Les techniques de prévisions des ventes

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Les techniques de prévisions des ventes

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Table des matières

I. Préambule 3

II. L'ajustement linéaire par la méthode dite « des moindres carrés » 5

A. Principe 5

B. Illustration 7

III. L'ajustement avec une fonction exponentielle 11

A. Principe 11

B. Procédure 11

1. Vocabulaire concernant les logarithmes 11

2. Comment mettre une équation sous sa forme logarithmique ? 11

3. Rappel de quelques propriétés fondamentales des logarithmes et des exponentielles 11

a. log (ab) = log a + log b 11

4. Mise en application des rappels ci-dessus 13

C. Illustration 14

IV. L'ajustement avec une fonction puissance 20

A. Principe 20

B. Procédure 20

C. Illustration 20

V. La méthode des résidus 23

A. Principe 23

B. Méthodologie de la méthode des résidus 24

VI. Les techniques de prévision en tenant compte des variations saisonnières 27

A. Préambule 27

B. La méthode des moyennes mobiles centrées réduites 27

1. Principe 27

2. Mode de calcul de la valeur ajustée si les ventes sont données en trimestres (périodicité de 4) 27

3. Mode de calcul de la valeur ajustée si les ventes sont données en mois (périodicité de 12) 27

4. Illustration 27

5. Autre manière d'utiliser les moyennes mobiles centrées réduites 31

C. La méthode des coeﬀicients saisonniers 32

1. La méthode des rapports au trend 32

a. Méthodologie 32

b. Illustration 32

2. Savoir complémentaire concernant les coeﬀicients saisonniers 35

a. Principe 35

b. Exemple 36

D. Le lissage exponentiel 38

1. Principe 38

2. Illustration 38

...

Table des matières

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I. Préambule

Dans ce chapitre nous allons étudier quelques méthodes statistiques de prévision des ventes, à partir de l'extrapolation des valeurs observées dans le passé.

Nous verrons successivement les techniques suivantes : L'ajustement avec une fonction linéaire,

L'ajustement avec une fonction exponentielle, L'ajustement avec une fonction puissance, La prise en compte des variations saisonnières.

Remarque

Dans la réalité il existe d'autres techniques complémentaires à celles ci-dessus. C'est le cas notamment des études de marché (l'étude approfondie des études de marché n'est pas au programme de ce cours).

En théorie, pour choisir entre les trois premiers types d'ajustement (linéaire, exponentiel ou puissance) on peut procéder ainsi :

1. On représente les données d'une population dans un repère orthonormé

Cette représentation est fonction de deux variables x et y et se traduit par un nuage de points.

On appelle x_i la variable représentative du temps (exprimée en mois, en trimestres ou en années) au cours desquels des observations ont été relevées.

On appelle y_i la variable représentative de ce que l'on cherche à prévoir (le chiﬀre d'aﬀaires ou les quantités vendues mensuellement, trimestriellement ou annuellement).

On place chaque couple de valeur. Il apparaît donc un nuage de points.

En fonction de la forme du nuage de points, on choisit l'un ou l'autre des ajustements.

2. En fonction de l'ajustement choisi, on calcule la droite de tendance

On peut prévoir les ventes en remplaçant (dans la fonction représentative de la tendance) « x » par le rang recherché.

Préambule

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Exemple 1

Conséquence

Dans ce cas de figure, on choisira l'ajustement linéaire de la forme → y = ax + b

Exemple 2

Conséquence

Dans ce cas de figure, on choisira l'ajustement exponentiel de la forme → y = A^x * B

Préambule

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Exemple 3

Conséquence

Dans ce cas de figure, on choisira l'ajustement puissance de la forme → y = x^A * B

Remarque

Dans la plupart des énoncés, on vous donnera directement le mode d'ajustement à choisir. Toutefois, il existe au moins deux méthodes plus « scientifiques » pour connaître le meilleur ajustement de la série :

1^ère méthode (la seule demandée dans le cadre des examens).

On calcule le coeﬀicient de corrélation pour chaque ajustement.

La méthode d'ajustement dont le coeﬀicient sera le plus proche de - 1 ou de + 1 sera la meilleure (la formule du coeﬀicient de corrélation sera indiquée pour chaque type d'ajustement → cf suite du cours).

2^ème méthode

On applique la méthode dite « des résidus ».

En réalité cette méthode est très rarement utilisée ! Nous vous l'indiquons juste à titre pédagogique.

II. L'ajustement linéaire par la méthode dite « des moindres carrés » A. Principe

Il est possible de remplacer le nuage de points par une droite de la forme : y = ax + b.

Or, dans le plan, on peut tracer une multitude de droites qui suivent le plus possible le nuage de points. La droite des moindres carrés est celle (parmi toutes les droites possibles) qui minimise le carré des écarts entre les valeurs réelles et les valeurs ajustées à partir de l'équation de la droite.

On pourra donc prévoir les ventes (y) en remplaçant la variable « x » par le rang recherché dans la droite d'ajustement.

L'ajustement linéaire par la méthode dite « des moindres carrés »

(6)

Formules à connaître pour établir l'équation de la droite d'ajustement : y = ax + b

Sachant que :

N = Nombre d'observations (nombre de mois, semestres, trimestres, années, etc.)

Variance = Moyenne des carrés - Carré de la moyenne

Remarque

Compte tenu de sa définition, une variance ne peut pas être négative !

(7)

Covariance = Moyenne des produits - Produit des moyennes

Remarque

Compte tenu de sa définition, une covariance peut être négative !

Remarque

Compte tenu de sa définition, le coeﬀicient de corrélation est obligatoirement compris entre - 1 et + 1, mais compte tenu des éventuels arrondis à chaque étape on peut trouver un coeﬀicient légèrement > 1 ou < - 1.

B. Illustration

Entre N-3 et N, les quantités vendues trimestriellement d'une entreprise ont été les suivantes (en milliers d'unités).

Questions

1. Représenter graphiquement la suite des observations.

2. Déterminez par la méthode des moindres carrés la droite de tendance de cette série.

3. Calculer le coeﬀicient de corrélation.

ème

(8)

5. Tracer la droite de tendance dans le graphique précédent.

Correction

1^ère question - Représentez graphiquement la suite des observations.

→ cf. préambule de ce chapitre → Le graphique représenté correspond à l'exemple 1.

2^ème question - Déterminez par la méthode des moindres carrés la droite de tendance.

Tableau préparatif des calculs

N = Nombre d'observations (nombre de mois, semestres, trimestres, années, etc.) = 16

Attention

Ne pas confondre N (16) avec la somme des N (136).

(9)

Remarque

Conséquence → y = 9,06x + 134,58

Remarque

Il peut apparaître quelquefois de légères différences dans les montants selon que les calculs successifs ont été effectués à partir de valeurs arrondies à chaque étape ou en cascade (on garde en mémoire tous les chiffres après la virgule → Ce que font les calculatrices ou Excel) !

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3^ème question - Calculer le coeﬀicient de corrélation

Remarque

On considère habituellement qu'un ajustement est acceptable lorsque le coeﬀicient de corrélation de la série est proche de +/- 0,85.

Donc dans cet exemple on peut considérer que l'ajustement linéaire représente bien la série et qu'il permet de prévoir les ventes assez correctement.

4^ème question - Prévoyez les ventes du 2^ème trimestre N+1

Pour prévoir les ventes du 2^ème trimestre N+1, il suﬀit de remplacer (dans l'équation de la droite de tendance ci- dessus) « x » par le rang du trimestre recherché.

Ici « x » correspond au rang 18.

Donc ventes prévues = (9,06 * 18) + 134,58 = 297,66 → Arrondi à 298 milliers d'unités 5^ème question - Tracez la droite de tendance dans le graphique précédent

(11)

III. L'ajustement avec une fonction exponentielle A. Principe

Il s'agit donc cette fois-ci d'ajuster la série avec une fonction exponentielle, de la forme :

→ y = B * A^x (Avec B et A étant des constantes)

B. Procédure

1. Vocabulaire concernant les logarithmes

Rappel

Il existe plusieurs sortes de logarithmes mais les deux qui sont utilisés le plus souvent sont : Les logarithmes décimaux

Les logarithmes népériens

Chaque type de logarithme possède « une base » : La base des logarithmes décimaux est « 10 », La base des logarithmes népériens est « e ».

D'une façon générale, si on veut écrire par exemple : logarithme décimal de x → On « devrait » l'écrire : log_(a)x → C'est-à-dire un logarithme de x dont la base est 10.

D'une façon générale, si on veut écrire par exemple : logarithme népérien de x → On « devrait » l'écrire : log_(e)x → C'est-à-dire logarithme de x dont la base est « e ».

Toutefois, par convention, lorsque l'on écrit : log → On parle de logarithmes décimaux, ln → On parle de logarithmes népériens.

Conséquence

Si dans un énoncé on ne vous précise pas la nature du logarithme à utiliser (décimal ou népérien), vous pouvez choisir celui que vous voulez. Le résultat final sera exactement le même (aux arrondis près).

2. Comment mettre une équation sous sa forme logarithmique ?

Il suﬀit de rajouter log (ou ln selon le cas) de chaque côté du signe « = ».

Exemple

Mettre sous sa forme logarithmique l'équation suivante → (1 + t)^4,5 = 200

→ log (1 + t)^4,5 = log 200 Ou → ln (1 + t)^4,5 = ln 200

3. Rappel de quelques propriétés fondamentales des logarithmes et des exponentielles a. log (ab) = log a + log b

Rappel

Exemple 1 → log (3x) = log 3 + log x Exemple 2 → ln (3x) = ln3 + lnx

L'ajustement avec une fonction exponentielle

(12)

log aⁿ = n log a

Rappel

Exemple 1 → log 5² = 2 log5 = 2 * 0,69897 = 1,3979 Exemple 2 → ln 5² = 2 ln5 = 2 * 1,609438 = 3,2189

Remarque

Pour calculer log5 ou ln5, il suﬀit d'utiliser vos calculatrices !

log_(a) x = y → x = a^y

Rappel

On peut simplifier à l'extrême cette formule en utilisant des symboles. Ce n'est pas très « mathématique » mais c'est simple et l'avantage est que le principe en est universel !

Exemple 1 log (y) = 0,34

On peut donc écrire → log (y) = 0,34 → y = 10^(0,34) → y = 2,188 Exemple 2

ln (y) = 0,34

On peut donc écrire → ln (y) = 0,34 → y = e^(0,34) → y = 1,401

(13)

e^{(a + b)} = e^a * e^b

Exemple

y = e(0,80 x + 4,20) → y = e^(0,80x) * e^(4,20)

e^(ax) = (e^a)^x

Exemple

y = e^(1,12x) → y = (e^1,12)^x → y = 3,06485^x

4. Mise en application des rappels ci-dessus

Nous allons tout d'abord « réécrire » la fonction y = A^x * B sous sa forme logarithmique.

Ceci permettra, dans un 1^er temps, de la « transformer » en une droite d'équation de la forme : y = ax + b Donc si on applique le rappel « 2 » ci-dessus (rajouter log ou ln de chaque côté du signe « = ») on peut écrire : y = A^x * B devient log y = log (A^x * B)

Ensuite, si on applique le rappel « log (ab) = log a + log b » ci-dessus : log (ab) = log a + log b → on peut écrire : log y = log (A^x * B) devient log y = log A^x + log B

Donc si on applique le rappel « log aⁿ = n log a » ci-dessus : log aⁿ = n log a → on peut écrire : log y = log A^x + log B devient log y = x log A + log B

Vous voyez que cette fonction « ressemble » maintenant à celle d'une droite (donc de la forme : y = ax + b).

Il suﬀit maintenant de changer de variable.

On pose : log y = Y log B = b log A = a

Ensuite on calcule « a » et « b » de la même façon qu'avec la méthode des moindres carrés vue dans un chapitre précédent.

Il suﬀira enfin de « revenir en arrière » vers la fonction exponentielle de départ.

Nous allons étudier cela dans l'illustration qui suit.

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C. Illustration

Entre N-2 et N, les quantités vendues trimestriellement d'une entreprise ont été les suivantes (en milliers d'unités).

Il s'agit d'un nouveau produit de grande consommation.

Questions

2. Prévoir les ventes du 2^ème trimestre de l'année N+1 en ajustant la série sous une forme exponentielle (y = B * A^x). Vous utiliserez les logarithmes népériens.

4. Tracer la courbe y = B * A^x dans le graphique précédent.

5. Ajuster la série sous une forme exponentielle (y = B * A^x). Vous utiliserez les logarithmes décimaux.

Correction

1^ère question - Représenter graphiquement la suite des observations.

2^ème question - Prévoir les ventes du 2^ème trimestre de l'année N+1.

Tableau préparatif des calculs pour les logarithmes népériens (ln)

(15)

Remarque

Faites bien la diﬀérence entre y_i et Y_i.

N = Nombre d'observations (nombre de mois, semestres, trimestres, années, etc.) = 12 (et pas 78) L'ajustement avec une fonction exponentielle

(16)

Il vient → Y = 0,80 x + 4,06

Il faut maintenant revenir à la fonction d'origine → ln y = 0,80 x + 4,06 Sachant que : log_(a) x = y → x = a^y

→ Il vient : y = e(0,80x + 4,06)

Sachant que : e(^{ax + b}) = eâx * e^b → Il vient → y = e(^{0,80 x}) * e(^4,06) Sachant que : e(âx) = (eâ)^x → Il vient → y = (e^0,80)^x * e(^4,06) Soit → y = 2,23^x * 57,97

Prévisions des ventes du 2^ème trimestre N+1 → Il s'agit donc du rang 14.

y = 2,23¹⁴ * 57,97 = 4 359 848

3^ème question - Calcul du coeﬀicient de corrélation avec l'ajustement exponentiel.

(17)

4^ème question - Tracer la courbe, y = B * A^x dans le graphique précédent

Remarque

Le coeﬀicient de corrélation étant très proche de 1, les représentations graphiques de la série et de la fonction exponentielle sont quasiment confondues.

(18)

5^ème question - Ajuster la série sous une forme exponentielle (y = B * A^x). Vous utiliserez les logarithmes décimaux.

Tableau préparatif des calculs pour les logarithmes décimaux (log)

(19)

Conséquence

Il vient → Y = 0,3453x + 1,7637

Remarque

On ne trouve pas la même équation de droite qu'avec les logarithmes népériens, mais le résultat final sera exactement le même (aux arrondis près).

Il faut maintenant revenir à la fonction d'origine (on revient en arrière !) Y = 0,3453x + 1,7637 → log y = 0,3453x + 1,7637

Sachant que → log(a) x = y → x = a^y

Remarque

Dans l'expression ci-dessus, lire : log base « a » de x = y, implique que « x » = « a » à la puissance « y » Rappelez-vous qu'un log décimal (log) à une base « 10 ».

Il vient → y = 10(0,3453x + 1,7637)

Sachant que : 10^{(ax + b)} = 10âx * 10^b → Il vient → y = 10(^0,3453x) * 10(^1,7637) Sachant que : 10(âx) = (10â)^x → Il vient → y = (10^0,3453)^x * 10(^1,7637) Soit → y = 2,21^x * 58,04

Conclusion

Aux arrondis près, on retrouve bien la même équation qu'avec les logs népériens ! L'ajustement avec une fonction exponentielle

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IV. L'ajustement avec une fonction puissance A. Principe

Dans le même esprit que pour l'alignement avec une fonction exponentielle, il s'agit cette fois-ci d'eﬀectuer l'ajustement avec une fonction puissance.

Cette fonction est de la forme : y = B * X^a (avec « B » et « a » étant des constantes).

B. Procédure

En fait, nous allons tout d'abord la transcrire sous sa forme logarithmique.

Ceci permettra, dans un 1^er temps, de la « transformer » en une droite d'équation → y = aX + b Il vient→ log y = log (B * x^a)

Ensuite, on utilise les particularités des logarithmes → On peut donc écrire : log y = log B + log x^a

Rappel

log aⁿ = n log a

On peut donc écrire → log y = log B + a log x

Vous voyez que cette fonction « ressemble » maintenant à une droite ! Il suﬀit maintenant de changer de variable.

→ On pose : log y = Y log B = b log x = X

→ Ceci permet d'écrire : Y = aX + b

Ensuite on calcule « a » et « b » de la même façon que précédemment. Il suﬀira ensuite de revenir à la fonction puissance de départ.

C. Illustration

Pour les six derniers trimestres, les quantités vendues trimestriellement d'une entreprise ont été les suivantes (en milliers d'unités).

Il s'agit d'un nouveau produit de grande consommation.

Questions

2. Prévoir les ventes du 8^ème trimestre en ajustant la série sous une forme d'une fonction puissance (B * x^a). Vous utiliserez les logarithmes népériens.

4. Tracer la courbe, y = B * x^a dans le graphique précédent.

L'ajustement avec une fonction puissance

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Correction

1^ère question - Représentez graphiquement la suite des observations.

2^ème question - Prévoyez les ventes du 8^ème trimestre en ajustant la série sous une forme d'une fonction puissance (B * X^a). Vous utiliserez les logarithmes népériens.

Tableau préparatif des calculs pour les logarithmes népériens (ln)

Remarque

Notez bien la diﬀérence entre xi et Xi et entre y_i et Y_i (les changements de variables).

N = Nombre d'observations (nombre de mois, semestres, trimestres, années, etc.) = 6 L'ajustement avec une fonction puissance

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Conséquence

Il vient → Y = 2,72X + 4,85

Il faut maintenant revenir à la fonction d'origine (on revient en arrière !)

→ Y = 2,72X + 4,85 → lny = 2,72 lnx + 4,85 Sachant que → log(a) x = y → x = a^y Il vient → y = e(2,72 lnx + 4,85)

Sachant que : e(^{ax + b}) = eâx * e^b → Il vient → y = e(^{2,72 lnx}) * e(^4,85) Sachant que : e(âx) = (eâ)^x → Il vient → y = (e^lnx)^2,72 * e(^4,85)

Sachant que : on peut écrire → (e^lnx) = x ou (10^logx) = x Il vient : y = e^4,85 x x^2,72 → y = 127,74 x x^2,72

Pour prévoir les ventes du 8^ème trimestre, il suﬀit de remplacer (dans l'équation ci-dessus) « x » par le rang du trimestre recherché.

Ici « x » correspond au rang 8 → Ventes prévues = 127,74 * 8^2,72 = 36 537 3^ème question - Calculez le coeﬀicient de corrélation

L'ajustement avec une fonction puissance

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4^ème question - Tracez la courbe, y = B * x^a dans le graphique précédent.

V. La méthode des résidus A. Principe

La méthode des moindres carrés assure l'ajustement le meilleur pour une fonction déterminée, dans le sens où elle minimise le carré des distances entre les valeurs observées et celles ajustées.

Comment connaître la fonction qui ajuste le mieux une série statistique ? Fonction linéaire (y = ax + b)

Fonction exponentielle (y = B * A^x) Fonction puissance (y = B * x^a)

Théoriquement, la forme des nuages de points doit nous aider. Toutefois, si ce n'est pas évident à « l'œil », il faut pour en être certain soit calculer les coeﬀicients de corrélation pour chaque type d'ajustement (cf. ci-avant) soit utiliser la méthode dite « des résidus ».

Remarque

En réalité cette méthode est très rarement utilisée ! Nous vous l'indiquons juste à titre pédagogique.

La méthode des résidus

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B. Méthodologie de la méthode des résidus

Pour chaque fonction d'ajustement retenue, on procède ainsi :

On calcule la somme du carré des écarts entre les valeurs réelles (y_i) et les valeurs ajustées (Y_i) pour chaque fonction,

La fonction pour laquelle la somme du carré des écarts (des résidus) est minimum est le meilleur ajustement.

Exemple

Reprenons l'exemple où nous avions ajusté la série avec une fonction puissance.

Nous avions trouvé une fonction puissance de la forme : y = 127,74 * x^2,72

Imaginons que nous hésitions pour cette même série entre un ajustement puissance (y = B * X^A) et un ajustement exponentiel (y = B * A^x).

Tableau préparatif des calculs pour la fonction exponentielle

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Il vient → Y = 0,9367 x + 4,5545

Il faut maintenant revenir à la fonction d'origine → ln(y) = 0,9367 x + 4,5545 Sachant que : log(a) x = y → x = a^y Il vient : y = e(0,9367x + 4,5545)

Sachant que : e(^{ax + b}) = eâx * e^b Il vient : y = e(^0,9367 x) * e(^4,5545) Sachant que : e(âx) = (eâ)^x Il vient : y = (e^0,9367)^x * e(^4,5545) Soit → y = 2,5515x * 95,06

Prévisions des ventes du trimestre 8 → y = 2,5515⁸ * 95,06 = 170 751

Remarque

Avec l'ajustement puissance nous avions trouvé, pour la prévision du même trimestre → 127,74 * 8^2,72 = 36 537

Application de la méthode des résidus avec les deux ajustements Pour la fonction puissance → y = 127,74 * x^2,72

(a) → 127,74 * 1^2,72 (b) → 127,74 * 2^2,72 (c) → 127,74 * 6^2,72 La méthode des résidus

(26)

Pour la fonction exponentielle → y = 2,5515^x * 95,06

(a) → 2,5515¹ * 95,06 (b) → 2,5515² * 95,06 (c) → 2,5515⁶ * 95,06 Conclusion

Avec la méthode des résidus, on s'aperçoit que l'ajustement avec une fonction puissance est meilleur qu'avec une fonction exponentielle dans cet exemple.

Remarque

Nous pouvions également comparer les coeﬀicients de corrélation des deux ajustements puis choisir le plus élevé des deux.

Avec l'ajustement puissance, nous avions trouvé un coeﬀicient de corrélation de 0,9895.

Calculons le coeﬀicient de corrélation avec l'ajustement exponentiel → cf. tableau de la section « L'ajustement avec une fonction puissance » .

Conclusion

Il y a concordance entre les deux méthodes. Que ce soit avec le coeﬀicient de corrélation ou la méthode des résidus, on doit choisir d'ajuster cette série avec une fonction puissance.

(27)

VII. Les techniques de prévision en tenant compte des variations saisonnières A. Préambule

L'étude de tendance générale ne suﬀit souvent pas pour faire des prévisions à court terme, d'où l'emploi d'autres méthodes, combinées ou non avec la recherche d'une tendance générale, permettant de tenir compte de variations particulières.

Nous allons donc étudier successivement :

La méthode des moyennes mobiles centrées réduites, La méthode des coeﬀicients saisonniers

B. La méthode des moyennes mobiles centrées réduites 1. Principe

Il s'agit de représenter la série statistique en substituant à la valeur observée (réelle) y_i, une valeur ajustée y'_i. En règle générale, les ventes sont données par trimestre ou par mois.

2. Mode de calcul de la valeur ajustée si les ventes sont données en trimestres (périodicité de 4)

En fait on calcule la moyenne sur 4 trimestres, avec ceux les plus éloignés de la valeur centrale, pris pour .

3. Mode de calcul de la valeur ajustée si les ventes sont données en mois (périodicité de 12)

Ensuite, à partir de ces valeurs ajustées, on calcule une droite de tendance (y' = ax + b).

On peut donc prévoir les quantités vendues (ou le chiﬀre d'aﬀaires) en fonction du rang du mois (ou du trimestre) recherché.

Remarque

Faites bien la diﬀérence entre y_i (valeur réelle) et y'_i (valeur ajustée par les moyennes mobiles centrées réduites).

4. Illustration

Vous disposez des ventes suivantes pour les quatre dernières années.

Question

Estimez les ventes du 1^er trimestre de la cinquième année par la méthode des moyennes mobiles centrées réduites.

Les techniques de prévision en tenant compte des variations saisonnières

(28)

1^ère opération - Tableau d'ajustement des moyennes mobiles

Bien voir que 354 (3^ème trimestre de la 1^ère année) est la 1^ère valeur centrale que l'on peut utiliser pour calculer la 1^ère valeur ajustée que l'on cherche.

Pourquoi ne pas avoir commencé par le 1^er trimestre ? Car pour trouver la valeur ajustée du 1^er trimestre, il aurait fallu que l'on dispose des ventes réelles du trimestre 4 et 3 de l'année 0, or nous ne les avons pas !

→ Même principe pour le trimestre 2

→ Donc obligation de commencer par le trimestre 3 ! (2)

(3)

Bien voir que 482 (2^ème trimestre de la 4^ème année) est la dernière valeur centrale que l'on peut utiliser pour calculer la valeur ajustée que l'on cherche.

Pourquoi ne pas avoir continué avec le trimestre suivant ? Car pour trouver la valeur ajustée du 3^ème trimestre de l'année 4, il aurait fallu que l'on dispose des ventes réelles du trimestre 1 de l'année 5, or nous ne les avons pas !

→ Même principe pour 4^ème trimestre de la 4^ème année

→ Donc obligation de finir par le trimestre 2 ! 2^ème opération - Calcul de la droite de tendance

Remarque

À partir des moyennes mobiles centrées, on peut donc calculer facilement une droite de tendance.

Toutefois, un problème se pose : doit-on considérer la 1^ère moyenne mobile dont nous disposons comme le rang 1 ou le rang 3 pour les x_i ?

Le plus simple consiste à repartir avec la 1^ère moyenne mobile calculée (ici 474) au rang 3.

(29)

Droite de tendance en considérant l'origine en 3

b= 519,08 - (9,08 * 8,5) = 442

Donc équation de la droite de tendance → y' = 9,08x + 442 Prévision des ventes du 1^er trimestre de la 5^ème année

Il suﬀit de remplacer (dans l'équation de la droite de tendance ci-dessus) « x » par le rang du trimestre recherché.

Ici « x » correspond au rang 17. Pour ne pas vous tromper sur le rang, nous vous conseillons de revenir à l'énoncé.

(30)

Conséquence

Ventes prévues = (9,08 * 17) + 442 = 596,36 → Arrondi à 596

Remarque

Si nous avions choisi de considérer la 1^ère moyenne mobile calculée (ici 474) au rang 1, les résultats auraient été les suivants :

(31)

Donc équation de la droite de tendance → y' = 9,08x + 460 Prévision des ventes du 1^er trimestre de la 5^ème année.

Il suﬀit de remplacer (dans l'équation de la droite de tendance ci-dessus) « x » par le rang du trimestre recherché.

Ici « x » correspond au rang 15. Pour ne pas vous tromper sur le rang, nous vous conseillons de revenir à l'énoncé.

Vous voyez que si on considère la 1^ère donnée en x = 1 → Le 1^er trimestre de la 5^ème année correspondra au rang 15.

Conséquence

Ventes prévues = (9,08 * 15) + 460 = 596,36 → Arrondi à 596

Autrement dit, même résultat qu'en prenant l'origine des temps en 3 !

5. Autre manière d'utiliser les moyennes mobiles centrées réduites

Dans ce qui précède, nous avons bien utilisé les moyennes mobiles centrées réduites, de pas de « 4 » . Il existe d'autres méthodes, notamment celle consistant à utiliser les moyennes mobiles (au sens strict) :

Elles ne sont pas centrées,

Cela dit, le pas de « 4 » reste toujours d'actualité (si on parle de trimestres !) Si on applique à l'exemple précédent, il viendrait :

(1) →

(32)

(2) →

Bien entendu, pour la suite → Idem que précédemment (sauf que l'on considéra que le 1^er rang est le 4^ème).

C. La méthode des coeﬀicients saisonniers

Si des variations saisonnières apparaissent chaque année (ou trimestre ou mois), les coeﬀicients saisonniers permettent de tenir compte de ces variations dans les prévisions.

Il existe principalement deux méthodes pour le calcul des coeﬀicients saisonniers : La méthode des rapports au trend (la plus fréquente),

La méthode des chaînes de rapport (cette méthode n'est pas au programme de ce cours).

1. La méthode des rapports au trend a. Méthodologie

1. On calcule la droite de tendance à partir des données observées (réelles) de la série.

2. On calcule les valeurs ajustées pour chaque composante de la série à partir de l'équation de la droite de tendance → Ceci a pour eﬀet de désaisonnaliser les données.

3. On calcule le « rapport au trend » pour chaque mois (ou trimestre).

→

4. On calcule les coeﬀicients saisonniers pour chaque mois (ou trimestre).

→ Moyenne des rapports au trend pour chaque mois (ou trimestre).

5. On peut maintenant calculer les prévisions du mois (ou du trimestre).

Conclusion

Ventes prévues = Prévision établie à partir de l'équation de la droite de tendance * Coeﬀicient saisonnier du mois (ou du trimestre).

b. Illustration

Reprenons les données de l'exemple que nous avons utilisé pour les moyennes mobiles. Vous disposez des ventes trimestrielles des quatre dernières années.

Question

Calculez les ventes prévisionnelles de l'année 5. Pour cela vous utiliserez les coeﬀicients saisonniers par la méthode des rapports au trend.

(33)

1^ère étape - Calcul de la droite de tendance

N = Nombre d'observations (nombre de mois, semestres, trimestres, années, etc.) = 16 Les techniques de prévision en tenant compte des variations

saisonnières

(34)

Donc équation de la droite de tendance → y = 9,6x + 437,4

2^ème et 3^ème étape - Calcul des valeurs ajustées et des rapports au trend

Rappel de l'équation de la droite de tendance : y = 9,6x + 437,4 (1) = (9,6 * 1) + 437,4 = 447

(2) = (9,6 * 3) + 437,4 = 466,2 (3) = (9,6 * 16) + 437,4 = 591

Remarque

Théoriquement la somme des rapports au trend doit être égale au nombre d'observations.

→ Donc ici 16. Bien entendu, selon les arrondis, on peut trouver un montant légèrement diﬀérent.

(35)

4^ème étape - Calcul des coeﬀicients saisonniers

(a) → A cause des arrondis, la somme des coeﬀicients ne fait pas toujours exactement 4 (ou 12 s'il s'agit de mois).

Donc on doit ajuster les coeﬀicients, de telle sorte que leur somme fasse exactement 4 (ou 12 selon le cas).

De plus on divise par 4, car il y a quatre années (le nombre de trimestres n'a rien à voir ici !) (b) → (1,126 / 3,9996) * 4 = 1,12611

(c) → (0,8285 / 3,9996) * 4= 0,82858 (d) → (0,7451 / 3,9996 * 4= 0,74517 (e) → (1,30 / 3,9996) * 4 = 1,3001

5^ème étape - Prévisions pour l'année 5

Remarque

On pourrait vous demander de présenter la série désaisonnalisée.

Ceci s'appelle la série corrigée des variations saisonnières.

2. Savoir complémentaire concernant les coeﬀicients saisonniers a. Principe

Dans un énoncé, on pourrait vous demander de calculer des coeﬀicients saisonniers d'une autre façon.

L'énoncé pourrait préciser que les coeﬀicients saisonniers (ou indices saisonniers) seraient égaux au rapport entre la valeur réelle et la moyenne centrée réduite de la série.

(36)

b. Exemple

Reprenons les données de l'exemple que nous avons utilisé pour les moyennes mobiles.

Vous disposez des ventes trimestrielles des quatre dernières années.

Question

Calculez les ventes prévisionnelles de l'année 5. Pour cela vous utiliserez les coeﬀicients saisonniers en considérant qu'ils sont égaux à la moyenne des rapports entre la valeur réelle et la moyenne mobile centrée réduite des trimestres.

Procédure à suivre

1. On calcule les moyennes mobiles centrées réduites.

2. On calcule les coeﬀicients saisonniers.

3. On calcule la droite de tendance à partir des moyennes mobiles centrées réduites.

4. On calcule les ventes prévisionnelles (grâce à la droite de tendance précédemment calculée et aux coeﬀicients saisonniers).

Correction

Calcul des moyennes mobiles centrées réduites

Nous l'avons déjà calculée précédemment. Rappelons le résultat.

Calcul des coeﬀicients saisonniers

Remarque

On ne fait apparaître les indices (Valeur réelle du trimestre / Moyenne mobile du trimestre) que lorsque l'on dispose des deux valeurs ! Or, rappelez-vous qu'avec les moyennes mobiles centrées réduites de pas de 4, on ne dispose pas des deux premières valeurs ni des deux dernières !

(37)

Ceci donne donc le tableau suivant :

(a) → (1,0902 + 1,07796 + 1,1620) * 1/ 3 (b) → (1,1106 / 4,0068) * 4

(c) → (0,8328 / 4,0068) * 4

Calcul de la droite de tendance à partir des moyennes mobiles centrées Nous l'avions déjà calculée précédemment → y = 9,0804x + 441,89

Calcul des ventes prévisionnelles pour l'année 5

Remarque

Bien se rappeler que l'équation de la droite a été prise avec « 3 » comme origine des temps.

→ Les trimestres de l'année 5 (x_i)sont donc numérotés de 17 à 20 !

Principe

Il suﬀit de multiplier la prévision du trimestre (trouvée à partir de la droite de tendance) par le coeﬀicient saisonnier du même trimestre !

1^er trimestre année 5 → [(9,0804 * 17) + 441,89] * 1,1087 = 661,07 → 661 2^ème trimestre année 5 → [(9,0804 * 18) + 441,89] * 0,8314 = 503,28 → 503 3^ème trimestre année 5 → [(9,0804 * 19) + 441,89] * 0,742 = 455,90→ 456 4^ème trimestre année 5 → [(9,0804 * 20) * 441,89] * 1,3214 = 823,89 → 824 Les techniques de prévision en tenant compte des variations

saisonnières

(38)

D. Le lissage exponentiel 1. Principe

Cette méthode de prévision utilise la moyenne des observations passées, mais en les pondérant. Les observations ont un poids décroissant en fonction de leur ancienneté.

Pour une période donnée « t », la prévision des ventes est calculée ainsi : P_t = α R_t-1 + (1 - α)P_t-1 Avec :

P_t = Prévision de la période.

R_t-1 = Valeur réelle de la période précédente.

P_t-1 = Prévision de la période précédente.

0 α = Coeﬀicient de pondération compris entre 0 et 1.

Remarque

Faites bien la différence entre la prévision (P) et les valeurs réelles (R). Les résultats obtenus vont donc être différents selon la valeur de α retenue ! Sans démonstration mathématique, sachez simplement que plus le coefficient est élevé et moins les valeurs anciennes ont d'incidence sur le résultat. Toutefois, indépendamment de ce qui vient d'être écrit, en utilisant la méthode des résidus (avec des valeurs de α différentes), on peut « limiter » le hasard !

Dans le cadre d'un examen, on vous fournira bien sur la valeur du coeﬀicient α à utiliser !

2. Illustration

Vous disposez des ventes trimestrielles des huit derniers trimestres. Prévoyez les ventes du trimestre 9 par la méthode du lissage exponentiel (vous utiliserez le coeﬀicient α d'une valeur de 0,70).

Correction

Rappel de la formule : P_t = α R_t-1 + (1 - α)P_t-1 Donc il vient : P₉ = α R_(9-1) + (1 - α)P_(9-1)

Remarque

Pour résoudre cette équation, il faut calculer les prévisions du trimestre 8 → (P₈) = α R₇ + (1 - α)P₇

Même chose que précédemment pour P7 et ainsi de suite ! En résumé, il vient :

P₉ = α R₈ + (1 - α )P₈ P₈ = α R₇ + (1 - α )P₇ P₇ = α R₆ + (1 - α)P₆ P = α R + (1 - α)P

(39)

P₅ = α R₄ + (1 - α)P₄ P₄ = α R₃ + (1 - α)P₃ P₃ = αR₂ + (1 - α )P₂ P₂ = α R_{1 +}(1 - α)P₁ P₁ = α R₀ + (1 - α)P₀ Attention

Ici, nous avons un problème ! En eﬀet, pour trouver P₁, il nous faudrait la valeur réelle du trimestre 0 ! Or par définition nous ne l'avons pas !

Conséquence

Par hypothèse, nous devons admettre que la prévision du 1^er trimestre (P₁) est égale à la valeur réelle du même trimestre (R₁). Une fois ce principe admis, il suﬀit de remonter vers P9.

Donc si on suppose que P₁ = R₁ = 1 500, il vient : P₂ = (0,70 * 1 500) + (0,30 * 1 500) = 1 500,00 P₃ = (0,70 * 1 250) + (0,30 * 1 500) = 1 325,00 P₄ = (0,70 * 1 350) + (0,30 * 1 325) = 1 342,50 P₅ = (0,70 * 1 600) + (0,30 * 1 342,5) = 1 522,75 P₆ = (0,70 * 1 500) + (0,30 * 1 522,75) = 1 506,83 P₇ = (0,70 * 1 550) + (0,30 * 1 506,83) = 1 537,05 P₈ = (0,70 * 1 700) + (0,30 * 1 537,05) = 1 651,11 P₉ = (0,70 * 1 650) + (0,30 * 1 651,11) = 1 650,33

Remarque

Si dans le cadre d'un examen on vous demande dans une 1^ère question de calculer prévisions de ventes en utilisant des coeﬀicients saisonniers (à partir des moyennes mobiles ou non) et dans une 2^ème question de calculer des prévisions de vente avec le lissage exponentiel, il faudra tenir compte des coeﬀicients saisonniers déterminés dans la 1^ère question !

Pourquoi ? Tout simplement, car α n'est pas un coeﬀicient saisonnier, mais permet simplement de tenir plus ou moins compte des valeurs anciennes dans la prévision.