

leslog.

tang. de

o''

à

90".

La

table IIIest

une

tajjle

d'anli-logarithmes servant

à la

réduction en nombres de

loo;

f ^

i5sina.tg^»-)à,' etc.

Les

tables

IV

et

V ^servent

à

calculer

les

termes de

la

précession

c[ui

dépendeni de

la

deuxième

et

de

la

troisième

])uissance

du

tcm])s.

Les

tables

VI

h.

X sont destinées

à faciliter le calcul

de

la

réduction au

lieu

apparent.

Les

tables

XI

et

XII

enfin, celui

de

certaines

réductions

usuelles.

Dans

les lignes cpii

suivent nous donnerons

C[uelc|ues

explications sur chacune de

ces tables.

TABLK

I

(Pages

i

—

-2).

La précession annuelle, en déclinaison

et

en ascension

droite, secalcule,

comme

on

sait,

au moyen des expressions

:

n cosa et

m

^-7-nsin atgè.

i5

dans

lesquelles a et5

sont respectivement

l'ascension

droite

et la

déclinaison de

l'astre,

m

et

n des constantes, exprimées,

la

première en secondes de temps,

la

deuxième en secondes

d'arc.

Bessel

et

Struve en ont successivement déterminé

les valeurs.

Leverrier, en soumettant

les

données de Struve

à

une nouvelle discussion,

a

trouvé une valeur de

la

constante

diflérenle

des

deu.v

précédentes

^(').

Quoique

les

constantes de Struve

soient

généralement adoptées,

certains astro-

nomes préféreront

se servir

de

celles

de

Bessel, etil

pourra même

être

nécessaire de

lefaire

dans beaucoup de recherches.

C'est

pourquoi nos Tables,

tout

en donnant explicitement

les

valeurs de n cos

a et

de log

_yj;/ sinx

d'après Struve, permettent de

calculer

aisément

ces

valeurs d'après

Bessel.

Afin de ne pas surcharger

les

pages, nous n'avons pas indiqué

les

corrections à

«pporter aux nombres de

latable

pour

lecalcul

de

la

précession d'après Leverrier.

Les astronomes qui voudraient

faire

usage des constantes de

ce

savant pourraient aisément indiquer en marge

cescorrections.

Les formules de

ces

constantes

sont,

en

arc,

A désignant

le

millésime de l'année

^:

Bessel

. .

Struve.

.

Leverrier.

(

m =

46"o2824-<-

o"ooo3o8643o

(A

—

lySo)(^) (

n =

2o"o6442

— o"oooog70204 (A —

i75o).

(

m =

46"o623^-<-

o"ooo2849

(A

—

1800) (^) ( n

=

2o"o6o7

—

o"oooo863(A

—

1800).

n

=

46"o6oio^-+-o"ooo28373(A

—

iS5o)(*)

n

= 2o"o524o —

o"oooo8663(A

—

i85o).

L'époque à laquelle

se

rapportent nos

tablesest

1875,0;

c'estcelle

du catalogue

d'étoiles

publié par

la

Société astronomique.

Voici

les

valeurs des constantes précédentes pour

cette

époque,

celles

de log

n, ainsi c]ueles

corrections à ajouter à

la

valeur de log n (Struve iSyS), pour obtenir

ses

valeurs pour igyS suivant Struve, Bessel ou Leverrier.

Struve.

.

Bessel

. .

Leverrier.

m=

3^072245

?î

=

2o"o54228 log;ï

=

1.3022062 ^alogn

= —

0.000187.

m

^=-- 3'07112

?i

=

20"o523o

logn =

I.302164I ilog«

= —

0.000252(').

m=

3'07ii46

«

=

2o"o54566 log«

=

i.3o22i33 alog«

= —

o.oooi8o(^).

(')Dreyer,parunedétermination récente, a trouvéunevaleur qui serapprochesensiblementdecellede Struve (COPERNICUS,t.2,p.i35).

(=)Bessel,Tab.Rcgiom.i83o,p.X.

(')Peters,

Num.

constans nutationis,p.ig5(Mém. de Saint-Pétersbourg,û» série,t.III,1S44).

{)Leverrier, Recherches astronomiques,_{chap. X,}sect.prem.,p.190(Ann.de l'Obs. de Paris,t.II,i856).

{')Différence prise par rapportàlogn(Struve1875,0).

Nous clomuTons, à

la lin

de

cette

Intnxluction, un tableau des valeurs de

ces

constantes, de dix en dix ans, de 1800 à 2000.

Les valeurs précédentes sont

celles

qui nous ont

servi

dans

lecalcul

des

tables.

Ces

calculs

ont

étéeffectués

tous avec 7 décimales, au moyen des

tables

de

Callet (Paris,

F. Didot, 1795,

^tirage

de _1846),

et vérifiés,

dans tous

les

cas douteux, par

celles

de Vc^a (Bremiker 40" Aufl.

Berlin,

Weidmannsche Buchh., i856); pour repasser des logarithmes aux nombres «cos^:,

il a été fait

usage de

celles

de

J.

Dodson {The anti-logarithmic canon, London, James Dodson and John Wilcox, 1742),

^assez

défectueuses du

reste, et

dont bien des

chiffres

ont dû

être corrigés.

Voici maintenant quelle

estla

disposition de

latable I;

Les pages impaires renferment

les

valeurs de n cos

a.

Les pages

paires, celles

de log ^ ^«

^{sin «; ces}

dernières portent en

tête:

Les valeurs de m pour 1875, d'après Bessel

et

d'après Struve;

Leur accroissement ^m pour 1975

;

L'accroissement Alog« que prend

^le

logarithme de n (Struve, 1875) pour _1975,

et les

quantités A ^log

^Ji qu'il faut

ajouter

à ce

même logarithme pour obtenir

sa

valeur d'après Bessel pour 1875

et

1975.

Telle

estla signification

de

ceten-tête,

que nous reproduisons ci-dessous

^:

Bessel.

Struve.

18T5.

7723*071 12

—

0.000042

1875.

?w3=07224 Alog

n

1075. iw

-+-.00206

—

0.000252

1975.

-iw

+

.00190; ilog n

—

0.000187.

Argument. — ^Nos

^tables

^sont

à douille entrée.

L'argument

est le

temps. Chaque page, qui renferme 10 minutes, porte en haut (ou en bas)

l'heure, et

à gauche (ou à

droite)les

minutes

et les

dizaines de secondes d'ascension

droite;les

onze colonnes marquées

o' 10'

indiquent

les

unités de seconde.

Les nombres portés dans

les

colonnes

i' 10'

sont

les

derniers

chiffres

des nombres que

l'on

cherche,

les

premiers figurant en marge, dans

la

colonne

0'.

Le dernier

chiffre

en marge

varie

quelquefois d'une unité dans une même ligne hori- zontale

:

nous avons cru

inutile

d'indiquer

cette

variation par un astérisque, qui

jette

toujours de

la

confusion dans une

table.

Nombre de

chiffres.

— Les valeurs de

ii

cos

a

ont

toutes été

réduites à 4 ^décimales.

Quant à

celles

de log

:[^sin «, elles

ont

été

réduites à 3 décimales lorsque

^la

caractéristique

n'est

pas supérieure à

_7,

à 4 décimales dans

la

première page,

lorsque

la

caractéristique

est

8

et la

mantisse

inférieure

à 7700; à

5

décimales dès

la

deuxième page,

à

6 décimales

enfin

à

partir

de

^2''.

Nous avons cru

ce

nombre de décimales nécessaire,

à

cause du fadeur

tgô,

qui multiplie ^

^sina.et

^qui

^est

très

considérable pour des

étoiles

voisines du

pôle.

Variation

séculaire.

— La variation

séculaire figure

en

tête

de

la

page pour log ^

sin a;

nous l'avons donnée dans

^la

^dernière colonne de droite pour n cos

a.

(Su-uve).

Précessio\ de Bessel. — A ^{gauche, au}

^{contraire,figui'ent,}

^dans

^la

colonne Add.,

la

quantité à ajouter

à celle

de

la table

pour obtenir

77

cos

a (Bessel

1875)

et,

dans

la

colonne

voisine, les

valeurs de

la

variation

séculaire

de

77

cos

a

d'après

Bessel.

Unités adoptées. — Les corrections de

77

cos

a, ainsi

que

ses

variations

séculaires,

sont exprimées en unités décimales du dernier ordre

et

en dixièmes de

ces unités.

Il est utile

de connaître

ces

dernières

fractions

pour

être

assuré de

l'exactitude

du dernier

chillre,

surtout quand on

doit faire

usage de

l'interpolation.

Parties proportionnelles. — Pour

facilitercette

dernière, nous avons donné en marge

lecalcul

des

parties

proportionnelles.

TABLE

II.

Le désagrément d'avoir deux volumes à

feuilleter,

pour

effectuer

un

seulet

même

calcul, et la

perte de temps qui en

résulte,

nous ont engagé à donner, en quelques pages,

les

valeurs de log

tg5,

de minute en minute d'arc jusque

80",et

de

^10"

en

^10"

à

partir

de

là

jusque

90".

Ceux que ne rebute pas une

interpolation,

quelquefois un peu laborieuse, mais toujours suffisamment

exacte,

préféreront

se servir

de

cette tableII,

composée de

treize

pages, plutôt que de

^feuilleter

une seconde

^table.

Les

parties

proportion-

nelles, calculées

par secondes,

facilitent,

du

reste,

beaucoup

l'interpolation.

Afin de réduire

le

volume de

la tableII,

nous avons compris,

à j^artir

de

80°,

deux minutes dans une même ligne horizontale,

c'est-à-dire

que

la

ligne marquée 80°

o'

o" ^10" 20" 3o" 40" 5o" o" 10" 20" 3o" 40" 5o"

s'étend

de 80"

o'

à 80°

^2'exclus.

Quelques-uns

se

demanderont

^]5eut-être

pourquoi nous n'avons ^pas donné, dans

la tableI,

log

₍₇₇sina), et,

dans

la tableII,

log

{^i^{fg"^)»}

puisque

ces

derniers loga-

rithmes figurent dans

la table

VII.

Il V a à^ct'ki

plusieurs bonnes

raisons.

D'abord, nous n'avons pas voulu empêcher ceux qui veulent

éviter l'inlerpolation (le

rechercher

clans

une

table

ordinaire

1o<ïtiro.

Ensuite notre

table II

devait avoir 6

de'cimales,

notre

table

VII, 4 seulement.

Knfin

celle-ci

devait donner en même temps log

_(/^ sec _0), et

avait

sa

place marquée à côté des

tables

qui servent à

la

réduction au

lieu

apparent, comme

la tableII

a

sa

place naturelle à

lasuite

de

latableI.

La

table II est suivie (p.

90) des valeurs, avec 6

figures,

de log

/«;

de m =

3.

06

à

m = 3.08,

et

de

celles

de log

/,

de

/

=

1 1

à

^

= zSo; en

outre,

des produits de

/,

jusque

/

=

99,

par

les

nombres

:i, 3 ...9.

Les premières valeurs seront

utilesà

ceux qui voudront calculer par lo<'arithmes

mt

et

^

^sinatg')./.

^Ces derniers produits, à ceux qui préféreront calculer sans loga- rithmes

(/« -I- 13sin a tgo)/.

TABLE

III

(pages 91

_-117).

Aux uns

et

aux

autres, la table

des antilogarithmes

est

indispensable pour

rejjasser

aisément,

soit

des logarithmes de ml

et

^

^{sin x}

^tgo

^{./, soit}

simplement de

celui

de —

sinatg

aux nombres correspondants.

Cette

tableest

à double

entrée, et

donne, avec

sept

chidres,

les

nomjjres corres- pondants aux logarithmes de quatre

chifTres

qui en

sont

l'argument.

Les

diiïérences, ainsi cjueles parties

proportionnelles,

cpii

v

figurent, lacililcronl

beaucoup

les interpolations.

TABLES IV ET V ^(pages m- 118).

Table

I"V.

— ^{Argelander a} donné des

tables

pour

le calcul

des deuxième

et

troisième termes de

la

précession en AR

et

déclinaison

(').Elles

ont

été

composées, sous son

inspiration,

par deux de

sesélèves : la

première par

le

P.

_f.

Menlen,

la

seconde par

le

D'

Tiele, assistant à

TObservatoire de Bonn;

elles se

rapportent

à

l'année 1860

et

aux constantes déterminées par

Bessel.

Nous avons

eu,

pour

les

mettre en harmonie avec notre

tableI,

à

les

modifier en prenant pour bases

les

constantes de Struve

et

l'année 1875.

Table IV

_(pp.

iii-n6). — Indiquons en quelques mots de quelle manière nous avons calculé

les

corrections

à

apporter, dans

ce but,

à

la

première de

ces tables,

{'j Astron. Beob.,au/ der SteniwartejiiBonn, VII Band,p.14G

plutôt que

les riotnbres

eux-mêuies donnes dans notre

table

IV,

à

cause du

travail fastidieuxet ingrat

que

ce

dernier

calcul

nous

aurait

occasionné

(*j.

Si

nous désignons par N

le

nombre 206264.8, par

^?«'et?i'les

variations annuelles de

7/2 et

de

/?, ces

quantités

étant

exprimées en secondes

d'arc,

nous savons que

la

variation

séculaire

en AR

est

donnée, en secondes de temps, par

:

lOOd'a 100 _..

, ^• X I

lOOfn"

.

= (m

^-1- n t°:^sma)-I-

— — —

J

—

^sin25t

+

»!nces-/ tg'J

+

?i

sm2/

ta

etla

variation

séculaire

en déclinaison, par

ûf^c? , 100,

100

—

-

=

10071 cosa

— \mn

smat

— n

sin atg'î{

.

La variation

séculaire

en AR pourra

s'écrire,

en conservant

les

notations du

P.

Menten

:

A

^-+-

Btgcî-H

Ctg'^â;

et,

en déclinaison

^:

A'

+

B'tg-;.

Il s'agit

de rechercher quelles sont

les

corrections à

faire

aux nombres A,B,G, A'

etB'

pour

les

rapporter aux constantes de Struve

et

à l'année 1875.0.

Désignons

ces

dernières constantes par

7fi,??,t?i', 7?'; celles

que

le

P. Menten

a

adoptées, par

rtio,fJo,tn'o, fj'o', et

distinguons par une

notatiozi

analogue,

les

valeurs des nombres A, B,

etc.,

qui

se

rappoitent à chaque espèce de constantes. Nous aurons

:

A —

Ao

= —

^\

m —

??!„^->

— —

(n

—

nVj

sm

2^>

.

i5 j °

2N

^" )

Cette quantité

est la

correction à apporter à A

(Bessel

1860) pour obtenir A

(Struve 1875).

Or

100 (w'

—

;72^)

=

o"oo237;

le

premier

tei'me

de

la

correction

est

donc — 0.000

r6.

()Il estvrai que, ledernierchiffredécimalétantforcé,danscestables,de

même

queledernierchiffredenotre correction, ilpeut en résulteruneerreurd'uneunité de dernier ordredanslerésultat;maisnous avonspenséqu'il nevalaitpaslespeines,pourcorrigeruneerreur aussiinsignifiante,de recommencertoutle calculdelatabledu P.Menten. La comparaison de nosdifférencesaveclessiennesmontre, au surplus,quecetteerreurseprésenterarement.

Il

n'y

a ]kis lieu

de

tenir

cdtnptp du second terme. En

effet

n

=

«o

—

o.ooo5,

d'où

n'

—

_nl

= —

o.020o5;

et

— ^-r;(n

-

"D = —

O.0OOOO>.

l5

2N

Pour transformer

les

nomjjres A^ en A nous n'nvions donc qu'à retrancher de chacun

seize unités

du cinquième ordre.

Passons maintenant aux nombres A', qui

sont,

eux

aussi,

donne's direclement, tandis que

les

nombres B,

etc., le

sont par

leurs

logarithmes.

La correction

à

apporter

à

A^ pour obtenir A'

sera

A — A„ = ioo(n — n„)cosa

100

rr

('""

—

mc,no)sina.

Le premier terme

est

é^al

à

0.00107 cos

a.

Pour calculer

le

second, nous savons que

mn =

(nia^-*-0.02148)_(«o

+

0.00048)

= Wo^o

^-•-0.0215«o *-0.00048;«o

=

Wo;îo-t-0.45.

—

100

— ^(mn —

Wo"o)

=

^0.000218.

A'

— A^ =

10.7cos»

—

2.18sinz,

Donc

Et

enfin

en

unités

de (juatrième ordre.

liC

calcul de

cette

correction a

été fait très

simplement

à l'aide

de

la table

XI.

B. — Désignons-la par A;

^elle

va nous

servirà

déterminer

celle

de log

B^.

Remarquons en eHet que

log B(^+6o

=

log A-

—

log15,

ou, en écrivant simplement A au

lieu

AL

^:

I ^'

=

log(A; ^-+-j)

— logi5=logB<,(,

+6>)

+ M j^ —

-^

en

sorte

que

la

correction A de A^, trouvée

])lus

haut,

suffit

pour déterminer immé- diatement

celle

de log B^

(').

C,

B'.

—

Il

n\ en a aucune à apporter aux

chiffres

de log C^

et

log Bô; on

s'assure,

en

effet,

immédiatement que

logC — IogCo =

logB'

— logB^ = 2(log« —

\gn„)

=

2

(i.3o22o6—

1.302196)

=

0.00002.

Les

calculs

qui précèdent ont

été faits

directement

à l'aide

des sinus naturels

(table

XI),

et

des inverses des nombres

(table

XII), sans

l'usage

des

tables

de logarithmes.

Lorsqu'il ne

.s'agit

que d'obtenir

trois

ou quatre

chiflresexacts,

nous trouvons

celles-ci

en général

fort

incommodes,

et

même peu

sûres,

à cause des doubles erreurs de copie qui peuvent

se

produire.

Quelc[ue peu d'habitude du calcul numéricfue permet, dujresle, de

simplifier

bien des opérations, qui, au premier abord, semblent

très

laborieuses;

ainsi,

par exemple,

la

division d'un nombre par N = 206264.8.

Si l'on

remarque que

I 16 I

N

3 I10008'

on

voit

que

l'on

peut opérer

très

aisément

cette

division en prenant

_{5 |}fois le

nombre proposé,

et

en divisant

lerésultat

par

1 1;

on aura

ainsi,

en cent millièmes,

le

quotient du nombre par N, avec quatre

chiffresexacts.

Table V. — Quant à

latable

V, qui permet de calculer

le

troisième terme de

la

précession,

elle est

simplement

la

reproduction de

celle

que M.

le

professeur A. Auwers a publiée dans

le

Fundainental-Catalogfilr die Zoiienbeobachtwigeu a?n n'ôrâlichen Hiinmel

(Public,

der Astr. Gesellschaft,

t.

XIV,

p.

88)

^(").

Elle

est

accompagnée de

la table

des cubes des nombres

naturels,

de

11

à 25o, cubes dont on

a

besoin dans

lecalcul

du troisième terme, lorsqu'on veut

l'effectuer

sans

l'aide

des logarithmes.

Afin de

faciliter

au

lecteur l'usage

des

taloles

dont nous venons d'exposer

la

composition, nous donnons ci-dessous

la

formule complète du calcul des

trois

premiers termes de

la

précession

:

[d'j. Ii=a Iâ}'x. I

\dt

2dr

h

dp

(

=

t

?«-4-nsinatg'?+-(A+Btg<?+Ctg'(J)

>

+

(P+•P.tg^-i-P,tgV-f-

PjtgV)

( 2 100) \I00

C) De

même

; log

B^=

log

A^i —

ei)

—

logi5.Cetteformule, oulaprécédente, permetde calculer directement log B,aumoyendeslogarithmes de A'.

[') Lescorrectionsquinousont servi à dresserlatableIV concordentaveccellesqui ontétécalculéesparle

même

astronome,etqui sont inséréesdanscet.XIV,pp.^5ietsuiv.

et

de

inénie:

S,

— =

/

'ncosa

-t--(A'

+

B'tgo') 1 -+-

(Q

^-+-

Q,

^tg'j

+ _Qa

tg'o)

—

- ^.

( 2 lûo) Vioo/

Il estfVicheux

que Fou

^n'ait

pas

aijpelé

variation

séculairele

produit loo

^^^^^

au

lieu

du produit loo^^.

Mais nous ne pouvions songer,

ni

à modifier une terminologie universellement adoptée,

ni

même

^à

diminuer de moitié, dans notre

table

IV,

la

valeur des constantes A, B, C,

etc.,à

cause du ^trouble que

ce

changement

eût

apporté dans

les

habitudes des astronomes.

TABLES VI

à

X (Pages

iicj-iSi).

Le calcul de

la

réduction du

lieu

moyen au

lieu

apparent, lorsque

le

catalogue

d'étoiles

ne donne pas

les

quantités a

, h,etc. ('),sefait

à

l'aide

des Formules

:

AR app =

^3.-+-/-+-

g

^sin

^(G +

a) tg'j-•-hsin

(H

-t-a)sccj

+

i^t.

D app =

-i-icos'j^-+-

g ^cos(G

^{• v)-^}

^{h cos(H}

+- a) sin»?

+

vt C).

Pour

faciliter

ce

calcul, et

pour permettre d'obtenir immédiatement

l'ascension droite

en temps, nous avons construit des

tables

qui donnent, avec 4 ^décimales

^:

Table VI (pp.

¹

19-121). — De

^o''à6'', les

log

sinet

cos de

10'

en

^10'.

Tables VII

^et

VIII

(pp.

122-126}. — De

^0°

à

yo", les

log de

,\ tg et

de

,'^ secy;

ces

dernières

tailles

procèdent de

^10'

en

^10'

entre

0°et68",

de

i^'

en

i^'

entre 68"

et78",

de

^10"

en

10" enfin

entre 78"

etyo'^.

Table IX

(jj. 127).

— De

o"à 90°les

log de

sin et

de cos

ô

de 10 en

^10'.

Table X

l'p. 128).

— La taljleXest

la

reproduction de

latable

des antilogarilhmes à 4

chiffres.

C) Destables,destinées àfaciliterlecalculdecesconstantes,ontétédonnéesparM.E.J.Stone,directeurde l'Observatoiredu Cap, danslesResultsofastr.ob$.modeattheroy. obs. Cape, duriiigtheyear l8~4.Cape Town, SaulSalomon, 1877.

(') Ilseraitfortà désirer, pourlacommodité ducalcul,quelesquantités/,

G

^et

H

fussentdonnées entemps,au lieudel'êtreenarc.

TABLES XI ET XII.

Dans maintes réductions, comme nous l'avons déjà vu plus haut,

et,particulière-

ment, dans

la

réduction de

l'instant

du passage d'une

étoile

par

le

méridien ou par

le

premier

vertical, ilest

beaucouji plus avantageux de

fairele calcul direct cjue

de passer par l'emploi des

tables

de logarithmes, même à 4 ^décimales.

C'est

dans

ce

but

c|ue

nous avons construit

lestables

des

lignes

trigonométriques

naturelles à

4 ^décimales, que nous reproduisons

ici,

en même temps que

les

quelques mots qui leur servent d'explication

^(').

Table XI

_(pp.

129-130.) —

« Inutile

de revenir sur

la disposition

de

ces tables,

»

qui

estidenlic[ue

à

celle

de notre

table

des logarithmes des sinus

et

tangentes,

»

sauf une amélioration qui

n'est

pas dépourvue

d'utilité :

lorsque

l'excès

de

la

»

valeur

exacte],

sur

^celleC[ui est

donnée par

les

4

^chiffres

de

latable, est

compris

»

entre un quart

et trois

quarts d'unité du dernier ordre, nous avons

fait

suivre

ces

»

quatre

chiffres

d'un point; en

sorte

que 2174., par exemple,

signifiecjuela

valeur

»

exacte

est

comprise entre 2174'/^

et

2174^/^;

^l'erreurest

donc au plus d'un quart

»

d'unité du

4*

ordre,

ce

qui

est

important,

surtout,

dans

le

calcul des tangentes

et

»

des

sécantes,

lorsque

leurs

valeurs sont un peu grandes.

.»

Dans

la table

des

sinus,

cosinus

et

tangentes,

il

va de

soi c[uele

premier des

»

4

^chiffres

^de nos colonnes représente généralement des dixièmes

; il

n'y

a

d'excep-

» tion

que pour

les

sinus

et

tangentes des

arcs inférieurs

à

0040',

où

ce

premier

chiffre

»

représente des millièmes (indiqués par

les

deux astérisques qui

le

surmontent),

» et

pour ceux des

arcs

compris

entre la limite

précédente

etcelle

de

5"4o'

où

ce

»

premier

chiffre

représente des centièmes (indiqués par un seul astérisque).

»

Dans

la table

des cotangentes, sécantes

et

cosécantes,

le

premier

chiffre

repré-

» sente

généralement des unités simples

; il

n'y a d'exception,

ici

encore, que pour

» les

cotangentes

et les

cosécantes des

petitsarcs

que nous venons de mentionner

:

»

deux astérisques indiquent que

ce

premier

chiffre

représente des centaines

;et

»

un seul astérisque,

qu'il

représente des dizaines.

»

Table XII

(p. i3i).

— Une dernière

table enfin

donne, avec

5 chiffres, les

inverses des nombres, de

loi

à 999. Elle permet

d'éviter

des divisions, lorsqu'on opère sans logarithmes.

« Il est tout àfait

superflu d'indiquer

l'ordre

des

unités

de

cettetable;le

calcu-

(')

Mcm.

delaSoc. roy. des Sciencesde Liège,2»sér.,t.IX.

» lateur

saura toujours

le

délerminer du premier coup

d'œil.

Dans

la

première

» partie

de

la table, les

dillerences

étant assez

considérables,

et,

par

suite, assez

» fastidieuses à pri'iidre

de

tête,

nous avons indiqué, en marge de chaque ligne

))

horizontale,

la

diilérence moyenne;

il suffira

d'en remplacer

le

dernier, ou

les

»

deux derniers

chiffres,

par ceux de

la

diflérence

véritable,

pour obtenir

celle-ci

»

exactement.

»

Nos

tables

ont

été

revues avec

soin

après

le tirage,etvérifiées

par

les différences;

les fautes restantes,

malheureusement

assez

nombreuses, sont consignées dans

l'errata (|uisuit,

page

xiv.

Nous serons

fbri

obligé aux astronomes

cjui

vondioiil bien nous signaler

celles

qui auraient pu nous échapper.

'l'ahlf di-.s iiilrurs

de m

et n.

ERRATA.

Pag

Page 77, 43 55

ai. log;^sec

iij, logsin

8S () 20

TABLES ^I-V.

O h XII

h.

n cos

^a. (Struve 1875.0).

BESSEL

O

^h.

^XII

^h.

Bcssel.

1875

m

^i'07112

^—0.000042

A lug u

igjS

Ami

i -uo^oO

—

ù.000252

u

l'Oit-—

:

Struve.

1875

m

3*07224

1975

Ain

-*-•ooiqo

A lo^ u -

u.000187 Mil)a(Struve 1875.0).

0"

O h XII

h.

—

3

u cos

a(Struve iSyS.o).

BESSEL.

O

h.

XII

h.

— 4 —

Bessel.

187S n» 3^07112

—

0.000042

A loK u

lOyS

Ani

^-+- •oo20(j

—

o.ooo252

Struve.

1875 lit 3I07224

1975 Aiti-+- .00190

A loK

II

—

0.000187

Vng

_ Nliiy.(Struve1875.0).

«'

O h XII h. — 5

n eau

a(^Struve iSjS.o).

BESSEL.

Oh. XII

h.

6 —

Bessel.

1875

m

5:07112

—0.000042

A

lug;

u

1975

Ani

^-r-00200

—

0.000252

Struve.

1875

m

3*07224

1975

Aiu

^-t-•00190

A log u ^-

0.000187 l.o|E

—

i»Iua (Struve1875.0).

»

^'

O

h.

XII

h.

7 —

n cos

a (Struve 1875.0)

Il ¹

BESSEL

O

h.

XII

^/bu

Bessel.

1875

m

3^071¹²

—

0.000042

A log n

1973

Am

^-+--00206

—

0.000252

Struve.

1875

m

3I0722.}

1975

Ain

^-- 110190

A log u —

0.000187 tjofi

— nIu

^a.(Struve 1875.0).

15

0"

o

h.

XII

h.

— ₉ -

n cos

a. (Struve 1875.0).

BESSEL.

O

h.

Xll

h.

Besscl.

1875 ^ill ).'071I2

—

O.OOOU42

A lo«

^Il

1975

dm +

-00200

—

o.000252

Struve.

1875

m

3;07224

197S

Ain

^-+-•00190

A log

II

—

0.0001S7

.og — ^mIu

^a(Struve 1873.0).

là

1

0''

1

0.

O

h.

XII

h.

a (Struve 1875.0).

BESSEL.

O

h.

Xll

h.

Bessel.

1875 ni 3.'07ii2

—

0.000042

A Utg

II

1975

Am

^{-4- -00200}

—

".1100252

Struve.

1875

m

3:07224

1975

Am

^-4--00190

A lug u —

0.000187 liOgr

—

• tilnX (Struve1875.0).

0"

I h.

XIII h. — ⁱ³ —

u cos

^y.(Struvc iSjS.o).

BESSEL.

1

h. XIll

h.

— 14

Bessel.

1875 111 5;o7ii2

—

0.000042

A

l<>s

>

igy) Aiii •--oojuj

—

0.0002)2

Struve.

187S

m

3107224

197) Aiii-i-

00190 A lug u —

0.000187

i^og

^-

— ^hIm

^a(,Struve 1875.0).

là

1"

I h.

XIII

h. i5

—

eos

a ;Struve 1875.0)

BESSEL.

I h.

XIU

il.

— ⁱ⁶ —

liessjl.

1875 n* 3I0711J

—

0.OO00.J2

A log

II

igyS

An»

^-+- -ooiuô

—

0.000252

Struve.

1875

m

3.'0722.|

1975

Ani

^-4--00190

A loR u —

0.000187

u

'*»»

TT "*"

^ (Struvo _1875.0).

r

1 h.

XllI

h.

17

n «os

a (Struve 1875.0).

BK AdJ.

I

h XIU

h.

- i8 —

Bessel.

1873

m

jIojii: 0042

A los u

1975 AlM-t--lKiJuO

—

^O.(X)02S2

Struve.

1875

m

3*07224

1975

An»

--•

00190 A log n —

0.000187 i.o|ç

—

nIii7.(Struve 1875.0).

ta

1"

I h.

Xlll

h.

19

I cos

a (Struve iSyS.o).

BESSEL.

1 h.

XIll

h.

Bessel.

187⁵ lu y\)-jii2

—

0.000043

A lus >

igjS

Am

--00300

—

0.000252

Struve.

1875

m

3*07224

1975

Am

^-4-•

00190 A log u —

0.000187

Liog —^ mIu

a (Struve1875.0).

1'

I h. lun h.

n eos

^a. (Struve 1875.o).

lîKSSEL.

1 h.

XIll

h.

1875 1975 Ai

Bessel.

3*07113

•

00206 A

log;

n

0.00004a 0.000253

X875 1975 Al

Struve.

3'072 24

-•

00190 A lue » —

0.000187 ïïjog

— Min

a(Struve 1875.0).

1^

I

h. XIII

h.

— 23 —

cou

a iStruve iSyS.o),

lîESSEL.

I h.

XUl

h.

— 24 —

Bessel.

1875 n» 3*07112

—

0.000042

A log

II

197)

uni

-t- -00206

—

0.000252

Struve.

1875

m

3107224

1975

Am

H--00190

A loK n —

0.000187 I.0JÇ

— nIu

3c(Struve 1875.0).

1'

II

h XIV

h.

— 25

n cos

a (Struve 1875.0).

BESSEL.

11h.

XIV

h.

- 26

Bessel.

?75

m

^{3*071 12}

^—0.000042

A luK u

—

0.000232 1975

Ani + 00206

Struve.

1875

m

3*07224

1975

Ain

-t- ^•

ooigo A log u —

0.000187

liOg — nIu

a (Struve 1875.0).

15

T

H h XIV

^h.

²⁷ —

n cos

a (Struve iSyS.o).

1 BESS

Add.

II h.

XIV

^h.

— 28

Besscl.

1875

m

^3:0711a

^—0.000043

A

log;

n

1973

An»

^-+--00206

—0.000253

Struvc.

1875

m

^3.'

07224

197)

An»

-t-^•

00190 A log n —

0.000187

1.0K — sln

a(Struvc1875.0).

2"

II h XIV

h.

— 29 —

n cos

X (Struve 1875.0).

1

BEÎ.SEL.

11 h.

XIV

h.

— 30

Bcssel.

1875

m

^>'07ii2

—

0.000042

A lue >

iqjS

Ain

^-+- •U020O

—

0.000252

Struve.

1875

m

3:07224

1975

An»

-I--00190

A

l»jscII

—

0.000187 liog

— nIu

a (Struve 1875.0).

là

T

II h.

XIV ^h. — 3i —

n eos

a (Struve iSyS.o).

BESSKL.

11 h.

XIV

^h.

32 —

Bessel.

1875 ••» -iViyiiJ

—

0.00004:

A loK

^II

1973 Aiii-^ -00306

—

0.00025j

Los — n

Struve.

1875

m

3I07224

1975 Aiii-+--00190

A loK n —

0.000187 mIiiaiStruve1S75.ni.

2" 0»

U

^h.

XIV

h.

— 33 —

I fos

a tStruvc iSyS.o).

BESSEL. 1

Ilh.

XIV

^h.

- 34 -

1873 1975

Besscl.

m

i'o-112

D0206 A log u

0.000042 0.0002)2

n

Struve.

1875 lu 3107224

197)

Ani

^•<- -00190

A los n —0.000187

Vog—- Nln

X(Struve1873.0).

:2" 0-

Il

h XIV

^h.

- 35

ros

2

Struve

1875.0).

BESSEL.

11 h.

XIV

h.

36

Bessel.

1875 lu 3.'ii7ii2

—

0.000042

1975

Aui

^I--00200

—

0.000252

Struve.

1875

m

3*07224

1975 Ani-t--

00190 A log n —

0.000187

u

,, ,

I.0S

— ^

itlu a(btruve 1875.0).

2"

III h XV

^h.

-37-

n eos

^y.(Struve 18-5.0).

BESSEL

m

^h.

^XV

^h.

³⁸

Bessel.

1875

m

^3'07ii2

1975

Am

^-+-

⁰⁰²⁰⁶

A log

II

0.000042 0.O0O252

Struve.

1875 "1 3)07224

1975

Ain

-t--ooigo

A log n —

0.000187 liog

— Hln

a (Struve1875.0).

5

5"

»U

h.

XV

^h.

-39

cos

a. (Struve iSyS.o).

BESSEL.

111 h.

XV

h.

— 40 —

liCSSi 1875 I" i'uyiiJ 1975 Aiii ^{I •'}

A lue

^II

—

O.DUOO(2

StruYC.

1875

m

^i'oj224

1975

Ain

^-+- 00190

A lus

II

—

0.000187 l.ns tiiiy.(Struve1875.

oK

=

5''

m ^{h XV h}

^4'

n fo»

a (Struve 1875.0).

BES

111

h XV

^h.

- 42

Bcssel.

1875

m

^y'

iQy5

Ani

-V •oo2o<)

A lus u

Struve.

—

0.0UOU42 1875

m

ÎI07224

0.000252 11(7^ Aiii -t-•00190

A

lo|EII

u

, .

l.as

-^

r>iuaiblruvc 1875.01.

0.000187

5"

m

^h.

^XV

^h.

⁴³

I fon

y.(Struve 1S75.0).

BESSEL. 1

111 h.

XV

h.

44

Bessel.

1875 lu 31071^1.'

—

0.000042

A luK u

iq-^ Aiii-I-•00206

—

0.000252

Struve.

1875 lii 3^07224

1975

Aiu

^-4-•00190

A los u —

0.000187

liOg -^ «lu

X(Struve 1875.0).

5''

m

^h.

XV

^h.

u cos

o. (Struve 1875.0).

BESSEL. ¹

m

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289 227 .45 046 928 794 644 478 216 022 814 3q3 359

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75