Produire un son : de la corde vibrante au tambour

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Produire un son : de la corde vibrante au tambour

Nicolas Popoff

Labo Maths Lyc´ee Claveille, P´erigueux

18 d´ecembre 2019

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Son et musique : porteurs d’information

Extrait du programme “Enseignement scientifique” :

Un son pur est associé à un signal dépendant du temps de fa¸consinuso¨ıdale. Un signal périodique defréquence f se décompose en unesomme de signaux sinuso¨ıdaux de fréquences multiples de f. Le son associé à ce signal est un son composé. f est appelée fréquence fondamentale, les autres fréquences sont appeléesharmoniques.

En musique, un intervalle entre deux sons est défini par le rapport de leurs fréquences fondamentales. Deux sons dont les fréquences sont dans lerapport 2/1 correspondent à une même note, à deux hauteurs différentes. L’intervalle qui les sépare s’appelle uneoctave.

Nicolas Popoff Produire un son : de la corde vibrante au tambour

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Objectifs

Son produit par une corde vibrante :

Modéliser le son par lesvibrationsd’une corde attachée à ses extrémités.

Utiliser des séries de Fourier pour définir un soncomposé.

Existence des harmoniques :

Expliquer l’apparaition de cesfr´equences multiples d’une fr´equence fondamentale.

D´efinir les quantit´es similaires pour un tambour.

Poser quelques questions math´ematiques autour de ces harmoniques.

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Des d´ eriv´ ees partielles

Si on a une fonction qui d´epend `a la fois du temps et de l’espace, c’est une fonction dedeux variables

u :R×R→R, (x,t)7→u(x,t).

On peut définir ses dérivées partielles :

1 On fixex0∈R, alors t7→u(x0,t) est une fonctionsur R.

2 On peut la dériver! La dérivée au pointt₀ est notée

∂u

∂t(x0,t0).

3 On a défini une nouvelle fonction de deux variables ^∂u_∂t. De même, on peut définir ^∂u_∂x et les dérivées secondes ^∂_∂x²û2 et _∂x∂t^∂²û .

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Un calcul qui va servir

Exemple : Soitu(x,t) =cos(ωt)f(x) avecf quelconque. Alors











∂²u

∂x²(x,t) =cos(ωt)f⁰⁰(x)

∂²u

∂t²(x,t) =−ω²cos(ωt)f(x)=−ω²u(x,t).

Ce n’est pas toujours aussi simple!

Repr´esenter une fonction de deux variables

1 Si les variables sont spatiales, on peut tracer le graphe (une surface).

2 Ici, on trace le graphe de x7→u(x,t), et on fait ´evoluer t.

Exemple (pas au hasard) : u(x,t) = cos(nπ

t ) sin(nπ

x ), n∈N

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L’´ equation des ondes

Propagation d’une perturbationu : Avec un peu de physique on arrive à l’équation générale :

∂²u

∂t²(x,t) =c²∂²u

∂x²(x,t),

Variable d’espace (1d) : x ∈R. Variable de temps : t ≥0.

Vitesse caract´eristique : c >0.

On la compl`ete par une perturbation initialeu(x,0) =u₀(x) avec u0 une fonction donn´ee.

Il faut pr´eciser dans quel espace vit la solution.

EDP très simplifiée : Elle estlinéaire.

Pas d’amortissement.

Mod`ele unidimensionnel.

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La corde vibrante

On attache une corde entre deux pointsx = 0 etx =L.

Corde vibrante : oscillations de la hauteur.

Soitu(t,x) la hauteur de la corde au tempst et au point x :











∂²u

∂t²(x,t) =c²∂²u

∂x²(x,t),

u(x,0) =u₀(x) (perturbation initiale u₀)

u(0,t) =u(L,t) = 0 (Corde attach´ee aux bouts) Param`etre physique

c² = ^T_µ (T : tension et µ: masse lin´eique).

Pour faire simple, posons c = 1.

On n´eglige les frottements de l’air et la raideur de la corde.

On supposeu₀ ∈L²([0,L]), c’est-`a-dire Z L

0

|u₀(x)|²dx <+∞ (´energie finie).

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Approche en domaine born´ e

On chercheune solution particulièreen variables séparées : u(x,t) =f(x)cos(ωt)

avecf 6= 0 et ω∈R.

On calcule... siu est solution de l’EDP alors f⁰⁰(x)cos(ωt)=−ω²f(x)cos(ωt).

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Un probl` eme aux valeurs propres

On ajoute lesconditions au bord :

on cherche donc `a d´eterminer ω∈RETf 6= 0 tels que ( −f⁰⁰(x) =ω²f(x) sur [0,L],

f(0) =f(L) = 0.

Solutions : f(x) =Acosωx+Bsinωx.

Conditions au bord :

f(0) =f(L) = 0 =⇒A= 0 etsin(ωL) = 0.

On trouve que (ω,f) est de la forme ωn= nπ

L avec n∈N^∗ et fn(x) = sin(ωnx).

On dit qu’on a r´esolu un probl`eme aux valeurs propres.

Un musicen vous dira qu’on a trouv´e les harmoniques...

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D´ etour : le spectre d’une matrice

Pour une matrice carr´eeA∈M_N(R), on peut chercher sesvaleurs propreset ses vecteurs propres:

Trouverλ∈RET X ∈Rⁿ\ {0}tels que AX =λX

Les trouver permet ded´ecortiquer A(diagonalisation...).

Il y a au plusN solutions pour λ: c’est le spectrede la matrice A.

Ici, si on poseE ={f ∈C^∞([0,L]),f(0) =f(L) = 0} et A:f 7→ −f⁰⁰,

alors E est un e.v. etA est un endomorphismede E.

On a trouv´e une infinit´e de valeurs propres pourA...c’est normal : E est de dimension infinie!

Ce sont les bases dela th´eorie spectrale.

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On a trouv´e des solutions particuli`eres :

un(x,t) =sin(ωnx)cos(ωnt).

Lin´earit´e :

L’´equation des ondes estlin´eaire :

u et v solutions =⇒ u+αv aussi , ∀α∈R.

Conséquence : toute combinaison linéaire de ces solutions particulières est encore solution.

Deux questions

Peut-on fabriquer une somme infiniedes un (une s´erie)?

Peut-on obtenir TOUTES les solutions?

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D´ ecomposition en s´ eries de Fourier

Unefonction peut être décomposée enséries de Fourier Soit f ∈L²(0,L), on construit les coefficients de Fourier

cn= ¹_L Z L

0

e⁻ⁱ^2πn^L ^xf(x)dx, n∈Z

On recompose la somme partielle

S_N(x) =

N

X

n=−N

c_neⁱ^2πn^L ^x, N∈N

Th´eor`eme de convergence : S∞=f, ce qui signifie kS_N−fk²_L2 :=

Z 2π

0

|S_N(x)−f(x)|²dx →0 lorsque N→+∞.

Th´eor`eme de Dirichlet : sif est C¹,alors laconvergence est uniforme.

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Un peu d’histoire

Cette analyse est développée par Joseph Fourier(1811) pour résoudre l’équation de lachaleur

∂u

∂t = ∆u

Accueil par l’acad´emie des sciences (Lagrange et Laplace)?

Plutˆot froid : comment peut-on ´ecrireSN =f quandN→+∞?

Une fonction continue = une fonction quelconque????

Pas encore de th´eorie de la mesure pour construire des int´egrales!

Aujourd’hui, les s´eries de Fourier sont un outil majeur : R´esolution d’EDP.

Analyse duson et acoustique.

Traitement du signalet compression d’images.

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R´ esolution de l’´ equation des ondes

On d´ecompose une solutionx 7→u(x,t)en s´erie de Fourier sur la base des sinus :

u(x,t) =

+∞

X

n=1

bn(t)sin(nπx L ).

On injecte dans l’´equation... alors on a b⁰⁰_n(t) +n²π²

L² bn(t) = 0.

La corde est lach´ee avec unevitesse nulle : ^∂u_∂t(x,0) = 0. On d´eduitb_n(t) =B_ncos(^nπ_Lt).Pour trouver B_n, on fait t= 0 :

X

n≥1

Bnsin(nπx

L ) =u0(x).

Ce sont lescoefficient de Fourierde la position initiale.

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R´ esolution du probl` eme par s´ eries de Fourier

Solution explicite :

u(x,t) =X

n≥1

B_ncos(nπt

L )sin(nπx L ).

Les coefficient B_n sont lescoefficients de Fourierde la position initiale u₀.

C’est lasuperposition d’harmonique.

Pour aller au bout

Précisez la convergence de la série,et la régularité de la fonction trouvée.

Y a-t-il d’autres solutions? Il faut montrer :

1 Avec une donn´eeu0∈L², toutes les solutions sontL².

2 La m´ethode montre que cette solution est la seule.

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Lien avec l’analye hilbertienne

L’espace vectorielE =L²([0,L],C) est muni du produit scalaire hf,gi= 1

L Z L

0

f(x)g(x)dx. On dit queE est un espace de Hilbert.

Pourn∈Z, posons en(x) =e^2inπ^L ^x.

Les coefficients de Fourier se r´eecrivent cn =hf,eni,c’est la composante de f selon le vecteuren.

La somme partielle se r´e´ecrit SN =

N

X

n=−N

cnen

C’est la projection orthogonale sur vect(e−N, . . . ,e_N).

Le théorème de convergenceL² s’interpète : La famille (en)n∈Z est une base hilbertienne de E.

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Spectre d’une vibration

Lesωn= ^nπ_L forment le spectrede cette corde vibrante.

Ils ne d´ependend que de L:

Ils sont d´ecroissants par rapport `a L.

Ils sont bien multiples de la fondamentale ^π_L. Vibration d’un tambour

Soit Ω⊂R² un tambour vibrant d’une hauteuru.

On introduit le laplacien en dimension 2 :

∆u = ^∂_∂x²û2 +^∂_∂y²û2. L’équation des ondes en dimension 2 est

∂²u

∂t²(x,y,t) =c²∆u(x,y,t), (x,y)∈Ω.

Le tambour est fix´e sur son bord∂Ω :

u(x,y,t) = 0 lorsque (x,y)∈∂Ω.

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les valeurs propres du laplacien

Introduisons l’op´erateur laplacien sur les fonctions de Ω : A:f 7→ −∆f =−^∂_∂x²^f2− ^∂_∂y²^f2.

Le spectre de Aest une suite (ω_n)n∈N de nombres tels qu’il existe une fonctionf_n6= 0 v´erifiant les conditions au bord et

Af_n=ω_nf_n.

Le spectred´epend de laforme de Ω (pas explicite du tout...) Encore une fois,u(x,y,t) =f_n(x,y)cos(ω_nt) est une vibration harmonique du tambour.

Question (M. Kac, 1966) :

Peut-on entendre la forme d’un tambour?

Autrement dit : Ω7→(ωn)n∈N est-elle injective?

Deuxtambours diff´erents peuvent-ils produire lemˆeme son?

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Cocotte et flˆ eche

R´eponse n´egative par Gordon and coauteurs (1991) :

Figure: Cocotte et flˆeche : deux tambours isospectraux

Construction depuis des quadrilatères symétrisés sur le plan hyperbolique...Beaucoup de géometrie et d’algèbre caché derrière!

Pour des tambours plus r´eguliers, la question reste ouverte!

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Les probl` emes inverses

C’est un probl`eme inverse :

En entendant le son, reconstruire la forme du tambour?

Autres problèmes inverses : à partir d’observation de la solution d’une EDP en surface, peut-on connaˆıtre les coefficients de l’EDP à l’intérieur d’un objet?

Nombreuses applications :

Tomographie (d´et´ection de tumeur).

G´eologie (nappe d’eaux, gisements de p´etrole).

Sismologie (recherche de l’´epicentre).

Cosmologie (détéction d’exoplanètes).

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Les harmoniques d’une vibrations

Le spectre

Les solutions de l’´equations des ondes ^∂_∂²2^u

t = ∆u font

intervenir des solutions particuli`eres

un(x,t) =fn(x)cos(ωnt),

avec (ω_n,f_n) solution de −∆u_n =ω_nf_net u_n= 0 au bord.

En 1d, on trouve ωn= ^nπ_L .La fréquence est fn= ^ω_2πⁿ. Avec la raideur de la corde (inharmonicité du piano), on a plutôt

ω_n∼ nπ

L (1 +Rn²), R1.

Pour d’autres types d’instruments, les harmoniques ne sont pas aussi explicites.

₂

.

.

Figure: Une octave!!

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Sur l’´ equation des ondes en 1d

Avec l’analyse de Fourier, on trouve que la solution g´en´erale est

u(x,t) =X

n≥1

B_ncos(nπt

L )sin(nπx L ).

Il est connu que la solution g´en´erale est de la forme

F(x−ct) +G(x+ct),F etG deux fonctions. Ici c’est le cas : cos(ω_nt) sin(ω_nx) = ¹₂(sin(ω_n(t+x)) + sin(ω_n(t−x))). L’´energie de l’onde est conserv´e :

Z _2π

0

|∂_xu(x,t)|²+|∂_tu(x,t)|²dx ∼X

n≥1

n²B_n².